Una moneda para un sorteo

Cuaderno de bitácora: en relación con la situación que se dio en cierto colegio de Granada, en la que se explica lo erróneo del método empleado por algunos Directores para realizar sorteos de plazas escolares, podemos reflexionar qué se puede necesitar para hacer un sorteo probabilísticamente justo con los mínimos elementos posibles.

Cuando se estudia probabilidad, ¿cuál es el ejemplo más simple que se pone de experimento aleatorio? Suele ser el lanzamiento de una moneda. Cuando echamos una moneda al aire, al caer puede quedar expuesta una de sus dos caras (cara o cruz), tenemos, por tanto, dos sucesos elementales posibles C = cara, X = cruz.

Pero repitiendo el lanzamiento, obtenemos combinaciones de sucesos elementales que nos pueden ayudar, por ejemplo, a realizar un sorteo justo con la ayuda de tan solo una moneda.

Tomemos el ejemplo que tratábamos en el caso del sorteo de las plazas escolares. Se trata de elegir aleatoriamente un número entre 111 posibilidades. ¿Se puede hacer con la exclusiva ayuda de una moneda?

La idea es ir tomando el conjunto de números, y dividirlo en dos partes iguales, asignar C a una de las partes y X a la otra, y luego lanzar la moneda para quedarnos con una de las mitades. A esta mitad la dividimos a su vez en dos partes y volvemos a asignar C a una parte, y X a la otra, y así sucesivamente, hasta que nos quedemos solamente con un número, que será el número elegido.

Pero 111 no se puede dividir en dos conjuntos iguales, porque es un número impar, y luego debemos seguir dividiendo por dos varias veces.

Necesitamos utilizar potencias de dos; las potencias de dos con exponente un número entero positivo son: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, etc.

Para el ejemplo que tenemos nos basta tomar 128. Cogemos pues 128 números. Como en realidad los alumnos son 111, del 112 al 128 los números corresponden a alumnos ficticios, o por decirlo de otra manera, si al final del sorteo tenemos la mala suerte de que es elegido uno de estos alumnos ficticios, el sorteo queda anulado y se vuelve a repetir desde el principio.

Tomamos estos 128 números, los dividimos en dos partes iguales de 64 cada una, del 1 al 64 y del 65 al 128. Si sale C, nos quedaremos con la primera mitad, si sale X con la segunda.

Lanzamos la moneda, nos sale, por ejemplo, X, y nos quedamos con los números del 65 al 128 (son 64 números en total). Volvemos a dividir el grupo en dos partes iguales, de 32 números; si sale C nos quedamos con los números del 65 al 96, si sale X, con los números del 97 al 128.

Lanzamos la moneda y nos sale en este segundo intento X otra vez, nos quedamos con los números del 97 al 128.

Así podemos seguir: dividimos el grupo en dos mitades, del 97 al 112, del 113 al 128; lanzamos la moneda y nos sale C, nos quedamos con la primera mitad.

Dividimos otra vez: del 97 al 104, del 105 al 112; lanzamos y sale C, nos quedamos con la primera mitad.

Dividimos: del 97 al 100, del 101 al 104; lanzamos y sale X.

Dividimos: del 101 al 102, del 103 al 104; lanzamos y sale C.

Ahora nos quedan solo dos números, el 101 y el 102; lanzamos y sale C. Nuestro número elegido es el 101.

La sucesión XXCCXCC nos ha llevado al número 101.

Cualquier matenavegante un poco curtido está observando que este método se relaciona íntimamente con los números binarios. En efecto, la sucesión XXCCXCC se puede trasladar de forma natural a número binario con sólo sustituir las X por 1 y las C por 0.

XXCCXCC → 1100100

Sin embargo, si convertimos nuestro número binario en número decimal, parece que las cuentas no coinciden:

1100100 = 1 · 2⁶ + 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 0 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 0 · 2⁰ = 64 + 32 + 4 = 100.

Sin embargo el número elegido no es 100, sino 101, ¿por qué esta discrepancia?

Si nosotros tomamos los números binarios de siete cifras desde 0000000 a 1111111, en sistema decimal estos números representan del 0 al 127. En nuestro sorteo hemos considerado los números del 1 al 128. Es decir, es como si tomáramos la lista de números binarios de siete cifras y la desplazáramos un lugar, por lo tanto la conversión en caras y cruces a números binarios debe hacerse sumando una unidad al resultado:

XXCCXCC = 1100100 + 1 = 100 + 1 = 101

Con este ejemplo podemos ver que se puede realizar un sorteo justo aunque no se disponga más que de una moneda. Siempre que la moneda no esté trucada.

Si usted encarga menos, nosotros le cobramos más

Cuaderno de bitácora: el otro día fuimos a encargar unas fotos y nos volvió a suceder una experiencia sencilla pero económicamente desconcertante, al comprobar que en ciertos casos, por menos fotos hay que pagar más dinero.

La tienda de fotos tenía una serie de tarifas para las copias. No recuerdo exactamente los precios, pero para hacernos una idea, aunque no coincidan con la realidad, vamos a suponer que los precios son los siguientes:

- de 1 a 9 fotos, 35 céntimos cada foto

- de 10 a 99 fotos, 28 céntimos cada foto

- más de 100, 26 céntimos cada foto.

Este tipo de ofertas es bastante corriente, y cuando uno de nosotros las aprovecha, hay que tener en cuenta los "saltos" que se dan entre un tramo de precios y el siguiente.

Así, por ejemplo, si revelamos 9 fotos, tendremos que pagar 9 · 0,35 = 3,15 euros, y si son 8 fotos, entonces tenemos que pagar 8 · 0,35 = 2,80 euros. Pero si revelamos 10 fotos, entonces serán 10 · 0,28 = 2,80 euros, porque ya estamos en otro tramo de precios, luego encargar 8 ó 9 fotos no merece la pena: o encargamos 7 o directamente pasamos ya a 10, porque nos va a costar lo mismo o incluso más barato.

Lo mismo ocurre con el siguiente tramo: si encargamos 99 fotos, entonces 99 · 0,28 = 27,72 euros, mientras que 100 fotos nos cuestan 100 · 0,26 = 26 euros. Realmente basta comparar 26/0,28 = 92,8571429 y nos damos cuenta que a partir de 93 fotos, al multiplicar por 0,28 nos sale ya superior a 26 euros, luego podemos encargar 92 fotos, pero si queremos más ya nos interesa pedir 100 directamente y nos saldrá más barato que encargar 93, 94, etc.

En relación a esto, recientemente salió publicado un artículo en el periódico Ideal con una recopilación de ofertas y rebajas extrañas, de cantidades mínimas, algunas con rebajas del 0% o incluso otras en las que la oferta es directamente más cara que el producto normal. Abajo incluimos algunas de las fotos.

La Esperanza de Vida

Recientemente escuchamos a una persona explicar que en cierto país había una esperanza de vida de 35 años. "Observen ustedes", dijo, "nadie pasaba de los 35 años, todo el mundo se moría sobre esa edad".

Este comentario es algo muy común, y cualquier persona que lo oye está de acuerdo. Mecánicamente, nos imaginamos que en ese país nadie llega a anciano y que los habitantes, cuando se acercan a los treinta años de edad, ya están envejecidos o acosados por enfermedades que acabarán con ellos en muy poco tiempo.

Pero no es así. El término esperanza de vida es un término matemático, probabilístico. La esperanza es la media probabilística de las edades que se espera que alcancen los habitantes de una población. Es una media aritmética, y como media, es lógico pensar que hay personas que alcanzan menos edad y otras que alcanzan más edad.

Uno de los problemas fundamentales en los países con una sanidad subdesarrollada es la alta mortalidad infantil. Un gran porcentaje de niños mueren en sus primeros años de vida porque no son atendidos adecuadamente, o bien por las malas condiciones higiénicas o de alimentación. También las mujeres que dan a luz corren muchos riesgos de fallecer en el parto o a consecuencia de problemas derivados de él. Este factor de por sí disminuye mucho la esperanza de vida. También influyen, evidentemente, las guerras, en las que fallecen muchas personas jóvenes, sobre todo soldados combatientes; igualmente epidemias, hambrunas, etc.

Pero si descartamos estos factores mencionados y nos quedamos solamente con la mortalidad infantil, podemos comprobar que influye enormemente en la esperanza de vida. Supongamos que una pareja tiene cuatro hijos. Tres de ellos mueren a la edad de 1 año. El cuarto sobrevive a la infancia y su vida se alarga hasta los 97 años. Si hacemos la media entre las edades:

1 + 1 + 1 + 97 = 100;

100 : 4 = 25

Resulta que la esperanza de vida de los hijos de dicha pareja es de 25 años. Pero ninguno de ellos ha muerto a los 25 años, tan solo es una media entre las cuatro edades. El problema está en que tres no han podido superar el primer año de vida, pero el que sí superó la infancia ha llegado a anciano y ha fallecido con edad muy avanzada.

Con esto se demuestra que la mortalidad infantil es un factor tremendamente importante en el cálculo de la esperanza de vida. Si en el ejemplo anterior hubieran dos niños que sobrevivieran al primer año de vida y alcanzaran ambos la edad de 97 años, entonces:

1 + 1 + 97 + 97 = 196;

196 : 4 = 49

La esperanza salta de golpe a 49 años. Si fueran tres los que sobreviven:

1 + 97 + 97 + 97 = 292;

292 : 4 = 73

Ahora tenemos una esperanza de 73 años. Obsérvese que en ninguno de los casos puestos como ejemplo la esperanza tiene relación con las edades reales. Su dato, la media de las edades, no nos da una idea de lo que realmente está pasando. En el último ejemplo se puede observar también que basta que uno de los niños muera en el primer año de vida para que la esperanza de vida, 73 años, disminuya (en más de veinte años) respecto a la edad real, 97 años, que alcanzan los otros tres.

Podemos concluir, por tanto, que en cuanto disminuye la mortalidad infantil, la esperanza de vida de la población se dispara. Pero no porque de repente todo el mundo vaya a vivir más años, sino porque la media de edades alcanzadas se ve muy afectada. Lo que ocurre en realidad es que las personas tienen menos probabilidades de morir en la infancia, pero aquellas que sobreviven a la infancia llegarán a ancianos igual que antes, y puede que mueran de media a la misma edad.

El Caso del Sorteo Injusto

Cuaderno de bitácora: aquí en España, los padres se encuentran con algunos problemas para que sus hijos ingresen en el colegio preferido por ellos. En algunos colegios la demanda de plazas es superior a la oferta: hay muchos más niños que solicitan ingresar al colegio que plazas disponibles. Para poder acceder a ellos las familias son puntuadas con un baremo por la situación familiar, el domicilio, el nivel de ingresos económicos, etc. De ese modo los niños con más puntos tienen preferencia para entrar en los colegios que solicitan, pero aún así, se dan muchos casos en los que los colegios siguen teniendo una demanda excesiva y tienen que recurrir a un sorteo para asignar las plazas disponibles.

Así le ha ocurrido a un compañero oficial del Barco Escuela. Su hija está en edad de ingresar en el colegio para la etapa Infantil, y en el centro que sus padres han elegido aquí en Granada había 50 plazas disponibles, mientras que el número de solicitantes ascendía a 111.

El sorteo para asignar las plazas se celebró hará cinco meses, y a la hija de mi compañero no le tocó. Días después de que se hiciera el sorteo, habló conmigo y me expresó ciertas dudas que tenía sobre cómo se había realizado. Me explicó que para seleccionar a los niños se les había ordenado por orden alfabético y se les había asignado un número, del 1 al 111. A la hija de mi compañero le dieron el 78. Después se sorteó uno de los números y una dirección para contar, ascendente o descendente.

Por ejemplo, si sale el número 40 y luego se sortea una dirección y sale ascendente, entonces los alumnos que ingresarían en el colegio serían los que tienen los números 40, 41, 42, …, 88 y 89, es decir, se cuentan cincuenta niños a partir del que ha salido, en sentido ascendente. Si hubiera salido el 40 en sentido descendente, los niños serían los números 40, 39, 38, …, 2, 1, 111, 110, 109, ... , 103 y 102. Cuando se termina la lista en sentido ascendente o descendente, se supone que se continúa cíclicamente por el otro extremo.

Hasta aquí, todo es correcto. El problema surgió al sortear el número que sería el punto de partida para el conteo. En lugar de tomar, por ejemplo, 111 bolas numeradas, introducirlas en una bolsa o en un bombo y sacar una al azar, a los responsables no se les ocurrió otra cosa que sortear la centena, luego la decena y luego la unidad.

Así dijeron: "primero sorteamos 0 ó 1, y saldrá menos de cien o más de cien". (Al sortear, salió el 1.) "Ya tenemos un número de cien en adelante. Luego, como los mayores de cien son del 100 al 111, sorteamos la decena: también 0 ó 1 solamente". (Salió el 1 también.) "Ya sólo queda sortear entre el 110 y el 111, otra vez elegimos entre 0 y 1". (Volvió a salir el 1.) Salió como número elegido, por tanto, el 111. Se sorteó luego el sentido, salió ascendente, y los niños seleccionados para las plazas disponibles fueron los que tenían los números 111, 1, 2, 3, 4, …, 49.

Muy mal hecho. Este sorteo es totalmente injusto. No asigna las mismas probabilidades de salir a cada niño. Es muy fácil entender, por ejemplo, que al sortear la centena se están dando las mismas probabilidades a dos conjuntos diferentes: los 99 primeros niños (del 1 al 99), cuya centena es 0, y los 12 niños siguientes (del 100 al 111) cuya centena es 1. Es mucho más ventajoso estar en el segundo grupo, pues hay menos competidores. Lo mismo ocurre luego con la decena, pues tenemos dos grupos diferentes también, uno de 10 niños (del 100 al 109) y otro de sólo 2 (110 y 111). Así tenemos que, de entrada, números como el 78 tienen una probabilidad entre 200 de salir (un 0’5%), mientras que el 110 ó el 111 tienen una probabilidad de salir de una entre ocho (12’5%), una probabilidad 25 veces superior. De esa forma, el sorteo está viciado desde el origen, pues luego al contar cincuenta ya no se tienen las mismas probabilidades.

A mi compañero también le recordé que hubo un sorteo parecido hace unos años con los reclutas de la mili (el servicio militar obligatorio que existió en España hasta hace poco). Al igual que en el colegio del que estamos hablando, las plazas en el ejército para hacer la mili eran ese año menos del número de reclutas que se presentaban. Había unos 160.000 reclutas para unas 70.000 plazas (más o menos, según lo que recuerdo). Se numeró a los reclutas, puede que por orden alfabético, y se sorteó un número, y a partir de él se contaban los 70.000.

El problema estuvo en que el número se sorteó con los bombos de la lotería, pero éstos sólo contienen 100.000 números, con lo que en primer lugar se sorteó la centena de millar 0 ó 1: si salía 0, el número que saliera en el bombo (del 00000 al 99999) sería el válido, pero si salía 1, sólo se tendrían en cuenta del 00000 al 60000 y al número que saliera en el bombo había que ponerle un 1 delante. Así se hizo, pero luego salió el caso en la prensa y se explicaba que había sido un sorteo injusto, y se incluía un estudio probabilístico de las posibilidades de salir de todos los números. No recuerdo si el sorteo fue recurrido por los que sí fueron seleccionados, porque a la mili no quería ir nadie que fuera lo suficientemente sensato, al contrario de nuestro colegio, en el que lo que interesa es conseguir la plaza.

Me ofrecí a hacer un estudio probabilístico completo del sorteo tal y como se había realizado, para demostrar que con él, los niños tenían distintas probabilidades de entrar. En efecto, me salió, por ejemplo, que la hija de mi compañero tenía una probabilidad del 47% aproximadamente, la misma que tenían bastantes otros niños, pero en otros la probabilidad oscilaba desde una máxima, un 53% para el 110 y el 111, hasta una mínima, de un 26% para el 50. Estuve entretenido un par de horas haciendo cálculos laboriosos, trabajando en este problema que me parecía tan interesante, y luego le mandé el resultado a mi compañero para que pudiera presentar la reclamación correspondiente. Así lo hizo, y después de varias semanas sin noticias, pareció que la Delegación de Educación de Granada estaba teniendo en cuenta los argumentos y era posible que se repitiera el sorteo.

Todo este caso me parece un ejemplo muy interesante de cómo las matemáticas de un nivel medio pueden ser útiles en situaciones importantes de la vida cotidiana, distintas de la economía, la construcción, el bricolaje y otras más habituales. Sin embargo, si se repitiera el sorteo no quiere decir que la hija de mi compañero fuera a obtener la plaza con seguridad, pero al menos disfrutaría de una nueva oportunidad, y en este caso con un sorteo justo, no como el primero. Habría, sin embargo, padres que sus hijos sí salieron entre los seleccionados y si el sorteo se volviera a hacer, esos niños se quedarían probablemente fuera del colegio. Para ellos sería difícil aceptar nuestra reclamación, pero hay que comprender que la responsabilidad de todo el asunto recae en las personas que organizaron este sorteo, las cuales lo prepararon sin cuidado y con ignorancia de las leyes de probabilidad, haciendo un tratamiento injusto y arbitrario, aunque no fuera esa su intención, de algo tan delicado como el futuro de 111 niños y niñas y sus respectivas familias.

Al cabo de los meses, después de las vacaciones de verano, tras regresar de nuestros respectivos periplos por los templados mares tropicales, mi compañero oficial me ha informado que, desgraciada e inexplicablemente, la Delegación de Educación ha desestimado la reclamación. Para seguir reclamando queda abierta la vía judicial, pero para tomar esta vía se necesita un abogado, un juicio, que, según le han dicho, puede tardar en resolverse ¡de cinco a ocho años!, y que tras el juicio, si se ganara la causa, lo único que se conseguiría es que ¡se repitiera el sorteo! Repetir un sorteo para ver si una niña entra en un colegio cuando la niña puede estar ya en el instituto, cursando la Secundaria...

Todo este asunto no hace más que dejar un sabor amargo de decepción al enfrentarse con la realidad de las matemáticas en la vida cotidiana, y descubrir la ignorancia de las leyes básicas de la probabilidad entre personas con puestos sociales importantes, como los Directores de colegios, la poca importancia que se le da a garantizar que los sorteos sean justos desde la misma Delegación de Educación, y la terrible, espantosa lentitud con la que funcionan a veces los tribunales de justicia y que los convierte finalmente en injustos, sea cual sea el veredicto final.

PD: para todos los interesados en profundizar en el problema, pretendo subir pronto a la red el documento PDF en el que está resuelto y calculadas todas las probabilidades.

Buscando la Combinación del Candado

Cuaderno de bitácora: el otro día me vino a la memoria aquella vez de tantas que regresé al mando de mi nave al renombrado puerto de Hispalis y pasé un buen rato en la cantina charlando con viejos exploradores conocidos mientras degustábamos viandas de tierra adentro. En aquella ocasión de la que hablo, uno de estos exploradores, amigo mío de hace muchos años, del que sé que ya se afincó en el otro hemisferio tras haber dejado varios océanos atrás, me enseñó un objeto que había encontrado en uno de sus viajes y me pidió ayuda para poder darle uso.

El objeto en principio no tenía nada de especial. Era un sencillo candado metálico de combinación, con tres rueditas de números, que se puede abrir girando las rueditas hasta colocar la combinación correcta de dígitos. Nuestro explorador, que había aprendido hacía años a ahorrar hasta el último doblón, quería aprovechar el hallado objeto para asegurar el cierre de una de sus muchas maletas, pero ignoraba la combinación y no imaginaba cómo proceder.

Resultaba indudable que para él, intentar averiguar la combinación quedaba fuera de sus capacidades; aquella tarea se le antojaba casi imposible, digna de un experto ladrón de cajas fuertes, de esos que con un estetoscopio de médico y manos enguantadas se cuelan en las mansiones de los ricos durante las horas de la madrugada y logran abrir las puertas blindadas de las cajas prestando atención al clic-clic de las ruedas de la cerradura. Quizás con ese pensamiento fue que me comentó lo del candado, enseñándomelo, pero cuando lo vi, le dije con seguridad que yo podía encontrar la combinación.

En efecto, así fue. ¿Cómo lo hice? Sentado tranquilamente a la mesa y dejando con indiferencia que mi jarra de zumo de uva se calentara, procedí a colocar las rueditas en el 000, y pulsé para abrir el candado, pero no se abrió, luego las puse en el 001 y volví a pulsar, luego en el 002, y así sucesivamente fui probando, 003, 004, 005 ...

Cuando mi amigo el viejo explorador me vio intentando abrir el candado número a número, me preguntó si aquello no me iba a llevar demasiado tiempo, y su pregunta sonó como una afirmación, porque él estaba convencido de que lo que yo estaba haciendo era del todo inútil, y que me cansaría antes de llegar ni siquiera a acercarme a la solución.

Sin embargo le dije que no se preocupase, y seguí con mi tarea. Para su sorpresa, al cabo de no más de un cuarto de hora, la combinación estaba averiguada (recuerdo que el número era ciento y pico, cerca de doscientos), y el candado, abierto.

Como matenavegante, yo jugaba con ventaja. Sabía que una combinación de tres números no se tarda mucho en averiguar probando cada posibilidad una a una. Si contamos el tiempo, aunque no lo he vuelto a intentar, supongo que se pueden ir probando hasta veinte números por minuto, con lo que en una hora da tiempo de sobra para sacar la combinación, sea la que sea, y probablemente en mucho menos de una hora, como me pasó a mí.

Pero claro, estamos hablando de un candado de tres rueditas. Diferente es si empezamos a probar con candados de cuatro, cinco o más rueditas. Para el de cuatro, la tarea puede alargarse durante horas enteras, y para el de cinco es posible que se tarden días, y así sucesivamente. El candado de sólo tres ruedas es ciertamente asequible.

Como consecuencia, este tipo de candados de tres ruedas deben servir, por tanto, para asegurar objetos que podamos controlar en casi todo momento y de los que no nos separaremos salvo por periodos muy cortos de tiempo (minutos apenas). No resulta inteligente utilizar uno de estos candados para objetos que van a estar solos durante un rato prolongado, al alcance de otras personas que puedan, sin vigilancia, trastear con ellos hasta encontrar la combinación. No son seguros para estos casos, y se debería optar por candados con más ruedas.

Cuando le devolví solucionado el problema, mi viejo amigo explorador me lo agradeció bastante. Ignoro si todavía conserva el candado. La última vez que lo vi fue no hace mucho, en una de las principales ciudades costeras del Extremo Oriente, y en esta ocasión charlamos sobre muchas cosas, pero no nos acordamos de esta anécdota. No sé si leerá esta entrada del blog allá al otro lado del charco, pero cuando nos volvamos a encontrar se la mencionaré por si quiere añadir algún comentario.

Cuatro Dados para un Calendario

Cuaderno de bitácora: en uno de nuestros viajes por Extremo Oriente me encontré en un bazar una serie de figuras de porcelana que representaban los signos del Zodiaco Chino. Recordemos que este zodiaco tiene doce signos, como el occidental, cada uno de ellos representado por un animal, y a diferencia de lo que estamos acostumbrados, cada signo rige un año chino completo, no un mes.

Los animales del zodiaco chino son: rata, búfalo, tigre, conejo, dragón, serpiente, caballo, cabra, mono, gallo, perro y cerdo. Desde el 26 de Enero de 2009 hasta el 13 de Febrero de 2010 estamos en el signo de búfalo. A partir del 14 de Febrero de 2010 entraremos en el de tigre. A cada uno de nosotros le corresponde un animal de la astrología china según su fecha de nacimiento. Hay numerosas páginas para conocer nuestro animal correspondiente; se puede consultar, por ejemplo, la tabla que aparece en el artículo sobre Astrología China en la Wikipedia.

Las figuras de porcelana del bazar que visité, no sólo representaban los animales, sino que además servían de calendario. Sobre cada animal había cuatro dados o pequeños cubos para ir poniendo la fecha de cada día.

El primer dado está dedicado al mes del año. Los dos siguientes al número del día, y el último al día de la semana. Los dados, pequeños hexaedros o cubos, tienen obviamente seis caras, y cada una de ellas se emplea para mostrar la información correspondiente.

Los que han diseñado los dados, lo han hecho de forma que sirvan para cualquier fecha del año. En el dado de los meses se han escrito dos meses por cada cara; es lógico, ya que hay seis caras y los meses son doce. Como se aprecia en la fotografía de la cabrita, en la cara donde aparece AUG (august-agosto), aparece también JUL (july-julio) al revés, luego esa misma cara del dado sirve tanto para julio como para agosto.

El dado de los días de la semana es sencillo; como hay siete días, cada día podrá estar en una cara distinta, salvo una pareja que tendrá que compartir una de las caras, en este caso son el SAT (saturday-sábado) con SUN (sunday-domingo).

Pero el punto interesante, el que me intrigó desde un principio, es cómo organizar los dados de los números. No es la primera vez que veo un calendario de este tipo, y siempre me pregunté cómo es posible, con dos dados, conseguir todos los números del 1 al 31.

No podemos poner los diez dígitos, del 0 al 9, en cada dado, porque sólo tienen seis caras. Tenemos, por tanto, que distribuir los dígitos entre los dos hexaedros. Dado un dígito, lo pondremos en uno de los dados, sólo en uno de ellos, pero hay cifras que necesitan invariablemente estar en los dos.

Veamos, por ejemplo, el 5. Como en un mes no hay día 55, el 5 sólo necesita estar en uno de los dos dados, no en los dos. Pero diferente es el caso del 1 y el 2. El 1 sí tiene que estar en los dos, porque el 11 es uno de los días del mes, y lo mismo pasa con el 22.

Hay otro número que tiene que estar en los dos dados, el 0, ya que se tiene que combinar con todas las demás cifras para representar a los primeros días del mes: 01, 02, 03, 04, etc. Hay una posibilidad no muy elegante que es la de no poner el cero y quedarnos con un solo dado durante los primeros días de cada mes, pero se vería que falta un dado y quedaría un hueco en la cabrita. Así que por razones estéticas y de comodidad, para no estar quitando y poniendo el dado correspondiente, tenemos que poner el cero en ambos dados.

Tenemos entonces que en el primer dado están 0, 1, 2, y nos quedan tres caras sin asignar todavía. En el segundo dado estamos igual, también 0, 1, 2 y con otras tres caras sin asignar. en total hay seis caras sin asignar. Pero ahí llega el problema: en total tenemos seis caras, tres y tres, sin escribir, pero nos quedan siete cifras: 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. ¡Alguien se va a quedar fuera de los dados!

Tomo los dados y los examino. ¿Qué ha hecho el fabricante? En el primer dado ha colocado 0, 1, 2, 3, 4 y 5. En el segundo ha puesto 0, 1, 2, 6, 7 y 8. El 9 se ha quedado fuera. ¿Es que no podemos poner, por ejemplo, la fecha 19? Le empiezo a dar vueltas a los cubitos y entonces me doy cuenta del truco: el 9 se puede conseguir poniendo el 6 al revés.

La clave está entonces en esa sencilla propiedad de nuestras cifras arábigas: el 6 y el 9 son dos símbolos relacionados por un simple giro de 180º. Poniendo en una de las caras un 6 ya tenemos un 9 implícitamente. Si no fuera por esta propiedad, no sería posible representar con dos dados los treinta y un días de un mes. El que diseñó este tipo de calendarios tuvo un golpe de ingenio para conseguirlo.

Luego, pensando en esto de los dos dados y los números que se pueden obtener, me ha surgido la pregunta: ¿cuántos números más, aparte de los del mes del 01 al 31, se pueden conseguir con estos dos dados? Invito al lector a que responda a esta pregunta, y si no la sabe responder o quiere comprobar sus cálculos, puede consultar los comentarios a este artículo, donde próximamente pondré el resultado.

De esta pregunta resulta un problema de combinatoria que no es trivial, pues podríamos hacernos el mismo planteamiento tomando tres dados, cuatro, etc. Me pregunto, por ejemplo, si con tres dados es suficiente para representar del 001 al 365, para así numerar todos los días del año. Mi respuesta intuitiva es decir que no: no veo bastantes combinaciones para cubrir tantos días. Pero no me resulta un problema nada sencillo. Más bien parece un rompecabezas bastante duro.

PD: Con la propiedad del 6 y el 9 tenemos que los números, por ejemplo, 69 y 96 quedan invariables si los giramos 180º. No son los únicos, basta combinar los 6 y los 9 de forma apropiada y tenemos muchos más números con esa propiedad: 6699, 6969, 996966, etc.

Para los que les gusta la astrología, si tomamos 69 y lo giramos unos 90º obtenemos entonces el símbolo del signo Cáncer, ♋. Véase, por ejemplo, esta página para conocer todos los símbolos de los signos de nuestro zodiaco.

La plaza de toros más grande del mundo

Cuaderno de bitácora: estuve hojeando un libro que hemos obtenido en una de nuestras llegadas a puerto, El Mentor de Matemáticas, de la editorial Océano, y me encontré con un problema cuyo enunciado reza así:

Una plaza de toros circular tiene un contorno de 628 metros. El toro se encuentra en el centro del ruedo y se dirige en línea recta hacia un torero, que se encuentra en una de las barreras del coso. ¿Cuántos metros recorrerá el toro antes de alcanzar al torero?

Como puede apreciarse, el problema te da la longitud de una circunferencia, que en este caso es el contorno de una plaza de toros, y te pregunta el radio de esa circunferencia, que es el recorrido que hace el toro hasta alcanzar al torero.

La fórmula de la longitud de una circunferencia es L=2·π·r, pero hace tiempo que me independicé de esta fórmula, y regresé a la definición del número pi. Prefiero recordar que la longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro. El número pi es aproximadamente 3,14, luego la longitud de una circunferencia es unas tres veces y pico mayor que el diámetro. El díámetro está contenido en la circunferencia tres veces y un poco más.

Los grumetes saben la fórmula de la longitud de una circunferencia, pero cuando les pregunto que me calculen mentalmente una longitud sencilla, no saben hacerlo, necesitan escribir la fórmula en el cuaderno y usar la calculadora.

En Sevilla, mi ciudad natal, y en gran parte de Andalucía, es tradicional que en la salita de las casas haya una mesa circular, llamada mesa camilla, al centro de la cual se coloca en invierno un brasero para que caliente a las personas que se sientan a ella. Antiguamente, hasta hace unos veinticinco o treinta años, el brasero era una bandeja de bronce que se llenaba de cisco o picón, una especie de carbón vegetal. Luego fue sustituido por el brasero eléctrico o por una pequeña bombona de gas con un quemador. Para mantener el calor debajo de la mesa, se cubre con una ropa o enagüilla, hecha de tela gruesa, terciopelo o similar que llega hasta el suelo.

A los grumetes les suelo poner el ejemplo siguiente: tenemos una mesa camilla de 1 metro de diámetro, y queremos hacerle una enagüilla para cubrirla. ¿Cuántos metros de enagüilla necesitamos para rodear la mesa?

Los grumetes tardan mucho en llegar a la respuesta, a pesar de lo evidente que es: si el diámetro es de 1 metro, la circunferencia mide aproximadamente 3,14 metros, con lo que comprando 3 metros y medio de tela sobra para rodear la mesa.

Regresando al problema de la plaza de toros, cuando vi que el contorno era de 628 metros gracias a un razonamiento similar al de la mesa camilla, me vino inmediatamente la longitud del diámetro: 200 metros, y por tanto el radio era de 100 metros.

Y entonces pensé ¿200 metros de diámetro? La plaza de toros es gigantesca. Un campo de fútbol mide entre 100 y 110 metros de largo, por tanto en dicha plaza de toros cabe un campo de fútbol con holgura, de hecho es tan larga como casi dos campos de fútbol, y la distancia del toro al torero es tal como si el toro estuviera en una de las porterías y el torero estuviera en la otra. Dudo mucho que a esa distancia el toro pueda darse cuenta de la presencia del torero o de importarle siquiera.

Picado por la curiosidad consulté las medidas reales de las plazas de toros. Al parecer, la que tiene el ruedo más grande del mundo es la Plaza de las Ventas, en Madrid [recientemente hemos descubierto que esto no es cierto, ver notas y comentarios], con 61,5 metros de diámetro, lo cual se queda bastante lejos de los 200 del problema. La Plaza de toros de México es la que tiene un mayor aforo del mundo, con más de 46.000 localidades, pero su ruedo tiene 43 metros de diámetro.

Plaza de toros de Las Ventas en Madrid.

Este problema es uno de los muchos cuyo enunciado no tiene nada que ver con la realidad. Los autores de los libros de matemáticas y los profesores, nos dejamos llevar por una intención práctica y tenemos a menudo la mala costumbre de plantear problemas que no tienen sentido real. Personalmente creo que es un grave error, porque el problema conduce solamente a una operación aritmética hueca. Si planteamos un enunciado, ¿no sería mejor ilustrarlo con algo que existe realmente?

Se podría plantear el problema con el ejemplo auténtico de la Plaza de las Ventas: el contorno mide unos 188,4 metros, o 188 metros aproximadamente. Se podría hablar de dicha plaza y comentar que es la que tiene el mayor ruedo del mundo. Se podría especificar los componentes de una plaza de toros. Se podría también comparar sus dimensiones con el tamaño de un estadio de fútbol, o con el de un polideportivo. Los grumetes adquirirían un poco más de cultura y tendrían más nociones para poder comparar dimensiones, longitudes, áreas, etc.; se harían una idea de qué es más grande, qué es más pequeño, y en cuánta cantidad. Hoy, con ayuda de toda la información de Internet es posible conseguir los datos necesarios casi inmediatamente.

Un último comentario, esta vez positivo: lo que sí está correcto es que el problema especifica que la plaza de toros sea circular, y hace bien especificándolo, porque no todas las plazas lo son. Por ejemplo, la famosa Plaza de la Maestranza de Sevilla tiene un ruedo un poco irregular, pareciendo un círculo u óvalo achatado en uno de los lados, como se puede apreciar si se observa desde el aire.

Notas: [26 de febrero de 2010] la información se va actualizando y perfeccionando con el paso de los años, y gracias a un comentario de Miguel, hemos comprobado que el dato no es correcto. La plaza de toros con el ruedo más grande es la de Ronda, en Málaga, cuyo ruedo tiene 66 metros de diámetro. Según esto, la circunferencia del ruedo se quedaría en un poco más de 207 metros.

No recuerdo ahora donde busqué la información para escribir este artículo, pero esto me sirve una vez más para corroborar que muchos datos que circulan por la red pueden estar equivocados; siempre que tomemos un dato es interesante confirmarlo a través de varias fuentes y no dar por cierto lo primero que leemos.

Pantallas y formatos

En una entrada anterior estuvimos escribiendo sobre las ternas pitagóricas, y más concretamente sobre la terna 3-4-5. Recordemos que estos tres números cumplen el teorema de Pitágoras, es decir, la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero, y por tanto, si dibujamos un triángulo cuyos lados midan respectivamente 3, 4 y 5, entonces el triángulo es rectángulo.

Figura 1.

De la misma forma, si tomamos un rectángulo en el que la altura mida 3 unidades y la base mida 4 unidades, entonces la diagonal del rectángulo mide exactamente 5 unidades.

El rectángulo de proporciones 3-4-5 no está nada lejos de nuestra vida diaria. Se encuentra, por ejemplo, en los televisores tradicionales. El rectángulo de la pantalla de una tele de las antiguas es un rectángulo cuya altura y anchura están en proporción a 3 y 4.

Esta proporción se suele escribir normalmente 4:3. También los monitores de los ordenadores suelen cumplir esta proporción: las resoluciones de píxeles en la pantalla, 640 por 480, 800 por 600, 1024 por 768, son proporcionales a 4:3. Esto puede comprobarse simplificando las fracciones 640/480, 800/600 y 1024/768. No pasa lo mismo con la resolución de 1280 por 1024, que es proporcional a 5:4.

En la parte de atrás de las carátulas de los DVD's de películas y series de televisión vienen especificadas sus características, y una de ellas es la proporción rectangular de la imagen. Muchos de los DVD's tienen la proporción 4:3, y eso significa que la imagen encaja perfectamente en un televisor o pantalla que tenga la misma proporción, sin dejar bandas oscuras horizontales ni verticales.

Diferentes son las televisiones panorámicas que se están vendiendo actualmente, esas ya no siguen la proporción 4:3, son rectángulos más alargados, con proporciones como 16:9. Así un monitor 1280 por 720 sigue exactamente esta última proporción, en la que están filmadas muchas películas.

Cuando una película filmada en 16:9 se proyecta en un televisor o pantalla tradicional 4:3 entonces quedan dos bandas horizontales negras, una encima y otra debajo de la imagen de la película.

Figura 2.

Se puede comprobar en la figura 2 las diferentes proporciones entre un rectángulo 4:3 y uno 16:9. Este último es más alargado, más panorámico. También sucede que cuando la emisión de 4:3 trata de adaptarse a 16:9 sin dejar bandas negras a los lados, la imagen queda deformada, las caras y los objetos se ven anchos y aplastados, aunque con el tiempo uno se puede acostumbrar a verlos así.

Esto de las proporciones también ha de tenerse muy en cuenta a la hora de revelar fotografías. Las tiendas de fotos ofrecen diversos tamaños para las fotografías a diversos precios. Por ejemplo, uno de los más corrientes es el tamaño de 10 por 15 centímetros, otro es 13.5 por 18 centímetros, otro es 15 por 20 centímetros. Estos dos últimos tamaños, 13.5 por 18 y 15 por 20 son proporcionales ambos a nuestro rectángulo 3 por 4. Sin embargo el tamaño pequeño, 10 por 15, no es proporcional a 3 por 4 sino que es más panorámico. Si hacemos una foto cuyas proporciones estén ajustadas a 4:3, entonces al revelarlas en un tamaño 10 por 15 no saldrán con el encuadre que nosotros hemos elegido, se les recortará un poco por dos de los lados.

Puede ocurrir entonces que si nosotros, al hacer la foto, hemos apurado los bordes para encuadrar el motivo, entonces el recorte nos puede estropear la foto. Por ejemplo, si hay personas en la foto, al revelarla con una proporción equivocada pueden salir con los pies o parte de las cabezas cortados, y si hemos fotografiado una torre o un monumento, la cima de la torre también puede quedar cortada. Esto último, en concreto, le pasó a una compañera de trabajo, cuando fue a revelar las fotos de una torre que había tomado durante unas vacaciones.

Hace dos años hice fotos a los grupos de grumetes de nuestro Barco Escuela, y se me ocurrió revelarlas en dos formatos, tamaño grande de 15 por 20, y tamaño súper grande de 20 por 30 centímetros. Ambos formatos, como puede observarse, no son proporcionales, el primero es 4:3 y el segundo es 3:2, más panorámico. A las fotos les añadí con ayuda del Photoshop un letrero indicando el nombre de nuestro Barco, el curso y el año. Tuve que hacer dos versiones digitales de las fotos, y llevarlas recortadas previamente al laboratorio fotográfico, pues si no lo hacía, las copias en tamaño 15 por 20 saldrían perfectas, pero las copias en tamaño 20 por 30 saldrían con el letrero recortado.

Al final las copias salieron correctamente y a muy buen precio, pero vi que era mucho trabajo encargar copias a dos tamaños, recoger el dinero de cientos de copias, repartirlas, etc. El año pasado y éste me he limitado a sacarlas en 15 por 20 centímetros, porque además las de tamaño súper grande ya no están de oferta y salen bastante caras.

El Primer Examen de Oposiciones

Muchos de mis compañeros oficiales del Barco Escuela tienen que presentarse a las próximas oposiciones. Se celebrarán este año, como viene siendo habitual, a finales de junio. En las oposiciones tendrán que hacer un primer examen escrito, que han de aprobar. En él se les preguntará un tema elegido al azar entre el temario oficial de cada materia.

Por ejemplo, si uno se quiere presentar a las Oposiciones a Profesor de Inglés, el temario tiene 69 temas. En esta convocatoria, aunque todavía no ha sido publicada, se comenta que para el primer examen se sortearán 5 de esos temas, y cada persona que se presente elegirá uno de esos cinco temas y lo desarrollará. El problema es saberse al menos uno de esos cinco temas.

Para la mayoría de los que se presentan, el tiempo de estudio del temario es muy escaso, y no suele bastar para estudiarse todos los temas. El problema está entonces en que si, por ejemplo, de esos 69 temas nos estudiamos 20, 30 ó 40, ¿qué probabilidad hay de que en el sorteo caiga uno de los temas que nos hemos estudiado?

Vamos con un ejemplo concreto: supongamos que son 69 temas, y que te has estudiado 40 y te has dejado 29 temas sin estudiar.

Si sólo se sorteara un tema, la probabilidad de que te toque uno de los temas que te has estudiado es:

suceso A = "que te toque uno de los temas que te has estudiado"
p(A) = 40/69 = 0.5797, es decir, un 57.97% de probabilidades de que te toque.

Este caso es muy sencillo. Pero supongamos que son 2 temas los que se sortean. Nos interesa que al menos uno de ellos sea de los que nos hemos estudiado, pero aquí hay varias situaciones: que el primer tema de los sorteados sea el que nos sabemos, que sea el segundo, o que tanto el primero como el segundo sean temas de los que nos hemos estudiado.

Para calcular la probabilidad de una forma más sencilla, hay que razonar con lo contrario: ¿cuál es la probabilidad de que al sortear dos temas ninguno de los que salgan sea de los que nos hemos estudiado? Hay que calcular entonces la probabilidad de que el primer tema sorteado no sea de los estudiados y de que el segundo tampoco. Necesitamos usar las fórmulas de la probabilidad de una intersección.

En matemáticas, la probabilidad de la intersección de dos sucesos es igual a la probabilidad del primero multiplicada por la probabilidad del segundo condicionado al primero:

p(A y B) = p(A) · p(B/A)

En el caso ejemplo que estamos viendo, un temario de 69 temas, nos sabemos 40 y nos faltan 29 por saber, el cálculo sería:

suceso A = "que el primer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"
suceso B = "que el segundo tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

p(A y B) = p(A) · p(B/A) = 29/69 · 28/68 = 0.1731, es decir, un 17.31%

Hay un 17.31% de probabilidades de que no sepamos ninguno de los temas.

Luego la probabilidad de que sí te toque alguno de los que te has estudiado es de 82.69% (lo que falta hasta el 100%)

Esta fórmula se puede extender a la intersección de varios sucesos, todos los que se quiera. En el caso de cinco sucesos, la fórmula adquiere un aspecto impresionante, pero no es difícil de comprender una vez que se analiza con detalle:

p(A y B y C y D y E) = p(A) · p(B/A) · p(C/A y B) · p(D/A y B y C) · p(E/A y B y C y D)

Veamos ahora el caso que nos ocupa: sortean 5 temas a elegir uno. Nuestro temario se compone de 69 temas. Nos sabemos 40 y no nos sabemos los 29 restantes. Entonces el cálculo es más largo pero no muy difícil:

suceso A = "que el primer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso B = "que el segundo tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso C = "que el tercer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso D = "que el cuarto tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso E = "que el quinto tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

p(A y B y C y D y E) = p(A) · p(B/A) · p(C/A y B) · p(D/A y B y C) · p(E/A y B y C y D)

= 29/69 · 28/68 · 27/67 · 26/66 · 25/65 = 0.0106, es decir, un 1.06%

Hay un 1.06% de probabilidades de que no te salga ninguno de los temas estudiados.

Luego la probabilidad de que al menos uno de los temas sí sea de los que te has estudiado es de 98.94%

Una probabilidad bastante alta, ¿no?

He elaborado una tabla con las probabilidades de que caiga algún tema de los estudiados, según el número de temas que tiene el temario y el número de temas que uno se estudia. He abarcado un rango de temarios de 40 hasta 80 temas, tomados de cinco en cinco. Las probabilidades están expresadas en tanto por ciento y redondeadas a dos cifras decimales. En la fila de arriba están los temas de los que consta un temario, y en la columna de la izquierda los temas estudiados. Ejemplo: si uno tiene un temario de 75 temas y se estudia 25, entonces la probabilidad de saberse al menos uno de entre los cinco temas elegidos al azar es de 87.72% (compruébese buscando en la tabla). Para valores intermedios, es sencillo hacer una interpolación aproximada.

	40	45	50	55	60	65	70	75	80
5	50,66	46,14	42,34	39,09	36,30	33,88	31,75	29,88	28,21
10	78,34	73,43	68,94	64,88	61,21	57,88	54,87	52,14	49,65
15	91,93	88,34	84,68	81,08	77,63	74,35	71,26	68,36	65,64
20	97,64	95,65	93,27	90,67	87,95	85,21	82,49	79,84	77,28
25	99,54	98,73	97,49	95,90	94,06	92,03	89,91	87,72	85,53
30	99,96	99,75	99,27	98,47	97,39	96,07	94,56	92,92	91,19
35	100,00	99,98	99,86	99,55	99,03	98,27	97,32	96,19	94,92
40	100,00	100,00	99,99	99,91	99,72	99,36	98,82	98,12	97,26
45		100,00	100,00	99,99	99,95	99,81	99,56	99,17	98,65
50			100,00	100,00	100,00	99,96	99,87	99,69	99,41
55				100,00	100,00	100,00	99,98	99,91	99,78
60					100,00	100,00	100,00	99,98	99,94
65						100,00	100,00	100,00	99,99
70							100,00	100,00	100,00
75								100,00	100,00
80									100,00

¡Suerte a todos!