[El Problema de la Semana] Menos que la media

Hoy tenemos estadísticas en el instituto:

En cierto instituto, un profesor se ha quejado de que “la inmensa mayoría del alumnado, quizás más del 75%, ha sacado una nota inferior a la puntuación media del centro”.

¿Es esto posible? Si no lo es, razónalo. Si lo es, pon un ejemplo con una clase de 30 alumnos y alumnas.

La solución, sobre la media de la página.

"El birrete es un gorro rematado con una borla, usado en actos ceremoniales, por magistrados, jueces, letrados, abogados y componentes de la comunidad universitaria en ocasiones solemnes. El mismo consiste en un panel horizontal de forma cuadrada fijado a un casquete, con una borla fijada a su centro" (wikipedia). Siempre me ha preocupado el momento en el que los estudiantes recién graduados lanzan sus birretes al aire, pues no sé si luego cuando caen cada uno logra recuperar el suyo. En fin, ellos sabrán. La imagen está tomada de la University College Roosevelt, situada en Middelburg, Holanda.

SOLUCIÓN:

Contestemos rápidamente a la pregunta ¿Es esto posible?: Sí, por supuesto que sí es posible. En este caso nos piden que pongamos un ejemplo. Ahí va:

Tenemos una clase de 30 alumnos. De ellos, 27 han obtenido una nota de 6 en un examen. Los 3 restantes han obtenido un 10. La media de las notas en esta clase es:

(27 · 6 + 3 · 10) /30 = 192/30 = 6'4

Si la nota media ha sido de 6'4, entonces todos los alumnos que han sacado un 6 han obtenido una nota inferior a la media. Estos han sido 27 de 30, es decir un 90%, más del 75%. En esta clase, un 90% de los alumnos han sacado una nota inferior a la media.

Si nos fijamos en el ejemplo que hemos puesto, se pueden notar los siguientes detalles:

-Todos los alumnos de la clase están aprobados.

-Casi todos los alumnos tienen una nota igual, un poco baja, mientras unos pocos tienen una nota muy alta. Las notas están asimétricamente distribuidas: un grupo muy numeroso en la zona inferior de las notas, otro grupo muy pequeño en la superior.

-La media, que está entre los dos grupos, es cercana a la nota que tiene el grupo más numeroso.

 AMPLIACIÓN:

Si alguien pensaba que no era posible lo que decía el profesor es porque está confundido entre lo que es la media de una distribución estadística y la mediana de dicha distribución.

Tanto la media como la mediana son parámetros de tendencia central, y es de esperar que se coloquen al centro de la distribución estadística. Pero esta forma de colocarse al centro es diferente para cada parámetro. La mediana se coloca de forma que el 50% de los valores estadísticos sean menores o iguales que ella, y el otro 50% sean mayores o iguales. Luego si en lugar de la media hablamos de la mediana en el problema, lo que dice el profesor sería matemáticamente imposible: el 50% del alumnado, ni más ni menos, siempre tiene una nota igual o menor a la mediana, y no es posible que el 75% tenga una nota inferior a la mediana.

Pero la media está colocada en el "centro de gravedad" de la distribución, y se dan diferentes situaciones según la distribución es simétrica o asimétrica.

Cuando la distribución estadística está simétricamente distribuida, entonces es de esperar que la media esté al centro junto a la mediana. Pero no sucede así cuando la distribución es asimétrica. Por eso vemos en la solución del problema, por ejemplo, que podemos tener un enorme grupo de puntuaciones "un poco bajas", todas iguales, y luego unas pocas puntuaciones "muy altas", y al calcular la media, el resultado se queda entre estos dos grupos, con lo que el grupo de puntuaciones bajas, muy numeroso, que puede fácilmente ser del 75% y más, queda por debajo de la media.

¿Por qué se queja entonces el profesor del problema?

El profesor se está quejando porque la distribución de notas es asimétrica. Si en su queja quería expresar su convencimiento de que las notas son bajas, el razonamiento es insuficiente. No podemos asegurar que las notas sean malas, pues no sabemos cuál es la media del instituto. Incluso si el profesor se quejase de que el 75% del alumnado del centro tiene una nota inferior a la media regional o nacional, es posible que no haya motivo de preocupación, pues también a nivel regional o nacional la distribución puede ser asimétrica. El profesor necesita más datos para fundamentar su queja; decir que el 75% del alumnado tiene menos nota que la media del instituto solo indica la asimetría de la distribución.

Nota: este problema ha sido adaptado del libro Matemágicas, de Ignacio Soret Los Santos.