Obtención geométrica de la raíz cuadrada

Cuaderno de bitácora: recientemente hemos descubierto, gracias al libro Mathematics and the Imagination de Edward Kasner y James Newman, un sencillo hecho que vamos a compartir a continuación.

Nos dan un número cualquiera, x. ¿Sabríamos calcular con regla y compás su raíz cuadrada?

Primero debemos representar gráficamente el número x como un segmento cuya longitud es precisamente x. Vamos a suponer, por ejemplo, que el número es x = 5, y lo representamos gráficamente.

A dicho segmento le añadimos una extensión de longitud 1.

Tomamos ahora el centro del segmento AC y trazamos un semicírculo que pase por A y por C.

Levantamos una perpendicular desde el punto B, y la cortamos con el semicírculo. Obtenemos un segmento, AD. La longitud de este segmento es la raíz cuadrada de x. En este caso la raíz cuadrada de 5, que si la aproximamos con decimales sale 2.236067977...

¿Esto funciona siempre así? ¿Cuál es su justificación?

Sí, funciona con cualquier número. Su justificación está en el llamado TEOREMA DE LA ALTURA.

Construimos un triángulo rectángulo. Para ello tomamos como base el lado AC, que va a ser la hipotenusa, y trazamos un semicírculo que pase por A y por C. Elegimos un punto del semicírculo, D, y lo unimos con A y C. Se puede demostrar que el triángulo ACD es rectángulo necesariamente, con el ángulo recto en D y catetos AD y CD.

Desde D trazamos la altura, que corta perpendicularmente a AC en el punto B.

La altura BD corta al triángulo rectángulo original en dos triángulos rectángulos más pequeños, ABD y BCD. Es fácil razonar que los tres triángulos, el grande ACD y los pequeños ABD y BCD son semejantes, ya que sus ángulos son iguales. Por ejemplo, el ángulo A forma parte tanto del triángulo ACD como del ABD, luego estos dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el A y el ángulo recto, y por tanto también tienen igual el tercer ángulo, por tanto ACD y ABD son semejantes. Igual razonamiento podemos hacer con el ángulo C, el triángulo ACD y el BCD, y de aquí ACD y BCD también son triángulos semejantes. Como consecuencia, BCD y ABD son semejantes entre sí por ser semejantes ambos al triángulo grande ACD.

Si dos triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales. Si tomamos los catetos de los triángulos ABD y BCD, entonces se cumple la proporción:

AB/BD = BD/BC

Como en la figura hemos dado los nombres x = AB, y = BC, h = BD, entonces:

x/h = h/y

De aquí, multiplicando en cruz:

h² = x · y

Este es el teorema de la altura, que dice: "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura trazada sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa".

En el caso que estamos estudiando en esta entrada, si y = 1, entonces tenemos que

h² = x ·1 = x

Y por tanto:

h = √x

Así se justifica la construcción que hemos hecho al principio, donde pusimos el ejemplo x = 5.

[El Problema de la Semana] Apretones de manos

No estoy seguro, pero puede que este problema que este problema clásico ya haya salido en nuestro blog:

Todas las personas que asistieron a una reunión se saludaron estrechándose la mano. Uno de ellos se molestó en contar cuántos apretones se habían dado y fueron 120.

¿Cuántas personas estuvieron en la reunión?

La solución, más abajo de la ilustración.

La imagen ha sido extraída de esta web.

SOLUCIÓN:

Supongamos que en la reunión hay x personas. Cada una estrecha la mano de x − 1 personas. Parece que basta con multiplicar las dos cantidades para obtener el número de apretones, pero si lo hacemos así estamos contando dos veces cada apretón. Por tanto dicha cantidad hay que dividirla entre 2, y ya podemos plantear la ecuación:

x · (x − 1) / 2 = 120

Desarrollamos:

x² − x = 240

x² − x − 240 = 0

Si resolvemos la ecuación de segundo grado obtenemos las soluciones:

x₁ = 16

x₂ = −15

Evidentemente, descartamos la raíz negativa, y por tanto la solución es que en la reunión estuvieron 16 personas.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665)

Born in the Basque region, Fermat studied law and later mathematics. He developed independently of Descartes the principles of using a coordinate system to define the positions of points.

Fermat worked extensively on curves, developing a method for measuring the area under a curve that is similar to integral calculus, and to generalized definitions of common parabolas. He worked extensively, too, on the theory of numbers and corresponded with Blaise Pascal on this subject. This was his only contact with other mathematicians. He was a secretive recluse, who generally communicated only with Marin Mersenne.

Fermat was the most productive mathematician of his day, but was so reluctant to publish that he gained little credit for his work during his lifetime.

Pierre de Fermat (1601-1665)

Nacido en la región vasca (el texto parece referirse al país vasco francés, pero al parecer Fermat nació en Beaumont-de-Lomagne, en la región de Occitania), Fermat estudió leyes y posteriormente matemáticas. Desarrolló, con independencia de Descartes, los principios del uso de un sistema de coordenadas para definir la posición de los puntos.

Fermat trabajó ampliamente sobre las curvas, desarrollando un método para medir el área bajo una curva que es similar al cálculo integral, y en definiciones generalizadas de parábolas ordinarias. También trabajó extensamente en teoría de números, y mantuvo correspondencia con Blaise Pascal sobre dicha materia. Este era su único contacto con otros matemáticos. Fermat era un solitario reservado, que generalmente solo se comunicaba con Marin Mersenne.

Fermat fue el matemático más productivo de su época, pero era tan reticente a publicar que recibió pocos méritos por su trabajo durante su vida.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

[El Problema de la Semana] El viaje en moto

Pongámonos el casco y preparémonos para rodar por la carretera:

Un motorista viaja entre dos ciudades. El viaje de ida lo cubre a 90 km/h, y el de vuelta a 60 km/h.

¿Cuál ha sido la velocidad media de su recorrido?

(Ayuda: suponer que la distancia entre las ciudades es de 180 km)

La solución después de la estupenda ilustración.

 

SOLUCIÓN:

Si hacemos caso de la ayuda y suponemos que la distancia entre las ciudades es de 180 km, entonces el viaje de ida, a 90 km/h, lo cubre en 2 horas, y el viaje de vuelta, a 60 km/h, lo cubre en 3 horas. En total ha tardado 5 horas en hacer 360 km (ida y vuelta), luego la velocidad media de su recorrido ha sido de:

360/5 = 72 km/h.

¿Y si no hacemos caso de la ayuda y dejamos abierta la distancia recorrida entre las dos ciudades?

En ese caso, supongamos que la distancia es d, entonces el tiempo empleado en la ida será:

tiempo ida = espacio/velocidad = d/90

Y el tiempo gastado en la vuelta es de:

tiempo vuelta = d/60

Luego:

tiempo total = d/90 + d/60

Y la velocidad media será:

velocidad media = espacio total / tiempo total = 2d/(d/90 + d/60)

Si hacemos operaciones, teniendo en cuenta que:

d/90 + d/60 = 2d/180 + 3d/180 = 5d/180

Entonces:

2d/(5d/180) = 360d/5d

Las distancias se simplifican y nos queda que la velocidad media es de:

velocidad media = 360/5 = 72 km/h.

por tanto, la distancia entre las ciudades es indiferente para el cálculo de la velocidad media.

 

AMPLIACIÓN:

Hay un error muy frecuente que consiste en tomar las dos velocidades y hacer la media de las dos: (90 + 60)/2 = 150/2 = 75 km/h.

Esta operación es incorrecta porque el tiempo durante el cual ha durado cada velocidad es diferente. Veámoslo con el siguiente ejemplo:

Si la moto hubiera estado a 90 km/h durante por ejemplo dos horas, y a 60 km/h durante otras 2 horas, entonces en las primeras dos horas habría recorrido 180 km, en las segundas dos horas habría recorrido 120 km, y en total 300 km en 4 horas, lo que quiere decir que la velocidad media habría sido de 300/4 = 75 km/h, que era lo esperado al hacer la media de las velocidades.

Profundizando en estos detalles, podemos ver que lo último que hemos calculado es la media aritmética entre 90 y 60, que vale 75, pero otra es la media armónica:

2/(1/90 + 1/60) = 72;

la media armónica es la preceptiva en este caso, y la que da el resultado correcto.
 

Este problema ha sido adaptado del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.

Robert Recorde

Robert Recorde (1510-1558)

Robert Recorde was born in Wales and taught mathematics at the Universities of Oxford and Cambridge. He re-established mathematics in England, when the country had not seen a notable mathematician for 200 years. He explained everything in careful detail, in steps that were easy to follow and in English, as he wanted to make mathematics as accesible as possible. Most of his works were written in the form of dialogues between a master and a student. In 1551 he published an abridged version of Euclid's Elements, making the text available in English for the first time. He first used the equals sign, though using much longer lines than we do now. It took 100 years before the sign was universally accepted above alternative notations.

Robert Recorde (1510-1558)

Robert Recorde nació en Gales y enseñó matemáticas en las universidades de Oxford y Cambridge. Él restableció las matemáticas en Inglaterra, en una época en que el país no había visto a un matemático notable desde hacía 200 años. Explicaba todo con cuidadoso detalle, mediante pasos que fueran fáciles de seguir, y en inglés, ya que quería hacer las matemáticas lo más fácil posible de entender. La mayoría de sus trabajos estaban escritos en la forma de diálogos entre un maestro y un discípulo. En 1551 publicó una versión abreviada de los Elementos de Euclides, haciendo el texto comprensible en inglés por primera vez. Fue el primero en usar el signo igual, aunque empleaba líneas mucho más largas de las que utilizamos ahora. Se necesitaron 100 años antes de que el signo fuera universalmente aceptado por delante de otras notaciones alternativas.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

[El Problema de la Semana] Problema en la peluquería

Llegó el momento de teñirse el pelo:

 

Un peluquero tiene dos botellas de agua oxigenada de un litro cada una. La primera botella tiene agua oxigenada al 40% de concentración. La concentración de la segunda botella es del 10%.

 

¿Cuánto tiene que mezclar de cada botella para que salga un litro de agua oxigenada con una concentración del 20%?

La solución: bajando, bajando...

 

Aquí vemos un esquema de la molécula del peróxido de hidrógeno, llamado también agua oxigenada, con dos átomos de oxígeno al centro y dos átomos de hidrógeno en los extremos. El esquema incluye ángulos y distancias. Las distancias están medidas en pm = picometros. Un picometro es la billonésima parte de un metro, es decir, 10^-12 metros.

SOLUCIÓN:

Un litro son 1000 mililitros, 1000 ml; vamos a usar estas unidades en todo el ejercicio, para no tener que complicarnos con la masa en gramos ni con la densidad de los líquidos.

Si la primera botella tiene una concentración del 40%, significa que de los 1000 ml, 400 ml son de peróxido de hidrógeno puro, y el resto, 600 ml, es agua (el peróxido de hidrógeno H₂O₂ es otro nombre del agua oxigenada).

La segunda botella tiene una concentración del 10%, esto significa que de los 1000 ml, 100 ml son de peróxido de hidrógeno puro, y el resto, 900 ml, es agua.

Si llamamos x e y a las cantidades respectivas en mililitros que tenemos que tomar de cada botella para mezclarlas y obtener un litro de agua oxigenada al 20%, entonces se cumplen las siguientes ecuaciones:

x + y = 1000;

ya que juntas dan un litro de agua oxigenada;

40x/100 + 10y/100 = 200;

ya que hacemos un 40% de la primera cantidad y le sumamos un 20% de la segunda cantidad y obtenemos 200 ml de peróxido puro, el 20% de un litro.

simplificando:

4x + y = 2000

ya que este es el peróxido de hidrógeno que cada botella aporta, y que en conjunto debe sumar los 200 ml, el 20%, de la botella resultante.

Resolvemos el sistema, por ejemplo por sustitución:

y = 1000 − x

4x + 1000 − x = 2000;

3x = 1000

x = 1000/3;

de aquí:

y = 1000 − 1000/3 = 2000/3

Es decir, tendremos que mezclar 1/3 de litro de la primera botella, con 2/3 de litro de la segunda.

Nota: este problema ha sido adaptado del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.

François Viète

François Viète (1540-1603)

François Viète was a French mathematician and Huguenot sympathizer. Trained in law, he became a member of the Breton parliament, then of the King's Council serving Henri III and Henri IV. He was proficient at deciphering secret messages intercepted by the French. Indeed, he was so successful that the Spanish accused him of being in league with the devil, complaining to the Pope that the French were using black magic to help them win the war. However, the Pope paid no attention to these accusations.

For a period of nearly six years in the second half of the 1580s, Viète was out of favour at court and concentrated almost exclusively on mathematics. He made great advances in several fields of mathematics, but always working in his spare time. Being wealthy, he printed numerous of his papers at his own expense.

François Viète (1540-1603)

François Viète fue un matemático francés, simpatizante de los hugonotes. Preparado en leyes, se convirtió en un miembro del parlamento bretón, y después en miembro del Consejo del Rey, sirviendo a Enrique III y a Enrique IV. Viète era competente descifrando mensajes secretos interceptados por los franceses. De hecho, tuvo tanto éxito que los españoles le acusaron de estar en complot con el diablo, y se quejaron al Papa de que los franceses estaban usando magia negra para ayudarse a ganar la guerra. Sin embargo, el Papa no prestó atención a estas acusaciones.

Por un periodo de cerca de seis años durante la segunda mitad de los años 1580, Viète perdió el favor en la corte y se concentró casi exclusivamente en las matemáticas. Hizo grandes avances en varios campos de las matemáticas, pero siempre trabajando en su tiempo libre. Como era rico, imprimió numerosos trabajos pagándolos de su propio bolsillo.

[El texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney]

[El Problema de la Semana] Matrícula a la fuga

¡Cuidado con las infracciones!:

Tres matemáticos observaron que un conductor de un automóvil infringía gravemente las normas de tráfico y se daba a la fuga. Todo fue tan rápido que no pudieron anotar el número de la matrícula. Sin embargo, el primer matemático se fijó en que las dos primeras cifras del número eran iguales. El segundo matemático vio que las dos últimas cifras del número también eran iguales, y el tercer matemático se fijó que el número de cuatro cifras era un cuadrado perfecto.

¿Sabrías averiguar el número de la matrícula con estos datos?

La matrícula se resolverá más abajo

SOLUCIÓN:

Recordemos la regla de la divisibilidad por 11: "un número es divisible por 11 si al tomar la suma de las cifras colocadas en lugar par y la suma de las cifras colocadas en lugar impar y restar ambas cantidades, el resultado sale 0, 11 o múltiplo de 11".

Tenemos un número de cuatro cifras con las dos primeras iguales y las dos últimas iguales: XXYY, entonces las cifras colocadas en lugar par (segundo y cuarto lugar) suman X+Y, y las colocadas en lugar impar (primer y tercer lugar) también suman X+Y. Si restamos ambas cantidades iguales, nos da 0, luego el número de la matrícula es divisible por 11.

Como el número es un cuadrado perfecto y 11 es primo, entonces necesariamente será múltiplo de 11² = 121. Además, si dividimos el número de cuatro cifras por este factor, el cociente también será un cuadrado perfecto (en un cuadrado perfecto, todos los factores primos de su descomposición han de aparecer elevados a exponente par).

Basta ir multiplicando 121 por los cuadrados perfectos hasta encontrar la solución:

121 · 1 = 121

121 · 4 = 484

121 · 9 = 1089

121 · 16 = 1936

121 · 25 = 3025

121 · 36 = 4356

121 · 49 = 5929

121 · 64 = 7744

121 · 81 = 9801

El número de la matrícula es 7744, que es el cuadrado de 88 = 8 · 11.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.

Flatland - Planilandia

Flatland

The novella Flatland: A Romance of Many Dimensions written and illustrated by Edwin Abbott Abbott in 1884 satirized the social hierarchy of Victorian Britain in a mathematical tale. The narrator, a square, occupies a two-dimensional world, Flatland. He dreams that he visits a one-dimensional world, Lineland, but cannot convince the ruler that life in two dimensions is possible. The square is visited by a sphere, but can't conceive of a three-dimensional world until he visits it. The square then tries to convince the sphere that more dimensions might exist, but he won't be persuaded. It becomes a criminal offence to suggest in Flatland that a three-dimensional world is possible.

Planilandia

La novela Planilandia: un romance de muchas dimensiones, escrita e ilustrada por Edwin Abbott Abbott en 1884, satirizaba la jerarquía social de la Inglaterra victoriana en un relato matemático. El narrador, un cuadrado, ocupa un mundo bidimensional, Planilandia. Sueña que visita un mundo unidimensional, Linealandia, pero no puede convencer al gobernador de que la vida en dos dimensiones es posible. El cuadrado es visitado por una esfera, pero no puede concebir un mundo tridimensional hasta que lo visita. El cuadrado trata de convencer entonces a la esfera de que podrían existir más dimensiones, pero la esfera no se deja persuadir. Sugerir en Planilandia que un mundo tridimensional es posible se convierte en una ofensa criminal.

Esta es una ilustración sacada de la novela Flatland. En ella se aprecia el plano de la casa del cuadrado protagonista. Sus hijos son pentágonos, y sus nietos son hexágonos. Los sirvientes y los policías son triángulos agudos. Las mujeres, como la esposa y la hija del cuadrado, son segmentos. En el libro, de forma satírica, se equipara la evolución de una persona en inteligencia y su posición social con el número de lados que tiene como polígono. Así, en la escala más baja de la sociedad se encuentran los triángulos, que mientras más agudos son, también son más inferiores. El protagonista es un cuadrado, que es una escala media-baja. Los hijos del protagonista ya están en un escalón superior al ser pentágonos, y los nietos en otro escalón más arriba, al ser hexágonos. Las mujeres se encuentran en el escalón más inferior de todos, y por eso no tienen ni derecho a ser polígonos y son representadas por segmentos.

 Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney.
 

[El Problema de la Semana] Cinco unos

Un problema en el que solo empleamos cinco palitos:

Usando solo cinco unos, sin emplear ningún signo de sumar, restar, multiplicar o dividir, ¿cuál es la cantidad más elevada que puedes expresar?

La respuesta al problema, cinco giros de rueda más abajo.

Los unos son números altos y delgados, y ¿qué deportistas son los más altos? Aquí tenemos a cinco "unos" = ases en el baloncesto de la NBA de todos los tiempos: de izquierda a derecha, Magic Johnson, LeBron James, Michael Jordan, Wilt Chamberlain (que sigue ostentando el récord de 100 puntos en un solo partido) y Larry Bird. Lo curioso es que los números de las camisetas son muy parecidos entre sí, y abundan en el dígito 3.

SOLUCIÓN:

Se trata de un problema en el que lo único que podemos usar son las potencias, y distribuir nuestros cinco unos entre la base y el exponente. Con que pensemos un poco vemos que los números más altos pueden salir de elevar 111 a 11 y de elevar 11 a 111.

Hacemos los cálculos con ayuda de la calculadora web2.0calc:

111¹¹ =  31517572945366073781711

11¹¹¹ = 3.93 · 10¹¹⁵ aproximadamente; su valor exacto es:

39317695287172535490534173386882756704761607664135852855034678556753487133293648186980649622260361388994869790176611

Se ve claramente que 11¹¹¹, que sale bastante mayor que un gúgol, es muy superior a 111¹¹, que no llega al orden de los cuatrillones.

Nota: este problema ha sido adaptado del libro: Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.

Fractals - Fractales

Fractals

A fractal is a structure in which a pattern is repeated from the large scale to the small scale, so that looking more closely at the structure reveals the same or similar figures. There are many near fractals in nature, including snowflakes, trees, galaxies and blood-vessel networks. Fractals are too irregular to be described using standard Euclidean geometry and generally have a Haussdorff dimension which differs from their normal topological dimension.

The best known examples of fractals are the Koch snowflake, the Sierpinski triangle and the Mandelbrot set. This last one was described by the Polish mathematician Benoît Mandelbrot, and is the result of drawing a geometric figure of a set of quadratic equations that involve complex numbers.

En esta ilustración podemos ver el conjunto de Mandelbrot. La imagen está sacada del blog Mates con Federico.

Fractales

Un fractal es una estructura con un patrón que se repite desde la escala grande a la pequeña, de forma que al mirar más de cerca la estructura se revelan las mismas figuras o figuras semejantes. Existen muchos casi fractales en la naturaleza, incluyendo copos de nieve, árboles, galaxias y redes de capilares sanguíneos. Los fractales son demasiado irregulares para ser descritos usando la geometría euclídea estándar, y generalmente tienen una dimensión Haussdorff que difiere de su dimensión topológica normal.

Los ejemplos más conocidos de fractales son el copo de nieve de Koch, el triángulo de Sierpinski y el conjunto de Mandelbrot. Este último fue descrito por el matemático polaco Benoît Mandelbrot, y es el resultado de dibujar una figura geométrica del conjunto de ecuaciones cuadráticas que involucran números complejos.

[Adaptado del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney]

[El Problema de la Semana] El baile de fin de curso

Como ya nos vamos acercando al fin de curso, es interesante que vayamos pensando en el baile:

Los alumnos y alumnas que se han graduado están de celebración. Han organizado un baile; el cuadrado de la doceava parte ya han salido a la pista, y el resto, 35, todavía están sentados charlando.

¿Cuántos alumnos se han graduado?

La respuesta, como siempre, más abajo de la ilustración.

 

Esta imagen proviene de la película High School Musical 3 y está tomada de esta web.

 

SOLUCIÓN:

Si llamamos x al número de alumnos que se han graduado, entonces es fácil plantear la ecuación, basta sumar los que han salido a la pista con los que están sentados charlando para que nos dé el número total de alumnos.

(x/12)² + 35 = x;

 

desarrollamos la ecuación: 

 

x²/144 + 35 = x;

 

quitamos denominadores y ordenamos, pasando todo al primer miembro:

 

x² − 144x + 5040 = 0;

se trata de una ecuación de segundo grado; la resolvemos y obtenemos dos soluciones:

x₁ = 84

x₂ = 60

Sorprendentemente, las dos soluciones son válidas. En la primera, la doceava parte son 7, su cuadrado son 49, que son los que están en la pista bailando, y 49 + 35 = 84. En la segunda solución, la doceava parte son 5, su cuadrado son 25 que son los que están en la pista bailando, y 25 + 35 = 60.

Este problema ha sido adaptado del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.

The + and – symbols - Los símbolos + y –

The + and – symbols

One of the earliest signs to show that two numbers had to be added was an Ancient Egyptian hieroglyph represented by a pair of legs walking forward in the direction of the writing. Their minus sign was a pair of legs walking in the opposite direction. Up until the 1500s a variety of signs were used, but very often the instruction was written in full. Italian mathematicians of the 1400s used p and m (for plus and minus) which was a shortened form of their (Italian) words. The first + and – signs appeared in 1481 in a German manuscript on algebra. For quite some time their use appears to have been restricted only to algebra and it took nearly 100 years before they came into more general use in arithmetic.

[imagen extraída de Hiclipart]

Los símbolos + y –

Uno de los signos más antiguos para señalar que dos números habían de sumarse fue un jeroglífico del Antiguo Egipto representado por un par de piernas caminando en la dirección de la escritura. El signo menos era un par de piernas caminando en la dirección opuesta. Hasta el 1500 aproximadamente, se usó una amplia variedad de signos, pero muy frecuentemente la instrucción se escribía al completo. Los matemáticos italianos de 1400 usaron p y m (por plus y minus) que eran una forma resumida de sus palabras italianas. Los primeros signos + y – aparecieron en 1481 en un manuscrito alemán sobre álgebra. Durante bastante tiempo su uso parece haber estado restringido solo al álgebra y pasaron cerca de 100 años antes de que se adquirieran un uso general en aritmética.

[Adaptado del Oxford Study Mathematics Dictionary]

[El Problema de la Semana] Emparejamiento intercalado

Presentamos un problema creado por el matemático escocés C. Dudley Langford, y recogido por Martin Gardner.

Tomamos tres parejas de números, 1-1, 2-2, 3-3, y las colocamos en el siguiente orden:

3 - 1 - 2 - 1 - 3 - 2

Podemos darnos cuenta de que entre el 1 y el otro 1 hay un número, entre el 2 y el otro 2 hay dos números, y entre el 3 y el otro 3 hay tres números.

¿Es capaz el lector de ordenar las parejas 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, siguiendo la misma propiedad, es decir, que entre cada pareja haya exactamente la cantidad de números que indica la propia pareja?

La solución, como no podía ser de otra forma, más abajo de la imagen ilustrativa.

 

Aquí tenemos una imagen del Colour Chess, o Ajedrez con Colores. Se trata de una variante del ajedrez normal, en la cual, cada jugador hace dos jugadas por turno, en la primera de ellas debe mover una pieza a una casilla del mismo color que la última casilla a la que movió el jugador contrario; en la segunda jugada puede hacer otro movimiento en el cual establece un nuevo color para que el contrario mueva. Una introducción (en inglés) se da en este vídeo de Youtube.

SOLUCIÓN:

Tenemos ocho números en total, empezamos por colocar los dos cuatros, separados entre sí cuatro lugares:

4 - x - x - x - x - 4 - x - x

Ahora probamos a colocar los dos treses; el primer 3 no puede estar en el segundo lugar, pues entonces el otro 3 estaría donde se encuentra el segundo 4. Probamos a ponerlo en el tercer lugar:

4 - x - 3 - x - x - 4 - 3 - x

Ahora es muy fácil completar con la pareja de unos y la de doses:

4 - 1 - 3 - 1 - 2 - 4 - 3 - 2

Nota: este problema ha sido extraído del libro Festival Mágico-Matemático, de Martin Gardner, editado por Alianza Editorial.

Thales - Tales

Thales (c.624-548 BC)

is the first mathematician known to us by name. He was a wealthy Greek who travelled widely and worked on many subjects including mathematics, astronomy and philosophy. He appears to have been the first to produce theorems which were supported by logical reasoning rather than experiment. Among other things he showed how it was possible to work out the height of a pyramid from the length of its shadow – using a stick placed vertically in the ground, and a calculation based on shadow lengths and similar triangles.

 

 

Tales (aproximadamente 624-548 a. de C.)

 

es el primer matemático que conocemos de nombre. Fue un griego adinerado que viajó ampliamente y trabajó sobre muchas materias, incluyendo matemáticas, astronomía y filosofía. Parece haber sido el primero en elaborar teoremas que se apoyaban en razonamientos lógicos en lugar de experimentación. Entre otras cosas, mostró cómo era posible calcular la altura de una pirámide partiendo de la longitud de su sombra - utilizando un palo colocado verticalmente sobre el suelo, y un cálculo basado en las longitudes de las sombras y en triángulos semejantes.

[extraído del libro: Oxford Study Mathematics Dictionary]

[El Problema de la Semana] Almuerzo en el club VM

Veamos este problema, sugerido por Werner Joho, un físico de Zurich, y recogido por Martin Gardner:

Cada uno de los socios del Club VM es, o bien veraz, y dirá siempre la verdad, o bien mentiroso y siempre responderá con una mentira. En mi primera visita al club encontré a todos sus miembros, exclusivamente hombres, sentados en torno a una gran mesa circular, almorzando. No había forma de distinguir a veraces de mentirosos por su aspecto externo, así que fui preguntándoles por turno si eran una u otra cosa. De nada me sirvió, pues como era de esperar todos aseguraron ser veraces. Volví a probar, esta vez preguntando a cada uno si su vecino de la izquierda era veraz o mentiroso. Para sorpresa mía, todos contestaron que el hombre sentado a su izquierda era mentiroso.

Más tarde, de vuelta a casa, al pasar a limpio mis notas sobre el almuerzo descubrí que había olvidado apuntar el número de personas sentadas a la mesa. Telefoneé entonces al presidente del club, quien me informó que eran 37. Después de colgar me di cuenta de que no podía confiar en esta cifra, porque no sabía si el presidente era veraz o mentiroso. Decidí entonces telefonear al secretario del club.

"No, no", me contestó el secretario, "por desgracia nuestro presidente es un mentiroso empedernido. La verdad es que estábamos cuarenta comensales."

¿A cuál de estos dos hombres debería yo creer?

La solución, como siempre, más abajo de la imagen.

Hemos estado buscando mesas circulares lo suficientemente grandes para que se sienten todos los miembros del Club VM, y son muy difíciles de encontrar. En la mesa de la imagen no caben todos, tan solo un 25%. Nos ha llamado la atención la forma de las lámparas, poliedros formados por caras cuadradas, rectangulares y triangulares. La fotografía está tomada de esta página.

SOLUCIÓN:

Tomamos cualquier socio sentado a la mesa del almuerzo.

Si es veraz, entonces está diciendo la verdad al decir que el hombre que se sienta a su izquierda es mentiroso. Por tanto, a la izquierda de cada socio veraz hay un socio mentiroso.

Si es mentiroso, entonces está mintiendo al decir que el hombre que se sienta a su izquierda es mentiroso. Por tanto, a la izquierda de cada socio mentiroso hay un socio veraz.

Entonces tenemos que necesariamente, los socios veraces y los mentirosos están alternados a lo largo de toda la mesa. Tomando de partida un socio y yendo siempre hacia su izquierda, si el socio es veraz, el siguiente sería mentiroso, el siguiente veraz, el siguiente mentiroso y así sucesivamente. Si damos toda la vuelta completa y regresamos al punto de partida, a la derecha del socio veraz también habría un mentiroso.

Esta configuración alternada sólo es posible si en la mesa hay un número par de socios. Si el número fuera impar, al dar toda la vuelta alternando veraces con mentirosos nos encontraríamos que al final coincidirían dos veraces juntos o dos mentirosos juntos, y esto no puede ser.

Según esto, cuando el presidente nos dice que hay 37 miembros en el club, está mintiendo, pues no puede haber un número impar de miembros. Por tanto el presidente es uno de los mentirosos.

Cuando el secretario dice que el presidente es mentiroso, está diciendo la verdad, por tanto es un socio veraz, y podemos confiar en su palabra: el club tiene 40 miembros.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Festival Mágico-Matemático, de Martin Gardner, editado por Alianza Editorial.

The Largest Number Ever - El Número Más Grande de Todos los Tiempos

The Largest Number Ever

One of the largest numbers that has been cited in any theoretical mathematical problem is called Graham's Number, named after American mathematician Ronald Graham. It was devised in 1977 by Graham as the upper bound of a possible solution to a problem. The number is so large that it is necessary to develop and understand new notational forms to write it. It is said that if all the matter in the universe were turned into ink, it would not be enough to write the number out in full.

Graham's Number was published in the 1980 Guinness Book of World Records. Since then, other specific integers known to be far larger than Graham's Number have appeared in many serious mathematical proofs.

 

El Número Más Grande de Todos los Tiempos

Uno de los números más grandes que han sido citados en algun problema teórico matemático se llama el Número de Graham, llamado así por el matemático americano Ronald Graham. Fue ideado en 1977 por Graham como el límite superior de una posible solución a un problema. El número es tan grande que es necesario desarrollar y comprender nuevas formas de notación para escribirlo. Se dice que si toda la materia del universo se convirtiera en tinta, no sería suficiente para escribir el número en forma completa.

El Número de Graham fue publicado en el Libro Guinness de los Récords Mundiales de 1980. Desde entonces, otros números enteros específicos, reconocidos por ser mucho más grandes que el Número de Graham, han aparecido en muchas demostraciones matemáticas importantes.

Para poder expresar el Número de Graham, es necesario desarrollar nuevas notaciones. En esta imagen vemos uno de los primeros pasos: definir las "flechas": una flecha es equivalente a una potencia normal; dos flechas equivalen a varias flechas-potencias iteradas; tres flechas equivaldrían a varias dos-flechas iteradas, etc. Para más información necesitamos dedicarle un tiempo a comprender, por ejemplo, el artículo de la Wikipedia dedicado a la Notación flecha de Knuth, y al Número de Graham.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

El vuelo del Matenavegante

Cuaderno de bitácora: usando nuestros nuevos conocimientos de papiroflexia matemática, nos hemos embarcado en el diseño de un nuevo avión de papel. Hemos empleado en él la construcción del ángulo de 60 grados que nos permite obtener triángulos equiláteros y hexágonos. El desarrollo se ha visto pronto coronado con el éxito. El resultado ha sido un elegante avión planeador, al que hemos bautizado, como no podía ser menos, con el nombre de el Matenavegante.

Veamos los pasos de nuestra construcción:

Figura 1. Partimos de un folio A4 normal.

Figura 2. Lo doblamos por la mitad a lo largo.

Figura 3. Aquí viene el doblez clave: tomamos una de las esquinas superiores y la llevamos a la línea de la mitad del folio, señalada por el doblez, mientras procuramos que la diagonal formada parta exactamente desde la otra esquina superior.

Figura 4. Con la otra esquina hacemos el mismo doblez. Con estos dobleces conseguimos ángulos de 60º exactos.

Figura 5. Juntamos las dos esquinas superiores en el medio y al hacerloel papel se levanta de forma natural en el centro, formando un pico.

Figura 6. Aplastamos ese pico de forma que nos quede un pequeño triángulo equilátero en la parte superior, bien centrado respecto al medio del folio.

Figura 7. Damos la vuelta al papel y lo doblamos desde arriba en el centro, llevando un lado superior sobre la mitad del folio.

Figura 8. Con el otro lado hacemos lo mismo.

Figura 9. Le damos la vuelta otra vez al papel y doblamos la punta hasta que llegue a la base del pequeño triángulo superior (en la imagen no se ve que llegue a la base, pero es por la perspectiva).

Figura 10. Le damos la vuelta al doblez de la punta y lo ponemos hacia el otro lado. Este doblez es para que el avión tenga una punta sólida y con peso, que lo guíe en su vuelo.

Figura 11. Es el momento de definir las alas: doblamos el avión sobre sí mismo por la mitad.

Figura 12. Hacemos un doblez paralelo a la mitad del folio, a lo largo de un ala, de forma que nos encaje con el doblez de la punta del avión. Este doblez lo repetimos en el otro ala. Ya tenemos el cuerpo central.

Figura 13. Es el momento de completar el diseño con un par de alerones al final de cada ala. Como se ve en la imagen, el doblez no es paralelo al cuerpo del avión, sino que se cierra un poco en la parte trasera. Esto es para que el avión tienda a ir hacia arriba, en lugar de hacia abajo. Es cuestión de experimentar con el vuelo para encontrar el alerón ideal.

Figura 14. Aquí vemos el avión terminado.

Figura 15. Podemos levantar la zona delantera imitando a "la cabina del piloto". Sin embargo esta posición es más bien estética; parece tener un vuelo mucho más estable si se mantiene aplastada sobre las alas.

Figura 16. Una vista delantera del avión.

Figura 17. ¡El Matenavegante ya está terminado y listo para despegar!

Notas: el diseño que acabamos de compartir es propio, es decir, no lo hemos tomado de ningún libro ni de ninguna otra fuente, sino que lo hemos inventado nosotros. Ignoramos si alguien más ha llegado a él por su propia inventiva. Este caso no sería de extrañar, pues en matemáticas y en otras muchas disciplinas es bastante normal que las ideas aparezcan en varias mentes de forma independiente.

Como se puede apreciar al ir construyendo el avión, aparecen figuras geométricas interesantes, como triángulos equiláteros de varios tamaños y ángulos de 30º y 60º por doquier. El vuelo del avión es un planeo rápido y estable, para ello hay que ajustar bien los dobleces, los alerones y mantener "la cabina" baja, aplastada sobre el cuerpo del avión.

Sudoku de letras (29)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto

A   C   E   G   I   M   N   O   T

 

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: el imán lo es...

 

 

La raíz cuadrada de 2 en un folio A4

¿Tiene usted a mano un folio A4? Es indiferente si está en blanco o ya está escrito, pues con él vamos a hacer un par de dobleces. Tome una esquina y doble el papel a lo largo de una diagonal que parta de una esquina, hasta hacer coincidir el lado corto del folio con el lado largo. El folio le debe haber quedado como en la fotografía.

Figura 1. Tomemos un folio A4.

Figura 2. Doblamos a lo largo de una diagonal que parte exactamente de una esquina y hacemos coincidir el lado corto del folio sobre el lado largo.

Se nos ha formado un triángulo rectángulo isósceles (la mitad de un cuadrado), ya que el ángulo inferior izquierdo es justamente de 45º. Si tomamos los dos catetos iguales de este triángulo como unidad, es decir, suponemos que cada uno vale 1, entonces, aplicando la fórmula del teorema de Pitágoras, la hipotenusa vale exactamente la raíz cuadrada de 2.

Figura 3. Tomando el cateto como unidad, la hipotenusa vale exactamente raíz cuadrada de 2.

Debemos darnos cuenta, bien mediante un compás o doblando de nuevo en diagonal, que la longitud de la hipotenusa coincide con el largo del folio A4.

Figura 4. En un folio A4 la hipotenusa del triángulo que hemos obtenido coincide con el largo del folio.

 

Figura 5. Si doblamos otra vez en diagonal, trayendo el vértice superior del triángulo sobre la esquina inferior derecha del folio, veremos que los lados coinciden.

Figura 6. Una vez doblado vemos que ambas longitudes son iguales.

Esto significa que el folio A4 tiene unas proporciones que no han sido calculadas al azar, sino que han sido especialmente tomadas para que tenga esta propiedad. De hecho, esa es la base de la proporción del folio A4: los lados del folio están en proporción de 1 a raíz cuadrada de 2.

Cuando se cumple esta proporción, también se cumple otra propiedad: si dividimos un folio por la mitad, el rectángulo resultante es semejante al del folio, es decir, conserva la misma proporción. A esta hoja más pequeña se la llama A5.

Figura 7. Si doblamos un folio por la mitad, podemos comprobar que cada una de las dos mitades del folio cumplen la misma proporción.

Figura 8. Seguimos los mismos pasos, doblando en diagonal como se ve en la imagen y obteniendo un nuevo triángulo rectángulo isósceles.

Figura 9. Volvemos a doblar en diagonal y comprobamos efectivamente que las longitudes de la hipotenusa y del largo del semifolio vuelven a coincidir.

Figura 10. Podemos dar la vuelta al papel y hacer lo mismo por el otro lado.

Figura 11. Terminamos los dobleces y...

Figura 12. ...¡Hemos obtenido un avión de papel! Su diseño es de lo más simple que se puede realizar.