Einstein, Riemann and the Space-Time Continuum - Einstein, Riemann y el Continuo Espacio-Tiempo

Einstein, Riemann and the Space-Time Continuum

The general theory of relativity postulated by Albert Einstein (1879-1955) uses the concepts of Riemann geometry and an extra dimension, making a four-dimensional space called space-time. In general relativity, space-time is curved, with the degree of curvature increasing close to massive bodies. Curvature is produced by the interaction of mass-energy and momentum producing the phenomenon we know as gravity. Thus Einstein’s theory replaces the force of gravity familiar from Newtonian mechanics with multi-dimensional, non Euclidean geometry.

Einstein, Riemann y el continuo espacio-tiempo

La teoría general de la relatividad propuesta por Albert Einstein (1879-1955) utiliza los conceptos de la geometría de Riemann y una dimensión extra, construyendo un espacio cuatridimensional llamado espacio-tiempo. En la relatividad general, el espacio-tiempo es curvo, con el grado de curvatura incrementándose cerca de los cuerpos masivos. La curvatura se produce por la interacción de la masa-energía y la cantidad de movimiento, produciendo el fenómeno que conocemos como gravedad. Por tanto, la teoría de Einstein sustituye la fuerza de gravedad conocida de la mecánica newtoniana con geometría no euclídea tridimensional.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

La ley de Bode

Cuaderno de bitácora: todavía me viene a la memoria un artículo que encontré hace muchos años en un suplemento dominical del diario ABC. Trataba de astronomía, y voy a intentar recrear aquel artículo tal y como lo recuerdo.

Si nos situamos en la Europa de mediados del siglo dieciocho, podemos descubrir una sociedad que está viviendo muchas convulsiones, especialmente en el mundo del conocimiento. Nos encontramos en la Ilustración, en pleno Siglo de las Luces, en el que personajes de la talla de Diderot, D'Alambert, Montesquieu, Rousseau y Voltaire en Francia, Benjamin Franklin y Thomas Jefferson en lo que se iba a convertir en los Estados Unidos, Emmanuel Kant en Alemania, Adam Smith en Escocia, están dispuestos a "disipar las tinieblas de la humanidad mediante las luces de la razón".

[En la imagen vemos un retrato, realizado por Francisco de Goya, de Gaspar de Jovellanos, uno de los principales representantes de la Ilustración en España. Detrás de él, a la derecha, se aprecia la imagen de la Diosa de la Sabiduría, Minerva, que parece bendecirlo.]

En esa época se da un avance importante en muchos campos de la ciencia, y la astronomía no puede faltar a esa acelerada evolución.

Hace ya tiempo que las teorías geocéntricas de Ptolomeo han sido desplazadas por el modelo heliocéntrico de Copérnico, y los astrónomos se dedican a mejorar sus telescopios y tomar mediciones cada vez más exactas de las dimensiones del sistema solar y de los planetas conocidos.

A mediados del siglo dieciocho todavía no se conocen más planetas que los que se pueden ver a simple vista: Mercurio, Venus, nuestro planeta Tierra, Marte, Júpiter y Saturno, pero se ha calculado con bastante precisión la distancia al Sol de cada uno de ellos.

Una forma de expresar la distancia de los planetas al Sol es tomando como unidad la distancia de la Tierra al Sol. Esta distancia es de 150 millones de kilómetros aproximadamente, y es lo que se llama unidad astronómica (UA).

Podemos medir las distancias de los planetas al Sol usando esta unidad, y así obtenemos una idea más clara de cual es cada distancia en comparación con la de la Tierra:

Mercurio - 0.39 UA
Venus - 0.72 UA
Tierra - 1.00 UA
Marte - 1.52 UA
Júpiter - 5.20 UA
Saturno - 9.54 UA

Es fácil darse cuenta que estos seis números forman una sucesión ascendente que en los primeros cuatro planetas parece crecer de forma ordenada, pero que de Marte a Júpiter da un salto significativo. Fijémonos en los primeros cuatro números:

0.39 - 0.72 - 1.00 - 1.52

Si les damos unas cuantas vueltas para tratar de encontrar alguna relación entre ellos, podemos redondearlos, 0.4 - 0.7 - 1.0 - 1.6, y restar a cada uno 0.4, y obtenemos

0 - 0.3 - 0.6 - 1.2

Tenemos claramente una sucesión en la que el primer término es 0, el segundo es 0.3, y luego cada término va siendo el doble del anterior. Podemos extender esta sucesión multiplicando por dos en cada paso

0 - 0.3 - 0.6 - 1.2 - 2.4 - 4.8 - 9.6 - 19.2 ...

¿Tiene alguna relación esta sucesión con las distancias de los planetas al Sol? Basta sumar 0.4 a cada término y vemos que los números resultantes son muy parecidos a dichas distancias medidas en UA, salvo por un detalle: hay un salto entre Marte y Júpiter

0 + 0.4 = 0.4;       distancia de Mercurio al Sol:   0.39 UA  error 2.6%
0.3 + 0.4 = 0.7;    distancia de Venus al Sol:        0.72 UA  error 2.8%
0.6 + 0.4 = 1.0;    distancia de la Tierra al Sol:    1.00 UA  error 0%
1.2 + 0.4 = 1.6;    distancia de Marte al Sol:        1.52 UA  error 5.3%
2.4 + 0.4 = 2.8;          ¿?
4.8 + 0.4 = 5.2;    distancia de Júpiter al Sol:       5.20 UA  error 0%
9.6 + 0.4 = 10.0;  distancia de Saturno al Sol:     9.54 UA  error 4.8%

Mirando la tabla observamos que la sucesión encaja bastante bien con las distancias de los planetas al Sol, con errores pequeños, salvo por ese salto entre la distancia de Marte y la de Júpiter. Esta correlación es encontrada por Johann Daniel Titius en 1766 y por Johann Elert Bode en 1772. Tradicionalmente se ha conocido como Ley de Bode, aunque desde que se comprobó que Titius fue el primero en descubrirla se le llama Ley de Titius-Bode.

Cuando Bode formula la correlación entre la sucesión y las distancias de los planetas, no duda en sugerir que el quinto término de la sucesión debe corresponder a un planeta no descubierto cuya órbita se encuentra entre Marte y Júpiter y cuya distancia al Sol debe ser aproximadamente 2.8 UA.

En 1781, pocos años después de la formulación de la Ley de Titius-Bode, el astrónomo William Herschel descubre un planeta más alejado que Júpiter y Saturno, el planeta Urano, el primero descubierto con la ayuda del telescopio. Al calcular la distancia de Urano al Sol descubren que coincide muy bien con el siguiente término de la sucesión de Bode:

19.2 + 0.4 = 19.6;    distancia de Urano al Sol:      19.2 UA  error 2.1%

Esto no hace sino reforzar la Ley de Bode, y afianzar la esperanza de encontrar el quinto planeta perdido, cuya órbita debe estar entre Marte y Júpiter.

No es necesario esperar mucho tiempo para encontrarlo. En 1796 Joseph Lalande recomienda la búsqueda del planeta desconocido, y desde ese momento un nutrido grupo de astrónomos se "reparten" la franja del firmamento correspondiente al zodiaco y comienzan una exploración sistemática con sus telescopios.

Sin embargo será otro astrónomo, Giuseppe Piazzi, ajeno al grupo comprometido en la búsqueda, el que en 1801, desde su observatorio de Palermo, va a descubrir casi por casualidad un objeto que al principio cataloga de cometa, y que luego se comprueba que es el "planeta" buscado y es nombrado como Ceres, en honor a la Diosa de la agricultura de la mitología romana.

Sin embargo, Ceres es muy pequeño y difícil de observar, y los astrónomos le pierden la pista conforme el Sol se va colocando delante. De las observaciones de Ceres se tienen pocos datos, y se plantea el problema de calcular su órbita con suficiente precisión para poder recuperar su posición una vez que el Sol se haya alejado.

Los astrónomos europeos intentan localizarlo durante meses sin conseguirlo. En esos momentos interviene uno de los matemáticos más brillantes de la historia, Karl Friedrich Gauss, el cual, con la ayuda de su método de los mínimos cuadrados y su increíble capacidad para el cálculo determina con éxito la órbita, e indica a los astrónomos dónde deben apuntar sus telescopios. Una vez que lo hacen, los astrónomos comprueban que, efectivamente, allí está de nuevo Ceres.

Haciendo cálculos de la distancia de Ceres al Sol, se establece esta distancia en 2.77 UA, con lo cual se confirma que es el planeta que faltaba en la sucesión de Bode, ya que la distancia coincide muy bien con el término quinto y rellena perfectamente el hueco entre Marte y Júpiter:

2.4 + 0.4 = 2.8;    distancia de Ceres al Sol:        2.77 UA  error 1.1%

Búsquedas posteriores determinan que Ceres no es el único "planeta" que se encuentra a esa distancia del Sol. En realidad se empiezan a descubrir una infinidad de cuerpos pequeños, todos en la misma órbita; en 1802 Heinrich Wilhelm Olbers encuentra a Palas, y en 1807 a Vesta; en 1804 Karl Ludwig Harding descubre a Juno, y así sucesivamente, de modo que para la década de 1850 ya se han descubierto más de una docena de estos pequeños objetos.

La comunidad astronómica se da cuenta que en la órbita donde debía estar el quinto planeta no hay un solo cuerpo, sino una infinidad de pequeños objetos, a los que llama asteroides, y a esa región se le da el nombre de cinturón de asteroides. Las conclusiones sobre la presencia de este cinturón afirman que, efectivamente, en tiempos remotos ha existido un quinto planeta en la órbita predicha por la Ley de Bode, y que por causas desconocidas, ese planeta se ha desintegrado, y sus restos se han esparcido entre Marte y Júpiter a lo largo de las eras.

[esta imagen está obtenida del Miki's Blog sobre astronomía y astrofísica]

No se conoce actualmente ninguna explicación satisfactoria a por qué los planetas están distribuidos según la Ley de Titius-Bode. Esta ley, además, no es absoluta, pues el planeta Neptuno, que se descubre en 1846 por Urbain Le Verrier, no cumple la ley, o más bien diremos que se separa de la ley en un error bastante pronunciado:

38.4 + 0.4 = 38.8;    distancia de Neptuno al Sol:        30.06 UA  error 29.1%

Por otro lado, en 1930 Clyde William Tombaugh descubre Plutón, cuya distancia media al Sol es de 39.44 UA, ¡que sí coincide con muy poco error con lo que predice la Ley de Bode para Neptuno! Para que esta ley sea perfecta, Neptuno debe encontrarse donde está Plutón, y Plutón debe retroceder hasta el doble de distancia del Sol de la que tiene ahora.

Pero el universo no se rige tal y como a la lógica humana le puede gustar. Es posible que en un futuro se encuentren más respuestas sobre el origen de la Ley de Bode y por qué funciona en la mayoría de los casos.

Para completar esta historia podemos ver que los astrónomos han encontrado sucesiones similares a la Ley de Bode en algunos de los satélites de Júpiter, concretamente en Amaltea, Io, Europa, Ganímedes y Calisto, cuyas distancias a Júpiter siguen una sucesión de comportamiento similar a la de los planetas del sistema solar, aunque con coeficientes distintos; también se comportan así los cinco satélites principales de Urano: Miranda, Ariel, Umbriel, Titania y Oberón, y en Saturno los satélites se ajustan en distancia a una ley similar a la de Bode, pero con huecos entre algunas órbitas.

Para consultar las fórmulas exactas de cada una de las sucesiones y más información sobre el tema, se puede consultar la página de la Wikipedia sobre la Ley de Titius-Bode.

El compás celeste

Cuaderno de bitácora: recientemente he recibido un correo en el que se me recomendaba la web llamada El Cielo de Canarias, de Daniel López, y debo agradecer tal recomendación, que comparto aquí con los lectores.

Bien es sabido que la historia de las matemáticas ha estado íntimamente unida al desarrollo de la astronomía. A continuación me gustaría citar algunos ejemplos.

Si empezamos por Egipto, bien sabemos que los egipcios fueron grandes matemáticos aplicados y que con ese conocimiento supieron levantar increíbles construcciones y orientarlas exactamente hacia lugares específicos del cielo y de la geografía terrestre. Así, por ejemplo, las pirámides de Giza están perfectamente orientadas a los cuatro puntos cardinales, o también el eje del templo de Abú Simbel se alineaba con la salida del sol los días 20 de febrero y 20 de octubre, cumpleaños y día de la coronación de Ramsés II respectivamente, y en esos días la luz del sol entraba hasta el santuario interior del templo, iluminando las cuatro estatuas de los dioses que se encontraban en ese lugar.

En general, los templos egipcios están construidos siguiendo alineaciones y ángulos específicos respecto al curso del Nilo y respecto al cielo y ciertas estrellas, como Sirio, Alfa y Beta de Centauro, las Pléyades, Polaris, etc.

En la antigüedad no sólo los Egipcios, sino otras muchas civilizaciones se preocuparon de conseguir estos alineamientos en sus construcciones. Se puede consultar, por ejemplo, esta página, donde se nos explican algunas de las alineaciones más importantes.

En la Grecia antigua también se estudiaron las matemáticas a fondo para entender el movimiento celeste. Recordemos, por ejemplo, el estudio de las cónicas, y en concreto a la famosa matemática Hipatia, que supo traducir este estudio a la construcción de astrolabios, los cuales sirvieron durante muchos siglos para orientarse en la navegación gracias a la posición del sol y las estrellas.

Esas mismas cónicas son las que darían a Kepler la clave para entender y explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas. Por la misma época, Galileo afirmaba que "las matemáticas son el alfabeto con el que Dios ha escrito el Universo".

A principios del siglo XIX, Gauss desarrolló métodos matemáticos muy potentes que permitieron la ubicación exacta del asteroide Ceres, el primero de los descubiertos en el cinturón de asteroides ubicado entre las órbitas de Marte y Júpiter.

Los modelos matemáticos de las geometrías no euclídeas, desarrollados durante la segunda parte del siglo XIX, fueron la base de la teoría de la relatividad de Einstein, con la que empezamos a entender la estructura y el comportamiento del Cosmos a gran escala.

La lista de relaciones entre desarrollos matemáticos y astronómicos es muy larga, y demuestra la íntima relación entre las dos ciencias. Sin embargo, una imagen vale más que mil palabras, y esto lo podemos comprobar si nos asomamos a la página El Cielo de Canarias, citada al principio de nuestra entrada, a través de los increíbles vídeos y las espectaculares fotografías de paisajes de Daniel López.

Un maravilloso ejemplo es esta fotografía, llamada Startrails ("rastros de estrellas") desde el Parque Nacional del Teide. La imagen está hecha con un objetivo especial que abarca un campo de 180º. Mediante una exposición de varias horas, las estrellas han ido dejando su rastro luminoso conforme se movían en el cielo nocturno. Gracias a la amplitud de campo, podemos ver a la izquierda cómo se van cerrando las circunferencias en torno al polo norte, y a la derecha, por debajo del horizonte, se curvan en torno al polo sur. La magnífica perspectiva conseguida por el autor de la foto hace que el Teide se encuentre al centro, y de él salgan trazos rectos, dando la impresión de que sobre su cima se proyecte el ecuador celeste.

En esta espectacular fotografía se observan los startrails con tajinastes (plantas endémicas de Tenerife) en primer plano. Esta imagen es una de las más completas que he visto en cuanto a cantidad de rastros estelares, trazados con perfección por el gran compás de los cielos. El rastro de Polaris o estrella Polar es uno muy pequeño y luminoso casi al centro de las circunferencias, un poco a la izquierda y abajo, como una coma al revés. Polaris, que nos señala el polo norte celeste, no se encuentra exactamente en ese polo norte sino que se desvía casi un grado del mismo; si estuviera en el polo norte exacto, en la foto se vería una estrella luminosa justo señalando el centro de las circunferencias.

Esta bellísima fotografía nos enseña el rastro de estrellas durante cuatro horas de exposición en el llano de Ucanca, Tenerife. La perspectiva elegida por el autor, que se ha situado justo al sur del Teide, hace que el polo norte celeste se encuentre exactamente sobre la cima del volcán. Además, ha aprovechado una gran charca de agua de lluvias recientes para conseguir el reflejo del universo en rotación. Al centro de las circunferencias apreciamos el pequeño y brillante rastro de Polaris, un poco a la izquierda y arriba del centro geométrico de los trazos estelares. A la derecha se ve un segmento rectilíneo: el paso de un satélite Iridium que refleja brillantemente la luz del sol oculto tras el horizonte.

Fotografías tan espectaculares como las que hemos expuesto aquí, junto con vídeos y otras imágenes de cuerpos celestes, galaxias, nebulosas, etc. se encuentran en la web de Daniel López, al que agradecemos su trabajo y felicitamos con entusiasmo por sus inspiradoras y preciosas imágenes.

Sobre Gauss

Recuperamos otro de los restos del naufragio de doDK, una biografía sobre uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos.

Gauss, un genio sobrehumano

Hay quien afirma que Carl Friedrich Gauss ha sido el más grande de los matemáticos y quizás el genio más dotado de cuantos se tiene noticia. En él se dieron cita tantas cualidades que resulta una figura enigmática para el mundo científico, una figura que se sale del ámbito de lo humano y entra en lo sobrehumano. Tenía intuición, originalidad, potencia y capacidad por encima del resto de científicos, y una persistente tenacidad, y sus descubrimientos fueron extraordinariamente diversos y profundos.

Nació en 1777 en Brunswick, al norte de Alemania. Desde pequeño mostró una extraordinaria capacidad para los números. Se dice, por ejemplo, que Gauss fue un niño prodigio al estilo de Goethe o Mozart, cada uno en su campo. Goethe, cuando tenía seis años, escribía y dirigía pequeñas obras para un teatro de marionetas; Mozart, con cinco años, ya componía y daba conciertos para la aristocracia y la realeza europea; Gauss corrigió un error en las cuentas salariales de su padre a la edad de tres años.

Suya es la siguiente anécdota, bastante conocida. Ocurrió en la escuela de Brunswick, cierto día de 1786, cuando Gauss contaba nueve años. El maestro encargó a sus alumnos que hiciesen como ejercicio de adición la suma de todos los números enteros desde el 1 hasta el 100, ambos inclusive. Se trataba de sumar la sucesión 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100. Los alumnos, con una sola excepción, empezaron sumando 1 + 2; al resultado de esta suma, 3, le añadieron el 3, lo cual les dio 6, luego 4, obteniendo 10 y así sucesivamente.

La suma de los cien sumandos por este procedimiento había de tener ocupados a los estudiantes por un buen rato. Sin embargo, cuentan las crónicas que, al poco tiempo de propuesta la tarea, cierto alumno, Gauss, se presentó a su maestro con el resultado correcto: 5050. El maestro, perplejo, le preguntó al pequeño cómo se las había arreglado para hacer la tarea tan pronto. Gauss le explicó que los números que se iban a sumar se podían agrupar en parejas: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc. cada una de las parejas sumando 101. Como se formaban 50 parejas, bastaba hacer 101 · 50 = 5050. Gauss acababa de descubrir el método para sumar las progresiones aritméticas, método ya conocido desde la antigüedad, pero resultaba extraordinario que un niño de nueve años, por sí solo, sin ayuda de nadie, pudiera deducirlo instantáneamente de forma tan clara y sencilla. [En la biografía que aparece en la Wikipedia, se comenta esta anécdota con más detalle]

El Duque de Brunswick conoció a Gauss cuando era un muchacho y decidió pagar su educación al quedarse impresionado por sus capacidades. Gauss estudió en el Colegio Carolina de Brunswick y más tarde en la Universidad de Göttingen. Cuando tenía catorce o quince años, descubrió el teorema de los números primos, que no sería demostrado hasta 1896 después de ímprobos esfuerzos de numerosos matemáticos; inventó el método de los mínimos cuadrados y concibió la ley gaussiana o normal de la distribución de probabilidades.

En la universidad se sintió atraído por la filología y desilusionado con las matemáticas, por lo que durante un tiempo la dirección de su futuro fue incierta, pero tras el descubrimiento a los dieciocho años de un bello teorema geométrico, se decidió en favor de las ciencias exactas. El teorema que Gauss descubrió se refería a la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de n lados: desde épocas antiguas se conocía la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados, además de todos los que se obtienen al biseccionar los anteriores, como los de 6, 8, 10 lados, etc. Gauss demostró que un polígono regular se podía construir con regla y compás si y sólo si su número de lados n era igual a una potencia de dos multiplicada por uno o varios números primos de la forma 2^k + 1, con k = 2ⁿ [estos primos son los llamados Números Primos de Fermat]. Algunos números primos son de esta forma, como el 3, el 5, el 17 o el 257. En la época de Gauss fue muy sorprendente encontrar, por ejemplo, la forma de construir un polígono regular de 17 lados con regla y compás, pero el joven Gauss, con tan solo diecinueve años, la encontró [ver nota al final del artículo].

Durante esos años de su juventud Gauss se vio abrumado por el torrente de ideas que afluían a su mente. Inició un diario científico donde anotaba brevemente sus ideas y descubrimientos, que eran demasiado numerosos para profundizarlos en aquella época.

En el año 1799 Gauss presentó su tesis doctoral, uno de los hitos de la historia de las matemáticas. En ella se ofrecía por primera vez una demostración del teorema fundamental del álgebra: todo polinomio no constante con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Con dicha demostración Gauss inauguraba la era de las demostraciones de existencia en matemática pura.

En el año 1801 publicó su famoso tratado Disquisitiones Arithmeticae, una obra completamente original que marca el comienzo de lo que se conoce en matemáticas avanzadas como teoría de números. En ella Gauss creó asimismo el enfoque riguroso de la matemática moderna, en contraposición al enfoque relajado y las demostraciones vagas de sus predecesores.

Sin embargo, su estilo era tan pulido, tan terso, tan desprovisto de motivación, tan acabado, que en algunas ocasiones resultaba prácticamente ininteligible, lo que restaba difusión a sus ideas. En una carta a un amigo afirmaba el propio Gauss: "Sabe que escribo lentamente. Esto se debe sobre todo a que no quedo satisfecho hasta que no consigo decir todo cuanto me sea posible en unas pocas palabras, y escribir de modo conciso lleva mucho más tiempo que hacerlo con extensión".

Gauss se dedicó en los años posteriores a la matemática aplicada. En los inicios del siglo XIX tuvo la oportunidad de hacerse famoso gracias a la astronomía. En las últimas décadas del siglo anterior, muchos astrónomos buscaron un nuevo planeta entre las órbitas de Marte y Júpiter, donde la ley de Bode predecía que debía localizarse. En realidad, entre dichas órbitas no hay ningún planeta, sino los restos de lo que pudo haber sido uno: un gigantesco cinturón de asteroides, entre los que destaca el más grande de todos ellos, bautizado como Ceres. Los astrónomos acertaron a descubrirlo en 1801, pero el pequeño cuerpo era difícil de observar y pronto se le perdió la pista conforme el sol se fue colocando delante. De las observaciones de Ceres se tenían pocos datos, y se planteó el problema de calcular su órbita con suficiente precisión para poder recuperar su posición una vez que el sol se hubiera alejado. Los astrónomos europeos intentaron localizarlo durante meses sin conseguirlo, hasta que Gauss, con la ayuda de su método de los mínimos cuadrados y su increíble capacidad para el cálculo determinó la órbita, indicó a los astrónomos dónde debían apuntar sus telescopios, y estos pudieron comprobar que, efectivamente, allí estaba Ceres.

El Duque de Brunswick, ante el éxito de Gauss, le aumentó la pensión y le nombró, en 1807, profesor y primer director del nuevo observatorio de Göttingen. Aunque le desagradaban las tareas administrativas y no sentía entusiasmo por la docencia, cumplió seriamente con sus responsabilidades e impartió excelentes clases.

Gauss se casó dos veces y tuvo seis hijos, y a pesar de las ofertas para trabajar en otros lugares decidió permanecer en Göttingen toda su vida, viviendo de forma sencilla y tranquila. Además de la ciencia, se interesaba por la historia, la literatura, la política internacional y las finanzas públicas. Este último interés por las finanzas le enriqueció, permitiéndole, al morir, legar un capital equivalente a cien veces sus ingresos anuales medios.

Durante las dos primeras décadas del siglo XIX se dedicó a trabajar sobre temas astronómicos, considerando la matemática solo como una diversión. En el año 1820 el gobierno de Hannover le pidió un estudio geodésico del reino, una labor que le ocuparía durante algunos años, una tarea tediosa y carente de interés, que sin embargo le inspiró una de las aportaciones más profundas y de mayor alcance de la matemática pura: la geometría diferencial intrínseca de superficies. Gracias a este trabajo pudo ser posible, por ejemplo, el desarrollo de la teoría de la relatividad de Einstein casi un siglo después.

Gauss publicó numerosas obras, pero dejó un número no menor de obras sin publicar que salieron a la luz después de su fallecimiento, cuando se pudo analizar con detalle sus cuadernos de anotaciones y su correspondencia científica. Muchos descubrimientos aportados por matemáticos posteriores pueden ser atribuidos a Gauss, que ya los esbozó y los conocía en sus notas, pero que no se molestó en publicarlos, tarea para la que hubiera necesitado varias vidas.

Una de las ideas de las que fue pionero fue la de la existencia de geometrías no euclídeas, pero no reveló sus conclusiones. Su silencio en este tema fue debido al clima intelectual de la época, dominado en Alemania por la filosofía de Kant. Uno de los supuestos básicos de dicha filosofía se apoyaba en que la geometría euclídea era la única posible, y Gauss se dio cuenta de que aquella idea era falsa, y que el sistema de Kant no tenía cimientos sólidos. Pero como no quería abandonar su vida tranquila para ponerse a discutir con filósofos decidió callar y guardarse lo que pensaba.

En la teoría de funciones elípticas se adelantó treinta años a los descubridores oficiales de esta rama de las matemáticas, Jacobi y Abel. Jacobi, atraído por un pasaje críptico de las Disquisitiones, visitó a Gauss en 1829, lleno de sospechas. Le contó sus más recientes descubrimientos, y en cada ocasión Gauss sacaba un manuscrito de treinta años antes en los que ya se hallaba lo que Jacobi acababa de mostrarle. Jacobi se sintió profundamente triste, pero Gauss, a su edad, ya era completamente indiferente a la fama y agradeció librarse de la preparación de un tratado sobre tales materias, dejando al joven Jacobi, de 26 años, la exclusiva de su publicación.

En 1830 Gauss trabajó sobre los residuos bicuadráticos, dando un enfoque nuevo a la teoría de números, y a partir de la década de 1830-40 se fue dedicando cada vez más a la física, enriqueciendo todas las ramas en las que tomó parte: la teoría de la tensión superficial, la óptica, el geomagnetismo y la teoría general de las fuerzas y del potencial.

Finalmente, Gauss falleció en 1855 a la edad de 77 años, superando de tal forma a los demás hombres de talento que a veces se tiene la impresión de que pertenecía a una especie superior.

Notas: El presente texto ha sido corregido y ampliado desde la última vez que apareció en doDK. Está extraído principalmente del libro de George F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas, editorial McGraw-Hill, y la anécdota escolar sobre la suma de los cien primeros números, así como la ilustración que la acompaña se ha tomado de un artículo de Francisco M. Biosca, Aritmética y Álgebra, incluido en el tomo 6 de la Enciclopedia Labor, edición de 1976.

Para contemplar la sorprendente y compleja construcción del polígono de 17 lados con regla y compás, se puede ver el programa de la serie Universo Matemático, Gauss: de lo Real a lo Imaginario, de Antonio Pérez Sánz, o visitar esta página de José Manuel Arranz, que forma parte de una web dedicada a construcciones geométricas con el programa Cabri II.

Sobre la Ecuación de Drake

Cuaderno de bitácora: uno de mis grumetes me ha mencionado la ecuación de Drake, y esto me da oportunidad para recordar aquí en el blog unas cuantas cosas. Pero empecemos por el principio: ¿qué es la Ecuación de Drake?

Como matenavegante, lo primero que me viene a la mente es que en español la traducción del inglés Drake equation no debería ser "ecuación de Drake", sino más bien "igualdad de Drake" o "fórmula de Drake". Hay que tener en cuenta que en inglés la palabra equation se refiere a cualquier tipo de igualdad, mientras que en matemáticas españolas, ecuación suele implicar una igualdad en la que hay una o varias incógnitas que deben ser averiguadas.

Para los que hemos estudiado las matemáticas tradicionales, la Drake equation no es más que una fórmula, como puede ser la de la gravitación universal de Newton o la de la equivalencia entre masa y energía de Einstein. La ecuación de Drake es una fórmula compuesta básicamente por una multiplicación de siete factores que dan un resultado:

N = R* · f_p · n_e · f_l · f_i  · f_c · L

¿Qué se busca con esta fórmula? Obtener N, el número de civilizaciones que existirían actualmente en nuestra galaxia y con las que seríamos capaces de comunicarnos.

La ecuación de Drake se hizo popular con la emisión de la serie Cosmos, de Carl Sagan, y la posterior publicación del libro sobre la serie. En el capítulo doce, el penúltimo de la serie, titulado Enciclopedia Galáctica, Sagan discute sobre la posibilidad de contactar con otras civilizaciones de otros planetas. Para ello comienza estableciendo un paralelismo con el reencuentro con la civilización egipcia, que se dio en el siglo XIX gracias al descubrimiento de la piedra de Rosetta, y luego argumenta sobre los obstáculos para comunicarse con otras civilizaciones, los avances tecnológicos necesarios, y lo más importante de todo: cuántas civilizaciones extraterrestres pueden existir en nuestra Vía Láctea. Ese número es N.

Frank Drake tuvo el mérito, en 1960, de descomponer N en un producto de factores, cada uno de ellos siendo una cantidad que representa alguna característica necesaria para el desarrollo y la estabilidad de una civilización en cualquier planeta de nuestra galaxia:

R* representa el ritmo anual de estrellas adecuadas que se forman por año en nuestra galaxia. Una estimación de 1961 afirmaba unas 10 por año.

f_p es la fracción de estrellas dentro de la Vía Láctea que tienen planetas a su alrededor. Podría ser, por ejemplo el 50%, o lo que es lo mismo, 0.5.

n_e es el número de planetas que suelen tener las estrellas y que son aptos para el desarrollo de la vida. Puede ser, por ejemplo 2.

f_l es el porcentaje o fracción que de hecho desarrollan vida. Puede ser el 100%, es decir, 1.

f_i es la fracción de esos planetas donde se desarrolla vida inteligente. La estimación de 1961 fue de 1%, es decir, 0.01.

f_c es el porcentaje de esas culturas de vida inteligente que llegan realmente a poder comunicarse a través del espacio. Se dio una estimación de un 1%, 0.01.

L es el número de años que esa civilización puede estar comunicándose antes de perder esa capacidad, ya sea por autodestrucción o por decadencia tecnológica. Se estimó una cifra de unos 10.000 años.

Según estas estimaciones de 1961, N resultaba ser de 10: en cualquier momento podía haber hasta 10 civilizaciones en la Vía Láctea con capacidad de comunicarse con nosotros.

Posteriormente, estas estimaciones se han retocado muy a la baja. No es mi objetivo discutir aquí sobre los cálculos pasados y presentes de cada uno de los factores, pues eso pertenece ya a otros terrenos de las ciencias: astrofísica, química orgánica, biología evolutiva, historia, sociología y hasta política. Carl Sagan discute con detalle en su libro Cosmos los diversos factores y el por qué de su cálculo.

Sin embargo me gustaría señalar que resulta evidente que algunos factores sean más asequibles de conocer que otros; el primero de todos, R*, es medible con estimaciones astronómicas avanzadas, y el segundo, f_p, se está estudiando de forma cada vez más sólida con el descubrimiento de los planetas extrasolares. Pero para los demás factores sólo se cuenta, de momento, con teorías basadas en lo que sabemos de nuestro propio sistema solar, de nuestro planeta y de nuestra civilización, y generalizar al resto de la Vía Láctea es muy arriesgado, aunque siempre interesante.

Frank Drake, por su parte, es un astrónomo y astrofísico estadounidense, nacido en 1930 en Chicago, que ha dedicado su vida al conocido proyecto SETI [Search for extraterrestrial intelligence = "búsqueda de inteligencia extraterrestre], y que sigue esperando, como todos los que participan en dicho proyecto, que algún día sea detectada con la ayuda de los radiotelecopios una civilización de otro planeta, cercano o lejano en la Vía Láctea.

PD: En el libro de Cosmos la ecuación de Drake aparece ligeramente retocada:

N = N* · f_p · n_e · f_l · f_i  · f_c · f_L

El primer factor y el último son diferentes. N* representa el número total de estrellas que hay en la galaxia, y f_L representa la fracción de una vida planetaria durante la cual se desarrolla una civilización técnica: de todos los años que dura un planeta, (en el caso de la Tierra, unos 4.500 millones de años) tenemos que averiguar qué porcentaje representa el tiempo en el que hay una civilización técnica activa sobre el planeta y que se pueda comunicar interestelarmente (en el caso de nuestra civilización, unos 50 años apenas, con lo cual, dividiendo este número entre el anterior, nos sale una cifra muy pequeña, del orden de 0.00000001, y si lo expresamos en porcentaje, 0.000001%). Aunque estos dos factores son distintos de los de la ecuación de arriba el producto final N sale el mismo con las dos fórmulas.

Numeros astronómicos (3): Viajes Espaciales

Un tema recurrente en los relatos y películas de ciencia ficción son los viajes espaciales. Cruzar las distancias siderales para ir de un planeta a otro planeta, de una estrella a otra estrella, de una galaxia a otra galaxia, con multitud de tipos de naves espaciales, es algo que forma parte del argumento de tantos relatos conocidos. En la saga de Star Wars, por ejemplo, las naves que aparecen no tienen problema en trasladarse de un lugar a otro de la galaxia, aunque algunas veces tienen dificultades con el salto hiperespacial, como le ocurre al Millenium Falcon en el Episodio V, o como le ocurre a la nave de la Reina Amidala en el Episodio I. En la serie Star Trek, la nave Enterprise cambia de velocidad, desde el salto hiperespacial, empleado para trasladarse de un sistema estelar a otro, a la velocidad de impulso, usada dentro de un sistema planetario, para acercarse a los planetas o para aproximarse a otra nave.

Por salto hiperespacial se entiende un estado en el que la nave en cuestión viaja a una velocidad superior a la de la luz. Según las necesidades del argumento, dicha nave viajando a esa velocidad mayor que la de la luz empleará más o menos tiempo (minutos, horas, días) en llegar a su destino. Nunca suele ser más de unos pocos días, porque el interés de la acción no está en el viaje en sí, sino en lo que pasa antes y después del viaje. Este tipo de argumentos da por hecho que las naves tienen una tecnología suficientemente avanzada como para viajar de forma rápida y efectiva, sin mayores complicaciones, entre los planetas o estrellas pertinentes.

Hay otro tipo de relatos en la ciencia ficción en los que los autores plantean viajes espaciales más realistas, o más al alcance de la ciencia actual. Así, por ejemplo, tenemos 2001 Una Odisea del Espacio. En este argumento, la nave que aparece viaja lentamente desde la Tierra hasta Júpiter, empleando meses, incluso años, en su trayecto. También tenemos por ejemplo la película Planeta Rojo, que narra un viaje a Marte en el que se emplean varios meses. Las naves de estos dos ejemplos no tienen una tecnología como para alcanzar la velocidad de la luz, ni siquiera llegar cerca de ella. Sus trayectos son lentos, pesados, laboriosos, peligrosos y llenos de inconvenientes. El viaje en sí se convierte en el centro del argumento de la película.

¿Cuánto puede tardar un viaje espacial? Depende del destino que elijamos y de la velocidad a la que nos desplacemos.

Empecemos por el trayecto espacial más sencillo, el más largo que los seres humanos han logrado hasta la fecha: viajar a la Luna. La distancia entre la Tierra y la Luna es de 384.000 kilómetros, aunque los cohetes que han llegado hasta ella han tenido que hacer una distancia ligeramente mayor, porque antes de dirigirse hacia la Luna han de tomar impulso trazando varias órbitas en torno a la Tierra, como los atletas lanzadores de disco, que giran sobre sí mismos varias veces hasta que sueltan el disco. Si pudiéramos ir en coche a la Luna (ver La Carretera hacia la Luna, en este mismo blog), viajando a una velocidad de 120 kilómetros por hora, tardaríamos 3.200 horas cruzar los 384.000 kilómetros. Eso significa un total de 133 días de conducción sin parar, más de cuatro meses.

Las naves espaciales tardan, teniendo en cuenta todas las maniobras de separarse de despegue, separación de la órbita terrestre, adaptación a la órbita lunar y regreso a la Tierra, menos de una semana en ir y volver a la Luna. La velocidad de escape del planeta Tierra es de 40.320 kilómetros por hora, es decir, ésta es la velocidad que tiene que alcanzar un cohete para poder salir al espacio y separarse de la Tierra. A esa velocidad se tarda menos de diez horas en llegar a las proximidades de la Luna.

Si fuéramos a la velocidad de la luz, unos 300.000 kilómetros por segundo, tardaríamos poco más de un segundo en llegar. Pero cuidado, en la práctica estas velocidades son engañosas: hay que tomarse un tiempo para acelerar y otro para frenar, pues de lo contrario, si no frenamos a tiempo, nos pasaríamos muy de largo en un abrir y cerrar de ojos.

Esto es algo que sucede en el espacio: las velocidades suelen ser tremendamente elevadas. Pongámonos en la orilla de una autopista aquí en la Tierra y observemos los coches que pasan. A pesar de desplazarse a una velocidad relativamente moderada, 120 kilómetros por hora, podemos comprobar cómo se acercan rápidamente hacia nosotros y cómo pasan a nuestro lado como una exhalación. Apenas nos da tiempo a fijarnos en su matrícula o en el modelo del coche.

Imaginemos que estamos ahora en el espacio. La velocidad mínima de una cápsula que haya escapado de la Tierra es de 40.320 kilómetros por hora, un poco más de 11 kilómetros por segundo. Si estuviéramos parados observando el paso de un cohete o de una nave espacial, o de una sonda, no tendríamos tiempo ni de darnos cuenta de que se acerca cuando ya habría pasado. ¡11 kilómetros por segundo! En un momento se puede encontrar acercándose desde una dirección a 5 kilómetros y medio de distancia de nosotros, y al segundo siguiente ya ha pasado y se aleja en dirección contraria a 5 kilómetros y medio de distancia.

La velocidad tan elevada a la que se mueven los objetos en el espacio es lo que hace peligrosa a la chatarra espacial. Cuando un cohete o satélite artificial estalla en la órbita de la Tierra, esparce gran cantidad de pequeños trozos que con el paso del tiempo irán cayendo a la superficie de la Tierra, pero que mientras permanecen en órbita se mueven a la velocidad que tenía el satélite: cerca de treinta mil kilómetros por hora. Una bala disparada por una pistola o por un rifle se puede mover a una velocidad diez o veinte veces menor. Eso significa que cualquier tornillo, tuerca o trozo de metal procedente de un satélite artificial se desplaza diez o veinte veces más rápido que una bala. Si se cruza con otro satélite o cohete, lo atraviesa limpiamente, rompiendo todo lo que se encuentre a su paso, por muy resistente que sea. La única salvaguarda que tienen los aparatos mandados al espacio es la ley de probabilidades: el espacio es enormemente grande y la probabilidad de encontrarse con un tornillo suelto es muy pequeña.

Peor es el caso de una nave que se acercara a la velocidad de la luz: ¡ni siquiera la puedes ver mientras se acerca! La luz que emite la nave viene a la misma velocidad que la misma nave, con lo que cuando llega, llega junto a la nave, y antes de eso somos incapaces de ver nada. Captaríamos un fogonazo cuando pasara junto a nosotros, y en un segundo se encontraría tan lejos casi como la Luna.

Se puede calcular también el tiempo que tardaría un avión comercial (velocidad de vuelo: unos 900 ó 1.000 kilómetros por hora) en llegar a la Luna: unas 380 a 400 horas, es decir, 16 días, más o menos.

Más allá de la Luna, las distancias se multiplican, y la duración de los viajes empieza a subir enormemente. Para ir al Sol, hay que recorrer 150 millones de kilómetros, 390 veces más que la distancia a la Luna. Una nave espacial a cuarenta mil ó cincuenta mil kilómetros por hora tarda no menos de 3000 horas, 133 días, en llegar al Sol, siempre que el trayecto lo haga en línea recta, lo cual no es así normalmente, sino que como hemos explicado antes, aprovecha la gravitación terrestre y puede aprovechar la de otros cuerpos del sistema solar, como la Luna, Venus o Mercurio, para impulsarse en su viaje.

La misma nave espacial o sonda, para llegar a Júpiter desde la Tierra necesita cruzar no menos de 630 millones de kilómetros (ésta es la mínima distancia entre Júpiter y la Tierra cuando están en su mayor acercamiento). La duración del viaje llega a ser de dos o tres años, por lo menos.

La duración se multiplica si queremos viajar a Saturno, Urano, Neptuno o Plutón. Carl Sagan, en su obra Cosmos, compara estos viajes con los que tenían que realizar los navegantes en los siglos XVI a XIX en sus periplos alrededor del mundo. Juan Sebastián Elcano, por ejemplo, tardó más de tres años en completar la primera vuelta al mundo. En la actualidad, unos astronautas que intenten llegar a algún otro planeta del sistema solar, especialmente a los exteriores, con las naves de las que disponemos, tienen que prepararse para un viaje de muchos meses, años incluso, con todas las dificultades que ello conlleva: alimento, agua y oxígeno para todo ese tiempo, y mantener ocupados y en buena forma física y mental a los astronautas durante el trayecto, en el que van a estar confinados en un espacio tan reducido como el de la nave.

Viajar a otros planetas del sistema solar es complicado, pero si queremos llegar a otras estrellas, a otros sistemas estelares fuera del nuestro, la cosa se vuelve imposible con los medios actuales. Las estrellas más cercanas, el trío de Alfa Centauri, la estrella de Barnard, la Wolf 359, la Lalande 21185, Sirio, etc., están a varios años luz de distancia. La más cercana, Próxima Centauri, está a más de 4 años luz. Cada año luz es casi 10 billones de kilómetros (billones españoles: diez elevado a doce). Si mandamos un cohete o una sonda de las actuales hacia una de las estrellas más cercanas, a la velocidad a la que se mueven con la tecnología de la que disponemos su viaje tardaría miles de años en completarse. No tiene mucho sentido mandar ninguna nave con nuestra tecnología actual.

Para intentar un viaje hacia otra estrella, se necesitan naves que alcancen velocidades cercanas a la de la luz. Aproximándose mucho a la velocidad de la luz, para llegar al grupo de Alfa Centauri necesitamos más de cuatro años, pues como se ha indicado, este grupo está a más de 4 años luz. Surge el mismo problema de antes: aún teniendo naves tan rápidas, necesitamos preparar astronautas con alimento, agua, oxígeno y buenas condiciones físicas y psíquicas para aguantar un viaje de más de cuatro años (sólo la ida, la vuelta serían otros tantos). Aunque si se consiguiera una velocidad muy próxima a la de la luz, la dilatación temporal que predice la teoría de la relatividad haría que para los astronautas el tiempo corriera mucho más lento, y un viaje de cuatro años visto desde la Tierra, duraría meses o días para los astronautas.

En velocidades comparables a la de la luz, viajar a las estrellas cercanas supone varios años, pero para otras estrellas no tan cercanas puede suponer cientos o miles de años. Las Pléyades, por ejemplo, están a 440 años luz, según las mediciones del Hubble. Si quisiéramos atravesar la Vía Láctea de punta a punta, nos enfrentaríamos a un viaje de cien mil años luz. Salir de nuestra galaxia para visitar otras ya es cuestión de millones de años luz; la galaxia más cercana, Andrómeda o M31, se encuentra a dos millones de años luz.

Ese tipo de viajes, según las teorías relativistas de Einstein, se pueden hacer en velocidades muy cercanas a la de la luz, del orden de 99'99999999995% de la velocidad de la luz, y a este porcentaje, un viaje de dos millones de años luz tardaría para los tripulantes unos 20 años. Evidentemente este tipo de trayectos sólo son de ida, no tiene sentido plantearse el volver, pues entre la ida y la vuelta pasan cientos, miles o millones de años en la Tierra, según el viaje haya sido a estrellas de la Vía Láctea o a otras galaxias fuera de la Vía Láctea. El único sentido de volver a la Tierra es para ver el futuro de nuestro planeta.

Para viajar a otros sistemas estelares existen tres opciones:

1. Diseñar naves que puedan conseguir velocidades muy muy cercanas a la de la luz. Es el caso que hemos estado explicando hasta ahora.

2. Si no se pueden conseguir velocidades tan elevadas, diseñar naves que sean como mundos en miniatura, donde se introducirían una pequeña población de astronautas que vivirían en la nave y tendrían descendencia. Al cabo de varias generaciones los descendientes llegarían al destino. También se puede buscar un sistema de criogenización para mantener a los astronautas en animación suspendida durante cientos o miles de años, y descongelarlos al llegar al final del viaje.

3. Encontrar otro tipo de desplazamiento, más allá de las limitaciones de la Relatividad de Einstein, una especie de salto hiperespacial o alguna forma de desplazarse a través de los llamados agujeros de gusano. Todo esto pertenece en gran parte al terreno de la ciencia ficción, y es lo que se especula en las películas del tipo mencionado al comienzo de esta entrada del blog.

Propongo a los matenavegantes que busquen la fórmula relativista que relaciona el tiempo transcurrido en la Tierra y el tiempo transcurrido para los viajeros de una supuesta nave a las estrellas, y calculen, por ejemplo, cuánto tiempo transcurre para unos astronautas que viajan a las Pléyades a una velocidad de 299.791 km/s (velocidad de la luz: c=299.792'458 km/s).

[Respuesta: casi un año y medio]

Números Astronómicos (2): El sistema solar a escala

Hace varios años, en una cierta playa perdida, a orilla de los Matemares, estuvimos un grupo de navegantes estudiando y comentando las distancias a las que se encuentran los cuerpos del sistema solar. De pie sobre la arena nos dispusimos en línea recta, cada uno de nosotros representando uno de los planetas, y tratamos de que las distancias entre unos y otros fuera a escala con la realidad.

El primero de nosotros era el Sol, y en sus manos tenía un balón de fútbol. Luego cada uno tomó una piedrecita de la playa, de mayor o menor tamaño; esa piedrecita iba a representar el planeta correspondiente. Después nos fuimos alejando para irnos colocando de forma que la escala fuera la correcta para la distancia entre los planetas del sistema solar y el Sol.

Vamos repetir el experimento de forma ideal, tranquilamente sentados frente al ordenador, y para ello necesitamos hacer cuentas.

No hay nada como la red para obtener casi al instante los datos necesarios. Por ejemplo, en el reglamento de fútbol de la FIFA, página 15, encontramos que el balón de fútbol debe tener una circunferencia comprendida entre 68 y 70 centímetros. Lo dejamos en 69 centímetros, y dividimos por pi, obteniendo que el diámetro de un balón de fútbol son unos 22 centímetros aproximadamente.

Pasamos ahora a buscar los datos sobre el Sol, y encontramos que el radio del Sol es de 695.000 kilómetros, y por tanto su diámetro vale 1.390.000 kilómetros. Así ya podemos conocer el cambio de escala entre un balón de fútbol y el Sol. Pasamos todo a metros, dividimos el diámetro del Sol entre el del balón, y obtenemos que la escala es aproximadamente 1 : 6.320.000.000.

¿Qué tamaño tendría la Tierra en esta escala y a qué distancia se encontraría de nuestro balón-Sol?

La Tierra tiene un diámetro ecuatorial de 12.756 kilómetros. Pasándola a nuestra escala, obtenemos que su diámetro sería de 0.002 metros, es decir, 2 milímetros. Si el Sol fuera un balón de fútbol, la Tierra sólo tendría un diámetro de dos milímetros, como un grano de arroz partido por la mitad. La distancia de la Tierra al Sol es de 149.600.000 kilómetros, pasados a nuestra escala tenemos unos 23 metros y medio. Si el Sol fuera un balón de fútbol, la Tierra sería medio grano de arroz a 23 metros y medio de distancia.

¿Cómo sería la Luna en esta escala? Tamaño de la Luna: 3.476 kilómetros de diámetro. Distancia Tierra-Luna: 384.000 km. Pasando todo a nuestra escala obtenemos el diámetro: 0.0005 metros, o medio milímetro, y la distancia, 0.06 metros, o 6 centímetros. La Luna sería un grano de arena de medio milímetro de diámetro moviéndose en una órbita en torno a la Tierra de 6 centímetros de distancia. La Tierra y la Luna, por tanto, cabrían en la palma de la mano.

Comparando los tamaños y las distancias al Sol de los demás planetas podríamos hacer una lista sencilla:

Mercurio: diámetro 4.880 km → 0.7 mm. Distancia al Sol: 57.910.000 km → 9 m.

Venus: diámetro 12.104 km → 2 mm. Distancia al Sol: 108.200.000 km → 17 m.

Marte: diámetro 6.794 km → 1 mm. Distancia al Sol: 227.940.000 km → 36 m.

Júpiter: diámetro 142.984 km → 2.3 cm. Distancia al Sol: 778.330.000 km → 123 m.

Saturno: diámetro 120.572 km → 1.9 cm. Distancia al Sol: 1.429.400.000 km → 226 m.

Urano: diámetro 51.118 km → 8 mm. Distancia al Sol: 2.870.990.000 km → 454 m.

Neptuno: diámetro 49.492 km → 8 mm. Distancia al Sol: 4.504.300.000 km → 713 m.

Una vez que tenemos los tamaños y las distancias a escala, podemos hacer esta representación del sistema solar. Aprovechando que es verano, se hará en una playa larga y recta, tal y como lo hicimos la primera vez.

Una persona se colocará en un lugar de partida, con un balón de fútbol, representando el Sol.

La segunda persona tomará un grano de arena, que representa a Mercurio, y se situará a 9 metros de distancia de la primera persona. Nueve metros son nueve pasos largos o nueve zancadas.

La tercera persona tomará una piedrecita del tamaño de medio grano de arroz, representando a Venus, y se colocará a 17 metros de la que representa al Sol, es decir, 8 metros más lejos que la segunda.

Continuaremos con la Tierra, medio grano de arroz 6 metros más lejos.

Luego Marte, un grano de arena 13 metros más lejos todavía.

Cuando nos toque representar a Júpiter tomaremos una piedra del tamaño de una canica y nos iremos 87 metros más lejos de Marte; ya estamos a 123 metros del Sol.

Saturno, Urano y Neptuno representan unos buenos paseos. Saturno es una piedra del tamaño de una canica ligeramente más pequeña que la de Júpiter, y a 103 metros de éste, en total 226 metros del Sol (el largo de dos campos de fútbol uno a continuación del otro).

Urano es una piedrecita del tamaño de un guisante, a 228 metros de donde se quedó Saturno, 454 metros en total del Sol.

Neptuno es otra piedrecita como un guisante, igual que Urano, y a 259 metros de éste, 713 metros de distancia del Sol.

Me consta por experiencia propia que cuando un grupo de personas se pone a realizar esta representación a escala del sistema solar queda muy sorprendido, porque no se imaginan que el sistema solar sea tan grande en comparación a los planetas, que estos estén tan alejados unos de otros, y que sus tamaños sean tan pequeños respecto al Sol. Es un pasatiempo entretenido y muy instructivo, y lo recomiendo para este verano. Así podremos ir desarrollando nuestra imaginación para empezar a comprender el tamaño, gigantesco, del Universo.

Números astronómicos (1): Una Idea Básica del Cosmos

Cuaderno de bitácora: la otra mañana en el Barco Escuela estuve hablando a los grumetes sobre las distancias en el Universo, la unidad astronómica (UA), el año-luz, etc. Les puse algunos ejemplos sobre la Tierra, el Sol, la Luna, los planetas, la estrella más cercana al Sol, y ellos, aunque en forma un poco desordenada, se interesaron por muchas cosas y me hicieron bastantes preguntas.

Quisiera en esta entrada del blog recordar algunas cosas sueltas interesantes, unas que les dije y otras que no se me ocurrió mencionarles o no me dio tiempo a decir.

A partir de ahora emplearé cifras aproximadas, pues mi pretensión es que el lector se pueda hacer una idea general de lo explicado, no que se pierda en la exactitud de algunos datos. Las cifras exactas se pueden buscar fácilmente en cualquier enciclopedia.

Primero una idea general de dónde nos encontramos. Todos conocemos nuestro pueblo o ciudad, nuestro entorno cercano. Si por ejemplo vivimos en Priego de Córdoba, conocemos sus calles, también el terreno que le rodea, sabemos los pueblos y aldeas cercanos, a qué distancia se encuentra Córdoba o Granada, etc.

También tenemos una idea de la región en la que vivimos, del país, y sabemos que estamos en el planeta Tierra. Pero este conocimiento ya es más teórico, es un conocimiento aprendido por el avance actual de la Geografía y las exploraciones. En la actualidad se conoce con mucho detalle nuestro mundo e incluso se puede fotografiar desde el espacio exterior.

Sin embargo, hace tan sólo quinientos o seiscientos años, la humanidad no sabía decir si vivíamos en una esfera, y la mayoría de la gente pensaba que la Tierra era plana, y el firmamento una bóveda sobre la Tierra, hecha exclusivamente para sostener el cielo de nuestro mundo.

Podíamos conocer nuestra región, pero los países lejanos resultaban desconocidos o formaban parte de las leyendas de los viajeros. La Tierra, que hoy nos parece pequeña, representaba en aquellos tiempos un universo gigantesco, desconocido en gran parte, y sobre el Cosmos y las estrellas sólo había mitos y conjeturas, muy lejos de lo que hoy se puede contemplar y conocer.

La Tierra, acompañada de la Luna, gira en el espacio en torno al Sol. También giran en torno a nuestro Sol gran cantidad de otros cuerpos celestes, como los planetas, planetoides, asteroides, cometas, etc. El Sol, junto a todo su acompañamiento, en el que se incluye nuestro planeta Tierra, forma el llamado Sistema Solar.

El Sol, no obstante, es tan solo una más de las estrellas que pueblan el firmamento. Cuando los poetas hablan del cielo nocturno, dicen que está poblado de infinitas estrellas, pero a simple vista, sin ayuda de prismáticos ni telescopios, en una noche oscura lejos de las ciudades, se pueden llegar a ver sólo unas tres mil estrellas. También se puede contemplar una banda o franja que atraviesa el cielo, de una claridad muy tenue: es la galaxia en la que nos encontramos, la Vía Láctea.

Con ayuda de los telescopios se despliega toda la potencia de la observación cósmica. Así descubrimos que nuestra galaxia no es sino un conjunto enorme de estrellas que están muy lejos para ser distinguidas a simple vista unas separadas de otras. Una galaxia como la Vía Láctea a la que pertenecemos, es simplemente eso: un gran conjunto de estrellas y otros cuerpos, girando en espiral en medio del Universo. A simple vista sólo llegamos a ver unas 3.000 de esas estrellas, pero se calcula que nuestra galaxia está formada por 100.000.000.000 (cien mil millones) de estrellas.

Es de notar que esta cifra varía significativamente dependiendo del lugar donde consultemos, hay fuentes de información donde cuentan doscientos mil millones, trescientos mil millones y hasta cuatrocientos mil millones de estrellas. El Sol sólo es una de esas estrellas, acompañado de sus planetas, cometas y asteroides.

Se ignora si todas y cada una de esas cien mil millones de estrellas está acompañada por planetas y demás cuerpos, pero todo parece indicar que en la mayoría de ellas es así. Con técnicas muy avanzadas en observación astronómica se ha llegado a detectar la presencia de planetas en torno a estrellas cercanas. Actualmente (obsérvese la fecha de esta entrada del blog) hay 264 exoplanetas detectados o descubiertos. Hay una web dedicada a estos planetas fuera del Sistema Solar, La Enciclopedia de los Planetas Extrasolares, muy interesante, aunque parte de la web está en inglés.

Hay muchas más estrellas en nuestra galaxia que personas en el mundo. Si repartiéramos las estrellas de la Vía Láctea entre todos los seres humanos del planeta Tierra, cabríamos a más de quince estrellas por persona. Las parejas, en sus cortejos románticos podrían, literalmente y no sólo poéticamente, entregarse el uno al otro estrellas del cielo y otros cuerpos celestes como muestra de amor, sin peligro de que se acaben.

No paramos aquí. Nuestra Vía Láctea, con todos sus cientos de miles de millones de estrellas es tan solo una entre todas las galaxias que existen en el Universo. Con la ayuda del telescopio Hubble se han llegado a calcular que hay por lo menos diez mil millones, 10.000.000.000 de galaxias en el Cosmos.

Multiplicando ambas cifras, tenemos que en el Universo habría por lo menos mil trillones, 1.000.000.000.000.000.000.000 o diez elevado a veintiuno, de estrellas, sin contar planetas, lunas, cometas, asteroides...

El Universo, como decía Carl Sagan a través de la película Contact, es un espacio enorme. Incluso se dice tradicionalmente que el Universo es infinito. En realidad es una cuestión que no está resuelta, y que dudo si algún día lo estará, por mucho que avance la ciencia. Los astrónomos no pueden hacer otra cosa que seguir investigando...

Nosotros conocemos nuestro entorno, nuestro pueblo, nuestra ciudad, tenemos una idea de lo que nos rodea, pero esa idea empieza a difuminarse conforme ampliamos nuestra visión: la Tierra, el Sistema Solar, las estrellas, la galaxia, el Universo...

Es muy hermoso e instructivo detenerse de vez en cuando en reflexionar sobre todas estas cuestiones, y las matemáticas nos pueden ayudar para ampliar nuestra comprensión sobre el Cosmos.

Para terminar la entrada de hoy, quisiera recordar a ese gran científico y divulgador, fallecido en 1996, que nos ha enseñado tanto sobre los misterios del Cosmos, me refiero a Carl Sagan...

También quiero recomendar la descarga del programa Celestia, una magnífica aplicación que representa el Universo en tres dimensiones, en tiempo y espacio real, y que tiene gran cantidad de complementos.