Puzle de papiroflexia: Un marco para cada retrato

Cuaderno de bitácora: buscando nuevos retos de papiroflexia y construcciones en papel para los grumetes del Barco Escuela, hemos encontrado este puzle en uno de los libros del genial divulgador Martin Gardner. De él hemos hecho una actualización y adaptación.

En primer lugar debemos preparar un cuadrado de papel y lo dividimos en una cuadrícula 3×3. Dibujamos o imprimimos dos marcos y dos retratos, tal y como se aprecia en las ilustraciones:

Figura 1. Esta es la parte delantera de la hoja. Se ven los dos marcos a la izquierda, y la cara del gatito a la derecha. La zona gris dentro de los marcos hay que recortarla, de manera que nos queden dos ventanas.

Figura 2. Esta es la parte trasera de la hoja.

El juego consiste en doblar el papel siguiendo las líneas de puntos, de forma que quede totalmente plegado, y que por un lado se vea uno de los marcos sobre uno de los retratos, y por el otro lado el otro marco sobre el otro retrato.

Para ver todo el proceso, así como la solución, podemos consultar el vídeo siguiente:

https://youtu.be/N5LScXZ_GaA

Otra propiedad del folio A4

Cuaderno de bitácora: un día de esos de matenavegación se nos ocurrió una idea que ha tenido un resultado interesante y que nos ha permitido descubrir otra propiedad que tienen las proporciones de un folio A4. La idea surge del siguiente problema:

Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 1. Queremos inscribir un rectángulo dentro del cuadrado, de forma que el eje mayor del rectángulo (pasa por el centro y es paralelo a los lados más largos) coincida con una de las diagonales del cuadrado, y los cuatro vértices del rectángulo estén sobre los lados del cuadrado. Si el lado mayor del rectángulo también mide 1, ¿cuánto mide el lado menor?

La situación es como se ve en el gráfico.

 

El cuadrado es ABCD, de lado 1, el rectángulo IJKH está inscrito en el cuadrado, su eje mayor LM coincide con la diagonal del cuadrado AC. Si el lado mayor del rectángulo, HK, mide también 1, ¿cuánto mide el lado menor IH?

El lector puede intentar resolver el problema, que no es difícil. Nosotros lo resolvemos a continuación.

 

Primero nos fijamos en el triángulo HBK. Se trata de un triángulo isósceles rectángulo, cuya hipotenusa mide 1. Es muy sencillo calcular la longitud de los catetos HB y BK, pues ambos son iguales. Aplicamos el teorema de Pitágoras:

 

 

De aquí se deduce que

Como AIH es un triángulo rectángulo isósceles, AH = AI, entonces nuevamente aplicando el teorema de Pitágoras, en este caso podemos calcular la hipotenusa, IH = x.

 

 

Ya tenemos el valor de la x. Pues bien, si nos fijamos, resulta que juntos el cuadrado de lado 1 y el rectángulo de lados 1 y raíz de 2 menos 1 coinciden en las proporciones de un folio A4. (Véase La raíz cuadrada de 2 en un folio A4)

Proporciones en un folio A4 y en el formato DIN.

 

En conclusión, si tomamos un folio A4, y lo dividimos en un cuadrado y un rectángulo, este último se puede inscribir diagonalmente en el cuadrado. Sugiero al lector que tome un folio y haga la comprobación. A continuación incluimos algunas fotos con el proceso.

Tomamos un folio A4; recordemos que sus lados están en proporción √2:1.

Doblamos en diagonal, haciendo coincidir el lado menor sobre el lado mayor.

Cortamos o separamos el rectángulo sobrante.

Desdoblamos el cuadrado y doblamos el rectángulo por su eje mayor.

Si hacemos coincidir el eje mayor del rectángulo sobre la diagonal del cuadrado veremos que las esquinas del rectángulo coinciden perfectamente sobre los lados del cuadrado, sin quedarse cortas ni sobresalir. Esto solo ocurre cuando partimos de un rectángulo que, como el folio A4, tenga unas proporciones √2:1.

También se puede consultar esta misma construcción en el vídeo: https://youtu.be/x-HMCKHOIVs

El vuelo del Matenavegante

Cuaderno de bitácora: usando nuestros nuevos conocimientos de papiroflexia matemática, nos hemos embarcado en el diseño de un nuevo avión de papel. Hemos empleado en él la construcción del ángulo de 60 grados que nos permite obtener triángulos equiláteros y hexágonos. El desarrollo se ha visto pronto coronado con el éxito. El resultado ha sido un elegante avión planeador, al que hemos bautizado, como no podía ser menos, con el nombre de el Matenavegante.

Veamos los pasos de nuestra construcción:

Figura 1. Partimos de un folio A4 normal.

Figura 2. Lo doblamos por la mitad a lo largo.

Figura 3. Aquí viene el doblez clave: tomamos una de las esquinas superiores y la llevamos a la línea de la mitad del folio, señalada por el doblez, mientras procuramos que la diagonal formada parta exactamente desde la otra esquina superior.

Figura 4. Con la otra esquina hacemos el mismo doblez. Con estos dobleces conseguimos ángulos de 60º exactos.

Figura 5. Juntamos las dos esquinas superiores en el medio y al hacerloel papel se levanta de forma natural en el centro, formando un pico.

Figura 6. Aplastamos ese pico de forma que nos quede un pequeño triángulo equilátero en la parte superior, bien centrado respecto al medio del folio.

Figura 7. Damos la vuelta al papel y lo doblamos desde arriba en el centro, llevando un lado superior sobre la mitad del folio.

Figura 8. Con el otro lado hacemos lo mismo.

Figura 9. Le damos la vuelta otra vez al papel y doblamos la punta hasta que llegue a la base del pequeño triángulo superior (en la imagen no se ve que llegue a la base, pero es por la perspectiva).

Figura 10. Le damos la vuelta al doblez de la punta y lo ponemos hacia el otro lado. Este doblez es para que el avión tenga una punta sólida y con peso, que lo guíe en su vuelo.

Figura 11. Es el momento de definir las alas: doblamos el avión sobre sí mismo por la mitad.

Figura 12. Hacemos un doblez paralelo a la mitad del folio, a lo largo de un ala, de forma que nos encaje con el doblez de la punta del avión. Este doblez lo repetimos en el otro ala. Ya tenemos el cuerpo central.

Figura 13. Es el momento de completar el diseño con un par de alerones al final de cada ala. Como se ve en la imagen, el doblez no es paralelo al cuerpo del avión, sino que se cierra un poco en la parte trasera. Esto es para que el avión tienda a ir hacia arriba, en lugar de hacia abajo. Es cuestión de experimentar con el vuelo para encontrar el alerón ideal.

Figura 14. Aquí vemos el avión terminado.

Figura 15. Podemos levantar la zona delantera imitando a "la cabina del piloto". Sin embargo esta posición es más bien estética; parece tener un vuelo mucho más estable si se mantiene aplastada sobre las alas.

Figura 16. Una vista delantera del avión.

Figura 17. ¡El Matenavegante ya está terminado y listo para despegar!

Notas: el diseño que acabamos de compartir es propio, es decir, no lo hemos tomado de ningún libro ni de ninguna otra fuente, sino que lo hemos inventado nosotros. Ignoramos si alguien más ha llegado a él por su propia inventiva. Este caso no sería de extrañar, pues en matemáticas y en otras muchas disciplinas es bastante normal que las ideas aparezcan en varias mentes de forma independiente.

Como se puede apreciar al ir construyendo el avión, aparecen figuras geométricas interesantes, como triángulos equiláteros de varios tamaños y ángulos de 30º y 60º por doquier. El vuelo del avión es un planeo rápido y estable, para ello hay que ajustar bien los dobleces, los alerones y mantener "la cabina" baja, aplastada sobre el cuerpo del avión.

La raíz cuadrada de 2 en un folio A4

¿Tiene usted a mano un folio A4? Es indiferente si está en blanco o ya está escrito, pues con él vamos a hacer un par de dobleces. Tome una esquina y doble el papel a lo largo de una diagonal que parta de una esquina, hasta hacer coincidir el lado corto del folio con el lado largo. El folio le debe haber quedado como en la fotografía.

Figura 1. Tomemos un folio A4.

Figura 2. Doblamos a lo largo de una diagonal que parte exactamente de una esquina y hacemos coincidir el lado corto del folio sobre el lado largo.

Se nos ha formado un triángulo rectángulo isósceles (la mitad de un cuadrado), ya que el ángulo inferior izquierdo es justamente de 45º. Si tomamos los dos catetos iguales de este triángulo como unidad, es decir, suponemos que cada uno vale 1, entonces, aplicando la fórmula del teorema de Pitágoras, la hipotenusa vale exactamente la raíz cuadrada de 2.

Figura 3. Tomando el cateto como unidad, la hipotenusa vale exactamente raíz cuadrada de 2.

Debemos darnos cuenta, bien mediante un compás o doblando de nuevo en diagonal, que la longitud de la hipotenusa coincide con el largo del folio A4.

Figura 4. En un folio A4 la hipotenusa del triángulo que hemos obtenido coincide con el largo del folio.

 

Figura 5. Si doblamos otra vez en diagonal, trayendo el vértice superior del triángulo sobre la esquina inferior derecha del folio, veremos que los lados coinciden.

Figura 6. Una vez doblado vemos que ambas longitudes son iguales.

Esto significa que el folio A4 tiene unas proporciones que no han sido calculadas al azar, sino que han sido especialmente tomadas para que tenga esta propiedad. De hecho, esa es la base de la proporción del folio A4: los lados del folio están en proporción de 1 a raíz cuadrada de 2.

Cuando se cumple esta proporción, también se cumple otra propiedad: si dividimos un folio por la mitad, el rectángulo resultante es semejante al del folio, es decir, conserva la misma proporción. A esta hoja más pequeña se la llama A5.

Figura 7. Si doblamos un folio por la mitad, podemos comprobar que cada una de las dos mitades del folio cumplen la misma proporción.

Figura 8. Seguimos los mismos pasos, doblando en diagonal como se ve en la imagen y obteniendo un nuevo triángulo rectángulo isósceles.

Figura 9. Volvemos a doblar en diagonal y comprobamos efectivamente que las longitudes de la hipotenusa y del largo del semifolio vuelven a coincidir.

Figura 10. Podemos dar la vuelta al papel y hacer lo mismo por el otro lado.

Figura 11. Terminamos los dobleces y...

Figura 12. ...¡Hemos obtenido un avión de papel! Su diseño es de lo más simple que se puede realizar.

Papiroflexia Matemática: El Cubo Inflable

La papiroflexia, también llamado origami, se ha convertido en un auténtico arte manual en el que a través de la manipulación de piezas de papel se consiguen construir modelos que van desde los sencillos aviones de papel hasta las más complejas estructuras geométricas.

Como quiera que nuestro interés principal son las matemáticas, estamos sacando varios artículos y entradas sobre modelos de papiroflexia relacionados con objetos matemáticos. Basta hacer una sencilla y rápida búsqueda en la red para encontrar innumerables páginas, en especial vídeos demostrativos de construcciones con papiroflexia, y no son menos abundantes las construcciones de poliedros y figuras geométricas muy diversas. Pero siempre nos han atraído las construcciones que requieren conocimientos y manipulaciones simples y conducen a resultados sólidamente satisfactorios, descartando aquellas construcciones que son, o demasiado simplonas y vacías, que ofrecen resultados mediocres, o aquellas que son enormemente dificultosas, y pueden desmotivar a los matenavegantes que se inician en el arte de doblar papel.

La construcción que traemos en este artículo es una de esas que, siendo sencillas, ofrecen un resultado sorprendente. Se le puede dar el nombre de Cubo Inflable.

Partimos de una hoja cuadrada de papel, puede ser papel especial de origami, o puede ser de un simple folio de tamaño A4. Veamos en la secuencia de fotografías los pasos que se dan para construir nuestro mágico cubo-globo.

Figura 1.
Si partimos de un folio A4, conseguimos un cuadrado por el método tradicional: doblamos en diagonal desde una esquina y recortamos el rectángulo lateral que nos sobra.

Figura 2.
Una vez que tenemos el cuadrado, hacemos cuatro dobleces, por la mitad en horizontal y vertical, y las dos diagonales principales.

Figura 3.
Doblamos el cuadrado en horizontal. Trasladamos la esquina inferior derecha hacia la esquina inferior izquierda, ahuecando el papel y formando un triángulo.

Figura 4.
Éste es el resultado del movimiento anterior.

Figura 5.
Damos la vuelta al papel y hacemos lo mismo: trasladamos la esquina inferior derecha hacia la esquina inferior izquierda, formando otro triángulo semejante.

Figura 6.
Esta es la construcción resultante, dos triángulos isósceles unidos.

Figura 7.
Levantamos las dos esquinas inferiores hacia arriba, llevándolas al vértice superior.

Figura 8.
Damos la vuelta al papel y llevamos las otras dos esquinas inferiores al vértice superior. Nos queda este rombo.

Figura 9.
Se doblan las puntas laterales y se llevan al centro del rombo (aunque en la imagen no lo parece porque están un poco desdobladas, las puntas laterales deben llegar hasta el centro de la figura).

Figura 10.
Se le da la vuelta al papel y se hace lo mismo por la otra cara.

Figura 11.
Las puntas superiores se doblan también hacia el centro de la figura. Por el otro lado también se hace el mismo doblez.

Figura 12.
Se introducen los últimos triángulos formados dentro del bolsillo que forman los triángulos laterales, como se ve en la imagen. La esquina superior marcada es la que tiene que introducirse en el bolsillo, junto a todo el triángulo, que una vez doblado quedará completamente oculto.

Figura 13.
Ya está terminada la figura y lo único que falta es soplar por la abertura inferior.

Figura 14.
Al soplar debemos tener paciencia y podemos ir ayudando al papel a tomar forma, hasta que poco a poco se va hinchando. El mismo vapor de agua de nuestro aliento lo va humedeciendo, lo que ayuda a que se vuelva más moldeable.

Figura 15.
El cubo va tomando forma.

Figura 16.
Otra vista del cubo. Una vez que está inflado, se le puede ir dando forma a las aristas, para que deje de tener el aspecto de "globo" y adquiera un aspecto más poliédrico.

Figura 17.
Aquí vemos el resultado final.

Figura 18.
Aquí vemos otros dos cubos de distintos tamaños. El grande está hecho de un folio A4 azul y el pequeño se ha hecho con un papelito de los tacos de notas, de unos 8 centímetros de lado.

Para finalizar esta entrada, dejo la siguiente cuestión (que no he resuelto todavía), por si algún lector quiere enfrentarse a ella: ¿Qué proporción hay entre el lado del cuadrado de papel que hemos utilizado y el lado del cubo?