Puzle de papiroflexia: Un marco para cada retrato

Cuaderno de bitácora: buscando nuevos retos de papiroflexia y construcciones en papel para los grumetes del Barco Escuela, hemos encontrado este puzle en uno de los libros del genial divulgador Martin Gardner. De él hemos hecho una actualización y adaptación.

En primer lugar debemos preparar un cuadrado de papel y lo dividimos en una cuadrícula 3×3. Dibujamos o imprimimos dos marcos y dos retratos, tal y como se aprecia en las ilustraciones:

Figura 1. Esta es la parte delantera de la hoja. Se ven los dos marcos a la izquierda, y la cara del gatito a la derecha. La zona gris dentro de los marcos hay que recortarla, de manera que nos queden dos ventanas.

Figura 2. Esta es la parte trasera de la hoja.

El juego consiste en doblar el papel siguiendo las líneas de puntos, de forma que quede totalmente plegado, y que por un lado se vea uno de los marcos sobre uno de los retratos, y por el otro lado el otro marco sobre el otro retrato.

Para ver todo el proceso, así como la solución, podemos consultar el vídeo siguiente:

https://youtu.be/N5LScXZ_GaA

[El Problema de la Semana] Caída libre

A continuación presentamos el último problema que le pusimos a los grumetes en la travesía pasada.

A medio camino en un vuelo transatlántico, una saca de correo se cae de la parte de atrás del avión. Al mismo tiempo, una de las ruedas del tren de aterrizaje se separa y cae también verticalmente. ¿Cuál será, la saca o la rueda, la que primero se estrelle contra el suelo?

Por favor, ya sabemos que la respuesta viene después de la ilustración.

[Gracias a las matemáticas aplicadas a la informática, se pueden hacer realidad los maravillosos programas simuladores de vuelo. Debo confesar que he pasado buenos ratos tratando de dominar uno de esos simuladores como si fuera un auténtico piloto de Boeing o Airbus. Si la simulación se combina además con la representación realista de la geografía terrestre, como en la aplicación Google Earth, entonces la experiencia es total. La imagen es una captura de pantalla del programa Microsoft Flight Simulator X, y está tomada de la web Fly Away Simulation.]

Solución:

Este último problema era sólo una pequeña trampa lógica. Si el avión está en medio de un vuelo transatlántico, entonces tanto la saca como la rueda caen al océano, y por tanto no se estrellarán contra el suelo. Y no hay más que decir.

Nota: este problema ha sido extraído del libro The Riddles of the Sphinx, de David J. Bodycombe, editorial Penguin Books.

[El Problema de la Semana] División en cuatro trozos

El problema de hoy es de esos que tienen una solución ingeniosa, de las que son producto de la inspiración del momento, más que de un razonamiento estándar.

Nos han dado una plancha de madera con la forma que tiene la figura (un rectángulo al que le falta la cuarta parte). Debemos partirla en cuatro trozos exactamente iguales. ¿Cómo podemos hacerlo?

Como siempre, dejamos un espacio con una imagen, y más abajo la solución al problema.

[el motivo de que incluyamos esta ilustración con el número pi está indicado al final de esta entrada, en las notas]

Solución: la forma correcta de cortar la plancha sería la del siguiente gráfico:

Así obtenemos cuatro trozos iguales, aunque no tienen la misma orientación. Estamos suponiendo que las dos caras de la plancha de madera son iguales, y por tanto, a los trozos con distinta orientación se les podría dar la vuelta para estuvieran todos igualmente orientados. Es curioso que los trozos resultantes son semejantes a la forma de la plancha original, aunque en pequeño.

Ampliación: cuando propuse este problema a los grumetes hace años, casi todos me contestaron de otra forma, que en principio di por buena. La partición que ellos hicieron fue ésta:

Esta partición puede ser válida porque en el gráfico original, la altura de la figura parece coincidir con la mitad de la longitud total, con lo que da la sensación de que si cortamos la mitad derecha, a la izquierda nos queda un cuadrado. Pero si lo medimos con exactitud, veremos que no es exactamente cuadrado, ni se pretendía que lo fuese. De hecho, si el gráfico hubiera estado un poco más achatado o comprimido, como por ejemplo:

En este caso la primera partición seguiría dando trozos iguales:

 

Sin embargo la segunda partición no daría trozos iguales (basta fijarse que el trozo que está más a la izquierda es diferente en proporciones a los otros tres):

Notas: no parece haber una regla definida para encontrar particiones de figuras geométricas que nos dividan cualquier figura dada en un número determinado de trozos iguales. Cada caso puede tener o no tener solución, y ha de estudiarse de forma particular. Matenavegando, nos podemos encontrar con  muchos problemas curiosos de particiones cuyas soluciones son, a menudo, sorprendentes.

El motivo de elegir una imagen del número pi para ilustrar esta entrada en el blog, es porque recientemente el récord en número de decimales calculados del número pi ha sido batido de nuevo. El nuevo récord ha sido conseguido por Fabrice Bellard, y lo más sorprendente es que lo ha logrado con la ayuda de un simple ordenador doméstico. La noticia completa se puede leer en este artículo del periódico El País.

Si pinchamos en la imagen del número pi incluida más arriba, nos saldrá muy aumentada. El fondo de la imagen está también formado por el número pi, con más de 73.000 decimales (los he contado por encima, puedo haberme equivocado).

Un cálculo masivo de los decimales del número pi ha sido posible con la llegada de los ordenadores. El cálculo de decimales de pi, sin ayuda de los ordenadores, lo consiguió en 1947 D. F. Ferguson, que logró 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica. En 1949, ENIAC, el primer ordenador, pulverizó este récord, consiguiendo 2037 cifras decimales en tan sólo 72 horas, y a partir de ahí, los récords se han ido batiendo sucesivamente conforme se desarrollaban ordenadores más potentes y rápidos. La última marca ha quedado establecida en nada menos que 2.7 billones de decimales.

[El Problema de la Semana] El cumpleaños

Creo que este problema o acertijo puede ser muy interesante:

Antonio me comentaba el otro día: anteayer tenía 22 años, pero el año próximo tendré 25. ¿Cuándo es mi cumpleaños?

Recuérdese que la solución está incluida más abajo. Si quiere resolverlo por sí mismo, STOP! ¡no siga leyendo!

Solución: El cumpleaños de Antonio es el 31 de diciembre.

Hoy es 1 de enero. Anteayer era 30 de diciembre, y tenía 22 años. Ayer era 31 de diciembre, cumplió años, y tiene 23 años desde ayer hasta el 31 de diciembre del presente año, en que cumplirá 24. El 31 de diciembre del año que viene cumplirá 25.

Comprendo que la solución puede ser difícil de comprender. Si le cuesta entenderla, pregúntese primero ¿qué día es hoy (entendiendo por "hoy" el día en el que está hablando Antonio)? Hágase un esquema con un calendario. Estos problemas de calendarios y tiempos son complicados. No desespere.

[El Problema de la Semana] El concurso de música

Otro de los problemas que en su momento incluí en doDK es el que traemos a continuación. Es un problema muy sencillo.

Recuérdese que más abajo se incluye la solución del problema. El lector que quiera resolverlo por sí mismo no debe leer más allá de la ilustración.

En un concurso de música han acudido siete participantes, y el jurado ha decidido que participen en el siguiente orden: Dolores Pérez, Remedios García, Miranda Fernández, Fátima Rosales, Soledad Moreno, Laura Martín, Silvia Hermosillo.

Las concursantes aceptan el orden de participación pero se preguntan el porqué de dicho orden.

¿Sabrías tú explicar por qué el jurado ha decidido que participen en dicho orden?

[En la imagen, la cantante de jazz Diana Krall. Fotografía de Skip Bolen]

Solución: el orden se ha seguido según la propia escala musical; si nos fijamos en las primeras letras de cada nombre nos daremos cuenta de que coinciden con las notas musicales.

[El Problema de la Semana] El papel doblado como una malla hexagonal

Recuperamos hoy otro problema, publicado ya en doDK, que más que problema podríamos denominar pasatiempo, juego o truco de magia. Se trata de tomar un folio o una cuartilla de papel, y sin ayuda de ningún medio exterior, tan solo con las manos, doblarlo de forma que los dobleces aparezcan formando una especie de malla hexagonal, igual que las de algunas alambradas, como en la ilustración:

Es éste un juego que casi todos los cursos les enseño a los grumetes. Lo aprendí en el libro de Martin Gardner, Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas. Transcribo a continuación lo que Gardner comenta en el libro sobre el truco:

El truco de la alambrada

Este extraño truco de salón se debe a Tan Hock Chuan, mago profesional chino que vive en Singapur. Chuan se lo describió en una carta a Johnnie Murray, un prestidigitador aficionado de Portland, Maine, quien me lo hizo llegar.

Una cuartilla corriente, de unos 20 por 13 cm, es marcada por un observador, a fin de poderla identificar luego. El mago la sostiene a sus espaldas (o debajo de la mesa) durante unos 30 segundos. Cuando vuelve a mostrarla, la cuartilla está cubierta de arrugas y marcas que forman una teselación regular a base de hexágonos (como la de la figura). ¿Cómo hacerlo? Casi todo el mundo acusa al mago de haber presionado la cuartilla contra un trozo de alambrada de gallinero, pero en realidad las marcas se han hecho usando las manos nada más.

Martin Gardner, al final del capítulo, comenta la solución (no siga leyendo si quiere intentar resolver el pasatiempo por sí mismo):

Para dejar marcada una cuartilla de papel con un entramado hexagonal, se empieza enrollando la cuartilla y formando un tubo de un centímetro o centímetro y medio de diámetro. Pellizcando uno de los extremos del tubo entre los dedos índice y pulgar de la mano izquierda, se aplasta esa boca hasta dejarla plana. Manteniendo con la mano izquierda la presión en el mismo lugar, se aplasta el tubo entre el índice y el pulgar de la mano derecha en un punto tan cercano al anterior como se pueda, pellizcándolo en un plano perpendicular al del aplastamiento anterior. Hay que apretar fuertemente con ambas manos, y al mismo tiempo empujar los aplastamientos el uno hacia el otro, a fin de hacer que las líneas de los pliegues sean lo más nítidas posible. Ahora es la mano derecha la que mantiene la presión mientras con la izquierda se hace un tercer aplastamiento adyacente y perpendicular al segundo. Se prosigue de igual modo, cambiando alternativamente de mano al ir avanzando a lo largo del tubo, hasta haber pellizcado el tubo entero. (Los niños suelen hacer esto mismo con pajitas de refresco, para hacer "cadenas".) Se desenrolla el papel. Al hacerlo, vemos en él una teselación hexagonal sumamente desconcertante para el no iniciado.

John H. Coker me escribió diciendo que cuando él iba a la escuela, a comienzos de los años treinta, en Yugoslavia, su maestro arrollaba y aplastaba de este modo las notas dirigidas a otros profesores. Por ser extremadamente difícil desenrollar un tubo así y volverlo a enrollar exactamente como estaba antes, el tubo ponía el mensaje a salvo de los niños encargados de transmitir la nota.

Este truco tiene mucho éxito entre todas las personas que lo contemplan, y los grumetes se entusiasman con él, haciéndose rápidamente muy popular en cuanto se enseña.

Entrando en la habitación de Fermat

Cuaderno de bitácora: hace ya varios meses que vi la película La Habitación de Fermat. Me gustó mucho y sólo puedo hacer comentarios elogiosos sobre la misma. En primer lugar, sorprende agradablemente encontrar este tipo de películas en el cine español. Es una de las pocas que utiliza las matemáticas como eje central de su argumento, y lo hace con suma brillantez, mezclando campos tan diferentes como la historia de las matemáticas, los acertijos de las matemáticas recreativas, el ambiente de investigación universitaria, y hasta un problema clásico sin solución hasta la fecha, como es la demostración de la Conjetura de Goldbach. Sabe crear una historia de suspense muy interesante con pocos elementos pero perfectamente aprovechados. Introduce personajes que captan la atención del espectador, personajes en los que muchos de nosotros podemos vernos reflejados. Y no necesita recurrir a obscenidades ni violencia gratuita para contarnos su historia. Y además dura menos de 90 minutos, no alarga su metraje innecesariamente como hacen muchas otras, especialmente las que vienen de Hollywood.

Aprovechando la aparición de esta película, se la hemos recomendado a los grumetes, los cuales, tras verla, han manifestado unánimemente opiniones muy favorables sobre ella. También nos ha servido para conocer algunos puntos históricos interesantes que ya comentaremos en próximas entradas.

La película, como hemos mencionado, presenta acertijos y problemas que los protagonistas han de resolver presionados por un tiempo que se acaba. La mayoría de los acertijos que aparecen en la película son ya conocidos por los matenavegantes, aparecen en libros y revistas como pasatiempos matemáticos y luego circulan entre los aficionados, que se los cuentan unos a otros para poner a prueba el ingenio. En nuestro Barco Escuela hemos propuesto alguno que otro como Problema de la Semana para que lo resolvieran los grumetes, mucho antes de que aparecieran en la película.

A continuación recogemos los enunciados de casi todos los problemas propuestos en La Habitación de Fermat. El que quiera conocer la solución, en el caso de que no sea capaz de encontrarla por sí mismo, sólo tiene que ver el film, que es, por si no ha quedado claro todavía, altamente recomendable, o bien mirar más abajo, donde se pone una lista de todas las soluciones.

1. ¿En qué orden están los siguientes números? 5 - 4 - 2 - 9 - 8 - 6 - 7 - 3 - 1

2. Un pastor que lleva una oveja, un lobo y una col, quiere cruzar un río. Para ello dispone de una barca en la que sólo caben dos, el pastor y algo más. Pero al cruzar con la barca, si deja solos al lobo con la oveja, el lobo se comerá a la oveja, y si deja a solas la oveja con la col, la oveja se comerá a la col. ¿Cómo debe proceder para cruzar el río y que lleguen todos sanos y salvos a la otra orilla?

3. Un pastelero recibe tres cajas opacas. Una caja contiene caramelos de menta, otra caramelos de anís, y otra un surtido de caramelos de menta y de anís. Las cajas tienen etiquetas que ponen "caramelos de menta" "caramelos de anís" o "mezclados", pero el pastelero recibe el aviso de que todas las cajas están mal etiquetadas. ¿Cuántos caramelos tendrá que sacar el pastelero como mínimo para verificar el contenido de las cajas?

4. ¿Cómo se descifra el siguiente código de 169 dígitos? 0000000000000 0011111111100 0111111111110 0111111111110 0110001000110 0110001000110 0111110111110 0111100011110 0011111111100 0001010101000 0001101011000 0001111111000 0000000000000

5. En el interior de una habitación herméticamente cerrada hay una bombilla, y fuera de la habitación hay tres interruptores. Sólo uno de los tres enciende la bombilla. Mientras la puerta esté cerrada puedes pulsar los interruptores las veces que quieras, pero al abrir la puerta debes decir cuál de los tres interruptores enciende la bombilla. ¿Cómo resolver el problema?

6. ¿Cómo se puede cronometrar un tiempo de nueve minutos utilizando dos relojes de arena, uno de cuatro minutos y otro de siete?

7. Un alumno le pregunta a un profesor "¿Qué edad tienen tus tres hijas?", y el profesor contesta "Si multiplicas sus edades da 36, y si las sumas da el número de tu casa"; "me falta un dato", contesta el alumno, y el profesor le responde "es verdad, la mayor toca el piano".

8. En la Tierra Falsa todos los habitantes mienten siempre. En la Tierra Cierta todos los habitantes siempre dicen la verdad. Un extranjero se encuentra atrapado en una habitación que tiene dos puertas. Una puerta lleva a la libertad y la otra no. Las puertas están custodiadas por un carcelero de la Tierra Falsa y otro de la Tierra Cierta. Para dar con la puerta que lleva a la libertad el extranjero puede hacer sólo una pregunta a uno de los dos carceleros, pero no sabe cuál es el de la Tierra Falsa y cuál el de la Tierra Cierta. ¿Qué pregunta formuló?

Comentarios: el acertijo número 2 es muy antiguo y conocido, aunque en la película los personajes reaccionan como si para ellos fuera algo nuevo. Uno de ellos, el apodado Pascal, pregunta con razón que "¿por qué un pastor iba a llevar a un lobo?". A mí me contaron este acertijo cuando era niño, y en aquella ocasión no me pareció extraño lo del lobo. Los niños no piensan tanto como los adultos y aceptan las cosas sin cuestionárselas.

El acertijo número 4 me ha recordado la época en la que empecé a introducirme en el mundo de la informática gracias al Spectrum 48K. Sobre ello escribiré en una próxima entrada.

La chica que se llama Oliva, comenta, cuando escucha el acertijo número 8, que lo vio en una película. En efecto, la película es, probablemente, Labyrinth, o en español Dentro del laberinto, protagonizada por Jennifer Connelly y David Bowie y dirigida por Jim Henson. Sobre ella también escribiremos en una próxima entrada.

Soluciones a los problemas-acertijos:

1. Los números están en orden alfabético según sus nombres en castellano.

2. En el primer viaje, toma a la oveja y se la lleva a la otra orilla, dejando al lobo con la col. Regresa solo. Toma ahora al lobo, por ejemplo, y se lo lleva a la otra orilla. Regresa con la oveja. Deja a la oveja en la primera orilla y toma la col, y se la lleva a la otra orilla, dejando a la col con el lobo. Regresa solo. Recoge a la oveja y la lleva a la otra orilla, terminando así el cruce del río.

3. Sólo tiene que sacar un caramelo de la caja que dice "mezclados", con esto es suficiente para averiguar el contenido de cada caja. Al estar todas las cajas mal etiquetadas, la caja con la etiqueta "mezclados" no puede ser de caramelos mezclados, y el caramelo que saque le dirá al pastelero si es la caja de los de anís o de los de menta. Supongamos que el caramelo que saca es de anís, entonces la caja que dice "mezclados" es la de los caramelos de anís, la caja que dice "caramelos de menta" tiene que tener la de los mezclados, y la que dice "caramelos de anís" es la de los caramelos de menta. Si el caramelo es de menta, la caja que dice "mezclados" es la de los de menta, la caja que dice "caramelos de anís" es la de los mezclados, y la que dice "caramelos de menta" es la de los de anís.

4. Hay que fijarse que 169 es el cuadrado de 13, por lo tanto los dígitos se pueden disponer en un cuadrado de 13 filas por 13 columnas (para hacerlo más evidente, he separado los grupos de 13 dígitos con un espacio entre cada uno de ellos). Si construimos el cuadrado dándoles a los dígitos diferentes colores según sean ceros o unos, obtenemos el siguiente gráfico:

0000000000000

0011111111100

0111111111110

0111111111110

0110001000110

0110001000110

0111110111110

0111100011110

0011111111100

0001010101000

0001101011000

0001111111000

0000000000000

Se puede apreciar que se trata del gráfico de una calavera.

5. Conectas el primer interruptor. Conectas el segundo interruptor durante un minuto y luego lo desconectas. Dejas sin tocar el tercer interruptor. Entras en la habitación. Si la bombilla está encendida, es el primer interruptor el que vale. Si la bombilla está apagada, la tocas; si está caliente, es el segundo interruptor el que vale. Si está apagada y fría, es el tercer interruptor el que vale.

6. Una forma de hacerlo: Das la vuelta a los dos relojes de arena. Cuando se acaba el de 4 minutos, quedan 3 minutos en el de 7. Das la vuelta al de 4 minutos. Cuando se acaba el de 7 minutos, queda 1 minuto en el de 4, y a partir de aquí empezamos el cronómetro. El minuto que queda pasa, damos la vuelta al reloj de 4 minutos, y cuando se acaba volvemos a darle la vuelta al de 4 minutos. La suma de 1+4+4 dan los 9 minutos que queríamos cronometrar.

7. Factorizamos 36 como producto de tres números. Se puede hacer de varias maneras:

(a) 36 = 1·1·36, suma de los factores: 38.

(b) 36 = 1·2·18, suma de los factores: 21.

(c) 36 = 1·3·12, suma de los factores: 16.

(d) 36 = 1·4·9, suma de los factores: 14.

(e) 36 = 1·6·6, suma de los factores: 13.

(f) 36 = 2·2·9, suma de los factores: 13.

(g) 36 = 2·3·6, suma de los factores: 11.

(h) 36 = 3·3·4, suma de los factores: 10.

Aunque nosotros no sabemos la suma de las edades, el alumno sí la conoce, pues es el número de la casa donde vive, pero el alumno dice que "le falta un dato", y esto significa que con la información del producto y de la suma no es suficiente. De aquí deducimos que la suma de las edades ha de ser 13, pues para esta suma hay dos posibilidades, la (e) y la (f), y esto justifica que al alumno le falten datos, pues no puede todavía decidir cuál es la respuesta. Como el profesor añade que "la mayor toca el piano", esto indica una de las hijas es mayor que las otras dos, luego la opción correcta es la (f) y las edades deben ser 2, 2 y 9 años, respectivamente, pues en la otra opción, la (e), dos hijas tendrían 6 años y serían ambas mayores a la otra de 1 año, y no habría "una mayor" que las demás.

8. La pregunta que debe formular a uno cualquiera de los carceleros debe ser algo así: "Si pregunto a tu compañero cuál es la puerta que conduce a la libertad, ¿cuál me señalará?". Según la respuesta que el carcelero le dé, el extranjero debe elegir siempre la puerta contraria. En efecto, si pregunta al carcelero de la Tierra Cierta, éste le dirá la verdad, y como su compañero miente, le dirá que su compañero le va a indicar la puerta falsa. Si pregunta al carcelero de la Tierra Falsa, éste le mentirá, y le dirá que su compañero, el que dice la verdad, le indicará la puerta falsa. Luego en ambos casos la respuesta que le darán al extranjero es la puerta que no lleva a la libertad.

Mensajes cifrados (2): la clave URODINELAS

Como ya dije en la entrada anterior, siempre me interesaron los mensajes cifrados, la manera de escribir en forma secreta para que nadie pueda enterarse de lo escrito salvo que conozca la clave.

Una de las maneras más sencillas de cifrar un mensaje es ir sustituyendo cada letra por otra cosa, otra letra por ejemplo, o algún símbolo diferente. Se trata de definir una correspondencia biunívoca entre el conjunto de las letras de nuestro alfabeto y otro conjunto, que puede ser el de las propias letras, o un conjunto de símbolos o de números, etc.

Si la correspondencia es biunívoca quiere decir que a cada letra de nuestro alfabeto le corresponde una y sólo una letra o símbolo, y a letras distintas le corresponden símbolos distintos.

En la siguiente imagen se puede ver un esquema de un par de ruedas alfabéticas concéntricas. Una puede girar respecto a la otra. Según el giro, se establece una correspondencia biunívoca o biyectiva entre las letras del mensaje original y las letras del mensaje cifrado. Éste es uno de los métodos más sencillos y más antiguos de cifrar mensajes.

Este tipo de cifrado es fácil de descubrir y comprender siempre que el mensaje sea lo suficientemente largo, mediante una distribución estadística. Así es como Sherlock Holmes descifra los mensajes que aparecen en el relato de Arthur Conan Doyle, Los Hombrecitos Danzantes, y también es el método usado en El Escarabajo de Oro, de Edgar Allan Poe. Basta contar la frecuencia con la que aparece cada símbolo en el texto cifrado, e ir correspondiendo los símbolos más frecuentes del texto con las letras más frecuentes del idioma en que está escrito el mensaje, por ejemplo, en español podrían ser la E, la A, la O, la S, etc. (Visitar esta página para ver la frecuencia de aparición de letras en castellano)

Pero ¿qué pasaría si ciframos los mensajes haciendo una correspondencia que no sea biunívoca entre los conjuntos? Ahí empiezan las complicaciones, y el texto se va haciendo cada vez más difícil de descifrar.

Cuando era adolescente se me ocurrió buscar un cifrado que cumpliera ciertas condiciones: quería que fuera rebuscado, diferente del de las correspondencias biunívocas como los de los relatos mencionados anteriormente y por tanto muy difícil de descifrar para el profano; también que fuera muy sencillo de recordar, que bastara una clave fácil y que al cifrar el texto se hiciera de forma rápida; por último, que al leerlo no pareciera un mensaje cifrado, sino que pareciera un idioma diferente, que incluso se pudiera leer en voz alta.

Entonces diseñé la clave URODINELAS. Voy a explicar a continuación en qué consiste:

-Cada consonante se sustituirá por una sílaba de dos letras, la primera es la misma consonante, la segunda es una vocal, elegida a nuestro gusto, pues sólo es de relleno.

-Cada vocal se sustituye por una consonante. ¿Cuál? ¡Para eso está el nombre de la clave: URODINELAS, es decir, la U se sustituye por la R, la O por la D, la I por la N, la E por la L, la A por la S.

Así, por ejemplo, la palabra cifra se convertiría en canferes, o en confiras, o en cenfirus (las vocales introducidas son aleatorias). Si me dan una palabra cifrada: melnasisjal, es fácil de descifrar sabiendo la clave: me equivale a m, l equivale a e, na equivale a n, si equivale a s, s equivale a a, ja equivale a j, l equivale a e. Resultado: melnasisjal = mensaje.

Pongo algunos ejemplos más para que se vean las transformaciones:

flor = filadre

número = narmelrod

navegante = nisvalgasnatul

página = pesgonnes

ordenador = dredalnisdadra

calendario = caslalnidesrand

"La travesía del océano es larga" = "Les teresvalsons dalla dcilsned lsa lesrugos"

Otras propiedades de nuestra clave:

• Las vocales intercaladas son aleatorias, ya que sólo sirven para distinguir a las consonantes de las auténticas vocales. A las consonantes le podemos añadir las vocales que queramos, e incluso podemos añadir diptongos. Así, por ejemplo flor se convierte en filadre, o foludra, o fiuladra o faladria. Todas estas palabras cifradas equivalen a flor.
• Las vocales también se pueden añadir al principio de la palabra sin cambiar la traducción de la misma. Así, ofiladre también se descifraría como flor, o bien apesgonnes como página.
• Sustituir la U por la R, la O por la D, la I por la N, la E por la L, la A por la S, como indica el nombre URODINELAS, es sólo una de las multiples posibilidades. Podemos, por ejemplo, cambiar la clave a AFIMETOVUG, y en esta clave, la A se sustituye por la F, la I por la M, la E por la T, la O por la V, la U por la G. Cada uno puede diseñarse una clave según el gusto. En esta última clave, flor sería filavre, y página sería pefgovnef, por ejemplo. Mi elección de URODINELAS fue simplemente para que en el cifrado salieran palabras no muy difíciles de pronunciar.
• Da lo mismo decir clave URODINELAS, que clave ELASINUROD, o incluso NISALERUDO. El nombre de la clave da el cifrado de las vocales por consonantes diferentes, y cada consonante va emparejada con su vocal equivalente. También es lo mismo clave AFIMETOVUG que OVAFIMUGET, o incluso TEMIFAGUVO.

Propongo a los lectores que descifren el siguiente texto, una cita de Pappus de Alejandría, matemático del siglo III y IV d. de C.:

LASSIE OSBELJOSSA, ILNO VINRETIERDO DOL URNAS CANLRUTIAS INNETORNCANDNA GOLDMELTERINCAS, SASBIALNA QUERL ALLIO HELXISGUDNAD ELSUO MASYODRO QUORL ILLA CORIORSDERESDOD YI QUERL PADDERAS CIDNETELNALRIO MUSSA MINLLIA CEADNA ALLO MAINSEMAD GASSETAD DIAL MASTUELRANSLIA.

Mensajes cifrados (1)

Cuaderno de bitácora: hace ya algún tiempo, en uno de los muchos puertos en los que atracamos, compré un libro editado en 1959 (este año cumple por tanto cincuenta años). Su título es Humor de Contrabando, y sus autores son Chumy Chúmez y Miguel de Salabert.

El libro tiene poco que ver con las matemáticas, es un libro humorístico, en el que se recogen esas casualidades, errores sin intención, despistes, que se dan en la vida real, en los periódicos, en las calles y los comercios, en los anuncios comerciales, etc. y que generan un chiste, algo gracioso y hasta hilarante lleno de espontaneidad. Con el tiempo se han editado varios libros de este tipo; son la versión impresa de los programas de zapping que hoy en día se han puesto tan de moda en la televisión y que recogen las curiosidades graciosas o sorprendentes que inesperadamente aparecen en la pequeña pantalla.

En el libro, por ejemplo, abundan los recortes de la prensa de aquellos años, en los que, por ejemplo se dice que "el vapor español Almadén llegó a Valencia con mil toneladas de península", "24 personas fallecieron en el descarrilamiento de un pesquero español", "de madrugada varias bandadas de nutrias estuvieron volando sobre Pamplona dando fuertes graznidos que despertaron a muchos vecinos", "el famoso escritor Jean Cocteau se encuentra gravemente enfermo a consecuencia de un ataque cardiocultivo de la aceituna", etc.

También hay coincidencias desafortunadas pero muy graciosas: un señor llamado Eroteides Cascajo que hace decoración con escayola y piedra artificial, un médico especialista en garganta, nariz y oídos cuyo nombre es José L. Dañino Suárez, un portal de una casa en donde al lado de la placa de un médico hay una placa de una funeraria, una calle en la que al lado de una consulta veterinaria hay una carnicería, un matadero de nombre La Piedad...

Hay dos citas que son interesantes. La primera dice:

Los cocodrilos están infectando las alcantarillas de Nueva York. Fueron comprados cuando eran chiquititos para entretenimiento de los niños, pero después, las madres, temerosas, los arrojaron a las alcantarillas, y en ellas se han desarrollado en todo su tamaño.

La reseña está publicada en el diario España de Tánger, el 16 de noviembre de 1958. Los cocodrilos de las alcantarillas de Nueva York es una leyenda urbana que tiene, por tanto, más de cincuenta años, y a pesar de ello yo la escuché como si fuera cierta hará unos quince o veinte años, y creo que aún colea de vez en cuando por ahí.

Otra cita es estremecedora: en el mismo diario España, de Tánger, en 1958 se recoge:

En una escuela de Pleasant Hill (Misouri) se han establecido nuevas reglas de disciplina en vista de la actitud díscola de los alumnos. Una dice: 'Se prohibe escupir a los maestros'.

Pero en relación al tema que nos ocupa hoy, en la parte final del libro hay algunos anuncios por palabras curiosos y extravagantes, la mayoría de ellos de personas que se comunican con sus amantes enviándoles mensajes románticos y apasionados. Uno de ellos dice:

Parece un siglo que no te veo; hay momentos de verdadera desesperación y que tiemblo al pensar estás tan lejos de mí; que quiero verte y hablarte y no puedo y sin saber hasta cuando; es horrible; otras veces es una tristeza que me muero al verme tan solo, pero completamente solo, porque solo es estar sin tí, que eres mi dulce bien, mi encanto, mi alegría, mi felicidad; sin tí, que sabes eres la vida entera de tu Gfsñbñep.

Este individuo que firma de forma tan extraña, Gfsñbñep, tiene en el libro otros dos mensajes más del mismo calado, igual de empalagosos y desesperados. No es el único, hay otros mensajes de otras personas, pero que firman de forma más convencional: Norma, P.M., Marte, Esperanza, Juana, Elabel, Ninita, Aida, Pepe. Uno firma Cyrano, como el personaje literario, otro simplemente Z, y una tercera se da a sí misma el apelativo de Necia.

Evidentemente me llamó la atención una firma tan extraña y supuse que debía ser un nombre cifrado en clave, para que sólo la persona a la que iba dirigido lo descifrara. Pero pensé unos momentos, y la clave me vino en seguida. Si sustituimos cada letra del nombre Gfsñbñep por la anterior en el alfabeto español, la G por la F, la f por la e, la s por la r y así sucesivamente, vemos que este apasionado amante de los anuncios por palabras se llama en realidad Fernando.

Cuando era pequeño y estaba en 4º o 5º de E.G.B. (Educación General Básica, equivalente a la Enseñanza Primaria actual) alguien me pasó en el colegio un papel escrito con un mensaje cifrado. Era la primera vez que veía uno: cada letra había sido sustituida por un símbolo sencillo, cruces, círculos, figuras geométricas, etc. Aquel cifrado me entusiasmó, y cuando me dieron la clave y fui capaz de hacer mis propios mensajes ocultos disfruté mucho, e incluso diseñé yo mismo varias claves y formas de sustituir letras por símbolos. Sin embargo, una vez diseñada la clave, no tenía nadie a quien enviar un mensaje secreto, así que dichas claves sólo me hacían pasar un buen rato en casa y quedaban después archivadas y olvidadas en alguno de mis muchos cuadernos.

Una de las últimas claves de cifrado que diseñé, y de la que quedé muy satisfecho, es la que bauticé con el nombre URODINELAS, y que explicaré en la próxima entrada del blog.

Los mensajes cifrados se han utilizado mucho como argumento en los relatos literarios. Hay dos relatos de autores clásicos muy conocidos en los que los mensajes en clave son la parte central del argumento: uno de ellos es El Escarabajo de Oro, (The Gold Bug) de Edgar Allan Poe, y el otro Los Hombrecitos Danzantes, (The Adventure of the Dancing Men) de Arthur Conan Doyle.

En El Escarabajo de Oro, un mensaje cifrado indica el lugar en el que se encuentra oculto un tesoro. En Los Hombrecitos Danzantes, Sherlock Holmes tiene que solucionar un caso en el que los implicados se comunican entre sí con mensajes cifrados, donde cada letra del mensaje ha sido sustituida por la figurita de un hombrecillo, y para cada letra la postura del hombrecillo es diferente.

En ambos casos, el sistema de cifrado es el mismo: sustituir cada letra por un símbolo de forma unívoca, y en ambos relatos los protagonistas logran descifrar los mensajes mediante un método estadístico: cuentan la frecuencia con la que aparece cada símbolo, y los símbolos más frecuentes los asocian con las letras más frecuentes del idioma (el inglés en este caso). Así, por ejemplo, el símbolo más frecuente debe corresponder a la e, el siguiente a la t, y luego la a, la i, la n, la o, la s, etc. Esta asociación será más efectiva si la longitud del texto es lo suficientemente larga. Para textos cortos, las frecuencias pueden variar mucho. Una vez colocadas las letras más frecuentes, mediante la lógica, descartando opciones, se puede descifrar el texto sin mucha dificultad.

Así, por ejemplo, tenemos el siguiente texto en clave que proponemos a los lectores para que lo descifren. Es una cita sobre matemáticas del conocido pintor holandés Maurits Cornelis Escher (el punto y los dos puntos del texto son signos de puntuación, no sustituyen a ninguna letra):

?+! ?8º8! ¿8 ?+ 4+&84+&-=+ {2 !2{ 48+48{&8 -{/8{=-2{8! 2 =$8+=-2{8! 364+{+!. !-4)?848{&8 !2{: 8#-!&8{ -{¿8)8{¿-8{&848{&8 ¿8? -{&8?8=&2 364+{2. ?2 4+! 768 )68¿8 3+=8$ 6{ 3245$8 ¿8 -{&8?-*8{=-+ +*6¿+ 8! ¿8!=65$-$ 768 8!+! ?8º8! 8!&+{ +??- º ??8*+$ + =2{2=8$?+!.

Se puede visitar la página de la wikipedia para conocer las frecuencias de aparición de las letras en español.

PD: El cifrado de mensajes pertenece al campo de la criptografía, y modernamente se apoya en matemáticas muy avanzadas.

Una forma sencilla de cifrar un mensaje con el ordenador es escribirlo en formato Word, seleccionar el texto y cambiar la Fuente a Webdings o Wingdings, por ejemplo. Todas las letras automáticamente se convierten en símbolos.

Edgar Allan Poe era muy aficionado a los mensajes cifrados, y sus lectores le enviaban cartas con textos en clave que él solucionaba habitualmente. Sin embargo dos de estas cartas se han hecho famosas porque no pudo solucionarlas, ni él ni todos los que posteriormente lo intentaron, hasta muy recientemente. Para saber más, visitar esta página de Ecojoven donde se cuenta la historia completa.

El Crimen del Miércoles

Cuaderno de bitácora: revisando mis viejos papeles he encontrado un problema que me pasó mi compañero oficial del Barco Escuela, Alfonso Sánchez Rodríguez: El Crimen del Miércoles. En su día ese problema se lo propuse a los grumetes, y la mayoría supo resolverlo. El problema viene con una gran viñeta simpática donde aparecen los personajes protagonistas dibujados.

El problema dice así:

Un miércoles noche en el living del señor Yani Puf. En verdad, de living ya no le iba a servir más, pues esa misma mañana había sido limpiamente asesinado. Con tal motivo, el gran investigador Tom Bola había reunido a los seis sospechosos. Cada uno de ellos solía visitar al señor Puf un día distinto y fijo de la semana. Únicamente el domingo Yani Puf no recibía visitas.

Esto es lo que declararon cada uno de los sospechosos cuando Tom Bola los interrogó:

El deshollinador: "yo venía a limpiarle la chimenea dos días después del pintor".

El tenista: "yo lo visitaba dos días después que el violinista".

La secretaria: "yo lo venía a ver dos días después que el tenista".

El pintor: "yo venía a pintarlo dos días después que ella".

El violinista no dijo nada.

El jinete: "yo venía a visitarlo dos días después que el deshollinador".

El gran investigador Tom Bola comprobó que todos habían dicho la verdad. Según esto, ¿cuál de los sospechosos visitaba a Yani Puf los miércoles, y por tanto era el asesino?

El guión del problema es de J. Poniachik, y los dibujos de P. Colazo.

Ignoro de dónde sacó Alfonso Sánchez la fotocopia, pero debe ser de una revista o periódico de hace bastantes años.

Quien quiera conocer la respuesta basta con que pulse aquí.

Monerías para contar en un viaje

Cuaderno de bitácora: la navegación por los Matemares está llena de momentos en los que no se puede hacer nada sino esperar, y entretener el tiempo conversando. Algunas veces el tema de conversación se encuentra con facilidad. Otras veces a uno no se le ocurre nada que decir y llega un silencio embarazoso.

En mis últimos viajes he recopilado algunas monerías para ir contando y entretener el tiempo de forma amena. Unas me las han contado, otras las he leído en algún libro o revista. A continuación he seleccionado varias. El oyente ha de dar respuesta sencilla y lógica a cada enigma o pregunta.

1. Sherlock Holmes entró en la habitación. Se encontró los cadáveres de Luke y Valerie en el suelo, sobre un charco de agua. Había cristales rotos esparcidos alrededor. El gato se encontraba sobre la mesa con el pelo del lomo erizado. Tras un rápido examen comprobó que Luke y Valerie habían muerto asfixiados. Holmes no lo dudó ni un momento y dijo: "el culpable ha sido el gato".

¿Qué ha sucedido?

2. Una persona se encuentra en una calle de casas rojas. Avanza hasta otra calle, se para delante de un hotel verde y exclama: "¡Oh, estoy arruinado!".

¿Qué significa todo esto?

3. Un hombre vive en un décimo piso. Todas las mañanas toma el ascensor, baja hasta la calle, se va a trabajar. Cuando regresa del trabajo toma el ascensor, pulsa el botón del séptimo y aunque detesta caminar, sube los tres restantes pisos andando.

¿Por qué lo hace?

4. Si tomamos los nombres de todos los números y hacemos una lista en orden alfabético, ¿qué número sería el primero de la lista?

5. ¿Cuántas letras tiene la respuesta a esta pregunta?

Algunas de las monerías se pueden encontrar en los siguientes libros: Matemática, ¿estás ahí? de Adrián Paenza, y ¿Cómo se llama este libro? de Raymond Smullyan.

Las soluciones a las preguntas vienen a continuación. Léanse al revés para entenderlas.

1. seroloc ed secep sod nos eirelaV y ekuL.

2. yloponoM la odnaguj átse anosrep asE.

3. omicéd led nótob la agell on y otijab yum se erbmoh lE.

4. ecrotaC.

5. ocniC.

Repartiendo una herencia de camellos

La semana pasada un compañero del Barco Escuela me entregó un folleto que a él le habían dado por la calle. El folleto era una hoja de propaganda de una empresa de coaching, llamada Bitacorach.

Yo no sabía qué era eso del coaching (del inglés coach, entrenador), pero lo interesante del folleto no estaba ahí, sino que utilizaba como reclamo un problema de matemáticas ya clásico, que es el que quiero comentar en esta entrada del blog. Transcribo el problema tal como viene en la hoja:

El testamento del jeque 

Al morir el jeque, ordenó que se distribuyeran sus camellos entre sus tres hijos de la siguiente forma: la mitad para el primogénito, una cuarta parte para el segundo y un sexto para el más pequeño. Pero resulta que el jeque sólo tenía once camellos, con lo que el reparto se hizo realmente difícil, pues no era cosa de cortar ningún animal. Los tres hermanos estaban discutiendo, cuando ven llegar a un viejo beduino, famoso por su sabiduría, montado en su camello. Le pidieron consejo y éste dijo: 

-Si vuestro padre hubiese dejado doce camellos en vez de once no habría problemas. 

-Cierto, pero sólo tenemos once- respondieron los hermanos, a lo que el beduino contestó: 

-Tomad mi camello, haced el reparto y no os preocupéis que nada perderé yo en la operación. 

¿En qué se basa el beduino para afirmar tal cosa?

La respuesta al problema viene en la cara posterior de la hoja, que es como sigue:

SOLUCIÓN: 

El beduino cede su camello, con lo que habrá doce; el primogénito recibe la mitad (6 camellos), el segundo una cuarta parte (3 camellos) y el tercero la sexta parte (2 camellos). Como 6, 3 y 2 suman 11, el beduino recuperará su camello y todos contentos.

Este es un problema ingenioso que ya me he encontrado en diversos libros de texto allá por los Matemares. Todo parece encajar de forma casi mágica: al principio tenemos 11 camellos, de los cuales no se puede tomar ni la mitad, ni la cuarta ni la sexta parte, luego la última voluntad del jeque no se puede cumplir. Pero luego se le añade un camello, tenemos 12, (12 es divisible entre 2, 4 y 6), ahora sí podemos tomar la mitad, 6, la cuarta parte, 3, y la sexta parte, 2, y una vez entregados los camellos a los hijos, sobra uno, que se le devuelve al beduino que lo puso. Qué bien.

Sin embargo, que yo sepa, nadie se entretiene en contar la segunda parte de la historia.

Después del reparto, aparece el notario para dar fe de que todo se ha hecho según la voluntad del fallecido. Pero al hacer las comprobaciones, resulta que el hijo mayor se ha llevado 6 de los 11 camellos, luego no se ha llevado la mitad, sino más de la mitad. El segundo se ha llevado 3 de los 11 camellos, más de la cuarta parte, y el tercero se ha llevado 2 de los 11, más de la sexta parte.

Es decir, el reparto no se está haciendo conforme a la voluntad del padre, y el notario se niega a aceptar tal reparto de la herencia. Los hijos entonces miran con ojos acusadores al sabio beduino y le exigen una solución para salir del atolladero, y el beduino, lamentándose internamente de haberse entrometido en asuntos tan delicados, le explica al notario:

-Sí, tiene usted razón, los hijos, en realidad, no se están llevando lo estipulado, pero también es cierto que su padre, el jeque, ya de entrada hizo un mal reparto de la herencia.

-¿Qué quiere decir usted con eso? -pregunta el notario.

-Al conceder la mitad, la cuarta parte y la sexta parte, no repartió la herencia completa. Si sumamos 1/2 + 1/4 + 1/6 obtenemos 11/12, es decir, no obtenemos 12/12, la unidad. Estrictamente hablando, el fallecido dejó una parte, 1/12 sin repartir.

-Bueno, eso no es asunto mío. En cualquier caso, si el fallecido deja algo sin legarlo a sus hijos, debe pasar a propiedad del Estado, y será confiscado por la Hacienda Pública.

En eso comenta el hijo mayor:

-Pero el reparto había salido bien añadiendo el camello número 12.

-¿Qué camello?

-Éste de aquí.

-Puede haber una solución -dice el notario-, si este camello que hay aquí forma también parte de la herencia de su padre, entonces serían 12 camellos, 6 serían para el mayor de ustedes, 3 para el segundo hermano, 2 para el tercer hermano, y el camello restante, que el jeque no ha legado a nadie, quedaría en propiedad de la Hacienda Pública.

-¡De acuerdo! -contestan los tres hermanos al unísono.

-¡Nada de eso! -grita en ese momento el beduino-. Este camello es mío, y no es del jeque ni quiero que se lo lleve Hacienda...

Y tras estas intervenciones se inicia una discusión interminable y acalorada entre los tres herederos oportunistas, el estricto notario y el beduino metomentodo, discusión de la que finalmente no parece que vaya a salir nada bueno...

Para concluir: creo que se nota que la segunda parte de la historia es producto de la imaginación. Nunca me ha convencido del todo el problema del jeque moribundo y sus camellos, y desde que lo descubrí me pareció un enunciado tramposo. Creo, simplemente que la herencia está mal repartida en origen y en final, y considero que el jeque, en lugar de ponerse a jugar con fracciones que claramente no domina, debería haber sido concreto al legar los camellos a cada uno de sus retoños.

Pasatiempos en los Matemares

Cuaderno de bitácora: Como no tenemos demasiada tarea, pues el tiempo es bueno y el viento sopla flojo, he permitido a mi tripulación que dediquen algunos ratos a los pasatiempos. El más popular, por supuesto, sigue siendo el Sudoku, que como ya sabe casi todo el mundo, consiste en rellenar el tablero con las cifras del 1 al 9 de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las cifras (sin repetirse, ya que si tienen que estar las nueve cifras en nueve casillas, no puede repetirse ninguna).

Algunos de los más aventajados se han atrevido con el Kakuro, en el que usando las cifras del 1 al 9 hay que componer horizontal o verticalmente la suma que se indica en cada apartado, sin que se repitan las cifras en la suma. Así, si dos casillas suman 4, las cifras serán 1 y 3, ó 3 y 1, pero nunca 2 y 2. Para ir entendiendo cómo va conviene empezar por un kakuro muy fácil:

Los que tienen un gusto más artístico se entretienen con lo que se ha llamado Puzzle Japonés, Nonograma o Griddler: hay que rellenar las casillas de una cuadrícula, unas irán de negro y otras de blanco, y para saber cuáles hay que rellenar, por filas y por columnas se indican con números los grupos de casillas negras seguidas, sabiendo que entre cada grupo hay una o más casillas blancas. Es fácil resolver uno que al final muestra la imagen de un querido actor mexicano:

Me parece haber escuchado el grito de las gaviotas. Nos estamos acercando a tierra. Intuyo que pronto empezará una aventura que nos ha de tener ocupados varias semanas.

Notas: El Sudoku está realizado por un programa de Oak Systems.
El Kakuro está extraído del libro Kakuro, de Mark Huckvale, Ediciones B, colección byblos. Este libro es muy recomendable a todo el que le gusten los kakuros.
Para información sobre Puzzles Japoneses se puede visitar la página de Zugarto Ediciones; los puzzles japoneses aparecen en su publicación Pictologic.
Es muy recomendable también la página Griddlers, llena de pasatiempos.

Inicio de un periplo

Cuaderno de bitácora: Empezamos hoy un viaje con viento favorable para explorar los siete mares de las Ciencias Exactas. La tripulación se haya contenta, y las bodegas limpias, vacías y preparadas para guardar todos los tesoros que podamos encontrar por el camino.

Ya abandonamos nuestro puerto, la hermosa y joven ciudad de doDK, todavía en construcción, donde las gentes pioneras se afanan en levantar una gran metrópoli de investigación numérica.

Después de que el barco haya zarpado, me he recluido en el camarote para estudiar los mapas y cartas de navegación. ¡Hay tanto por descubrir ahí afuera!

Es el primer viaje que hago como capitán de navío. Durante años trabajé de grumete, de marinero, de primer oficial, y por fin he conseguido tener mi propio barco. Recuerdo mucho de los periplos anteriores, pero ya es hora de que empiece a explorar con libertad todos los lugares que me apetezcan, algunos ya conocidos, otros todavía incógnitos.

En uno de mis viajes me presentaron al intrépido navegante matemático Martin Gardner. Me viene a la memoria una de las muchas cosas que me contó. Se trataba de un problema con cerillas [Martin Gardner, en su libro Circo Matemático, Alianza Editorial]; sobre la mesa del camarote dispuso cerillas en la forma en que aparece en la imagen:

Martin Gardner me preguntó cómo se podía quitar once cerillas para que quedara seis. Tras mucho pensar, descubrí la solución.