François Viète

François Viète (1540-1603)

François Viète was a French mathematician and Huguenot sympathizer. Trained in law, he became a member of the Breton parliament, then of the King's Council serving Henri III and Henri IV. He was proficient at deciphering secret messages intercepted by the French. Indeed, he was so successful that the Spanish accused him of being in league with the devil, complaining to the Pope that the French were using black magic to help them win the war. However, the Pope paid no attention to these accusations.

For a period of nearly six years in the second half of the 1580s, Viète was out of favour at court and concentrated almost exclusively on mathematics. He made great advances in several fields of mathematics, but always working in his spare time. Being wealthy, he printed numerous of his papers at his own expense.

François Viète (1540-1603)

François Viète fue un matemático francés, simpatizante de los hugonotes. Preparado en leyes, se convirtió en un miembro del parlamento bretón, y después en miembro del Consejo del Rey, sirviendo a Enrique III y a Enrique IV. Viète era competente descifrando mensajes secretos interceptados por los franceses. De hecho, tuvo tanto éxito que los españoles le acusaron de estar en complot con el diablo, y se quejaron al Papa de que los franceses estaban usando magia negra para ayudarse a ganar la guerra. Sin embargo, el Papa no prestó atención a estas acusaciones.

Por un periodo de cerca de seis años durante la segunda mitad de los años 1580, Viète perdió el favor en la corte y se concentró casi exclusivamente en las matemáticas. Hizo grandes avances en varios campos de las matemáticas, pero siempre trabajando en su tiempo libre. Como era rico, imprimió numerosos trabajos pagándolos de su propio bolsillo.

[El texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney]

[El Problema de la Semana] Mensaje secreto

Esta semana nos toca descifrar cierto mensaje.

Este es el mensaje que Hugo ha mandado a Mario. Para que nadie se entere de lo que pone, lo ha cifrado usando un alfabeto desplazado, es decir, cada letra ha sido sustituida por otra desplazando el alfabeto un número concreto de lugares. De este modo ha creado un criptograma: WHPJR ÑD FRPWUDVHQD SDUD HPWUDU HP HÑ RUGHPDGRU GH MXDP. 

El problema es que Hugo ha olvidado dar a Mario el número que indica los lugares que ha desplazado las letras del abecedario. ¿Eres capaz de descifrar el mensaje?

¿Cómo dice? ¿Que si hemos puesto la solución? ¿Todavía se atreve a dudarlo? Búsquela más abajo.

[En esta imagen podemos ver una de las páginas del enigmático manuscrito Voynich, un misterioso libro, escrito y dibujado a mano por un autor anónimo hace unos 500 años, con un lenguaje totalmente incomprensible en un alfabeto desconocido. El libro está, además, lleno de inexplicables ilustraciones que parecen aludir a conocimientos científicos imposibles para la época en la que fue escrito. Debido a la incapacidad para descifrar el texto, algunos han creído que el manuscrito Voynich se trata de un elaborado engaño. Sin embargo, el lenguaje utilizado en él sigue la ley de Zipf, que cumplen todas las lenguas naturales: la longitud de las palabras usadas es inversamente proporcional a la frecuencia de aparición de las mismas. Eso indica que el voynichés, el indescifrable idioma usado en el manuscrito, no se trata de una lengua artificial e inventada como el élfico de Tolkien o el klingon de Star Trek, sino que está basado en una lengua natural. Es imposible que hace 500 años el autor del manuscrito conociera la ley de Zipf, descubierta en el siglo XX, y la tuviera en cuenta, adrede, inventando un lenguaje que la pudiera cumplir.]

Solución:

Basta que tomemos una hoja de papel y escribamos en ella el alfabeto español: A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z (veintisiete letras), y luego lo volvemos a escribir debajo el alfabeto, y hacemos un desplazamiento de letras: si por ejemplo el desplazamiento es de tres lugares, la A la podemos unir con una línea con la D, la B con la E, la C con la F, etc.

También nos podemos construir de papel o cartulina un par de discos como los de la imagen:

Uno de los discos ha de contener el alfabeto de afuera, y el otro el de dentro, los unimos por el centro con una chincheta de forma que puedan rotar independientemente, así es sencillo cambiar cada letra por otra desplazada. En la imagen hay un desplazamiento de siete letras. Téngase en cuenta que el alfabeto de la imagen es un alfabeto inglés de veintiséis letras al que le falta la Ñ.

Hay que probar con diferentes desplazamientos hasta que empiecen a salir palabras con sentido. En nuestro caso, las letras han sido desplazadas precisamente tres letras. Así, para descifrar el texto, sustituimos cada letra por la que está tres lugares delante: la W por la T, la H por la E, la P por la N, etc.

Una vez hecho esto, obtenemos el siguiente mensaje: TENGO LA CONTRASEÑA PARA ENTRAR EN EL ORDENADOR DE JUAN.

Notas: para saber más sobre mensajes cifrados, recomiendo leer mis dos entradas en este blog: Mensajes cifrados (1), y Mensajes cifrados (2): la clave URODINELAS.

El problema de esta semana ha sido extraído del libro de texto de la editorial SM.

HAL, IBM y otras naderías

Cuaderno de bitácora: la emisora de radio Ondacero está metiendo últimamente entre sus programas diversas cuñas de curiosidades. Una de ellas trata sobre el nombre del ordenador que aparece en la película 2001 Una Odisea del Espacio: HAL. Según la emisora, Stanley Kubrick propuso que el ordenador fuera un IBM, pero debido al papel que la máquina juega en la película, la empresa se negó a que se usaran sus siglas, y entonces Kubrick recurrió a un sencillo truco: para cada una de las letras I-B-M tomó la letra inmediatamente anterior en el alfabeto, obteniendo así H-A-L, que es el nombre que finalmente recibió.

Me pareció una curiosidad interesante, de estos detalles que gustan a los cinéfilos y que ayudan a conocer mejor la historia de las películas clásicas más populares. Sin embargo, estuve hojeando el libro de Martin Gardner, Los Mágicos Números del Doctor Matrix, en donde el genial divulgador matemático menciona, traídos por el testimonio imaginario del excéntrico y tramposo Dr. Matrix, una enorme multitud de coincidencias y hechos curiosos, desde las coincidencias entre Lincoln y Kennedy, curiosidades de los viajes a la Luna, sobre las pirámides y los fenómenos paranormales, etc. Precisamente en el capítulo de los viajes a la Luna, Martin Gardner menciona esta relación entre las siglas HAL e IBM, y narra que fue descubierta por casualidad. Él en persona habló de ella con Arthur C. Clarke, y éste le aseguró sorprendido que no la conocía, y que había sido una coincidencia completamente casual.

Hemos estado matenavegando sobre el tema, reuniendo alguna información, y podemos resumir así lo que se conoce: Arthur C. Clarke, uno de los más conocidos y celebrados autores de ciencia ficción, escribió un relato corto titulado The Sentinel (El Centinela) en 1948 que fue publicado en 1951. Posteriormente, Stanley Kubrick se interesó por el relato, y junto al propio Arthur C. Clarke extendieron la historia y prepararon un guión para la que luego sería la película 2001 Una Odisea del Espacio. Clarke adaptó el guión a forma de novela y la publicó posteriormente. Más tarde escribió varias secuelas, y una de ellas también fue adaptada al cine: 2010 Odisea Dos.

Clarke niega que la coincidencia entre las siglas de HAL e IBM sea intencionada. De hecho, en 2010 Odisea Dos, uno de sus protagonistas afirma: ""...cualquier idiota sabe que HAL significa Heuristic ALgorithmic", y el propio Clarke, en el prólogo de su posterior novela 3001 Odisea Final, vuelve a insistir en la falta de conexión. Sin embargo, cuando se le preguntó a Kubrick sobre el mismo tema, éste no contesto ni afirmativa ni negativamente, dejando la puerta abierta a la especulación, ya que la historia fue compuesta conjuntamente por el cineasta y por el escritor.

La relación entre las letras de los nombres de los dos ordenadores, el real y el ficticio, me recuerda el tema de una entrada anterior de este blog. En esa entrada ya mencionábamos el cifrado de los mensajes cambiando unas letras por otras. Así, por ejemplo, había una persona que publicaba mensajes en los periódicos firmando con el seudónimo Gfsñbñep, y si tomamos las letras anteriores a cada una de las de esta palabra, nos da Fernando como nombre auténtico del autor de los mensajes.

Existe una página web en la que a este cambio de letras lo llaman precisamente transformación HAL-IBM, y lo pone de ejemplo de método para jugar con los textos literarios obteniendo así resultados curiosos. Uno de los juegos podría ser encontrar palabras con sentido cuyas letras estén relacionadas; para que sea más fácil encontrar palabras con sentido, podemos avanzar las consonantes un lugar en el alfabeto hasta la siguiente consonante, y las vocales un lugar hasta la siguiente vocal, así la A pasa a la E, la E a la I, etc., y entre las consonantes, la B pasa a la C, la C a la D, la D a la F, etc. En dicha página web se da toda una lista de todas las parejas que recoge el Diccionario de la Real Academia de la Lengua cumpliendo esta propiedad. La mayoría son monosílabas, o como mucho bisílabas sin demasiado interés, pero hay algunos ejemplos curiosos: yo me he fijado, por ejemplo, en las parejas moza-nube, o rumí-sano. La página está extraída de la web de Josep M. Albaigès: http://www.albaiges.com/, que contiene muchas otras curiosidades.

PD: En el libro mencionado de Martin Gardner, Los Mágicos Números del Doctor Matrix, en el capítulo de las pirámides, se habla sobre la curiosa relación entre el número pi y el número fi que posibilita que la Gran Pirámide de Keops cumpla dos propiedades matemáticas diferentes. Descubrí dicha relación por mi cuenta hace unos siete u ocho años, y la publiqué en la web: ver el artículo La Gran Pirámide, Pi por la raíz de Fi es casi cuatro. Me sorprendió ver que algo en lo que me había fijado sin leerlo antes en ninguna parte, estuviera ya publicado y mencionado en un libro tan popular dentro de la divulgación matemática. Eso me pasa por hojear los libros sin leerlos a fondo.

Lo que sí está inspirado en las curiosidades divulgadas por Martin Gardner es mi otro pequeño artículo: La letra Z y los presidentes españoles, también publicado hace años, en el que señalo la coincidencia de que todos los presidentes españoles recientes elegidos en las urnas tienen la letra Z en uno o dos de los apellidos. Hoy es precisamente el día de las elecciones europeas, y me ha venido el tema a la cabeza. Esto de la letra Z puede usarse de pronóstico para decidir si un candidato a la presidencia española tiene posibilidades de ser elegido. Mariano Rajoy, cuyo segundo apellido es Brey, no lleva la famosa Z en su nombre ni en sus apellidos, sino que repite la R y la Y. ¿Será esto un impedimento en el futuro para que pueda llegar a la presidencia? Hasta ahora no ha sido elegido ningún candidato que no lleve la Z en sus apellidos. ¿Será capaz Rajoy de romper esta tendencia?

Mensajes cifrados (2): la clave URODINELAS

Como ya dije en la entrada anterior, siempre me interesaron los mensajes cifrados, la manera de escribir en forma secreta para que nadie pueda enterarse de lo escrito salvo que conozca la clave.

Una de las maneras más sencillas de cifrar un mensaje es ir sustituyendo cada letra por otra cosa, otra letra por ejemplo, o algún símbolo diferente. Se trata de definir una correspondencia biunívoca entre el conjunto de las letras de nuestro alfabeto y otro conjunto, que puede ser el de las propias letras, o un conjunto de símbolos o de números, etc.

Si la correspondencia es biunívoca quiere decir que a cada letra de nuestro alfabeto le corresponde una y sólo una letra o símbolo, y a letras distintas le corresponden símbolos distintos.

En la siguiente imagen se puede ver un esquema de un par de ruedas alfabéticas concéntricas. Una puede girar respecto a la otra. Según el giro, se establece una correspondencia biunívoca o biyectiva entre las letras del mensaje original y las letras del mensaje cifrado. Éste es uno de los métodos más sencillos y más antiguos de cifrar mensajes.

Este tipo de cifrado es fácil de descubrir y comprender siempre que el mensaje sea lo suficientemente largo, mediante una distribución estadística. Así es como Sherlock Holmes descifra los mensajes que aparecen en el relato de Arthur Conan Doyle, Los Hombrecitos Danzantes, y también es el método usado en El Escarabajo de Oro, de Edgar Allan Poe. Basta contar la frecuencia con la que aparece cada símbolo en el texto cifrado, e ir correspondiendo los símbolos más frecuentes del texto con las letras más frecuentes del idioma en que está escrito el mensaje, por ejemplo, en español podrían ser la E, la A, la O, la S, etc. (Visitar esta página para ver la frecuencia de aparición de letras en castellano)

Pero ¿qué pasaría si ciframos los mensajes haciendo una correspondencia que no sea biunívoca entre los conjuntos? Ahí empiezan las complicaciones, y el texto se va haciendo cada vez más difícil de descifrar.

Cuando era adolescente se me ocurrió buscar un cifrado que cumpliera ciertas condiciones: quería que fuera rebuscado, diferente del de las correspondencias biunívocas como los de los relatos mencionados anteriormente y por tanto muy difícil de descifrar para el profano; también que fuera muy sencillo de recordar, que bastara una clave fácil y que al cifrar el texto se hiciera de forma rápida; por último, que al leerlo no pareciera un mensaje cifrado, sino que pareciera un idioma diferente, que incluso se pudiera leer en voz alta.

Entonces diseñé la clave URODINELAS. Voy a explicar a continuación en qué consiste:

-Cada consonante se sustituirá por una sílaba de dos letras, la primera es la misma consonante, la segunda es una vocal, elegida a nuestro gusto, pues sólo es de relleno.

-Cada vocal se sustituye por una consonante. ¿Cuál? ¡Para eso está el nombre de la clave: URODINELAS, es decir, la U se sustituye por la R, la O por la D, la I por la N, la E por la L, la A por la S.

Así, por ejemplo, la palabra cifra se convertiría en canferes, o en confiras, o en cenfirus (las vocales introducidas son aleatorias). Si me dan una palabra cifrada: melnasisjal, es fácil de descifrar sabiendo la clave: me equivale a m, l equivale a e, na equivale a n, si equivale a s, s equivale a a, ja equivale a j, l equivale a e. Resultado: melnasisjal = mensaje.

Pongo algunos ejemplos más para que se vean las transformaciones:

flor = filadre

número = narmelrod

navegante = nisvalgasnatul

página = pesgonnes

ordenador = dredalnisdadra

calendario = caslalnidesrand

"La travesía del océano es larga" = "Les teresvalsons dalla dcilsned lsa lesrugos"

Otras propiedades de nuestra clave:

• Las vocales intercaladas son aleatorias, ya que sólo sirven para distinguir a las consonantes de las auténticas vocales. A las consonantes le podemos añadir las vocales que queramos, e incluso podemos añadir diptongos. Así, por ejemplo flor se convierte en filadre, o foludra, o fiuladra o faladria. Todas estas palabras cifradas equivalen a flor.
• Las vocales también se pueden añadir al principio de la palabra sin cambiar la traducción de la misma. Así, ofiladre también se descifraría como flor, o bien apesgonnes como página.
• Sustituir la U por la R, la O por la D, la I por la N, la E por la L, la A por la S, como indica el nombre URODINELAS, es sólo una de las multiples posibilidades. Podemos, por ejemplo, cambiar la clave a AFIMETOVUG, y en esta clave, la A se sustituye por la F, la I por la M, la E por la T, la O por la V, la U por la G. Cada uno puede diseñarse una clave según el gusto. En esta última clave, flor sería filavre, y página sería pefgovnef, por ejemplo. Mi elección de URODINELAS fue simplemente para que en el cifrado salieran palabras no muy difíciles de pronunciar.
• Da lo mismo decir clave URODINELAS, que clave ELASINUROD, o incluso NISALERUDO. El nombre de la clave da el cifrado de las vocales por consonantes diferentes, y cada consonante va emparejada con su vocal equivalente. También es lo mismo clave AFIMETOVUG que OVAFIMUGET, o incluso TEMIFAGUVO.

Propongo a los lectores que descifren el siguiente texto, una cita de Pappus de Alejandría, matemático del siglo III y IV d. de C.:

LASSIE OSBELJOSSA, ILNO VINRETIERDO DOL URNAS CANLRUTIAS INNETORNCANDNA GOLDMELTERINCAS, SASBIALNA QUERL ALLIO HELXISGUDNAD ELSUO MASYODRO QUORL ILLA CORIORSDERESDOD YI QUERL PADDERAS CIDNETELNALRIO MUSSA MINLLIA CEADNA ALLO MAINSEMAD GASSETAD DIAL MASTUELRANSLIA.

Mensajes cifrados (1)

Cuaderno de bitácora: hace ya algún tiempo, en uno de los muchos puertos en los que atracamos, compré un libro editado en 1959 (este año cumple por tanto cincuenta años). Su título es Humor de Contrabando, y sus autores son Chumy Chúmez y Miguel de Salabert.

El libro tiene poco que ver con las matemáticas, es un libro humorístico, en el que se recogen esas casualidades, errores sin intención, despistes, que se dan en la vida real, en los periódicos, en las calles y los comercios, en los anuncios comerciales, etc. y que generan un chiste, algo gracioso y hasta hilarante lleno de espontaneidad. Con el tiempo se han editado varios libros de este tipo; son la versión impresa de los programas de zapping que hoy en día se han puesto tan de moda en la televisión y que recogen las curiosidades graciosas o sorprendentes que inesperadamente aparecen en la pequeña pantalla.

En el libro, por ejemplo, abundan los recortes de la prensa de aquellos años, en los que, por ejemplo se dice que "el vapor español Almadén llegó a Valencia con mil toneladas de península", "24 personas fallecieron en el descarrilamiento de un pesquero español", "de madrugada varias bandadas de nutrias estuvieron volando sobre Pamplona dando fuertes graznidos que despertaron a muchos vecinos", "el famoso escritor Jean Cocteau se encuentra gravemente enfermo a consecuencia de un ataque cardiocultivo de la aceituna", etc.

También hay coincidencias desafortunadas pero muy graciosas: un señor llamado Eroteides Cascajo que hace decoración con escayola y piedra artificial, un médico especialista en garganta, nariz y oídos cuyo nombre es José L. Dañino Suárez, un portal de una casa en donde al lado de la placa de un médico hay una placa de una funeraria, una calle en la que al lado de una consulta veterinaria hay una carnicería, un matadero de nombre La Piedad...

Hay dos citas que son interesantes. La primera dice:

Los cocodrilos están infectando las alcantarillas de Nueva York. Fueron comprados cuando eran chiquititos para entretenimiento de los niños, pero después, las madres, temerosas, los arrojaron a las alcantarillas, y en ellas se han desarrollado en todo su tamaño.

La reseña está publicada en el diario España de Tánger, el 16 de noviembre de 1958. Los cocodrilos de las alcantarillas de Nueva York es una leyenda urbana que tiene, por tanto, más de cincuenta años, y a pesar de ello yo la escuché como si fuera cierta hará unos quince o veinte años, y creo que aún colea de vez en cuando por ahí.

Otra cita es estremecedora: en el mismo diario España, de Tánger, en 1958 se recoge:

En una escuela de Pleasant Hill (Misouri) se han establecido nuevas reglas de disciplina en vista de la actitud díscola de los alumnos. Una dice: 'Se prohibe escupir a los maestros'.

Pero en relación al tema que nos ocupa hoy, en la parte final del libro hay algunos anuncios por palabras curiosos y extravagantes, la mayoría de ellos de personas que se comunican con sus amantes enviándoles mensajes románticos y apasionados. Uno de ellos dice:

Parece un siglo que no te veo; hay momentos de verdadera desesperación y que tiemblo al pensar estás tan lejos de mí; que quiero verte y hablarte y no puedo y sin saber hasta cuando; es horrible; otras veces es una tristeza que me muero al verme tan solo, pero completamente solo, porque solo es estar sin tí, que eres mi dulce bien, mi encanto, mi alegría, mi felicidad; sin tí, que sabes eres la vida entera de tu Gfsñbñep.

Este individuo que firma de forma tan extraña, Gfsñbñep, tiene en el libro otros dos mensajes más del mismo calado, igual de empalagosos y desesperados. No es el único, hay otros mensajes de otras personas, pero que firman de forma más convencional: Norma, P.M., Marte, Esperanza, Juana, Elabel, Ninita, Aida, Pepe. Uno firma Cyrano, como el personaje literario, otro simplemente Z, y una tercera se da a sí misma el apelativo de Necia.

Evidentemente me llamó la atención una firma tan extraña y supuse que debía ser un nombre cifrado en clave, para que sólo la persona a la que iba dirigido lo descifrara. Pero pensé unos momentos, y la clave me vino en seguida. Si sustituimos cada letra del nombre Gfsñbñep por la anterior en el alfabeto español, la G por la F, la f por la e, la s por la r y así sucesivamente, vemos que este apasionado amante de los anuncios por palabras se llama en realidad Fernando.

Cuando era pequeño y estaba en 4º o 5º de E.G.B. (Educación General Básica, equivalente a la Enseñanza Primaria actual) alguien me pasó en el colegio un papel escrito con un mensaje cifrado. Era la primera vez que veía uno: cada letra había sido sustituida por un símbolo sencillo, cruces, círculos, figuras geométricas, etc. Aquel cifrado me entusiasmó, y cuando me dieron la clave y fui capaz de hacer mis propios mensajes ocultos disfruté mucho, e incluso diseñé yo mismo varias claves y formas de sustituir letras por símbolos. Sin embargo, una vez diseñada la clave, no tenía nadie a quien enviar un mensaje secreto, así que dichas claves sólo me hacían pasar un buen rato en casa y quedaban después archivadas y olvidadas en alguno de mis muchos cuadernos.

Una de las últimas claves de cifrado que diseñé, y de la que quedé muy satisfecho, es la que bauticé con el nombre URODINELAS, y que explicaré en la próxima entrada del blog.

Los mensajes cifrados se han utilizado mucho como argumento en los relatos literarios. Hay dos relatos de autores clásicos muy conocidos en los que los mensajes en clave son la parte central del argumento: uno de ellos es El Escarabajo de Oro, (The Gold Bug) de Edgar Allan Poe, y el otro Los Hombrecitos Danzantes, (The Adventure of the Dancing Men) de Arthur Conan Doyle.

En El Escarabajo de Oro, un mensaje cifrado indica el lugar en el que se encuentra oculto un tesoro. En Los Hombrecitos Danzantes, Sherlock Holmes tiene que solucionar un caso en el que los implicados se comunican entre sí con mensajes cifrados, donde cada letra del mensaje ha sido sustituida por la figurita de un hombrecillo, y para cada letra la postura del hombrecillo es diferente.

En ambos casos, el sistema de cifrado es el mismo: sustituir cada letra por un símbolo de forma unívoca, y en ambos relatos los protagonistas logran descifrar los mensajes mediante un método estadístico: cuentan la frecuencia con la que aparece cada símbolo, y los símbolos más frecuentes los asocian con las letras más frecuentes del idioma (el inglés en este caso). Así, por ejemplo, el símbolo más frecuente debe corresponder a la e, el siguiente a la t, y luego la a, la i, la n, la o, la s, etc. Esta asociación será más efectiva si la longitud del texto es lo suficientemente larga. Para textos cortos, las frecuencias pueden variar mucho. Una vez colocadas las letras más frecuentes, mediante la lógica, descartando opciones, se puede descifrar el texto sin mucha dificultad.

Así, por ejemplo, tenemos el siguiente texto en clave que proponemos a los lectores para que lo descifren. Es una cita sobre matemáticas del conocido pintor holandés Maurits Cornelis Escher (el punto y los dos puntos del texto son signos de puntuación, no sustituyen a ninguna letra):

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Se puede visitar la página de la wikipedia para conocer las frecuencias de aparición de las letras en español.

PD: El cifrado de mensajes pertenece al campo de la criptografía, y modernamente se apoya en matemáticas muy avanzadas.

Una forma sencilla de cifrar un mensaje con el ordenador es escribirlo en formato Word, seleccionar el texto y cambiar la Fuente a Webdings o Wingdings, por ejemplo. Todas las letras automáticamente se convierten en símbolos.

Edgar Allan Poe era muy aficionado a los mensajes cifrados, y sus lectores le enviaban cartas con textos en clave que él solucionaba habitualmente. Sin embargo dos de estas cartas se han hecho famosas porque no pudo solucionarlas, ni él ni todos los que posteriormente lo intentaron, hasta muy recientemente. Para saber más, visitar esta página de Ecojoven donde se cuenta la historia completa.