Magic Squares - Cuadrados mágicos

Magic Squares

A magic square is an arrangement of numbers in a square grid so that each horizontal, vertical and diagonal line of numbers adds up to the same total, called the magic constant. The smallest magic square (apart from a box with the figure 1 in it) has three squares on each side and the magic constant is 15:

 

 

This is known as the Lo Shu square after a Chinese legend recorded as early as 650 BC. This tells how villagers tried to appease the spirit of the flooding river Lo and a turtle came out of the water with markings on its back that depicted the magic square. The pattern acquired ritualistic or talismanic properties for the local people.

 

 

Cuadrados mágicos

Un cuadrado mágico es una disposición de números en una tabla cuadrada de forma que cada línea horizontal, vertical o diagonal de números suman el mismo resultado, llamado constante mágica. El cuadrado mágico más pequeño (aparte de una caja con el dígito 1 en ella) tiene tres cuadrados por cada lado y su constante mágica es 15.

Este es conocido como el cuadrado Lo Shu, por una leyenda china cuyo registro se remonta al 650 a. de C. Esta leyenda nos cuenta cómo los aldeanos trataron de aplacar el espíritu del desbordado río Lo, y una tortuga salió del agua con marcas sobre su espalda que representaban el cuadrado mágico. El modelo adquirió propiedades ritualísticas y talismánicas para la población local.

 

 

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

Paralelo 28

Cuaderno de bitácora: hace unas semanas volví a ver la película 1492, de Ridley Scott, y por ese motivo estuve recordando las hazañas de uno de los navegantes más famosos e intrépidos de todos los tiempos: Cristóbal Colón.

Realmente hay muchos temas interesantes ligados a las matemáticas que aparecen en esta película. Ejemplos: la esfericidad de la Tierra, la manipulación y falsificación de cálculos que tuvo que realizar Colón para que su proyecto fuera aprobado, la navegación por el Atlántico utilizando el cuadrante y el astrolabio, el cálculo de la velocidad de los barcos y de la posición de los mismos en el mar, la economía de Colón en sus primeras colonias en el nuevo mundo, etc.

Algunos afirman que en su primer viaje a través del Atlántico, aquél que realizó entre agosto y octubre de 1492, Colón sabía hacia dónde se dirigía, pues tenía en su poder cierta información de otros navegantes e incluso algunos mapas antiguos en los que figuraba el continente americano.

Sería muy largo aquí explicar toda la historia de la exploración de nuestro planeta antes de Colón, y las diferentes teorías precolombinas sobre la forma y el tamaño de la Tierra. Solamente quiero recordar que aunque la idea extendida en la antigüedad era de que la Tierra tenía una forma plana, hubo diversos sabios, filósofos, científicos, geógrafos, que afirmaron antes de Colón que la Tierra era esférica. Entre ellos, uno de los más conocidos fue Eratóstenes, que ya en el siglo III a. de C. llegó a calcular, mediante mediciones de la inclinación de los rayos solares en diferentes latitudes, el tamaño terrestre con un error muy pequeño frente al tamaño real (se dice incluso que con un error menor a un 1%).

Cuando Colón quiso presentar su proyecto de atravesar el océano, él no podía basarse en que iba a descubrir nuevas tierras desconocidas, porque todo el mundo lo tomaría por loco, y nadie le prestaría el apoyo y los recursos financieros para fletar las naves de su viaje. Apoyándose en la convicción de que la Tierra era esférica, Colón afirmó que viajando hacia el oeste a través del Atlántico se podía dar toda la vuelta al planeta y llegar a las Indias Orientales (el continente asiático: China, Japón, etc.) y así abrir una nueva ruta de comercio con aquellos remotos parajes que beneficiaría y enriquecería a la corona española.

Pero si se pretendía llegar hasta el Asia atravesando el mar y se hacían cálculos del tamaño de la Tierra y de cuánto podía durar esa travesía, la extensión del océano resultaba demasiado grande, y los barcos no podrían realizar un viaje tan largo en los que estarían meses y meses sin tocar tierra. Los marineros no tendrían comida ni agua suficiente para completar la travesía. Colón entonces trucó los datos: eligió aquellas teorías en las que el tamaño de la Tierra era más pequeño y la extensión de Asia era más grande, para que el viaje saliera lo más corto posible y fuera factible llevarlo a cabo.

De hecho, si no existiera América, Colón no habría sido capaz de atravesar el océano (el Atlántico y el Pacífico juntos) para llegar hasta Asia. Pero cuando expuso su proyecto en Salamanca, logró convencer a los estudiosos de aquella época de que el viaje era posible.

En la película, durante el primer viaje, se observan algunas escenas interesantes, como aquella en la que Colón, durante la noche calcula la latitud a la que se encuentran los barcos con la ayuda de un cuadrante apuntado hacia la estrella Polar. Uno de sus compañeros le pide que le enseñe esa forma de orientarse en medio del océano, y el genovés le muestra cómo apuntar el cuadrante y comprobar que se encuentran en el Paralelo 28. Ésa es la ruta correcta. Cómo lo sabe Colón, o por qué elige ese paralelo terrestre, la película no lo explica, tan sólo dice que si siguen ése paralelo llegarán a su destino.

1492 tiene una banda sonora espectacular, maravillosa, profundamente inspiradora. Fue compuesta por Vangelis, autor de tantas otras músicas increíbles y bandas sonoras como la de Carros de Fuego, Blade Runner, o la de la serie de divulgación científica Cosmos, de Carl Sagan, por citar sólo algunas. En la banda sonora de 1492 Vangelis dedica uno de los temas más bellos, precisamente al Paralelo 28.

Cuando vi la película esta última vez, me pregunté ¿por qué exactamente 28? Y encontré varias asociaciones interesantes que quisiera exponer aquí.

Por un lado, en el terreno del misterio, se ha hablado en algunos libros sobre el Paralelo 27, que es como se ha bautizado una zona o banda alrededor de la Tierra en la que se ubican lugares especialmente misteriosos por los fenómenos y la historia que arrastran, por ejemplo, el famoso Triángulo de las Bermudas, las pirámides de Egipto, el desierto del Sáhara, la cordillera del Himalaya, el mar del Diablo en Japón, la Zona del Silencio en México, etc. Teniendo en cuenta que un paralelo es una línea, y estos lugares mencionados son extensos en superficie, en realidad ocupan varios paralelos, y asignar el número 27 no se debe tomar como algo que busque una exactitud geográfica, sino que es tan sólo un número llamativo para agrupar todas estas zonas. De hecho, la trayectoria de Colón en su navegación atravesando el Atlántico hacia América se mantuvo en esta franja, pues la distancia entre dos paralelos contiguos es poco más de 100 kilómetros. También sabemos que las Pirámides de la planicie de Gizéh o Giza se encuentran exactamente en el Paralelo 30, no en el 27 ni en el 28, y por tanto su distancia al centro de la Tierra es la misma que hasta el Polo Norte, lo que induce a pensar que cuando se construyeron las pirámides, ese lugar fue elegido adrede.

Entonces, ¿por qué Colón eligió el 28, y no el 27 ó 30? Ahora mismo no sé responder a esta pregunta, lo mismo que no sé por qué el paralelo del misterio es el 27 exactamente. Pero el número 28 no es un número al azar, matemáticamente hablando. Es un número perfecto: coincide con la suma de sus divisores propios. En efecto, 28 es divisible entre 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Si lo excluimos a él mismo y sumamos el resto de los divisores (los llamados divisores propios), 1+2+4+7+14=28. Esta propiedad la presentan muy pocos números, el más pequeño de ellos es el 6, el siguiente es el 28, y luego hay que esperar hasta el 496, y después el 8128, etc.

Podemos decir, por tanto, que para un matenavegante el Paralelo 28, el que llevó a Cristóbal Colón al descubrimiento del nuevo mundo, es un paralelo perfecto.

Sobre Pitágoras

Cuaderno de bitácora: hace unas semanas estuvimos viendo un documental en el Barco Escuela sobre Pitágoras. El título del documental es Pitágoras, Mucho más que un Teorema. Pertenece a la serie Universo Matemático, una serie documental muy bien hecha que ha sido emitida por Televisión Española. Su creador es Antonio Pérez Sánz, profesor del IES Salvador Dalí de Madrid.

Como se cuenta en el documental, Pitágoras es quizás el más conocido entre todos los matemáticos, por lo menos de nombre, y el teorema de Pitágoras es el que casi todo el mundo cita, si se le pregunta por algún teorema. Recuerdo que a veces, cuando un niño destacaba en matemáticas, se decía de él que era un pitagorín. Éste era el nombre de un personaje de cómic, de un niño muy listo que aparecía en los tebeos de Bruguera de los años sesenta y setenta, y de ahí la palabra ha pasado a algunos diccionarios y se define como estudiante muy aplicado que siempre sabe las respuestas.

Pitágoras vivió en el siglo sexto antes de nuestra era, y nació en la isla griega de Samos. Durante su juventud viajó por diversos lugares del mundo, principalmente Egipto y Oriente Medio. Algunos afirman que también estuvo por Europa y llegó a contactar con los druidas de la cultura céltica. Fue contemporáneo de los Grandes Maestros de las religiones orientales: Siddharta Gautama el Buddha, Lao Zi (Lao Tsé) y Confucio.

Cuando tenía cuarenta años, regresó a Grecia, y tras ver que en Samos no era aceptado, viajó hasta Crotona, al sur de Italia, donde se estableció y fundó la escuela de los Pitagóricos. Tras muchos años durante los que la escuela prosperó y creció, hubo una guerra entre Crotona y Sibaris, y como resultado la escuela fue incendiada. Se dice que Pitágoras logró huir a Metaponte, refugiándose allí hasta su muerte.

Pitágoras fue el creador de tres palabras fundamentales: cosmos, en el sentido de universo ordenado, todo lo que existe, existió o existirá; filosofía, y matemáticas. Como sabemos, la palabra filosofía significa amor a la sabiduría. Cuando se elogiaba a Pitágoras diciéndole que era un sabio, él lo negaba, respondiendo que tan sólo era un filósofo, un amante de la sabiduría.

La palabra matemáticas significa lo que se aprende, lo que se conoce. Para los antiguos pitagóricos, las matemáticas eran la base y la cima del conocimiento, un conocimiento que los conectaba con lo trascendente, con la Divinidad. Los números eran sagrados, y todo en el cosmos estaba basado en números. Filolao, uno de los miembros de la escuela de Pitágoras, decía: "Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número, pues no es posible que sin número nada pueda ser conocido ni concebido".

A Pitágoras y a su escuela se debe la búsqueda del rigor matemático, de basar todos los resultados, principios, teoremas, en demostraciones y razonamientos lógicos que cualquier estudioso puede entender y compartir. A partir de Pitágoras, la matemática se independiza de una base empírica o práctica, convirtiéndose en una ciencia abstracta que existe más allá de la realidad cotidiana del ser humano.

El Teorema de Pitágoras no fue descubierto por él, porque ya se conocía en culturas muy antiguas, como la egipcia, la babilónica o la china. Se dice que Pitágoras fue uno de los primeros en demostrarlo con rigor. Demostraciones de este teorema hay muchísimas, al parecer es el teorema matemático del que más demostraciones distintas se han elaborado. Al principio del siglo XX, Elias Loomis publicó un libro con 367 demostraciones diferentes del teorema. Si alguien quiere conocer algunas de ellas, puede ver esta presentación.

Pitágoras es también responsable de las proporciones matemáticas de la escala musical. Asimismo, en la escuela pitagórica se estudiaban muchas propiedades de los números, que luego han sido profundizadas en épocas posteriores. Se analizaron los números poligonales (triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc.), los números perfectos, los números amigos, y se descubrieron los números irracionales.

Algunos autores afirman que los pitagóricos rechazaron la existencia de los números irracionales, porque creían que todas las cantidades eran conmensurables: al comparar una cantidad con otra cualquiera, la relación entre ambas siempre se podía expresar como un cociente de números enteros, como un número racional. Pero esto no es cierto, y el propio teorema de Pitágoras conduce rápidamente a uno de los números inconmensurables o irracionales mas sencillos, la raíz cuadrada de dos. Basta tomar un triángulo rectángulo cuyos catetos midan exactamente 1 y 1, entonces la hipotenusa mide la raíz cuadrada de dos. La demostración de que la raíz cuadrada de dos es irracional la pongo a continuación; en ella se utiliza un método de demostración llamado reducción al absurdo, que consiste en suponer que es cierto algo que creemos que será falso, razonar sobre la suposición y llegar a una contradicción, en ese caso lo que habíamos supuesto no puede ser cierto, y por tanto es falso, que es lo que pretendíamos demostrar.

Otro número irracional conocido por los pitagóricos fue el famoso número áureo, o número fi, que aparece como la proporción entre los distintos segmentos definidos en el pentagrama o estrella de cinco puntas. Esta estrella era el símbolo de los pitagóricos.

Para ellos era también sagrado el número diez, simbolizado como un triángulo de puntos distribuidos en orden creciente, un punto en el vértice superior, dos puntos debajo, tres en la siguiente fila y cuatro en la base, formando la tetractys, que resumía en su entidad la estructura del universo. En efecto, un punto representa la dimensión cero, dos puntos definen una recta o dimensión uno, tres puntos no alineados determinan un plano, de dimensión dos, y finalmente, cuatro puntos que no estén en el mismo plano definen el espacio tridimensional. La suma de 1, 2, 3 y 4 da 10.

Pitágoras también estudió los sólidos perfectos, en particular el dodecaedro, y la llamada música de las esferas, y especuló sobre el sistema solar y las órbitas de los planetas.

Para complementar más sobre Pitágoras y su vida, se puede consultar mi artículo Pitágoras, publicado en doDK, y el artículo Los Puntazos de Pitágoras, de Miguel Olvera, publicado también en doDK.

Los Triángulos Isósceles del Sol

Cuaderno de bitácora: tuvimos la oportunidad hace varios meses de visitar las tierras de los Mayas en nuestro periplo por los Matemares. Uno de los sitios por donde pasamos fue Chichén Itzá, la ciudad maya, cuyo monumento más importante es la pirámide de Kukulcán, llamada el Castillo por los descubridores españoles.

La pirámide de Chichén Itzá es un prodigio de la arquitectura y el arte de los antiguos Mayas. Es un monumento hecho con sabiduría y profundos conocimientos matemáticos y astronómicos. Necesitamos la inquietud de los investigadores para estudiar construcciones de este tipo, y así descubrir sus muchos secretos.

Uno de esos secretos que la pirámide guarda es lo que los antiguos Mayas llamaban el descenso de Kukulcán a la Tierra. Los días de los equinoccios de primavera y otoño, 21 de marzo y 21 de septiembre respectivamente, se produce un fenómeno que se está haciendo cada vez más popular. El Sol, en el atardecer de estos días, sobre las 3 de la tarde, hora local, "proyecta en la balaustrada del lado noroeste del Castillo siete triángulos de luz que se van integrando poco a poco de arriba hacia abajo, hasta formar la silueta perfecta de una enorme serpiente que termina al tocar la gran cabeza del Dios Kukulcán en la base de la pirámide" [extraído de la página Yucatán Mágico].

El fenómeno dura pocos instantes, pues casi de inmediato la posición del Sol varía y la balaustrada queda totalmente en sombras. Pero durante esos momentos se dibujan siete triángulos isósceles de luz sobre el lateral de la escalera, siete triángulos que se combinan perfectamente con la cabeza del Dios-serpiente Kukulcán, en la parte inferior de la pirámide. Es muy significativo que esos triángulos semejen el cuerpo de luz de Kukulcán, ondulado como el de las serpientes, o recordando las escamas romboidales de la piel de algunos ofidios.

También es muy significativo, para aquellos que aprecian el simbolismo de los números, que aunque las terrazas o plataformas de la pirámide o Castillo son nueve, los triángulos que aparecen son exactamente siete. Cada triángulo se forma de la sombra del ángulo entre dos plataformas contiguas sobre la pared de la balaustrada; al haber nueve plataformas deberían aparecer ocho triángulos, pero el octavo, el más inferior, se pierde en el suelo debido a la inclinación de los rayos solares, y quedan exactamente siete, confiriendo un significado profundamente metafísico al fenómeno, porque el siete es un número muy simbólico.

En relación a la forma geométrica del Castillo de Chichén Itzá, se trata de una pirámide escalonada, de base cuadrada de 55,5 metros de lado, y su altura, incluyendo el templo de su cúspide, es de 30 metros. Es por tanto una pirámide relativamente pequeña, si la comparamos con la gran pirámide de Keops, de 147 metros de altura originalmente, o la pirámide del Sol en Teotihuacán, de 65 metros de altura, pero que tiene una base casi tan ancha como la de Keops, con unos 225 metros de lado.

Otro hecho numérico interesante es que las escalinatas que suben a la cúspide tienen cada una 91 escalones exactamente, que coincide con el número de días que tiene una estación del año. Como hay cuatro escalinatas, una en cada cara de la pirámide, hace un total de 91 · 4 = 364 escalones. Si le sumamos el suelo o el templo que hay en la cúspide obtendríamos el total de 365, coincidiendo con los días que tiene un año.

En las culturas antiguas era muy importante el conocimiento y el uso del calendario, ya de forma práctica, como ayuda para la agricultura, ya de forma ceremonial, relacionada con sus religiones. No es de extrañar que los mayas introdujeran el número de días del año, aproximadamente, en sus monumentos principales, y en relación a esto me ha venido a la memoria el antiguo juego chino del wei ch'i, conocido en la actualidad por go, que se juega en un tablero con una cuadrícula de 19 por 19 intersecciones, haciendo un total de 361 intersecciones o puntos de territorio. En el tablero de go también se quiso representar desde la antigüedad el calendario anual, como una conexión de la vida cotidiana del ser humano con los movimientos de los astros en el universo.

Todos estos números y cantidades, expresadas a través de los monumentos arqueológicos antiguos, tiene, guste o no guste, hondas repercusiones en el lado sensible e intuitivo de la humanidad, toca resortes profundos del origen de los mitos, y atrae la atención de incontables almas inquietas. No es de extrañar que Chichén Itzá, por todo esto y por mucho más, haya sido elegida como una de las Siete Nuevas Maravillas del Mundo.

Choque de Copas

Cuaderno de bitácora: el otro día estuvimos comiendo todos los oficiales en nuestro camarote de reuniones, y al final realizamos un brindis celebrando el comienzo del nuevo periplo. La mesa a la que nos sentamos era redonda y me recordó aquella mesa mítica de las épocas del Rey Arturo.

Escena de la película Master and Commander.

Sería muy largo enumerar aquí todos los símbolos que se le asocian al círculo en general y a la Tabla Redonda en particular, pero comentaré lo que se me viene a la mente en estos momentos.

Algunos Matenavegantes distinguimos entre circunferencia, que es la línea, y el círculo, que se refiere a la línea y al área de dentro. Para el caso que nos ocupa hablaremos de círculo para referirnos a la línea exclusivamente.

El círculo está definido por la propiedad de que todos sus puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. Por ello en el círculo no hay ningún punto destacado de los otros, el punto destacado, el centro, no pertenece al círculo. Se decía en las antiguas leyendas de la Edad Media que los Caballeros de la Tabla Redonda por igual se sentaban y por igual servidos estaban. Cuando se da un banquete y los comensales se acomodan en mesas redondas, da igual por dónde empiecen a servir los camareros, cualquier invitado puede ser el primero en ser servido, pues no hay un lugar que se pueda considerar el primero ni el último. (Este tema está ampliado en otra entrada del blog sobre La Tabla Redonda y otras curiosidades matemáticas de la Inglaterra antigua.)

Hay muchos fenómenos naturales en donde encontramos el círculo. El movimiento circular aparece continuamente en el Universo. Los planetas alrededor del Sol tienen órbitas que se asemejan, unas en mayor y otras en menor medida, a un círculo. También es el movimiento aparente que tiene el Sol y las estrellas en nuestro firmamento. Concretamente, el Sol va desplazándose con el paso de los días por una línea que cruza diferentes constelaciones, llamadas zodiacales porque se corresponden con los signos del zodiaco. Dichas constelaciones presiden el firmamento formando una especie de consejo estelar. También los Caballeros de la Tabla Redonda quisieron colocar ese símbolo a su hermandad, un símbolo cósmico, como si su Fraternidad fuera un reflejo en la Tierra de lo que sucede en el Cielo.

Todas estas cosas me vienen a la memoria, pero también recuerdo el momento de los brindis. Como es natural, todos los siete oficiales nos levantamos de nuestros asientos y fuimos chocando las copas mutuamente, deseándonos salud y buena fortuna. En ese momento, y antes de que terminaran de chocarse todas las copas, me puse a calcular el número total de choques que se darían, y no me fue difícil dar con la solución.

Puede el lector pensarlo durante unos momentos. Si no sabe calcularlo, sólo tiene que mirar en los comentarios.