Puzle de papiroflexia: Un marco para cada retrato

Cuaderno de bitácora: buscando nuevos retos de papiroflexia y construcciones en papel para los grumetes del Barco Escuela, hemos encontrado este puzle en uno de los libros del genial divulgador Martin Gardner. De él hemos hecho una actualización y adaptación.

En primer lugar debemos preparar un cuadrado de papel y lo dividimos en una cuadrícula 3×3. Dibujamos o imprimimos dos marcos y dos retratos, tal y como se aprecia en las ilustraciones:

Figura 1. Esta es la parte delantera de la hoja. Se ven los dos marcos a la izquierda, y la cara del gatito a la derecha. La zona gris dentro de los marcos hay que recortarla, de manera que nos queden dos ventanas.

Figura 2. Esta es la parte trasera de la hoja.

El juego consiste en doblar el papel siguiendo las líneas de puntos, de forma que quede totalmente plegado, y que por un lado se vea uno de los marcos sobre uno de los retratos, y por el otro lado el otro marco sobre el otro retrato.

Para ver todo el proceso, así como la solución, podemos consultar el vídeo siguiente:

https://youtu.be/N5LScXZ_GaA

Otra propiedad del folio A4

Cuaderno de bitácora: un día de esos de matenavegación se nos ocurrió una idea que ha tenido un resultado interesante y que nos ha permitido descubrir otra propiedad que tienen las proporciones de un folio A4. La idea surge del siguiente problema:

Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 1. Queremos inscribir un rectángulo dentro del cuadrado, de forma que el eje mayor del rectángulo (pasa por el centro y es paralelo a los lados más largos) coincida con una de las diagonales del cuadrado, y los cuatro vértices del rectángulo estén sobre los lados del cuadrado. Si el lado mayor del rectángulo también mide 1, ¿cuánto mide el lado menor?

La situación es como se ve en el gráfico.

 

El cuadrado es ABCD, de lado 1, el rectángulo IJKH está inscrito en el cuadrado, su eje mayor LM coincide con la diagonal del cuadrado AC. Si el lado mayor del rectángulo, HK, mide también 1, ¿cuánto mide el lado menor IH?

El lector puede intentar resolver el problema, que no es difícil. Nosotros lo resolvemos a continuación.

 

Primero nos fijamos en el triángulo HBK. Se trata de un triángulo isósceles rectángulo, cuya hipotenusa mide 1. Es muy sencillo calcular la longitud de los catetos HB y BK, pues ambos son iguales. Aplicamos el teorema de Pitágoras:

 

 

De aquí se deduce que

Como AIH es un triángulo rectángulo isósceles, AH = AI, entonces nuevamente aplicando el teorema de Pitágoras, en este caso podemos calcular la hipotenusa, IH = x.

 

 

Ya tenemos el valor de la x. Pues bien, si nos fijamos, resulta que juntos el cuadrado de lado 1 y el rectángulo de lados 1 y raíz de 2 menos 1 coinciden en las proporciones de un folio A4. (Véase La raíz cuadrada de 2 en un folio A4)

Proporciones en un folio A4 y en el formato DIN.

 

En conclusión, si tomamos un folio A4, y lo dividimos en un cuadrado y un rectángulo, este último se puede inscribir diagonalmente en el cuadrado. Sugiero al lector que tome un folio y haga la comprobación. A continuación incluimos algunas fotos con el proceso.

Tomamos un folio A4; recordemos que sus lados están en proporción √2:1.

Doblamos en diagonal, haciendo coincidir el lado menor sobre el lado mayor.

Cortamos o separamos el rectángulo sobrante.

Desdoblamos el cuadrado y doblamos el rectángulo por su eje mayor.

Si hacemos coincidir el eje mayor del rectángulo sobre la diagonal del cuadrado veremos que las esquinas del rectángulo coinciden perfectamente sobre los lados del cuadrado, sin quedarse cortas ni sobresalir. Esto solo ocurre cuando partimos de un rectángulo que, como el folio A4, tenga unas proporciones √2:1.

También se puede consultar esta misma construcción en el vídeo: https://youtu.be/x-HMCKHOIVs

El vuelo del Matenavegante

Cuaderno de bitácora: usando nuestros nuevos conocimientos de papiroflexia matemática, nos hemos embarcado en el diseño de un nuevo avión de papel. Hemos empleado en él la construcción del ángulo de 60 grados que nos permite obtener triángulos equiláteros y hexágonos. El desarrollo se ha visto pronto coronado con el éxito. El resultado ha sido un elegante avión planeador, al que hemos bautizado, como no podía ser menos, con el nombre de el Matenavegante.

Veamos los pasos de nuestra construcción:

Figura 1. Partimos de un folio A4 normal.

Figura 2. Lo doblamos por la mitad a lo largo.

Figura 3. Aquí viene el doblez clave: tomamos una de las esquinas superiores y la llevamos a la línea de la mitad del folio, señalada por el doblez, mientras procuramos que la diagonal formada parta exactamente desde la otra esquina superior.

Figura 4. Con la otra esquina hacemos el mismo doblez. Con estos dobleces conseguimos ángulos de 60º exactos.

Figura 5. Juntamos las dos esquinas superiores en el medio y al hacerloel papel se levanta de forma natural en el centro, formando un pico.

Figura 6. Aplastamos ese pico de forma que nos quede un pequeño triángulo equilátero en la parte superior, bien centrado respecto al medio del folio.

Figura 7. Damos la vuelta al papel y lo doblamos desde arriba en el centro, llevando un lado superior sobre la mitad del folio.

Figura 8. Con el otro lado hacemos lo mismo.

Figura 9. Le damos la vuelta otra vez al papel y doblamos la punta hasta que llegue a la base del pequeño triángulo superior (en la imagen no se ve que llegue a la base, pero es por la perspectiva).

Figura 10. Le damos la vuelta al doblez de la punta y lo ponemos hacia el otro lado. Este doblez es para que el avión tenga una punta sólida y con peso, que lo guíe en su vuelo.

Figura 11. Es el momento de definir las alas: doblamos el avión sobre sí mismo por la mitad.

Figura 12. Hacemos un doblez paralelo a la mitad del folio, a lo largo de un ala, de forma que nos encaje con el doblez de la punta del avión. Este doblez lo repetimos en el otro ala. Ya tenemos el cuerpo central.

Figura 13. Es el momento de completar el diseño con un par de alerones al final de cada ala. Como se ve en la imagen, el doblez no es paralelo al cuerpo del avión, sino que se cierra un poco en la parte trasera. Esto es para que el avión tienda a ir hacia arriba, en lugar de hacia abajo. Es cuestión de experimentar con el vuelo para encontrar el alerón ideal.

Figura 14. Aquí vemos el avión terminado.

Figura 15. Podemos levantar la zona delantera imitando a "la cabina del piloto". Sin embargo esta posición es más bien estética; parece tener un vuelo mucho más estable si se mantiene aplastada sobre las alas.

Figura 16. Una vista delantera del avión.

Figura 17. ¡El Matenavegante ya está terminado y listo para despegar!

Notas: el diseño que acabamos de compartir es propio, es decir, no lo hemos tomado de ningún libro ni de ninguna otra fuente, sino que lo hemos inventado nosotros. Ignoramos si alguien más ha llegado a él por su propia inventiva. Este caso no sería de extrañar, pues en matemáticas y en otras muchas disciplinas es bastante normal que las ideas aparezcan en varias mentes de forma independiente.

Como se puede apreciar al ir construyendo el avión, aparecen figuras geométricas interesantes, como triángulos equiláteros de varios tamaños y ángulos de 30º y 60º por doquier. El vuelo del avión es un planeo rápido y estable, para ello hay que ajustar bien los dobleces, los alerones y mantener "la cabina" baja, aplastada sobre el cuerpo del avión.

La raíz cuadrada de 2 en un folio A4

¿Tiene usted a mano un folio A4? Es indiferente si está en blanco o ya está escrito, pues con él vamos a hacer un par de dobleces. Tome una esquina y doble el papel a lo largo de una diagonal que parta de una esquina, hasta hacer coincidir el lado corto del folio con el lado largo. El folio le debe haber quedado como en la fotografía.

Figura 1. Tomemos un folio A4.

Figura 2. Doblamos a lo largo de una diagonal que parte exactamente de una esquina y hacemos coincidir el lado corto del folio sobre el lado largo.

Se nos ha formado un triángulo rectángulo isósceles (la mitad de un cuadrado), ya que el ángulo inferior izquierdo es justamente de 45º. Si tomamos los dos catetos iguales de este triángulo como unidad, es decir, suponemos que cada uno vale 1, entonces, aplicando la fórmula del teorema de Pitágoras, la hipotenusa vale exactamente la raíz cuadrada de 2.

Figura 3. Tomando el cateto como unidad, la hipotenusa vale exactamente raíz cuadrada de 2.

Debemos darnos cuenta, bien mediante un compás o doblando de nuevo en diagonal, que la longitud de la hipotenusa coincide con el largo del folio A4.

Figura 4. En un folio A4 la hipotenusa del triángulo que hemos obtenido coincide con el largo del folio.

 

Figura 5. Si doblamos otra vez en diagonal, trayendo el vértice superior del triángulo sobre la esquina inferior derecha del folio, veremos que los lados coinciden.

Figura 6. Una vez doblado vemos que ambas longitudes son iguales.

Esto significa que el folio A4 tiene unas proporciones que no han sido calculadas al azar, sino que han sido especialmente tomadas para que tenga esta propiedad. De hecho, esa es la base de la proporción del folio A4: los lados del folio están en proporción de 1 a raíz cuadrada de 2.

Cuando se cumple esta proporción, también se cumple otra propiedad: si dividimos un folio por la mitad, el rectángulo resultante es semejante al del folio, es decir, conserva la misma proporción. A esta hoja más pequeña se la llama A5.

Figura 7. Si doblamos un folio por la mitad, podemos comprobar que cada una de las dos mitades del folio cumplen la misma proporción.

Figura 8. Seguimos los mismos pasos, doblando en diagonal como se ve en la imagen y obteniendo un nuevo triángulo rectángulo isósceles.

Figura 9. Volvemos a doblar en diagonal y comprobamos efectivamente que las longitudes de la hipotenusa y del largo del semifolio vuelven a coincidir.

Figura 10. Podemos dar la vuelta al papel y hacer lo mismo por el otro lado.

Figura 11. Terminamos los dobleces y...

Figura 12. ...¡Hemos obtenido un avión de papel! Su diseño es de lo más simple que se puede realizar.

El Triángulo de Sierpinski en pop-up

Cuaderno de bitácora: Hace años, cuando nuestro periplo nos llevaba por los matemares de Priego de Córdoba, aprendimos una construcción con papel y tijeras que queremos presentar aquí, para deleite de nuestros "numerosos" seguidores: el pop-up del Triángulo de Sierpinski.

(Entiéndase la palabra numerosos en sentido estricto matemático: hay un número de seguidores de nuestro blog, no importa si ese número es grande o pequeño, y menos importa en matemáticas, donde un número tan grande como un gúgol está tan cerca del infinito como el número uno.)

Recordamos en las siguientes imágenes qué es el triángulo de Sierpinski:

Tomamos un triángulo (en negro) y lo "agujereamos" quitando el triángulo central que conecta los puntos medios de los lados, obtenemos tres triángulos (negros) semejantes al primero, ahora volvemos a agujerear esos tres triángulos, y obtenemos nueve triángulos, volvemos a agujerearlos y así vamos iterando el proceso hasta el infinito.

El resultado es un fractal llamado Triángulo de Sierpinski.
[Imagen realizada por Beojan Stanislaus.]

Bien, si ya estamos provistos de un folio A4 y de unas tijeras, podemos empezar a construir nuestro pop-up o relieve en papel. También son muy útiles una regla, un lápiz y una goma. Sigamos la secuencia de fotografías para saber cómo se debe proceder.

Figura 1.
Se dobla el folio por la mitad. El rectángulo formado vamos a llamarlo escalera de 1 peldaño. Cortamos desde la mitad del doblez hasta la mitad del peldaño.

Figura 2.
Doblamos la parte de arriba, haciendo coincidir el borde del rectángulo pequeño con el borde izquierdo del folio.
Remarcamos el doblez.

Figura 3.
Desdoblamos e invertimos el doblez, introduciendo el rectángulo entre las dos caras del folio.
Con esto ya tenemos la escalera de 2 peldaños.

Figura 4.
Aquí tenemos una vista desde arriba de la escalera de 2 peldaños, formando ya una estructura tridimensional.

Figura 5.
Otra vista de la misma escalera, donde se aprecia el hueco formado por los dobleces interiores.

Figura 6.
En el siguiente paso cortamos cada uno de los dos peldaños por la mitad hasta el centro del rectángulo, tal como se indica en la imagen.

Figura 7.
Doblamos los rectángulos superiores a los cortes.

Figura 8.
Procedemos a invertir los dobleces, empujando los peldaños hacia el interior del papel, y obtenemos la escalera de 4 peldaños.

Figura 9.
Este es el resultado, en forma de pop-up tridimensional, de la escalera de 4 peldaños.

Figura 10.
Continuamos haciendo otra iteración o repetición del mismo proceso.

Figura 11.
Hacemos los dobleces formando los nuevos peldaños.

Figura 12.
Esta es la forma tridimensional en este tercer paso de la escalera de 8 peldaños. 

Figura 13.

Figura 14.
Conforme aumentan los peldaños, el número de dobleces también aumenta, de forma exponencial. Ya estamos en una escalera de 16 peldaños.

Figura 15.
La escalera de 16 peldaños. La forma tridimensional se va pareciendo cada vez más al triángulo de Sierpinski.

Figura 16.
Continuamos con la quinta iteración. 

Figura 17.
Hemos conseguido la escalera de 32 peldaños.
Invertir los dobleces de esta escalera es un trabajo meticuloso que lleva un buen rato de esfuerzo y paciencia.

Figura 18.
El resultado final.

Con un folio A4, el máximo objetivo es la escalera de 32 peldaños y el pop-up de la figura 18. Llegar hasta este paso requiere bastante paciencia. Suponemos que es posible hacer una escalera de 64 peldaños, pero imaginamos que ya es un trabajo para especialistas en miniaturas, en busca de batir récords, y no digamos de 128 peldaños. También se puede empezar por hojas más grandes, de tamaño A3, A2 o incluso más grandes.

Hay que tener en cuenta que el número de dobleces interiores que tenemos que realizar, se multiplica por 3 en cada paso. Para la primera escalera tuvimos que invertir 1 doblez, para la segunda 3, para la tercera 9, para la cuarta 27 y para la quinta 81. Si quisiéramos conseguir la escalera de 64 peldaños nos esperan nada más y nada menos que 243 inversiones de dobleces más.