[El Problema de la Semana] El rebote afortunado

Juguemos a la pelota... sin romper nada:

 

Un chico debe lanzar con fuerza una pelota en línea recta para que, después de rebotar en el suelo, siga en línea recta hasta colarse por una pequeña ventana. Si la altura del chico es de 1'50 m, la altura de la ventana es de 2'50 m y la distancia entre el chico y la pared donde se encuentra la ventana es de 8 metros:

 

¿En qué punto del suelo debe hacer rebotar la pelota?

Para encontrar la solución, lance la página y rebote debajo de la imagen.

A través de una esfera de cristal vemos la imagen invertida del paisaje. La ilustración ha sido tomada de este sitio.

SOLUCIÓN:

En primer lugar debemos comentar que en este problema estamos haciendo una licencia física: cuando alguien lanza una pelota por el aire en una dirección que no sea perpendicular al suelo, la trayectoria que sigue la pelota nunca será perfectamente recta debido a la gravedad terrestre. Siempre se asemejará a un tramo de parábola.

De hecho, si quisiéramos que la trayectoria fuera perfectamente recta deberíamos lanzarla en un ambiente sin gravedad, como el que puede haber en una estación espacial.

Pero mejor dejemos de complicarnos la vida. Supongamos que el chico del problema lanza la pelota con la suficiente fuerza para que ésta siga una línea prácticamente recta, y despreciemos los detalles.

Cuando la pelota rebota en el suelo sucede un hecho importante: el ángulo con el que la pelota alcanza el suelo es igual al ángulo de rebote. Siendo así, podemos hacer un esquema geométrico de la situación:

En el esquema vemos que el chico está representado por el segmento AB, y la pared con la ventana por el segmento CD. El punto de rebote es R, y en ese punto el primer tramo de la trayectoria de la pelota, BR, forma un ángulo de incidencia α con la horizontal, mientras que el segundo tramo de la trayectoria, RD, forma el ángulo de rebote β. Los ángulos de incidencia y rebote son iguales: α = β.

Como estos dos ángulos son iguales, y los triángulos ABR y CDR son rectángulos, entonces estos dos triángulos son semejantes. Por tanto los lados correspondientes son proporcionales, y concretamente con los catetos podemos hacer la igualdad de proporciones:

AB/CD = AR/CR

es decir:

1.5/2.5 = m/n

pero:

n = 8 − m

y por tanto:

1.5/2.5 = m/(8−m)

Multiplicamos en cruz y desarrollamos la ecuación:

1.5(8 − m) = 2.5m

12 − 1.5m = 2.5m

4m = 12

m = 3

La respuesta sería: el chico debe hacer rebotar la pelota en el punto R que se encuentra a 3 metros de él y 5 metros de la pared.

AMPLIACIÓN:

Hemos hecho los cálculos con una proporción que ha dado como resultado una ecuación de primer grado. También podemos solucionar el problema de forma estrictamente geométrica, haciendo la simetría de la ventana con el suelo y prolongando la trayectoria de la pelota en línea recta, como si golpeara contra el reflejo de la ventana en el suelo, tal y como se ve en el esquema:

Según esto, primero calculamos el punto E, simétrico del D respecto a la recta AC, y el punto de rebote R sería el punto de corte de la recta BE con la recta AC.

 
Nota: este problema ha sido adaptado del libro: Matemágicas, de Ignacio Soret Los Santos.