[El Problema de la Semana] Velocidad de crecimiento

Todavía es primavera:

¿A qué velocidad en kilómetros por hora crece una planta que en seis meses ha pasado de tener 20 centímetros de altura a tener 30?

La solución, 30 centímetros más abajo.

El problema de hoy nos ha recordado una cuestión similar que aparece en el libro El Hombre Anumérico, de John Allen Paulos. Más abajo, en la ampliación, citamos el texto donde se menciona. La imagen está tomada de la web librosdemario.com.

SOLUCIÓN:

Se trata de un ejercicio de cambio de unidades.

La velocidad es igual a espacio partido por tiempo. Primero tenemos el espacio:

30 − 20 = 10 centímetros

Lo pasamos a kilómetros:

10 centímetros = 10/100 = 0.1 metros

0.1 metros = 0.1/1000 = 0.0001 kilómetros

Luego tenemos el tiempo:

6 meses = 6 · 30 = 180 días = 180 · 24 = 4320 horas.

Ya podemos calcular la velocidad en kilómetros por hora que nos pide el problema:

velocidad = 0.0001/4320 = 0.000000023148 km/h aproximadamente.

Si ponemos la solución en notación científica, tendríamos: 2.3148 × 10⁻⁸ km/h.

AMPLIACIÓN:

Como ya mencionamos en la imagen, este problema es similar a una cuestión que se plantea en el libro El Hombre Anumérico, de John Allen Paulos. Citamos el texto en concreto:

"Siempre me sorprende y me deprime encontrar estudiantes que no tienen la menor idea de cuál es la población de los Estados Unidos, de la distancia aproximada entre las costas Este y Oeste, ni de qué porcentaje aproximado de la humanidad representan los chinos. A veces les pongo como ejercicio que calculen a qué velocidad crece el cabello humano en kilómetros por hora, cuántas personas mueren aproximadamente cada día en todo el mundo, o cuántos cigarrillos se fuman anualmente en el país. Y a pesar de que al principio muestran cierta desgana (un estudiante respondió, simplemente, que el cabello no crece en kilómetros por hora), en muchos casos su intuición numérica acaba mejorando espectacularmente."

Luego continúa más adelante:

"En notación científica, las respuestas a las preguntas que planteé al principio son las siguientes: el cabello humano crece aproximadamente a razón de 1,6 × 10⁻⁸ kilómetros por hora; cada día mueren en la tierra unas 2,5 × 10⁵ personas y cada año se fuman aproximadamente 5 × 10¹¹ cigarrillos en los Estados Unidos. Las expresiones de estos números en notación común son: 0,000000016 kilómetros por hora, 250.000 personas y 500.000.000.000 cigarrillos."

Si nos fijamos en la velocidad a la que crece el cabello humano, se parece bastante a la de la hierba de nuestro problema. Concretamente la hierba crece un poco más rápido. ¿Será que con fertilizante para plantas el cabello puede crecer más rápido?

Nota: este problema ha sido extraído del libro Matemágicas, de Ignacio Soret Los Santos.

Flatland - Planilandia

Flatland

The novella Flatland: A Romance of Many Dimensions written and illustrated by Edwin Abbott Abbott in 1884 satirized the social hierarchy of Victorian Britain in a mathematical tale. The narrator, a square, occupies a two-dimensional world, Flatland. He dreams that he visits a one-dimensional world, Lineland, but cannot convince the ruler that life in two dimensions is possible. The square is visited by a sphere, but can't conceive of a three-dimensional world until he visits it. The square then tries to convince the sphere that more dimensions might exist, but he won't be persuaded. It becomes a criminal offence to suggest in Flatland that a three-dimensional world is possible.

Planilandia

La novela Planilandia: un romance de muchas dimensiones, escrita e ilustrada por Edwin Abbott Abbott en 1884, satirizaba la jerarquía social de la Inglaterra victoriana en un relato matemático. El narrador, un cuadrado, ocupa un mundo bidimensional, Planilandia. Sueña que visita un mundo unidimensional, Linealandia, pero no puede convencer al gobernador de que la vida en dos dimensiones es posible. El cuadrado es visitado por una esfera, pero no puede concebir un mundo tridimensional hasta que lo visita. El cuadrado trata de convencer entonces a la esfera de que podrían existir más dimensiones, pero la esfera no se deja persuadir. Sugerir en Planilandia que un mundo tridimensional es posible se convierte en una ofensa criminal.

Esta es una ilustración sacada de la novela Flatland. En ella se aprecia el plano de la casa del cuadrado protagonista. Sus hijos son pentágonos, y sus nietos son hexágonos. Los sirvientes y los policías son triángulos agudos. Las mujeres, como la esposa y la hija del cuadrado, son segmentos. En el libro, de forma satírica, se equipara la evolución de una persona en inteligencia y su posición social con el número de lados que tiene como polígono. Así, en la escala más baja de la sociedad se encuentran los triángulos, que mientras más agudos son, también son más inferiores. El protagonista es un cuadrado, que es una escala media-baja. Los hijos del protagonista ya están en un escalón superior al ser pentágonos, y los nietos en otro escalón más arriba, al ser hexágonos. Las mujeres se encuentran en el escalón más inferior de todos, y por eso no tienen ni derecho a ser polígonos y son representadas por segmentos.

 Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney.
 

Papiroflexia Matemática: Papirolas

Cuaderno de bitácora: hace ya unos años llegó a mis manos el estupendo libro de Robert Ghattas, Bricológica - Treinta objetos matemáticos para construir con las manos, de la editorial Rialp.

[portada tomada de la casa del libro, en ella se puede apreciar la foto de un icosaedro estrellado, hecho a base de módulos de papiroflexia]

Uno de los capítulos del libro está dedicado a la construcción de módulos de papiroflexia básicos o papirolas, con los que se pueden montar luego diferentes estructuras geométricas: figuras bidimensionales, (el molinete, la estrella, tapetes), y también tridimensionales (cubos y conjuntos de cubos, el octaedro estrellado, el icosaedro estrellado).

Para construir los módulos básicos o papirolas, emplearemos cuadrados de papel de diferentes colores. Se pueden emplear papel especial para origami, pero una opción cómoda y barata se encuentra en los tacos cuadrados de papel de notas que venden en las papelerías, pero que no sean los adhesivos.

Partiendo de un cuadrado de papel, podemos formar la papirola con los siguientes pasos:

1. Se dobla el papel por la mitad y luego se desdobla.

2. Se dobla cada mitad hasta hacer coincidir el borde con el centro del papel.

3. Aquí tenemos el resultado.

4. Ahora vamos a doblar en triángulo, empezando por la esquina superior derecha.

5. Hacemos coincidir el borde derecho del papel con el borde inferior.

6. Con la esquina inferior izquierda hacemos lo mismo, obteniendo este romboide.

7. Se desdobla el papel, y observamos que nos han quedado unos triángulos pequeños a modo de solapas en los extremos.

8. Los triángulos pequeños los doblamos hacia adentro del papel, ocultándolos. 

9. Se vuelve a doblar la esquina superior derecha, ahora introduciendo la esquina dentro del "bolsillo" inferior.

10. Hacemos lo mismo con la esquina inferior izquierda, metiéndola en el correspondiente bolsillo superior.

11. Aquí tenemos el resultado.

Es importante que todas las papirolas nos queden en la misma orientación, para que luego se puedan montar. Si hay papirolas de orientaciones diferentes no encajarán correctamente y no podremos formar las figuras tridimensionales.

Si en el paso 5 de los anteriores hemos doblado la esquina superior izquierda en lugar de la derecha, la papirola nos queda en otra orientación. Papirolas de distinta orientación no encajan correctamente.

Si queremos empezar formando un cubo, debemos construir seis papirolas. Es recomendable tomar tres colores para los papeles, es decir, dos papeles de cada color, 6 en total. También se puede hacer con todos los papeles del mismo color, o con los seis de colores diferentes, etc. Eso depende del gusto de cada uno y de la disponibilidad de colores.

Ejemplo de papirolas. Todas deben tener la misma orientación.

A cada papirola se le doblan los "triángulos" de los extremos para que quede de frente un cuadrado con una x en medio.

Ya tenemos las seis papirolas y ahora viene el momento de montarlas para formar el cubo. La regla básica es introducir cada oreja triangular de una papirola por el lateral del cuadrado de otra papirola. Las orejas triangulares no deben quedar debajo del cuadrado de las otras papirolas, esto también impediría el montaje completo de nuestro cubo.

Siguiendo un patrón lógico y buscando la forma geométrica del cubo, al final no es demasiado difícil conseguir completarlo. En Youtube hay varios tutoriales en vídeo que muestran la construcción completa.

Hexaedro o cubo.

Una vez que dominamos la construcción del cubo, podemos atrevernos a construir un octaedro estrellado. Para ello necesitaremos 12 papirolas, y es recomendable elegir grupos de 3 papeles de 4 colores diferentes. Además, las papirolas tendrán un doblez más en una de las diagonales del cuadrado para facilitar la construcción del poliedro.

Las papirolas deben doblarse por una de las diagonales del cuadrado, (la diagonal que permite que la papirola se pliegue como un acordeón en una forma triangular)

La forma básica que va a componer el octaedro estrellado y luego el icosaedro estrellado es la pirámide triangular formada con tres papirolas. El octaedro va a tener ocho de estas pirámides y el icosaedro veinte pirámides.

Octaedro estrellado.

El mayor desafío es la construcción de un icosaedro estrellado, con 30 papirolas, en grupos de 6 papeles de 5 colores diferentes.

Icosaedro estrellado

Aquí podemos ver los tres sólidos juntos y comparar sus tamaños relativos.

Encajando papirolas en un plano sin darles forma tridimensional, podemos formar tapetes, partiendo de las figuras simples de un molinete o una estrella. 

Preparamos cuatro papirolas en dos parejas y las unimos de la forma indicada.

Asi obtenemos la figura llamada estrella.

Si las unimos en otra posición diferente...

... Obtenemos el molinete. Podemos ampliar los tapetes uniendo cuatro estrellas entre sí o cuatro molinetes entre sí, y de ahí en adelante.

Si hacemos varios cubos, podemos combinarlos para formar poliedros más alargados y complejos. Por ejemplo, podríamos hacer el puzle del cubo Soma, todo de papiroflexia, partiendo de 27 cubos. Es un trabajo muy laborioso y de mucho tiempo, que quedará para otra ocasión.

Tres cuartos de asesinato

Cuaderno de bitácora: como quiera que en las largas horas de matenavegación también dedico tiempo a mi amor por la literatura, desde hace meses he estado leyendo poco a poco Las aventuras del buen soldado Svejk, de Jaroslav Hasek, "una de las novelas más hilarantes y subversivas de la literatura universal, en la que se da vida al entrañable y humilde soldado Svejk, enrolado en el ejército austrohúngaro durante la Primera Guerra Mundial" y en la que aparece inesperadamente un pasaje curioso que no me resisto a reflejar en el blog.

Svejk, debido a una circunstancia estúpida, pierde el tren con destino a Budejovice, tren que le tenía que llevar a incorporarse al regimiento 91, al que pertenece. Entonces decide dirigirse a Budejovice a pie, atravesando pueblo tras pueblo, y en uno de esas poblaciones es arrestado por los gendarmes y acusado de deserción o, lo que es peor, de espionaje.

El centinela llevó a Svejk al despacho. El jefe de los gendarmes lo invitó a sentarse con un gesto amistoso y comenzó a interrogarlo de nuevo. Para empezar, le preguntó si sus padres vivían:

-No.

El jefe de los gendarmes pensó enseguida que era mejor así, al menos nadie tendría que llorar por aquel desdichado. Entonces miró la cara bondadosa de Svejk y en un repentino impulso de cordialidad le dio unos golpecitos en la espalda, se inclinó hacia él y le dijo en tono paternal:

-¿Se encuentra a gusto en Bohemia?

-Me encuentro a gusto en todas partes, en Bohemia -respondió Svejk-; por el camino me he encontrado muy buenas personas.

El jefe de los gendarmes asintió con la cabeza:

-En nuestro país la gente es buena y cordial. De vez en cuando hay algún robo o alguna pelea, delitos sin importancia. Ya hace quince años que estoy aquí, y si hago un cálculo, resulta que se producen tres cuartos de asesinato por año.

-¿Se refiere a un asesinato incompleto? -preguntó Svejk.

-No, no quiero decir eso. El hecho es que durante quince años sólo hemos investigado once asesinatos. Cinco fueron con robo y los otros seis homicidios comunes, de los que apenas tienen importancia.

El jefe de los gendarmes hizo una pausa y después retomó su método de interrogatorio:

-¿Y qué pretendía hacer en Budejovice?

-Incorporarme al regimiento 91.

"Si hago un cálculo, resulta que se producen tres cuartos de asesinato por año... El hecho es que durante quince años sólo hemos investigado once asesinatos..." De repente, como quien no quiere la cosa, en medio de este clásico de la literatura checa, aparece un pequeño problema de comparación de fracciones.

Se han producido once asesinatos en quince años, eso quiere decir una proporción de 11/15 de asesinato por año. Pero el jefe de los gendarmes no se queda con esta fracción, sino que la redondea a 3/4 directamente. No son las mismas fracciones, pero ¿son parecidas?

¿Qué faltaría para que haya exactamente tres cuartos de asesinato por año? (las respuestas a estas preguntas están en los comentarios)

No son éstas las únicas matemáticas que aparecen en la genial obra de Hasek. Las matemáticas se filtran como ladrones en la noche en los lugares más insospechados, y las grandes novelas de la literatura universal no están libres de ellas. Más adelante, en el mismo libro, una vez que Svejk ha esquivado a los gendarmes y se ha logrado reunir con su regimiento y éste se dirige en tren hacia el frente de Rusia, continúa contando Hasek:

El capitán Ságner recibió una delegación de la "Asociación para el acogimiento de los héroes", que consistía en dos señoras completamente agotadas. Éstas le entregaron un regalo para el tren, es decir, veinte cajitas de caramelos perfumados, artículos de propaganda de una fábrica de dulces de Budapest. Las cajitas eran metálicas y en la tapa estaba pintado un soldado húngaro dando la mano a un militar austríaco; encima de ellos, resplandecía la corona de san Esteban. Alrededor, había una inscripción en alemán y en húngaro: "Por el emperador, Dios y la patria".

La fábrica de dulces era tan leal a la monarquía que había puesto al emperador antes que a Dios.

Cada cajita contenía unos ochenta caramelos, de modo que tocaban a cinco pastillas para cada tres personas.

Según esto último, podemos plantear la siguiente cuestión: ¿de cuántas personas se componía el regimiento? Es un problema sencillo cuya respuesta la he puesto en los comentarios a esta entrada.

PD: matenavegando, hemos encontrado el blog titulado Matemáticas Recreativas, y en él un problema, precisamente, sobre cajas de caramelos. Los autores del blog lo han propuesto para que se les mande la respuesta. Invito al lector a que lo intente resolver, aunque por mi parte ya mandé la respuesta y está en los comentarios de dicho problema.

[El Problema de la Semana] El papel doblado como una malla hexagonal

Recuperamos hoy otro problema, publicado ya en doDK, que más que problema podríamos denominar pasatiempo, juego o truco de magia. Se trata de tomar un folio o una cuartilla de papel, y sin ayuda de ningún medio exterior, tan solo con las manos, doblarlo de forma que los dobleces aparezcan formando una especie de malla hexagonal, igual que las de algunas alambradas, como en la ilustración:

Es éste un juego que casi todos los cursos les enseño a los grumetes. Lo aprendí en el libro de Martin Gardner, Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas. Transcribo a continuación lo que Gardner comenta en el libro sobre el truco:

El truco de la alambrada

Este extraño truco de salón se debe a Tan Hock Chuan, mago profesional chino que vive en Singapur. Chuan se lo describió en una carta a Johnnie Murray, un prestidigitador aficionado de Portland, Maine, quien me lo hizo llegar.

Una cuartilla corriente, de unos 20 por 13 cm, es marcada por un observador, a fin de poderla identificar luego. El mago la sostiene a sus espaldas (o debajo de la mesa) durante unos 30 segundos. Cuando vuelve a mostrarla, la cuartilla está cubierta de arrugas y marcas que forman una teselación regular a base de hexágonos (como la de la figura). ¿Cómo hacerlo? Casi todo el mundo acusa al mago de haber presionado la cuartilla contra un trozo de alambrada de gallinero, pero en realidad las marcas se han hecho usando las manos nada más.

Martin Gardner, al final del capítulo, comenta la solución (no siga leyendo si quiere intentar resolver el pasatiempo por sí mismo):

Para dejar marcada una cuartilla de papel con un entramado hexagonal, se empieza enrollando la cuartilla y formando un tubo de un centímetro o centímetro y medio de diámetro. Pellizcando uno de los extremos del tubo entre los dedos índice y pulgar de la mano izquierda, se aplasta esa boca hasta dejarla plana. Manteniendo con la mano izquierda la presión en el mismo lugar, se aplasta el tubo entre el índice y el pulgar de la mano derecha en un punto tan cercano al anterior como se pueda, pellizcándolo en un plano perpendicular al del aplastamiento anterior. Hay que apretar fuertemente con ambas manos, y al mismo tiempo empujar los aplastamientos el uno hacia el otro, a fin de hacer que las líneas de los pliegues sean lo más nítidas posible. Ahora es la mano derecha la que mantiene la presión mientras con la izquierda se hace un tercer aplastamiento adyacente y perpendicular al segundo. Se prosigue de igual modo, cambiando alternativamente de mano al ir avanzando a lo largo del tubo, hasta haber pellizcado el tubo entero. (Los niños suelen hacer esto mismo con pajitas de refresco, para hacer "cadenas".) Se desenrolla el papel. Al hacerlo, vemos en él una teselación hexagonal sumamente desconcertante para el no iniciado.

John H. Coker me escribió diciendo que cuando él iba a la escuela, a comienzos de los años treinta, en Yugoslavia, su maestro arrollaba y aplastaba de este modo las notas dirigidas a otros profesores. Por ser extremadamente difícil desenrollar un tubo así y volverlo a enrollar exactamente como estaba antes, el tubo ponía el mensaje a salvo de los niños encargados de transmitir la nota.

Este truco tiene mucho éxito entre todas las personas que lo contemplan, y los grumetes se entusiasman con él, haciéndose rápidamente muy popular en cuanto se enseña.

El Lema de Zorn (relato)

Cuando salió del estrecho desfiladero por el que había cruzado la cordillera, se encontró con un amplio valle iluminado por el sol de la tarde. El paisaje era seco y escaso en vegetación, pero no carecía de belleza. En el fondo del valle se extendía una pequeña población, y en su centro parecía distinguirse un edificio importante. El Estudiante observó una torre cuadrada coronada con un tejado puntiagudo, de aspecto evocador. Detrás de ella, lejos, en las brumas del horizonte, apenas se adivinaban las cumbres blancas de un sistema montañoso. A un lado y al otro del sendero, el espacio estaba colonizado, a parches, por grandes agrupaciones de brezos combinados con diversas especies de árboles que el joven no supo reconocer.

Con un movimiento reflejo, volvió a colocarse correctamente el saco sobre la espalda. En él llevaba, además de algo de comida y ropa de abrigo, un par de libros, varios cuadernos, instrumentos de escritura, una palmatoria con su vela, una daga, un anteojo y un reloj de arena. De momento, era todo lo que poseía. Si las cosas funcionaban como le había explicado el Viejo Ridras, su maestro, en la Escuela le darían alojamiento y manutención a cambio de dedicar unas horas a trabajar en los huertos y a limpiar las estancias.

Jamás antes el Estudiante había abandonado su tierra natal en el lejano sur. Pero Ridras le había enseñado todo lo que sabía respecto a esa extraña ciencia de números y letras que casi nadie era capaz de entender. Cuando el joven le insistió para seguir avanzando en el conocimiento, el Viejo sólo le pudo decir que si quería de verdad profundizar en sus secretos debía viajar al norte, hasta la Escuela de Brezales. Era el sitio más cercano donde los estudiosos podían acceder a completas bibliotecas con los títulos más avanzados sobre cada materia. Muchos de los libros contenidos en ellas eran copias únicas escritas a mano por sus propios autores. Algunos eran tan antiguos que muy pocos sabían descifrar la lengua y la caligrafía en que estaban redactados.

El Estudiante llegó a Brezales justo antes de que cayera la noche, y fue recibido en la Escuela por un portero de mediana edad, aunque bastante estropeado por los años, que lo condujo a una habitación baja en el extremo de un gran edificio de paredes amarillentas. Antes de atravesar la puerta e internarse en los pasillos que conducían hacia su cuarto, pudo ver que anexa al edificio se destacaba la torre cuadrada de tejado puntiagudo que dominaba sobre todo el poblado. La habitación a la que le condujo el portero, tenía dos literas adosadas a paredes opuestas, y cada litera disponía de tres camas; las camas de abajo ya habían sido ocupadas por sendos jóvenes que parecían dormir plácidamente. El Estudiante vio también a un tercer joven que escribía sentado a una mesa junto a la ventana, y se iluminaba con los restos de una vela a la que quedaban pocos minutos para apagarse. Esta visión y un cierto olor a cerrado fueron las impresiones que más se le quedaron marcadas de su llegada a la Escuela, y que no olvidaría el resto de su vida.

La adaptación durante los días siguientes fue progresiva, mientras aprendía las tareas cotidianas que tenía que realizar desde el amanecer hasta el mediodía. Al cabo de una semana se le permitió, por primera vez, acceder a la planta baja de la inmensa biblioteca de la torre. Los Escolares le dieron ese acceso, que apenas duró una hora, para que tuviera una primera vista de la estancia, de la gran cantidad de libros que almacenaba, del ambiente que reinaba en ella, y sobre todo, de la distribución de las estanterías, mesas y sillas. A partir de ese momento, todas las tardes tendría la tarea de limpiar y ordenar la biblioteca durante varias horas, sin permiso de momento, para sentarse a consultar ningún volumen.

Tuvo que pasar un mes hasta que le dieron licencia para leer durante la última hora de la tarde. Ése, sin duda, también sería un momento grandioso en sus recuerdos, pero le surgió la pequeña duda de qué libro tomar durante esa hora. No obstante, el momento de duda duró poco, porque desde los primeros días se había sentido atraído por un tomo grueso de tapas de color castaño oscuro grabadas con letras doradas, cuyo título era simplemente Elementos de Matemática. Su autor, un tal Pedro Abellanas, era desconocido para el Estudiante, pero eso no le impidió admirar desde un principio su trabajo, aunque en realidad conociera tan poco de él.

Aquella noche podría haber abierto el libro por la primera página y haber empezado su lectura ordenadamente. Sin embargo la página que apareció fue la 42. A mitad de la hoja amarillenta, unos renglones atraparon su mirada: "Otra consecuencia muy importante del axioma de Zermelo es el siguiente: TEOREMA DE ZORN.- Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal, por lo menos".

Fueron esos dos nombres que empezaban por zeta, Zermelo, Zorn, los que cautivaron al momento la imaginación del muchacho. Jamás los había oído antes, pero su sonoridad le sugería algo importante y misterioso. Cierto es que llevaba cinco semanas sin hacer otra cosa que limpiar y remover la tierra del huerto, que todavía no había hecho amigos (aunque sí había notado un par de veces la mirada interesada de una joven estudiante que ya tenía pleno derecho a trabajar en la biblioteca todas las tardes), y que no había leído otra cosa en su vida que los escasos y manoseados libros del Viejo Ridras, que apenas llegaban a la docena. Decidió que tenía que empezar por averiguar quiénes eran esos dos personajes de nombre tan sonoro, y tratar de desentrañar lo que decía aquél teorema, del que no había entendido nada aunque solo abarcara un renglón.

En la página 41 del mismo libro, encontró el Axioma de Zermelo al que se referían aquellos renglones anteriores: "AXIOMA DE LA LIBRE ELECCIÓN DE ZERMELO.- Si c es una correspondencia arbitraria entre X e Y, tal que or(c) = X, existe una aplicación f entre X e Y tal que para todo x perteneciente a X se verifica que el par (x, f(x)) es un par de la correspondencia c".

Debajo de este axioma se encontraba otro resultado que parecía importante: "TEOREMA DE LA BUENA ORDENACIÓN.- En todo conjunto C se puede definir una buena ordenación".

Investigando en los viejos volúmenes, averiguó que Ernst Zermelo y Max Zorn habían sido dos sabios, el primero alemán, y el segundo estadounidense, que habían trabajado en teoría de conjuntos, álgebra abstracta, teoría de grupos y otras disciplinas que el Estudiante aún no conocía. Además, descubrió que el Axioma de la libre elección de Zermelo, o simplemente Axioma de elección (cuyo enunciado, de forma más sencilla dice que "dado X, un conjunto de conjuntos no vacíos, entonces se puede tomar o elegir un elemento de cada conjunto de X"), era un principio muy importante, sobre el que los sabios seguían discutiendo si debía ser aceptado o no, y asimismo, el Lema de Zorn se utilizaba muchas veces en las ramas abstractas de diversas disciplinas numéricas.

Al Estudiante le costó muchos días desentrañar el significado completo de aquellas simples frases que le habían llamado tanto la atención. Sin embargo, finalmente empezó a comprender algunos términos, y en la mesa de su habitación, armado de pluma y papel, fue anotando los términos y un ejemplo para cada uno de ellos:

Correspondencia: una relación cualquiera entre dos conjuntos; ejemplo: sea el conjunto de los estudiantes de la Escuela, y el conjunto de los libros de la Biblioteca, se puede definir una correspondencia relacionando cada estudiante con aquellos libros que ha leído en alguna ocasión. Habrá estudiantes que no han leído ningún libro, otros uno, y otros muchos.

Aplicación: una correspondencia en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto; ejemplo: el conjunto de estudiantes y el conjunto de habitaciones de la Escuela. Cada estudiante tiene una habitación asignada, y solo una. Aunque hay estudiantes que comparten la misma habitación, y puede que haya habitaciones vacías.

Orden: una relación entre los elementos de un conjunto, en la que se puede determinar si un elemento es menor o igual que otro. Cumple unas propiedades (que más adelante explicaré). Un ejemplo puede ser, la relación de orden entre las personas a través de la edad: una persona es menor que otra cuando tiene menos años. Otra relación puede ser a través de su estatus dentro de la Escuela: una persona es menor que otra siempre que su puesto sea de menor importancia; los Estudiantes son menores que los Escolares, los Escolares menores que el Decano.

Orden total: aquel orden en que dados dos elementos, uno de ellos siempre es menor o igual que el otro. Esto no ocurre en todos los órdenes; cuando viene uno de los nobles de visita, yo no sé decir si tiene menor o mayor categoría que uno de nuestros Escolares, porque no pertenece a nuestra Escuela.

Buena ordenación: aquel orden total establecido en un conjunto en el que si tomo cualquier subconjunto, éste tiene un mínimo. Los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, ... están bien ordenados.

Cota superior: si tengo un conjunto ordenado y tomo un subconjunto, una cota superior es aquel elemento del conjunto que es mayor que todos los del subconjunto.

Conjunto inductivo: conjunto en el que hay un orden, y en el que si tomamos un subconjunto con un orden total dentro de él (a este subconjunto se le llama también cadena), entonces ése subconjunto tiene una cota superior.

Elemento maximal: un elemento de un conjunto ordenado, tal que no existe ningún otro elemento mayor que él.

Más adelante, una templada tarde en la que apetecía estar fuera, paseando entre los huertos, el Estudiante tuvo oportunidad de charlar con la joven que había visto en la Biblioteca los días anteriores. Le explicó todo lo que había aprendido hasta ese momento, y lo difícil que le había resultado al principio entender aquella terminología y adaptar su mente a conceptos tan abstractos, pero que ahora veía, por ejemplo, que el Axioma de Libre Elección o el Teorema de Buena Ordenación de Zermelo parecían algo de lo más natural del mundo.

-Si yo tengo por ejemplo un conjunto de cajas -decía el Estudiante-, y en cada caja tengo un conjunto de objetos, ¿no es lógico que pueda ir tomando un objeto de la primera caja, otro de la segunda, otro de la tercera, y así sucesivamente hasta terminar las cajas? Y si tengo un conjunto de objetos, ¿no parece trivial ir colocando todos los objetos en un buen orden, uno el primero, otro el segundo y así sucesivamente hasta terminar?

-Eso es muy sencillo -contestaba la joven- cuando el número de objetos con el que trabajas es finito, porque esa tarea que describes acaba finalmente. Pero empieza a no ser tan sencillo cuando los conjuntos son infinitos.

Y entonces la joven empezó a hablarle al Estudiante del infinito, y de todas las clases de infinitos que existían, los infinitos numerables y los no numerables, y todas las paradojas que se producían al tratar con conjuntos infinitos. Estuvieron charlando durante un buen rato, hasta que la luz del atardecer empezó a menguar y un viento frío azotó los árboles frutales, y entonces, escuchando la cálida voz de su acompañante, el Estudiante se dijo que a través de las infinitas posibilidades que ofrece el destino, no quería vivir otra diferente de la que tenía en esos momentos, y aquella ocasión la atesoró en su memoria hasta el fin de sus días.

El Nurikabe

Cuaderno de bitácora: estamos empezando un nuevo periplo en el Barco Escuela, y este año a los grumetes les hemos propuesto como pasatiempo que aprendan a resolver nurikabes.

Descubrí el Nurikabe en una librería, en la sección de los libros dedicados a juegos y pasatiempos. Entre los libros de sudokus y kakuros estaba El libro del Nurikabe, escrito por Sam Griffith-Jones y publicado por Valor Editions.
Dice Sam Griffiths-Jones en su Introducción al Nurikabe:

En el folklore japonés, el Nurikabe es una pared invisible que impide al viajero proseguir su camino. El Nurikabe toma la forma de una tabla en la cual están colocados una serie de números. El objetivo es usar esos números para decidir qué casillas en la tabla deberían estar ennegrecidas (el Nurikabe, o pared), y cuales deberían quedarse en blanco, basándose en una serie de normas sencillas. El Nurikabe también es conocido bajo el nombre de "islas en una corriente", donde las casillas negras son la corriente y las casillas blancas las islas. Cada puzzle tiene una sola solución, y siempre se puede llegar a esa solución por deducción lógica. No es menester hacer adivinanzas.

Según la wikipedia, el Nurikabe es un pasatiempo desarrollado por un tal Reenin en el número 33 de la revista Nikoli, publicado en marzo de 1991. Pronto se convirtió en un éxito dentro de la revista, que ha seguido incluyéndolos en todas sus ediciones.

El Nurikabe ha seguido la estela del extraordinario éxito del Sudoku. Después de que el Sudoku se popularizase en 2004, otros pasatiempos de origen japonés han ido apareciendo en todo el mundo. El Kakuro y el Nurikabe son dos de ellos.

En la página web Nurikabe @ Daily Sudoku se explican las reglas, hay un tutorial y una gran colección de nurikabes para imprimir y resolver. Como quiera que la página está en inglés, a continuación incluyo una traducción de las reglas y el tutorial.

Reglas:

-Cada celda o casilla debe ser blanca o negra.

-Cada grupo de casillas blancas (islas) debe contener uno y solo un número.

-El número de casillas blancas en un grupo debe ser igual a ese número.

-Todas las casillas negras deben estar unidas formando un bloque continuo (el muro o corriente).

-Los bloques 2x2 de casillas negras no están permitidos.

Ejemplo resuelto:

Primer paso: casillas con un 1

Fijémonos en el número 1 cerca del centro de la cuadrícula. Cada isla debe contener un número. El número 1 representa una isla con solo un cuadrado blanco, así que podemos sombrear las casillas adyacentes. Esto mismo es cierto para el 1 de la esquina superior derecha.

Paso dos: sombreando entre las islas

Ningún grupo de celdas blancas debe contener más de un número. Esto significa que los números deben estar separados por cuadrados negros. Cuando tenemos dos números con un solo cuadrado entre ellos, este cuadrado debe ser ennegrecido. Por ejemplo, el 5 y el 2 de la esquina superior izquierda deben separarse por una casilla negra.

Paso tres: extendiendo el muro

Si nos concentramos en la esquina inferior izquierda de la cuadrícula, cada cuadrado negro debe estar conectado para formar el muro. La casilla negra de la esquina inferior izquierda no debe quedarse aislada. Sólo tiene un cuadrado vecino posible, el cual, por tanto debe ser negro. Donde haya una única posibilidad, debemos extender el muro.

Paso cuatro: extendiendo las islas

Fijémonos en el número 2 en la esquina inferior izquierda. Esta isla no está completa todavía, necesita un segundo cuadrado blanco. El número tiene sólo una casilla vecina posible, y por tanto debe ser blanca. Podemos poner un punto en esa casilla para mostrar que es blanca. Ahora la isla "2" está completa, y por tanto la podemos rodear de cuadrados negros.

Paso cinco: aislamiento

Echemos un vistazo a los cuadrados marcados con (a). Estos cuadrados están rodeados, y por tanto no pueden ser parte de ninguna isla. Se deben sombrear.

Como estamos ahí, debemos extender el muro de la esquina superior derecha. Podemos buscar otros lugares donde el muro debe extenderse también.

Paso seis: otra vez las islas

Miremos el 5 en la esquina superior izquierda. Necesitamos extender la isla. Usemos puntos para señalar los cuadrados que deben ser blancos.

¿Qué otras islas se pueden extender?

Paso siete: bloques 2x2

La última regla dice que no se permiten bloques 2x2. Los dos cuadrados marcados con (a) en la parte central izquierda de la cuadrícula deben ser blancos, porque si los sombreamos violamos dicha regla. Marquémoslos con puntos.

Paso ocho: sombreando entre las islas II

En el paso dos, rellenamos los cuadrados que separaban dos números. Esto lo podemos extender de manera lógica y rellenar los cuadrados que separan las islas que van creciendo. Observemos los cuadrados marcados (a). ¿Se comprende por qué deben ser sombreados?

Paso 9: muro e islas

El error más corriente es concentrarse sólo en el muro, o sólo en las islas. Necesitamos ir cambiando la atención del muro a las islas y de las islas al muro. Busquemos si se pueden extender partes del muro para evitar que se queden aisladas, y extender islas y sombrear las casillas que las rodean cuando están llenas.

Paso 10: ya casi está

¡Casi lo hemos conseguido! Nótese que en la cuadrícula mostrada arriba, debemos rellenar los cuadrados marcados (a) para que no se queden aislados trozos enteros de muro.

Paso 11: últimos cuadrados

Las islas restantes se pueden extender en una sola dirección. El último cuadrado oscuro une dos grandes secciones de muro en una unidad continua.

Paso 12: solución

¡Bien hecho! Obsérvese la distribución de las islas y la línea continua de muro.

En la misma web Nurikabe @ Daily Sudoku hay una página con muchos nurikabes para imprimir.

Notas:

Las reglas del Nurikabe no son tan intuitivas ni tan simples como las de los sudokus. De hecho hay variantes. Así tenemos, que en El libro del Nurikabe, Sam Griffiths-Jones incluye una regla específica, no incluida aquí, que dice que el muro no puede tener ciclos, es decir, el muro no puede contener circuitos cerrados de casillas; otra forma de definir esta misma regla es exigir que dadas dos casillas negras del muro, debe haber un solo camino posible que las une. Además no están permitidos los bloques 2x2 de casillas negras ni tampoco los bloques 2x2 de casillas blancas. Sin embargo, en la página web Nurikabe @ Daily Sudoku no se incluyen estas dos reglas, aunque el ejemplo que trae sí las sigue implícitamente.

Hay otras páginas de Nurikabes en las que los ciclos sí están permitidos explícitamente. Véase, por ejemplo, el siguiente Nurikabe resuelto, que aparece en la página de su.doku.es:

En este Nurikabe hay un ciclo en torno a la isla "1" del centro. Si quisiéramos ir por el muro de una casilla negra que esté junto al 3, a la casilla negra que está junto al 6, habría dos caminos posibles, al poder rodear al 1 central por dos lados distintos.

Hay otras muchas webs en las que aparecen Nurikabes para resolver online. La página de la revista japonesa Nikoli tiene también tutoriales flash (en inglés) para aprender de forma sencilla e interactiva a solucionarlos.

Si yo tuviera un gúgol de euros...

Cuaderno de bitácora: en uno de nuestros viajes por los puertos ingleses, descubrimos un libro con muy buen precio, The Story of Mathematics, escrito por Anne Rooney. Su contenido es ameno y fácil de leer (para los que saben inglés), y durante el nuevo periplo del Barco Escuela estamos seleccionando algunos textos para trabajar con los grumetes.

Uno de esos textos habla sobre el gúgol y el gúgolplex (googol y googolplex en inglés). Los matenavegantes suelen conocer estos dos números, ya que han ido adquiriendo cierta fama a lo largo del tiempo.

Un gúgol es un número: un 1 seguido de cien ceros. En potencias de diez, diríamos que es diez elevado a cien, 10¹⁰⁰. Es, por tanto, un número muy grande, enorme.

Un millón es un 1 seguido de seis ceros, un billón (en España) es un 1 seguido de 12 ceros. Un trillón, un 1 seguido de dieciocho ceros. Éstos ya son números muy grandes. El gúgol es mucho, mucho, pero mucho más grande que cualquiera de los mencionados. En la definición de gúgol de la Wikipedia, que recomendamos leer porque trae unas cuantas curiosidades sobre el gúgol, se comenta, por ejemplo, que siguiendo la misma tónica de potencias de diez: trillón, cuatrillón, quintillón, sextillón, septillón, octillón, etc., el gúgol equivaldría a diez mil hexadecillones.

Un gúgol, como hemos dicho, es enorme, pero mucho peor es el gúgolplex. El gúgolplex es otro número: un 1 seguido de un gúgol de ceros, o en potencias de diez, diríamos diez elevado a un gúgol.

La ocurrencia de ponerle nombres propios a estos dos números la tuvo Milton Sirotta, el sobrino de nueve años del matemático americano Edward Kasner. En el libro Matemáticas e Imaginación, de Edward Kasner y James Newman, se dice, por ejemplo, que

Palabras de sabiduría pronuncian los niños, por lo menos tan a menudo como los hombres de ciencia. El nombre "gúgol" fue inventado por un niño (sobrino del doctor Kasner, de nueve años de edad), a quien se le pidió que propusiera un nombre para un número muy grande, a saber: un 1 seguido de cien ceros. Estaba muy seguro de que este número no era infinito y, por lo tanto, igualmente en lo cierto de que tenía que tener un nombre. Al mismo tiempo que indicó la palabra "gúgol", sugirió el nombre para otro número aún mayor: "gúgolplex". Un gúgolplex es mucho mayor que un gúgol, pero continúa siendo finito, como se apresuró a señalar el inventor de su nombre. Primero se sugirió que un gúgolplex sería un 1 seguido de tantos ceros que uno se cansase de escribirlos. Esto es una descripción de lo que sucedería si uno tratara realmente de escribir un gúgolplex, pero distintas personas se cansan en tiempos diferentes y no consideraríamos a Carnera [un boxeador de la época] mejor matemático que al doctor Einstein, sencillamente porque tuviera más resistencia. El gúgolplex es, pues, un número finito determinado, formado por tantos ceros después de la unidad, que el número de ceros sea igual a un gúgol.

En otro pasaje del mismo libro, se dice también que

Desgraciadamente, tan pronto como la gente habla de números grandes, pierde la chaveta. Parecen hallarse bajo la impresión de que, ya que cero es igual a nada, pueden agregar a un número tantos ceros como les plazca sin que ello traiga consecuencias serias. Tendremos que ser un poco más cuidadosos, pues, al hablar de números grandes.

En efecto, corroborando lo que dice el libro, una vez que explicamos a los grumetes lo que significa un gúgol, ellos no parecen captar la idea. No les culpamos, porque es muy raro que alguien pueda captar la idea al principio. Les decimos, por ejemplo, que se ha calculado el número de partículas subatómicas del universo (protones, neutrones, electrones, fundamentalmente) y que ese número es menor que un gúgol, está en torno a diez elevado a ochenta, o un 1 seguido de ochenta ceros. Les decimos también que si quisiéramos escribir un gúgolplex, no habría en el universo espacio suficiente para escribir todos los ceros. Parece que con estas comparaciones es suficiente para que capten el concepto, pero no es así.

Porque de repente, siempre surge la misma ocurrencia: ¿y tener tanto dinero como un gúgol?

Hasta ahora no me había dado cuenta que una de las mejores maneras para hacerse una idea de los números grandes es hablar en términos de dinero. Ahí los grumetes, y cualquier persona, en general, tiene muchas referencias, y además interesantes, porque es fácil suponer que tenemos grandes cantidades de dinero y dejar volar la imaginación con todo lo que podríamos hacer con ellas.

Si hablamos de mil euros, por ejemplo, estamos hablando del sueldo mensual, un poco bajo, de una persona (últimamente se ha acuñado el término mileurista para designar en España a los trabajadores que tienen un sueldo en torno a mil euros al mes, cantidad que es escasa a la hora de hacer frente a la hipoteca de un piso, el mantenimiento de una familia, etc.) Si hablamos de diez mil euros, entonces ya entramos en lo que vale, por ejemplo, un automóvil sencillo. Si fueran cien mil euros, es el valor de un piso pequeño en una ciudad donde los precios de los pisos sean bajos.

Cuando llegamos a un millón de euros, entonces ya nos podemos imaginar una casa grande con jardín, piscina, bien amueblada, y si son diez millones de euros, empezamos a movernos en las cifras que ganan algunos deportistas al año. Cien millones de euros es un poco más de lo que costó el traspaso de Cristiano Ronaldo al Real Madrid, y puede ser el presupuesto de una superproducción de Hollywood protagonizada por actores famosos. Miles de millones de euros se pueden usar para contabilizar la fortuna de algunos multimillonarios. Aquí ya se empieza a perder la perspectiva.

Un billón de euros, (un millón de millones), es una cifra que se usa en la economía global de los países. El Producto Interior Bruto (PIB) en España, la suma de todos los bienes y servicios finales producidos en un año, fue en 2008 alrededor de un billón de euros, mientras que el PIB mundial, es decir, la suma de todos los países, no llegó a cincuenta billones de euros.

Un mil billones de euros, por tanto, es más de lo que se ha producido en todo el mundo durante los veinte últimos años.

Si ahora subimos a un trillón de euros (un 1 seguido de dieciocho ceros), resulta que es más de mil veces el dinero que se ha movido en todo el mundo en veinte años, ¿qué se le puede decir a un grumete cuando con ingenua e inconciente ocurrencia pregunta por un gúgol de euros?

En ese momento clave intento contestarle de forma contundente, y mi propia imaginación me traiciona. Lo primero que digo es que ese dinero no existe, que no hay tanto dinero en el mundo, y el grumete me pregunta: ¿por qué?

Luego se me ocurre decirle que con ese dinero se podría comprar el mundo entero, qué digo el mundo, el sistema solar entero, y esto último ya me parece bastante fuerte.

Pero poco a poco lo realmente enorme de tal cantidad se va abriendo paso en mi mente: un gúgol de euros...

No hay un gúgol de partículas subatómicas en el universo, luego si se me ocurriera pagar un euro por cada átomo del universo, podría comprar el universo entero, y me sobraría mucho dinero...

Pagar un euro por cada átomo es un precio CARÍSIMO. ¡Para comprar un SIMPLE vaso de agua no habría suficiente dinero en el mundo!.

Si yo tuviera un gúgol de euros, podría pagar un euro por cada átomo y comprar este universo entero.

Si yo tuviera un gúgol de euros, podría pagar un euro por cada partícula subatómica y comprar un trillón de universos como éste...

Si yo tuviera un gúgol de euros...

¡El Matenavegante ya es un libro!

Tenemos la satisfacción de anunciar la reciente edición del primer libro del Matenavegante. Esta misma semana acaba de salir de la imprenta. En este libro hemos recogido las cincuenta primeras entradas de nuestro blog, y además una sección de artículos complementarios aparecidos en la web doDK. Sin embargo, el libro no consiste en una mera repetición (corta y pega) de lo ya publicado en Internet. Todos los artículos están revisados, corregidos, y muchos de ellos ampliados en detalle. Además se han completado con gran cantidad de notas y reseñas bibliográficas.

Aquellas personas que estén interesadas en adquirirlo se pueden dirigir a mi correo electrónico pvbsoft@yahoo.es, también a la Librería Juan de Mairena, en Lucena, Córdoba, o por correo electrónico a José Trapiello, jtrapi@telefonica.net, dueño de la librería y responsable de la editorial Juan de Mairena, que es la que se ha encargado de la publicación.

El libro consta de unas 248 páginas y está lleno de ilustraciones en blanco y negro. Tiene un tamaño de letra cómodo de leer y el papel es de gran calidad. La edición es muy pequeña, de momento, pero se trata de empezar por algo. Posiblemente haremos una presentación oficial del libro en Priego de Córdoba a final de septiembre o comienzos de octubre. Si todo va bien, puede que terminando este año se empiece a preparar un segundo libro, conteniendo las siguientes cincuenta entradas del blog.

Todos los comentarios y sugerencias que quieran hacer nuestros lectores con ánimo de ayudar, serán bien recibidos y tenidos en cuenta. Muchas gracias a todos.

Una Nueva Joya para el Cofre

Cuaderno de bitácora: en un cierto callejón de un puerto populoso visité ayer una pequeña tienda de objetos de segunda mano perteneciente a la organización Traperas de Emaús, encontrando muchos tipos de cosas, entre ellas diversos libros antiguos de matemáticas. Como quiera que tengo cierta debilidad por los libros antiguos, me detuve en verlos, y encontré lo que para mí constituye una joya más para el Cofre de los Tesoros Matemáticos: un libro de Álgebra y Trigonometría de Julio Rey Pastor y Pedro Puig Adam.

Es un libro editado en las Gráficas Afrodisio Aguado, de Madrid, en el año 1940. Para tener 69 años de edad está en muy buen estado de conservación. En la primera página hay una anotación de su dueño original, en tinta verde, con una letra apaisada y dinámica, difícil de leer, que indica el lugar y la fecha: Ceuta, 19-5-44 y debajo una firma en la que parece distinguirse el nombre de Manuel. El libro además viene acompañado de un pequeño cuaderno con tablas logarítmicas y trigonométricas.

Uno de los motivos que hacen de este libro una Joya Matemática es que sus autores son dos grandes matemáticos españoles. Julio Rey Pastor es considerado uno de los matemáticos españoles más relevantes del siglo XX. Nació en Logroño en 1888, estudió Ciencias Exactas en la Universidad de Zaragoza, y obtuvo el doctorado en Madrid en 1909 con una tesis sobre Correspondencia de figuras elementales. Consiguió una cátedra de Análisis Matemático en la Universidad de Oviedo, y posteriormente se le concedieron dos becas, una en 1911 y otra en 1913 para estudiar en Alemania, primero en Berlín, y luego en Gotinga junto a Félix Klein. En 1914 se trasladó a la Complutense de Madrid, y posteriormente en 1921 obtendría un puesto en la Universidad de Buenos Aires. Fue uno de los primeros matemáticos españoles que pudo investigar en buenas condiciones, y es considerado como uno de los grandes renovadores de las matemáticas y de las ciencias en general en todo el mundo de habla hispana. Desarrolló sus investigaciones en diversos campos avanzados de la geometría y del análisis matemático. También es recordado por haber escrito una gran cantidad de libros de texto para los estudiantes y por sus libros de divulgación científica. Murió en Buenos Aires en 1962.

Pedro Puig Adam es otro de los matemáticos españoles más recordados del siglo XX. Nació en Barcelona en 1900 y allí estudió Ingeniería y Matemáticas. Se licenció en Matemáticas e hizo el doctorado en Madrid, donde conoció a Rey Pastor, de quien fue primero discípulo, y luego amigo y colaborador. Obtuvo la Cátedra de Matemáticas del Instituto San Isidro de Madrid, que mantuvo hasta su muerte. En este Instituto tuvo como alumnos a Don Juan de Borbón y a su hijo, nuestro Rey Don Juan Carlos I. Colaboró con Julio Rey Pastor durante muchos años en la redacción de libros de Matemáticas para Bachillerato, que constituyeron la base de la enseñanza en este nivel. Sus aportaciones a la didáctica de las matemáticas han sido muy notables. Murió en Madrid, en 1960. Para saber más detalles, se puede ver esta biografía de Puig Adam, de la que hemos extraído algunos datos.

El libro que encontré ayer es uno de esos tantos que Rey Pastor y Puig Adam redactaron para enseñar matemáticas a nivel de Bachillerato. Trata en su introducción de los números negativos; luego en el capítulo primero desarrolla las expresiones algebraicas, los polinomios y sus operaciones; en el capítulo segundo explica las ecuaciones de primer grado, y en el capítulo tercero los sistemas de ecuaciones; el capítulo cuarto está dedicado a las representaciones gráficas, las funciones lineales y las progresiones aritméticas, el quinto a las raíces, los radicales y las expresiones irracionales, y el sexto a las ecuaciones de segundo grado. En una segunda parte, en el capítulo séptimo estudia la función exponencial y logarítmica, las progresiones geométricas y el interés compuesto; el capítulo octavo está dedicado a la trigonometría, y el capítulo noveno y último está dedicado a dar unas breves nociones de agrimensura y topografía.

Otro detalle interesante es la fecha de su edición: 1940, apenas un año después del término de la guerra civil española. Mientras la pobreza, el hambre y la devastación azotaban al país, y el nuevo régimen dictatorial se afirmaba en el poder, mientras en Europa la Segunda Guerra Mundial estaba en sus comienzos, existían en Madrid editoriales que se dedicaban a editar libros para los estudiantes de Bachillerato de esta época. Aquellos estudiantes vivían en unas condiciones mucho más precarias y básicas que las que tenemos ahora en España; todavía no conocían los bolígrafos (recién inventados en 1938 por los hermanos húngaros Biro, en 1950 aparecieron los primeros bolígrafos BIC) sino que usaban pizarrines, lápices, plumas y tinta china, y ni siquiera soñaban con las futuras calculadoras de bolsillo (popularizadas a partir de 1975), se tenían que conformar con hacer las operaciones a mano o aprender a usar las tablas de logaritmos.

Cuando nos ponemos a leer el libro, desde el primer momento destaca la exposición clara, sencilla y elegante de los conceptos matemáticos. Es un libro pequeño, de un tamaño A5 aproximadamente, y tiene 280 páginas. Los capítulos están subdivididos en lecciones breves, de 4 a 6 páginas cada una, resultando un total de 48 lecciones. Para mi gusto es un libro muy agradable de leer, mucho más que los actuales libros de texto, grandes, de letra pequeña y llenos de colorines. El libro de Rey Pastor y Puig Adam va al grano, es muy concreto y se entiende con facilidad; es un libro pensado para llegar a los lectores de la forma más accesible. Tengo la opinión de que se necesita una concentración y un esfuerzo mucho mayor para poder leer y estudiar un libro de texto actual que para uno de estos libros de hace setenta años. Pero es que ahora estamos más avanzados que antes. También me gustaría señalar otro detalle: el libro de Rey Pastor y Puig Adam pesa mucho menos que un libro de texto actual, y esto es importante, ahora que se habla tanto del peso excesivo de las mochilas de los grumetes y se quieren buscar soluciones a ello. Basta hacer libros más pequeños, con papel menos pesado y un contenido más ajustado.

Definitivamente, prefiero los libros de Rey Pastor y Puig Adam a los actuales. Pero claro, no estamos hablando de unos autores cualesquiera. Y es posible, como dije al principio, que me esté dejando llevar por esa atracción hacia los libros antiguos. Nada hace más valiosa una Joya que la historia que atesora y el largo tiempo que se lleva enterrada entre las arenas de una isla perdida, esperando al afortunado matenavegante que disponiendo del mapa adecuado sepa encontrarla y sacarla a la luz.