[El Problema de la Semana] Triángulos de un Solo Trazo

Presentamos hoy uno de los típicos problemas o pasatiempos en los que hay que conseguir trazar una figura de un solo trazo, es decir, en una sola línea, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por un mismo camino ya dibujado:

¿Es usted capaz de dibujar, de un solo trazo, la siguiente figura triangulada?

La solución, unos cuantos triángulos más abajo.

 

Buscando triángulos hemos encontrado esta caja de porciones de queso. Anuncia que lleva dentro "16 cheese triangles", (16 triángulos de queso), aunque estrictamente hablando, las porciones no son triangulares, porque uno de sus lados es curvo. Pero claro, anunciar que dentro de la caja hay "16 cheese circular sectors", (16 sectores circulares de queso), sería no solo confuso, sino matemáticamente pedante.

SOLUCIÓN:

En este grafo en particular podemos empezar a trazar por cualquiera de los puntos, y si hacemos el recorrido de forma inteligente lograremos nuestro objetivo.

Así, por ejemplo, podemos empezar por el vértice A, y luego hacer el siguiente recorrido:

A - C - D - B - G - I - J - H - E - C - F - I - H - F - D - G - F - E - A

Pasando en este orden por los diferentes vértices habremos resuelto el problema. Hay muchas otras soluciones que el lector puede ir probando.

AMPLIACIÓN:

Históricamente, el problema de dibujar grafos pasando por todas las aristas sin levantar el lápiz del papel tiene su origen en el Problema de los Puentes de Königsberg. Este problema fue resuelto por Leonhard Euler, y dio origen a una nueva rama de las matemáticas, la Topología, también llamada originalmente Analisis Situs.

La solución de Euler es muy sencilla de entender y se basa en clasificar los vértices del grafo en vértices pares o impares, según el número de aristas que convergen en cada vértice:

-Si un grafo solo tiene vértices pares, entonces se puede dibujar de un solo trazo, empezando por cualquier vértice.

-Si un grafo tiene dos vértices impares y el resto son pares, también se puede dibujar, pero esta vez hay que empezar el trazo en uno de los vértices impares, mientras que el otro vértice impar será el punto en el que finaliza el trazo.

-Si un grafo tiene cuatro o más vértices impares, entonces no se puede dibujar de un solo trazo.

En el grafo que hemos puesto en el problema de hoy, podemos ver que todos los vértices son pares: en A, B y J convergen 2 aristas, en C, D, E, G, H e I convergen 4 aristas, y en F convergen 6. Por tanto, se puede dibujar de un solo trazo, empezando por cualquier punto.

Nota: este problema está inspirado en un capítulo del libro Mathematics and the Imagination, de Edward Kasner y James Newman.

Newton and Leibniz - Newton y Leibniz

Newton and Leibniz

Sir Isaac Newton (1643-1727) was an English mathematician and scientist who is generally thought to be one of the greatest mathematicians of all time. He identified the principle of gravitation and the fact that it applied to all bodies throughout the Universe, establishing a formula to predict its effect in all circumstances. He formulated the three laws of motion and, by using a prism, established that white light was made up or a spectrum of colours. One of his greatest achievements was the invention of the calculus.

Gottfried von Leibniz (1646-1716) was a German mathematician who, independently of Newton, but about the same time, also invented the calculus. Though their methods were the same in principle, they differed widely in the notation they used. Controversy over which was the better dragged on for almost a century, but it is the Leibniz notation we use today.

Newton y Leibniz

Sir Isaac Newton (1643-1727) fue un matemático y científico inglés que generalmente se piensa que es uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Identificó el principio de gravitación y el hecho de que se aplicaba a todos los cuerpos del Universo, estableciendo una fórmula para predecir su efecto en todas las circunstancias. Formuló las tres leyes del movimiento y, con el uso de un prisma, estableció que la luz blanca estaba compuesta de un espectro de colores. Uno de sus grandes logros fue la invención del cálculo (*).

Gottfried von Leibniz (1646-1716) fue un matemático alemán, que independientemente de Newton, pero sobre la misma fecha, también inventó el cálculo. Aunque sus métodos eran en principio los mismos, se diferenciaban mucho en la notación que usaron. La controversia sobre cuál era la mejor, se mantuvo durante casi un siglo, pero es la notación de Leibniz la que usamos hoy.

(*) A la rama matemática desarrollada por Newton y Leibniz, en inglés se le ha dado el nombre de calculus, pero en español la palabra cálculo tiene la acepción general de "cómputo que se hace de algo por medio de operaciones matemáticas". Por tanto, una traducción más específica de calculus sería cálculo infinitesimal, y también análisis matemático.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído y adaptado del libro Oxford Study Mathematics Dictionary.

The Platonic solids - Los sólidos platónicos

The Platonic solids

Plato (427-347 BC) identified five polyhedral solids with all faces the same. He associated these with the basic elements which he believed made up the physical world. These Platonic solids are the triangular pyramid (tetrahedron), cube (hexahedron), octahedron, dodecahedron and icosahedron. Plato claimed that earth was made of cubic particles, fire of pyramids, air of octahedrons and water of icosahedrons. He claimed, '… the gods used the dodecahedron for arranging the constellations on the whole heaven'.

In his Elements, Euclid gives a thorough account of the Platonic solids and repeats Plato's assertion that there are only five regular solids.

Los sólidos platónicos

Platón (427-347 a.C.) identificó cinco sólidos poliédricos con todas las caras iguales. Los asoció con los elementos básicos que creía que formaban el mundo físico. Estos sólidos platónicos son la pirámide triangular (tetraedro), el cubo (hexaedro), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Platón afirmaba que la tierra estaba hecha de partículas cúbicas, el fuego de pirámides, el aire de octaedros y el agua de icosaedros. Él aseguraba que "... los dioses usaron el dodecaedro para ordenar las constelaciones en todo el cielo".

En sus Elementos, Euclides da una detallada descripción de los sólidos platónicos y repite la afirmación de Platón de que solo hay cinco sólidos regulares.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro: The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

Ptolemy and the Americas - Ptolomeo y las Américas

Ptolemy and the Americas

Though Ptolemy's most famous work was The Almagest, he also wrote a Geography which remained influential for over a thousand years. He developed two projections and introduced lines of latitude and longitude, though the inaccuracy of measurements led to considerable errors in his longitudes. He also overestimated the extent of the Earth's surface covered by the Hellenic lands and consequently his calculated size of the Earth was smaller than the real thing.

The earliest surviving European maps from the Middle Ages are heavily reliant on Ptolemy's Geography. When explorers planned to sail to India by heading west they would have expected the journey to be much shorter than it actually was. Perhaps if Columbus had realized the true nature of the undertaking he would not have attempted the voyage that led him to the Americas.

Ptolomeo y las Américas

Aunque el trabajo más famoso de Ptolomeo fue El Almagesto, también escribió una Geografía que mantuvo su influencia durante más de mil años. Ptolomeo desarrolló dos proyecciones e introdujo líneas de latitud y longitud, aunque la inexactitud de las medidas causaron errores considerables en sus longitudes. También estimó por exceso la extensión de la superficie de la Tierra cubierta por las tierras helénicas y en consecuencia el tamaño de la Tierra que calculó resultó más pequeño que el real.

Los mapas europeos más antiguos que todavía sobreviven desde la Edad Media se apoyan considerablemente en la Geografía de Ptolomeo. Cuando los exploradores planearon navegar a la India por el oeste, debían haber esperado que el viaje fuera mucho más corto de lo que fue en realidad. Quizás si Colón se hubiera dado cuenta de la verdadera naturaleza de la empresa, no habría intentado el viaje que lo llevó a las Américas.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

Magic Squares - Cuadrados mágicos

Magic Squares

A magic square is an arrangement of numbers in a square grid so that each horizontal, vertical and diagonal line of numbers adds up to the same total, called the magic constant. The smallest magic square (apart from a box with the figure 1 in it) has three squares on each side and the magic constant is 15:

 

 

This is known as the Lo Shu square after a Chinese legend recorded as early as 650 BC. This tells how villagers tried to appease the spirit of the flooding river Lo and a turtle came out of the water with markings on its back that depicted the magic square. The pattern acquired ritualistic or talismanic properties for the local people.

 

 

Cuadrados mágicos

Un cuadrado mágico es una disposición de números en una tabla cuadrada de forma que cada línea horizontal, vertical o diagonal de números suman el mismo resultado, llamado constante mágica. El cuadrado mágico más pequeño (aparte de una caja con el dígito 1 en ella) tiene tres cuadrados por cada lado y su constante mágica es 15.

Este es conocido como el cuadrado Lo Shu, por una leyenda china cuyo registro se remonta al 650 a. de C. Esta leyenda nos cuenta cómo los aldeanos trataron de aplacar el espíritu del desbordado río Lo, y una tortuga salió del agua con marcas sobre su espalda que representaban el cuadrado mágico. El modelo adquirió propiedades ritualísticas y talismánicas para la población local.

 

 

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

John Napier

John Napier (1550-1617)

John Napier was a Scottish mathematician and eighth Laird of Merchiston. He entered the University of St Andrews at the age of 13, but left without a degree. He is best known as the inventor of logarithms and another calculating device called 'Napier's bones'. He began working on logarithms around 1594 and published his treatise, Description of the Marvelous Canon of Logarithms, in 1614. Napier's bones comprised a system of small rods used for calculating; they were the forerunner of the slide rule.

Napier was also an inventor of artillery, and suggested to James VI of Scotland something like a tank – a metal chariot with holes from which small bore shot could be fire. He is known, too, as the first person to use the dot as a decimal point separating the parts of a decimal number – his logarithmics tables are the first document to use the decimal point in the modern style.

John Napier (1550-1617)

John Napier fue un matemático escocés y el octavo señor (*) de Merchiston. Ingresó en la Universidad de San Andrews a la edad de 13 años, pero la abandonó sin llegar a graduarse. Es conocido como el inventor de los logaritmos y de otro dispositivo llamado "huesos de Napier". Comenzó a trabajar en los logaritmos alrededor de 1594 y publicó su tratado, Descripción del Maravilloso Canon de los Logaritmos, en 1614. Los huesos de Napier incluyen un sistema de varillas que se usan para calcular; éstas fueron las precursoras de la regla de cálculo.

Napier también fue un inventor de artillería, y sugirió a Jaime VI de Escocia algo parecido a un tanque - un carro de metal con agujeros por los que se pudieran disparar armas de pequeño calibre. También es conocido por ser la primera persona en usar el punto como punto decimal que separa las partes de un número decimal - sus tablas logarítmicas son el primer documento en usar el punto decimal al estilo moderno.

(*) laird es un título escocés que equivale a terrateniente o propietario de una gran cantidad de tierras.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Roone.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665)

Born in the Basque region, Fermat studied law and later mathematics. He developed independently of Descartes the principles of using a coordinate system to define the positions of points.

Fermat worked extensively on curves, developing a method for measuring the area under a curve that is similar to integral calculus, and to generalized definitions of common parabolas. He worked extensively, too, on the theory of numbers and corresponded with Blaise Pascal on this subject. This was his only contact with other mathematicians. He was a secretive recluse, who generally communicated only with Marin Mersenne.

Fermat was the most productive mathematician of his day, but was so reluctant to publish that he gained little credit for his work during his lifetime.

Pierre de Fermat (1601-1665)

Nacido en la región vasca (el texto parece referirse al país vasco francés, pero al parecer Fermat nació en Beaumont-de-Lomagne, en la región de Occitania), Fermat estudió leyes y posteriormente matemáticas. Desarrolló, con independencia de Descartes, los principios del uso de un sistema de coordenadas para definir la posición de los puntos.

Fermat trabajó ampliamente sobre las curvas, desarrollando un método para medir el área bajo una curva que es similar al cálculo integral, y en definiciones generalizadas de parábolas ordinarias. También trabajó extensamente en teoría de números, y mantuvo correspondencia con Blaise Pascal sobre dicha materia. Este era su único contacto con otros matemáticos. Fermat era un solitario reservado, que generalmente solo se comunicaba con Marin Mersenne.

Fermat fue el matemático más productivo de su época, pero era tan reticente a publicar que recibió pocos méritos por su trabajo durante su vida.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

Robert Recorde

Robert Recorde (1510-1558)

Robert Recorde was born in Wales and taught mathematics at the Universities of Oxford and Cambridge. He re-established mathematics in England, when the country had not seen a notable mathematician for 200 years. He explained everything in careful detail, in steps that were easy to follow and in English, as he wanted to make mathematics as accesible as possible. Most of his works were written in the form of dialogues between a master and a student. In 1551 he published an abridged version of Euclid's Elements, making the text available in English for the first time. He first used the equals sign, though using much longer lines than we do now. It took 100 years before the sign was universally accepted above alternative notations.

Robert Recorde (1510-1558)

Robert Recorde nació en Gales y enseñó matemáticas en las universidades de Oxford y Cambridge. Él restableció las matemáticas en Inglaterra, en una época en que el país no había visto a un matemático notable desde hacía 200 años. Explicaba todo con cuidadoso detalle, mediante pasos que fueran fáciles de seguir, y en inglés, ya que quería hacer las matemáticas lo más fácil posible de entender. La mayoría de sus trabajos estaban escritos en la forma de diálogos entre un maestro y un discípulo. En 1551 publicó una versión abreviada de los Elementos de Euclides, haciendo el texto comprensible en inglés por primera vez. Fue el primero en usar el signo igual, aunque empleaba líneas mucho más largas de las que utilizamos ahora. Se necesitaron 100 años antes de que el signo fuera universalmente aceptado por delante de otras notaciones alternativas.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

François Viète

François Viète (1540-1603)

François Viète was a French mathematician and Huguenot sympathizer. Trained in law, he became a member of the Breton parliament, then of the King's Council serving Henri III and Henri IV. He was proficient at deciphering secret messages intercepted by the French. Indeed, he was so successful that the Spanish accused him of being in league with the devil, complaining to the Pope that the French were using black magic to help them win the war. However, the Pope paid no attention to these accusations.

For a period of nearly six years in the second half of the 1580s, Viète was out of favour at court and concentrated almost exclusively on mathematics. He made great advances in several fields of mathematics, but always working in his spare time. Being wealthy, he printed numerous of his papers at his own expense.

François Viète (1540-1603)

François Viète fue un matemático francés, simpatizante de los hugonotes. Preparado en leyes, se convirtió en un miembro del parlamento bretón, y después en miembro del Consejo del Rey, sirviendo a Enrique III y a Enrique IV. Viète era competente descifrando mensajes secretos interceptados por los franceses. De hecho, tuvo tanto éxito que los españoles le acusaron de estar en complot con el diablo, y se quejaron al Papa de que los franceses estaban usando magia negra para ayudarse a ganar la guerra. Sin embargo, el Papa no prestó atención a estas acusaciones.

Por un periodo de cerca de seis años durante la segunda mitad de los años 1580, Viète perdió el favor en la corte y se concentró casi exclusivamente en las matemáticas. Hizo grandes avances en varios campos de las matemáticas, pero siempre trabajando en su tiempo libre. Como era rico, imprimió numerosos trabajos pagándolos de su propio bolsillo.

[El texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney]

The + and – symbols - Los símbolos + y –

The + and – symbols

One of the earliest signs to show that two numbers had to be added was an Ancient Egyptian hieroglyph represented by a pair of legs walking forward in the direction of the writing. Their minus sign was a pair of legs walking in the opposite direction. Up until the 1500s a variety of signs were used, but very often the instruction was written in full. Italian mathematicians of the 1400s used p and m (for plus and minus) which was a shortened form of their (Italian) words. The first + and – signs appeared in 1481 in a German manuscript on algebra. For quite some time their use appears to have been restricted only to algebra and it took nearly 100 years before they came into more general use in arithmetic.

[imagen extraída de Hiclipart]

Los símbolos + y –

Uno de los signos más antiguos para señalar que dos números habían de sumarse fue un jeroglífico del Antiguo Egipto representado por un par de piernas caminando en la dirección de la escritura. El signo menos era un par de piernas caminando en la dirección opuesta. Hasta el 1500 aproximadamente, se usó una amplia variedad de signos, pero muy frecuentemente la instrucción se escribía al completo. Los matemáticos italianos de 1400 usaron p y m (por plus y minus) que eran una forma resumida de sus palabras italianas. Los primeros signos + y – aparecieron en 1481 en un manuscrito alemán sobre álgebra. Durante bastante tiempo su uso parece haber estado restringido solo al álgebra y pasaron cerca de 100 años antes de que se adquirieran un uso general en aritmética.

[Adaptado del Oxford Study Mathematics Dictionary]

Thales - Tales

Thales (c.624-548 BC)

is the first mathematician known to us by name. He was a wealthy Greek who travelled widely and worked on many subjects including mathematics, astronomy and philosophy. He appears to have been the first to produce theorems which were supported by logical reasoning rather than experiment. Among other things he showed how it was possible to work out the height of a pyramid from the length of its shadow – using a stick placed vertically in the ground, and a calculation based on shadow lengths and similar triangles.

 

 

Tales (aproximadamente 624-548 a. de C.)

 

es el primer matemático que conocemos de nombre. Fue un griego adinerado que viajó ampliamente y trabajó sobre muchas materias, incluyendo matemáticas, astronomía y filosofía. Parece haber sido el primero en elaborar teoremas que se apoyaban en razonamientos lógicos en lugar de experimentación. Entre otras cosas, mostró cómo era posible calcular la altura de una pirámide partiendo de la longitud de su sombra - utilizando un palo colocado verticalmente sobre el suelo, y un cálculo basado en las longitudes de las sombras y en triángulos semejantes.

[extraído del libro: Oxford Study Mathematics Dictionary]

The Largest Number Ever - El Número Más Grande de Todos los Tiempos

The Largest Number Ever

One of the largest numbers that has been cited in any theoretical mathematical problem is called Graham's Number, named after American mathematician Ronald Graham. It was devised in 1977 by Graham as the upper bound of a possible solution to a problem. The number is so large that it is necessary to develop and understand new notational forms to write it. It is said that if all the matter in the universe were turned into ink, it would not be enough to write the number out in full.

Graham's Number was published in the 1980 Guinness Book of World Records. Since then, other specific integers known to be far larger than Graham's Number have appeared in many serious mathematical proofs.

 

El Número Más Grande de Todos los Tiempos

Uno de los números más grandes que han sido citados en algun problema teórico matemático se llama el Número de Graham, llamado así por el matemático americano Ronald Graham. Fue ideado en 1977 por Graham como el límite superior de una posible solución a un problema. El número es tan grande que es necesario desarrollar y comprender nuevas formas de notación para escribirlo. Se dice que si toda la materia del universo se convirtiera en tinta, no sería suficiente para escribir el número en forma completa.

El Número de Graham fue publicado en el Libro Guinness de los Récords Mundiales de 1980. Desde entonces, otros números enteros específicos, reconocidos por ser mucho más grandes que el Número de Graham, han aparecido en muchas demostraciones matemáticas importantes.

Para poder expresar el Número de Graham, es necesario desarrollar nuevas notaciones. En esta imagen vemos uno de los primeros pasos: definir las "flechas": una flecha es equivalente a una potencia normal; dos flechas equivalen a varias flechas-potencias iteradas; tres flechas equivaldrían a varias dos-flechas iteradas, etc. Para más información necesitamos dedicarle un tiempo a comprender, por ejemplo, el artículo de la Wikipedia dedicado a la Notación flecha de Knuth, y al Número de Graham.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

Chronograms - Cronogramas

[Presentamos aquí pequeños textos en inglés y traducidos al castellano, para que los grumetes puedan practicar en la traducción de textos en inglés sobre matemáticas. Hemos destacado algunas palabras  de traducción difícil, y otras cuya traslación al español se debe elegir cuidadosamente por el hecho de estar en un contexto matemático]

Chronograms

Phrases that incorporate a number in Roman numerals - chronograms - were often used on tombstones and books. By picking out certain letters an rearranging them, a date is revealed. For example, My Day Closed Is In Immortality is a chronogram conmemorating the death of Queen Elizabeth I of England in 1603. The capitals read MDCIII when put together, which corresponds to 1603. A coin struck by Gustavus Adolphus in 1627 includes the Latin inscription ChrIstVs DuX ergo trIVMphVs ('Christ the Leader, therefore triumphant') which is a chronogram for MDCXVVVII or 1627.

Cronogramas

Frases que incorporan un número en numeración romana - cronogramas - se usaron a menudo en lápidas y libros. Seleccionando ciertas letras y reordenándolas, se revela una fecha. Por ejemplo, Mi Día se CIerra en la InmortalIdad es un cronograma de la Reina Isabel I de Inglaterra en 1603. Las mayúsculas infieren MDCIII cuando se colocan juntas, lo que corresponde a 1603. Una moneda acuñada por Gustavo Adolfo en 1627 incluye la inscripción latina ChrIstVs DuX ergo trIVMphVs ('Cristo el Líder, y por tanto triunfante') que es un cronograma para MDCXVVVII o 1627.

Cronograma en la Columna de la Santísima Trinidad de Olomouc, en la República Checa. Si sumamos las cifras romanas que están destacadas: L+I+D+I+D+I+L+I+D+C+L = 50+1+500+1+500+1+50+1+500+100+50 = 1754, que es la fecha en la que se terminó de erigir la columna.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

Leyenda sobre el tablero de ajedrez

Entre todas las versiones que he leído sobre la invención del ajedrez, la que voy a transcribir a continuación es la que más me ha gustado, pues su ambientación logra trasladarme al encantado mundo de las mil y una noches.

Esta versión aparece en el libro Matemáticas recreativas de Yakob Perelman [traducción de F. Blanco y C. Pérez, Ediciones Martínez Roca].

El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram lo conoció, quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Al enterarse de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey lo mandó llamar con objeto de recompensarle personalmente por su acertado invento.

Figura 1

El inventor, llamado Seta, se presentó ante el soberano. Era un sabio vestido con modestia, que vivía gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos.

-Seta, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado -dijo el rey.

El sabio contestó con una inclinación.

-Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado -continuó diciendo el rey-. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás.

Seta continuó callado.

-No seas tímido -le animó el rey-. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.

-Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.

Cuando al día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

-Soberano -dijo Seta-, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez.

-¿Un simple grano de trigo? -contestó admirado el rey.

-Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32... 

Figura 2

-Basta -le interrumpió irritado el rey-. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.

Seta sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Seta su mezquina recompensa.

-Soberano, están cumpliendo tu orden -fue la respuesta-. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponden.

El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

-Soberano -le contestaron-, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

-¿Por qué va tan despacio este asunto? -gritó iracundo el rey-. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces la misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar.

-Antes de comenzar tu informe -le dijo Sheram-, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado.

-Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano -contestó el anciano-. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme...

-Sea cual fuere su magnitud -le interrumpió con altivez el rey- mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.

-Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.

-Dime cuál es esa cifra tan monstruosa -dijo reflexionando.

-¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.

Hasta aquí la leyenda. A continuación, algunos comentarios matemáticos.

La leyenda de la invención del ajedrez nos ilustra sobre el rápido crecimiento de una progresión geométrica (de razón mayor que la unidad). En este caso tenemos una progresión geométrica en la que la razón es 2, pues cada término de la progresión es el doble del anterior.

La sucesión de términos es: 1, 2, 4, 8, 16, 32,... Obsérvese que esta sucesión coincide con las potencias de dos: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵,...

El término general de la progresión, la fórmula que nos da cada número, es: aₙ = 2ⁿ⁻¹.

En la última casilla hay exactamente: 2⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808 (un poco más de 9 trillones) granos de trigo.

El número de granos de trigo totales se calcula sumando todos los términos: 1 + 2 + 4 + 8 + ... Esto se hace más sencillamente gracias a la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica:

Como curiosidad, si añadimos un grano más de trigo a la suma, obtenemos la siguiente potencia de 2: 2⁶⁴ = 18.446.744.073.709.551.616. Esto es debido a que conforme vamos sumando los granos de cada casilla, siempre nos quedamos a un solo grano de la casilla siguiente:

1 + 2 = 3 = 4 − 1
1 + 2 + 4 = 7 = 8 − 1
1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 − 1, etc.

Todos estos números, 1, 3, 7, 15, etc., son llamados números de Mersenne. Se llama número de Mersenne a cualquier número anterior a una potencia positiva de 2, más concretamente a los números de la forma Mₙ = 2ⁿ − 1, con n ≥ 1.

Un aspecto interesante que merece la pena reflexionar es el comentario del matemático mayor del rey Sheram, cuando le explica que el número de granos de trigo es una cifra monstruosa. Pienso, y puedo estar equivocado, que cuando uno de nosotros lee la cifra, le parece simplemente una cifra grande, pero no tiene realmente idea de lo grande que es. De hecho, los granos de trigo son cosas de un tamaño muy pequeño, y en un saco de trigo puede haber muchísimos granos, aunque no sabemos cuántos.

Debemos tener en cuenta que cualquiera de nosotros, en nuestra época actual, hemos oído hablar de muchos ejemplos de cifras monstruosas: la población mundial, el producto interior bruto de un país desarrollado, la edad del universo, el número de estrellas que hay en la Vía Láctea, el número de kilómetros que equivale a un año-luz, el número de moléculas que hay en un mol de una sustancia (número de Avogadro), el gúgol, etc. Si con la imaginación nos trasladamos a la mitológica época del rey Sheram, a la India de los Vedas, a los inicios del sistema numérico decimal que ahora tenemos, podemos comprender que ya el mismo hecho de calcular, a mano, números tan grandes, debía suponer un enorme esfuerzo para los matemáticos de la época, que debían estar acostumbrados a contabilidades prácticas con números mucho más manejables.

Para hacerse una idea de lo grande que es la cantidad de 18 trillones de granos de trigo, hay que convertirla a una unidad más manejable, gramos, kilogramos o toneladas de trigo, y compararla con la producción de trigo mundial. Se pueden encontrar muchas páginas que hacen esta conversión, pero curiosamente hay discrepancia entre ellas.

En la wikipedia (en español), por ejemplo, hay una estimación de unos 1200 granos de trigo por kilogramo, con lo que cada grano de trigo pesaría casi un gramo, (lo cual me parece exagerado). Según dicha estimación, tomando toda la producción mundial actual de trigo, se necesitarían más de 22000 años para acumular los 18 trillones de granos pedidos por el inventor Seta.

La página de wikipedia en inglés, estima que cada grano de trigo pesa 0,065 gramos, lo cual equivale a que en un kilo hay unos 15000 granos de trigo, y calcula que el total de trigo del tablero de ajedrez es más de 1600 veces la producción mundial.

En Matemáticas cercanas, la estimación es de unos 25000 granos de trigo por kilo, es decir, cada grano de trigo pesaría 0,04 gramos. Según este cálculo, se necesitarían más de 1000 años para acumular los granos del tablero de ajedrez.

En la página de SMPM y en la de Me llevo las Mates de calle, se estima que un grano de trigo pesa 0,03 gramos, lo cual hace que en un kilo quepan unos 33000 granos de trigo, y que se necesiten unos 800 años para completar el pedido.

En cualquier caso, si aceptamos que para completar el pedido del inventor Seta se necesita aproximadamente la producción mundial de trigo durante 1000 años, ya sí nos podemos hacer una idea de lo monstruosa que es la cifra calculada por los matemáticos del rey Sheram.

Créditos de las imágenes:

Figura 1: extraída de Collectors Weekly.

Figura 2: By McGeddon [CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)], via Wikimedia Commons.

El tronco de la pirámide

Cuaderno de bitácora: recientemente ha caído en nuestras manos un excelente libro, La Secta de los Números (El Teorema de Pitágoras) de Claudi Alsina, publicado en formato de revista monográfica por RBA en edición especial de National Geographic.

[Esta imagen está sacada de El Kiosko de Jesús]

Hablando sobre los papiros egipcios matemáticos que se conservan, este libro-revista menciona el papiro de Moscú, y en él sobre un problema que presenta la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide:

Junto al papiro Rhind, el más importante documento matemático del antiguo Egipto es el famoso papiro de Moscú, datado en el año 1890 a.C., actualmente conservado en el Museo de Bellas Artes de Moscú, del que toma el nombre. Su forma es peculiar: tiene 5 metros de longitud, pero tan sólo 8 centímetros de anchura. En ese angosto espacio, aparecen 25 problemas matemáticos (...) En el papiro de Moscú aparecen cálculos sobre el volumen de una pirámide truncada, pero sobre todo destaca el problema 14, que presenta por primera vez la fórmula exacta del volumen de un tronco de pirámide de bases cuadradas.

En mis viajes por los mateocéanos, nunca he prestado atención a los troncos de pirámides, y me he limitado a estudiar con los grumetes las fórmulas de volúmenes de los sólidos más sencillos, como el del prisma o el de la pirámide. Picado por la curiosidad ante lo que he leído en el libro de Claudi Alsina, he reflexionado sobre la antigüedad que tiene la fórmula del volumen de un tronco de pirámide, y he dedicado un rato a deducirla.

Tenemos un tronco de pirámide de bases cuadradas, como el de la ilustración, y los datos de que disponemos son: el lado de la base inferior, a, el lado de la base superior, b y la altura h.

Para calcular su volumen vamos a apoyarnos en que ya sabemos la fórmula del volumen de una pirámide, así que ampliamos nuestro tronco hasta completar la pirámide con el vértice superior. Concretamos también dos triángulos en el interior de la pirámide que nos van a servir para hacer los cálculos.

Estos triángulos, ELN y EMJ, son semejantes por estar en posición de Tales (un ángulo común y los lados opuestos paralelos). Si llamamos H a la altura de la pirámide entonces NJ = h, EN = H − h, además JM = a/2, NL = b/2.

También tenemos en cuenta que si trazamos una recta paralela a EJ por L, obtenemos el punto Q y un pequeño triángulo, LQM, también semejante a los anteriores, en el que QM = (a − b)/2.

Aprovechando la semejanza de los tres triángulos, podemos escribir las siguientes proporciones:

De las dos últimas proporciones podemos despejar H y H − h:

Ahora debemos tener en cuenta que el volumen del tronco de pirámide es igual a la diferencia entre el volumen de la pirámide total y el volumen de la pirámide superior más pequeña. Debemos tener en cuenta que el volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de su base por la altura de la pirámide.

Simplificamos:

Dividimos numerador entre denominador en la fracción, y obtenemos finalmente la fórmula buscada:

Notas: Si consultamos, por ejemplo, en la página Universo Fórmulas, nos encontramos la siguiente fórmula para el volumen del tronco de una pirámide:

Obsérvese que en nuestro caso el área de la base mayor es a al cuadrado y el de la base menor es b al cuadrado, luego sustituyendo convenientemente en esta fórmula, cuando la pirámide es de base cuadrada obtenemos la misma expresión.

Los gráficos están realizados con el programa GeoGebra.

Ramas matemáticas

Aunque las Matemáticas parecen ser, para el lego en la materia, una sola cosa que trata de números y sus operaciones, en realidad es una ciencia con diversas ramas. De hecho la misma palabra "Matemáticas" está en plural, indicando que es algo múltiple y no unívoco.

Durante los estudios básicos, la Secundaria y el Bachillerato, la asignatura de Matemáticas se da en un bloque único; el profesor puede mencionar algunas de sus partes, como la aritmética, el álgebra o la geometría, pero no es hasta que uno ingresa en la Universidad cuando esas ramas se separan en disciplinas distintas, con nombres propios.

Cuando en mis años de preparación para matenavegante ingresé en la Facultad de Matemáticas, me sorprendió bastante tener solo cuatro asignaturas en el primer curso: Geometría, Álgebra, Análisis Matemático y Topología. La organización de las clases era bastante sencilla, cuatro horas cada mañana, con cada una de estas cuatro materias, y un recreo de media hora en medio. Entrábamos a las 9 de la mañana y salíamos a las 13:30.

Recordando aquellos años mozos ya pasados, vamos a citar las principales ramas de las Matemáticas:

En primer lugar, tenemos la Aritmética (del griego arithmos = número), la ciencia que trata sobre los números y las operaciones entre ellos. Todo lo que sean números naturales, y aprender a sumar, restar, multiplicar y dividir, entra dentro de la Aritmética. También entran en ella los números enteros, las fracciones, y se cuelan también los números irracionales, como pi, así como las potencias y las raíces. Cuando vamos teniendo claro qué es un múltiplo, un divisor y un número primo, nos vamos a acercando a las cimas de la Aritmética, que se alcanzan con el Teorema Fundamental de la Aritmética: "Todo número natural mayor de uno se puede factorizar de forma única como producto de números primos".

[esta imagen tan simpática, realizada con las fichas "quesitos" del Trivial Pursuit, la hemos encontrado en esta web de fotografía matemática]

Luego tenemos la Geometría (que significa medida de la tierra). La Aritmética y la Geometría son las disciplinas más antiguas de las Matemáticas, y son las que se estudian en primer lugar durante la educación básica. Puntos, segmentos, rectas, ángulos, polígonos, círculos y figuras tridimensionales, son su campo de acción principal. El Teorema de Tales: "Si dos rectas que se cortan en un vértice son a su vez cortadas por otras dos rectas paralelas, los segmentos determinados entre el vértice y las dos rectas paralelas son proporcionales dos a dos" y el de Pitágoras: "En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos", son de los teoremas más conocidos por todos. La Geometría va de los conceptos más simples a las situaciones más complejas. La Geometría que manejamos en la vida diaria es la Euclídea, sin embargo existen otras concepciones muy útiles, como la Geometría Proyectiva, o las geometrías no euclídeas que se desarrollaron en el siglo XIX: la Hiperbólica y la Elíptica.

[En la imagen vemos una representación gráfica del paraboloide hiperbólico, figura clave en la Geometría Hiperbólica, una de las geometrías no euclídeas. La imagen la hemos tomado de Galileo's Pendulum]

A continuación podemos mencionar el Álgebra. Es una disciplina con raíces muy antiguas, casi tanto como la Aritmética y la Geometría, aunque no empezó a definirse por sí misma hasta hace cinco o seis siglos. Su nombre viene del título de un libro escrito por el matemático árabe Al-Juarismi. En principio trata sobre las expresiones algebraicas: polinomios y ecuaciones principalmente, aunque luego se extiende con el estudio de estructuras como los grupos, los anillos y los cuerpos. Una de las ramas es el Álgebra Lineal, que estudia los sistemas de ecuaciones lineales, los cuales dan lugar a las matrices y los determinantes. Hay muchos teoremas importantes en el Álgebra, pero ahora se me vienen dos a la cabeza, el primero de ellos muy antiguo, el Teorema Chino del Resto, que da una fórmula explícita para resolver un sistema de ecuaciones en congruencias, y el otro el Teorema Fundamental del Álgebra, demostrado por Gauss: "Todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces complejas, contando sus multiplicidades".

[Esta imagen está sacada de esta web, y ha sido confeccionada con las raíces de todos los polinomios de grado menor o igual que 5 y de coeficientes enteros entre -4 y 4. Teniendo en cuenta que cada uno de los coeficientes puede tener 9 valores diferentes, y que cada polinomio de grado menor o igual que cinco tiene seis coeficientes, el número total de polinomios diferentes es 9 elevado a 6, es decir, 531.441]

Con el Análisis Matemático, también llamado Cálculus o Cálculo Infinitesimal, podemos decir que las Matemáticas alcanzan históricamente su edad adulta. El inicio del Análisis se localiza en los trabajos de Newton y Leibniz, los cuales, cada uno por su cuenta, desarrollaron al mismo tiempo el Cálculo Diferencial. El Análisis Matemático se apoya principalmente en los números reales y en el estudio de las funciones, y en ellas estudia los conceptos de límites, continuidad, derivadas e integrales. Un paso más allá lo da el Análisis Complejo, ubicado en el conjunto de los números complejos o imaginarios. Uno de los teoremas más importantes en esta rama es el Teorema Fundamental del Cálculo, que conecta a las integrales con las derivadas, demostrando que un proceso es el inverso del otro.

[Mostramos unas páginas del libro Cálculo Diferencial e Integral, de N. Piskunov, editado por Mir en 1966. Algo tienen las integrales que son de mis partes preferidas de las matemáticas, y supongo que también serán las preferidas de muchos matenavegantes.]

De las ramas más nuevas de las Matemáticas, podemos mencionar la Topología, que nació de ciertos lugares de la Geometría en los que no importaban tanto las distancias y los ángulos, sino la forma global de los objetos, y si se podían deformar para convertirse en otros, si tenían agujeros, o nudos, o caminos diferentes para llegar de un punto a otro, etc. En sus orígenes está el famoso problema de los puentes de Konitzberg, el problema de los cuatro colores y el problema de las casas y los pozos.

[Presentamos uno de los ejemplos introductorios de la Topología: una taza de café y un donut son topológicamente la misma cosa, porque se pueden deformar continuamente uno en el otro, sin cortar ni pegar. Este gif animado está tomado de la página Galileo's Pendulum.]

Otra rama bastante nueva históricamente hablando es la Estadística y Probabilidad, quizás una de las ramas que tienen mayor aplicación en el mundo actual. Hoy en día, según mi opinión, dicha aplicación está sobredimensionada y sobrevalorada. La Estadística, cuyo nombre viene de la palabra estado, se limita a organizar informaciones procedentes de poblaciones y a calcular parámetros y gráficas que nos ayuden en la mejor comprensión de dichas informaciones. La Probabilidad es la que le da la fuerza a la Estadística. Se centra en el estudio de los sucesos y de ellos construye las variables aleatorias y la función probabilidad. Algunos de sus principales resultados son la Ley de los Grandes Números y el Teorema Central del Límite, que describen el comportamiento de las muestras de una población cuando el número de muestras aumenta. En la descripción de dicho comportamiento la campana de Gauss tiene un papel fundamental.

[Cosas de matemáticos: diseñar campanitas de Navidad con la forma de la campana de Gauss para colgar en el árbol. Además los extremos de la campana, que corresponden al 5% de la distribución normal, están confeccionados en una tela diferente. La imagen está tomada de esta web.]

Existen otras ramas de las matemáticas, como el Análisis Numérico, la Teoría de la Medida, las Ecuaciones Diferenciales o la Teoría de Números, que no describiremos para no extendernos más.

A pesar de que son ramas diferentes, todas están conectadas entre sí. Los matemáticos se han sorprendido muy a menudo cuando al investigar una de las ramas se han encontrado conceptos relacionados con otras ramas que no se esperaban. Por eso todas las ramas forman parte de un sólo árbol, como todas las olas forman parte de un mismo océano: las Matemáticas.