Flatland - Planilandia

Flatland

The novella Flatland: A Romance of Many Dimensions written and illustrated by Edwin Abbott Abbott in 1884 satirized the social hierarchy of Victorian Britain in a mathematical tale. The narrator, a square, occupies a two-dimensional world, Flatland. He dreams that he visits a one-dimensional world, Lineland, but cannot convince the ruler that life in two dimensions is possible. The square is visited by a sphere, but can't conceive of a three-dimensional world until he visits it. The square then tries to convince the sphere that more dimensions might exist, but he won't be persuaded. It becomes a criminal offence to suggest in Flatland that a three-dimensional world is possible.

Planilandia

La novela Planilandia: un romance de muchas dimensiones, escrita e ilustrada por Edwin Abbott Abbott en 1884, satirizaba la jerarquía social de la Inglaterra victoriana en un relato matemático. El narrador, un cuadrado, ocupa un mundo bidimensional, Planilandia. Sueña que visita un mundo unidimensional, Linealandia, pero no puede convencer al gobernador de que la vida en dos dimensiones es posible. El cuadrado es visitado por una esfera, pero no puede concebir un mundo tridimensional hasta que lo visita. El cuadrado trata de convencer entonces a la esfera de que podrían existir más dimensiones, pero la esfera no se deja persuadir. Sugerir en Planilandia que un mundo tridimensional es posible se convierte en una ofensa criminal.

Esta es una ilustración sacada de la novela Flatland. En ella se aprecia el plano de la casa del cuadrado protagonista. Sus hijos son pentágonos, y sus nietos son hexágonos. Los sirvientes y los policías son triángulos agudos. Las mujeres, como la esposa y la hija del cuadrado, son segmentos. En el libro, de forma satírica, se equipara la evolución de una persona en inteligencia y su posición social con el número de lados que tiene como polígono. Así, en la escala más baja de la sociedad se encuentran los triángulos, que mientras más agudos son, también son más inferiores. El protagonista es un cuadrado, que es una escala media-baja. Los hijos del protagonista ya están en un escalón superior al ser pentágonos, y los nietos en otro escalón más arriba, al ser hexágonos. Las mujeres se encuentran en el escalón más inferior de todos, y por eso no tienen ni derecho a ser polígonos y son representadas por segmentos.

 Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney.
 

[El Problema de la Semana] Cinco unos

Un problema en el que solo empleamos cinco palitos:

Usando solo cinco unos, sin emplear ningún signo de sumar, restar, multiplicar o dividir, ¿cuál es la cantidad más elevada que puedes expresar?

La respuesta al problema, cinco giros de rueda más abajo.

Los unos son números altos y delgados, y ¿qué deportistas son los más altos? Aquí tenemos a cinco "unos" = ases en el baloncesto de la NBA de todos los tiempos: de izquierda a derecha, Magic Johnson, LeBron James, Michael Jordan, Wilt Chamberlain (que sigue ostentando el récord de 100 puntos en un solo partido) y Larry Bird. Lo curioso es que los números de las camisetas son muy parecidos entre sí, y abundan en el dígito 3.

SOLUCIÓN:

Se trata de un problema en el que lo único que podemos usar son las potencias, y distribuir nuestros cinco unos entre la base y el exponente. Con que pensemos un poco vemos que los números más altos pueden salir de elevar 111 a 11 y de elevar 11 a 111.

Hacemos los cálculos con ayuda de la calculadora web2.0calc:

111¹¹ =  31517572945366073781711

11¹¹¹ = 3.93 · 10¹¹⁵ aproximadamente; su valor exacto es:

39317695287172535490534173386882756704761607664135852855034678556753487133293648186980649622260361388994869790176611

Se ve claramente que 11¹¹¹, que sale bastante mayor que un gúgol, es muy superior a 111¹¹, que no llega al orden de los cuatrillones.

Nota: este problema ha sido adaptado del libro: Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.

Fractals - Fractales

Fractals

A fractal is a structure in which a pattern is repeated from the large scale to the small scale, so that looking more closely at the structure reveals the same or similar figures. There are many near fractals in nature, including snowflakes, trees, galaxies and blood-vessel networks. Fractals are too irregular to be described using standard Euclidean geometry and generally have a Haussdorff dimension which differs from their normal topological dimension.

The best known examples of fractals are the Koch snowflake, the Sierpinski triangle and the Mandelbrot set. This last one was described by the Polish mathematician Benoît Mandelbrot, and is the result of drawing a geometric figure of a set of quadratic equations that involve complex numbers.

En esta ilustración podemos ver el conjunto de Mandelbrot. La imagen está sacada del blog Mates con Federico.

Fractales

Un fractal es una estructura con un patrón que se repite desde la escala grande a la pequeña, de forma que al mirar más de cerca la estructura se revelan las mismas figuras o figuras semejantes. Existen muchos casi fractales en la naturaleza, incluyendo copos de nieve, árboles, galaxias y redes de capilares sanguíneos. Los fractales son demasiado irregulares para ser descritos usando la geometría euclídea estándar, y generalmente tienen una dimensión Haussdorff que difiere de su dimensión topológica normal.

Los ejemplos más conocidos de fractales son el copo de nieve de Koch, el triángulo de Sierpinski y el conjunto de Mandelbrot. Este último fue descrito por el matemático polaco Benoît Mandelbrot, y es el resultado de dibujar una figura geométrica del conjunto de ecuaciones cuadráticas que involucran números complejos.

[Adaptado del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney]

[El Problema de la Semana] El baile de fin de curso

Como ya nos vamos acercando al fin de curso, es interesante que vayamos pensando en el baile:

Los alumnos y alumnas que se han graduado están de celebración. Han organizado un baile; el cuadrado de la doceava parte ya han salido a la pista, y el resto, 35, todavía están sentados charlando.

¿Cuántos alumnos se han graduado?

La respuesta, como siempre, más abajo de la ilustración.

 

Esta imagen proviene de la película High School Musical 3 y está tomada de esta web.

 

SOLUCIÓN:

Si llamamos x al número de alumnos que se han graduado, entonces es fácil plantear la ecuación, basta sumar los que han salido a la pista con los que están sentados charlando para que nos dé el número total de alumnos.

(x/12)² + 35 = x;

 

desarrollamos la ecuación: 

 

x²/144 + 35 = x;

 

quitamos denominadores y ordenamos, pasando todo al primer miembro:

 

x² − 144x + 5040 = 0;

se trata de una ecuación de segundo grado; la resolvemos y obtenemos dos soluciones:

x₁ = 84

x₂ = 60

Sorprendentemente, las dos soluciones son válidas. En la primera, la doceava parte son 7, su cuadrado son 49, que son los que están en la pista bailando, y 49 + 35 = 84. En la segunda solución, la doceava parte son 5, su cuadrado son 25 que son los que están en la pista bailando, y 25 + 35 = 60.

Este problema ha sido adaptado del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.

The + and – symbols - Los símbolos + y –

The + and – symbols

One of the earliest signs to show that two numbers had to be added was an Ancient Egyptian hieroglyph represented by a pair of legs walking forward in the direction of the writing. Their minus sign was a pair of legs walking in the opposite direction. Up until the 1500s a variety of signs were used, but very often the instruction was written in full. Italian mathematicians of the 1400s used p and m (for plus and minus) which was a shortened form of their (Italian) words. The first + and – signs appeared in 1481 in a German manuscript on algebra. For quite some time their use appears to have been restricted only to algebra and it took nearly 100 years before they came into more general use in arithmetic.

[imagen extraída de Hiclipart]

Los símbolos + y –

Uno de los signos más antiguos para señalar que dos números habían de sumarse fue un jeroglífico del Antiguo Egipto representado por un par de piernas caminando en la dirección de la escritura. El signo menos era un par de piernas caminando en la dirección opuesta. Hasta el 1500 aproximadamente, se usó una amplia variedad de signos, pero muy frecuentemente la instrucción se escribía al completo. Los matemáticos italianos de 1400 usaron p y m (por plus y minus) que eran una forma resumida de sus palabras italianas. Los primeros signos + y – aparecieron en 1481 en un manuscrito alemán sobre álgebra. Durante bastante tiempo su uso parece haber estado restringido solo al álgebra y pasaron cerca de 100 años antes de que se adquirieran un uso general en aritmética.

[Adaptado del Oxford Study Mathematics Dictionary]

[El Problema de la Semana] Emparejamiento intercalado

Presentamos un problema creado por el matemático escocés C. Dudley Langford, y recogido por Martin Gardner.

Tomamos tres parejas de números, 1-1, 2-2, 3-3, y las colocamos en el siguiente orden:

3 - 1 - 2 - 1 - 3 - 2

Podemos darnos cuenta de que entre el 1 y el otro 1 hay un número, entre el 2 y el otro 2 hay dos números, y entre el 3 y el otro 3 hay tres números.

¿Es capaz el lector de ordenar las parejas 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, siguiendo la misma propiedad, es decir, que entre cada pareja haya exactamente la cantidad de números que indica la propia pareja?

La solución, como no podía ser de otra forma, más abajo de la imagen ilustrativa.

 

Aquí tenemos una imagen del Colour Chess, o Ajedrez con Colores. Se trata de una variante del ajedrez normal, en la cual, cada jugador hace dos jugadas por turno, en la primera de ellas debe mover una pieza a una casilla del mismo color que la última casilla a la que movió el jugador contrario; en la segunda jugada puede hacer otro movimiento en el cual establece un nuevo color para que el contrario mueva. Una introducción (en inglés) se da en este vídeo de Youtube.

SOLUCIÓN:

Tenemos ocho números en total, empezamos por colocar los dos cuatros, separados entre sí cuatro lugares:

4 - x - x - x - x - 4 - x - x

Ahora probamos a colocar los dos treses; el primer 3 no puede estar en el segundo lugar, pues entonces el otro 3 estaría donde se encuentra el segundo 4. Probamos a ponerlo en el tercer lugar:

4 - x - 3 - x - x - 4 - 3 - x

Ahora es muy fácil completar con la pareja de unos y la de doses:

4 - 1 - 3 - 1 - 2 - 4 - 3 - 2

Nota: este problema ha sido extraído del libro Festival Mágico-Matemático, de Martin Gardner, editado por Alianza Editorial.

Thales - Tales

Thales (c.624-548 BC)

is the first mathematician known to us by name. He was a wealthy Greek who travelled widely and worked on many subjects including mathematics, astronomy and philosophy. He appears to have been the first to produce theorems which were supported by logical reasoning rather than experiment. Among other things he showed how it was possible to work out the height of a pyramid from the length of its shadow – using a stick placed vertically in the ground, and a calculation based on shadow lengths and similar triangles.

 

 

Tales (aproximadamente 624-548 a. de C.)

 

es el primer matemático que conocemos de nombre. Fue un griego adinerado que viajó ampliamente y trabajó sobre muchas materias, incluyendo matemáticas, astronomía y filosofía. Parece haber sido el primero en elaborar teoremas que se apoyaban en razonamientos lógicos en lugar de experimentación. Entre otras cosas, mostró cómo era posible calcular la altura de una pirámide partiendo de la longitud de su sombra - utilizando un palo colocado verticalmente sobre el suelo, y un cálculo basado en las longitudes de las sombras y en triángulos semejantes.

[extraído del libro: Oxford Study Mathematics Dictionary]

[El Problema de la Semana] Almuerzo en el club VM

Veamos este problema, sugerido por Werner Joho, un físico de Zurich, y recogido por Martin Gardner:

Cada uno de los socios del Club VM es, o bien veraz, y dirá siempre la verdad, o bien mentiroso y siempre responderá con una mentira. En mi primera visita al club encontré a todos sus miembros, exclusivamente hombres, sentados en torno a una gran mesa circular, almorzando. No había forma de distinguir a veraces de mentirosos por su aspecto externo, así que fui preguntándoles por turno si eran una u otra cosa. De nada me sirvió, pues como era de esperar todos aseguraron ser veraces. Volví a probar, esta vez preguntando a cada uno si su vecino de la izquierda era veraz o mentiroso. Para sorpresa mía, todos contestaron que el hombre sentado a su izquierda era mentiroso.

Más tarde, de vuelta a casa, al pasar a limpio mis notas sobre el almuerzo descubrí que había olvidado apuntar el número de personas sentadas a la mesa. Telefoneé entonces al presidente del club, quien me informó que eran 37. Después de colgar me di cuenta de que no podía confiar en esta cifra, porque no sabía si el presidente era veraz o mentiroso. Decidí entonces telefonear al secretario del club.

"No, no", me contestó el secretario, "por desgracia nuestro presidente es un mentiroso empedernido. La verdad es que estábamos cuarenta comensales."

¿A cuál de estos dos hombres debería yo creer?

La solución, como siempre, más abajo de la imagen.

Hemos estado buscando mesas circulares lo suficientemente grandes para que se sienten todos los miembros del Club VM, y son muy difíciles de encontrar. En la mesa de la imagen no caben todos, tan solo un 25%. Nos ha llamado la atención la forma de las lámparas, poliedros formados por caras cuadradas, rectangulares y triangulares. La fotografía está tomada de esta página.

SOLUCIÓN:

Tomamos cualquier socio sentado a la mesa del almuerzo.

Si es veraz, entonces está diciendo la verdad al decir que el hombre que se sienta a su izquierda es mentiroso. Por tanto, a la izquierda de cada socio veraz hay un socio mentiroso.

Si es mentiroso, entonces está mintiendo al decir que el hombre que se sienta a su izquierda es mentiroso. Por tanto, a la izquierda de cada socio mentiroso hay un socio veraz.

Entonces tenemos que necesariamente, los socios veraces y los mentirosos están alternados a lo largo de toda la mesa. Tomando de partida un socio y yendo siempre hacia su izquierda, si el socio es veraz, el siguiente sería mentiroso, el siguiente veraz, el siguiente mentiroso y así sucesivamente. Si damos toda la vuelta completa y regresamos al punto de partida, a la derecha del socio veraz también habría un mentiroso.

Esta configuración alternada sólo es posible si en la mesa hay un número par de socios. Si el número fuera impar, al dar toda la vuelta alternando veraces con mentirosos nos encontraríamos que al final coincidirían dos veraces juntos o dos mentirosos juntos, y esto no puede ser.

Según esto, cuando el presidente nos dice que hay 37 miembros en el club, está mintiendo, pues no puede haber un número impar de miembros. Por tanto el presidente es uno de los mentirosos.

Cuando el secretario dice que el presidente es mentiroso, está diciendo la verdad, por tanto es un socio veraz, y podemos confiar en su palabra: el club tiene 40 miembros.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Festival Mágico-Matemático, de Martin Gardner, editado por Alianza Editorial.

The Largest Number Ever - El Número Más Grande de Todos los Tiempos

The Largest Number Ever

One of the largest numbers that has been cited in any theoretical mathematical problem is called Graham's Number, named after American mathematician Ronald Graham. It was devised in 1977 by Graham as the upper bound of a possible solution to a problem. The number is so large that it is necessary to develop and understand new notational forms to write it. It is said that if all the matter in the universe were turned into ink, it would not be enough to write the number out in full.

Graham's Number was published in the 1980 Guinness Book of World Records. Since then, other specific integers known to be far larger than Graham's Number have appeared in many serious mathematical proofs.

 

El Número Más Grande de Todos los Tiempos

Uno de los números más grandes que han sido citados en algun problema teórico matemático se llama el Número de Graham, llamado así por el matemático americano Ronald Graham. Fue ideado en 1977 por Graham como el límite superior de una posible solución a un problema. El número es tan grande que es necesario desarrollar y comprender nuevas formas de notación para escribirlo. Se dice que si toda la materia del universo se convirtiera en tinta, no sería suficiente para escribir el número en forma completa.

El Número de Graham fue publicado en el Libro Guinness de los Récords Mundiales de 1980. Desde entonces, otros números enteros específicos, reconocidos por ser mucho más grandes que el Número de Graham, han aparecido en muchas demostraciones matemáticas importantes.

Para poder expresar el Número de Graham, es necesario desarrollar nuevas notaciones. En esta imagen vemos uno de los primeros pasos: definir las "flechas": una flecha es equivalente a una potencia normal; dos flechas equivalen a varias flechas-potencias iteradas; tres flechas equivaldrían a varias dos-flechas iteradas, etc. Para más información necesitamos dedicarle un tiempo a comprender, por ejemplo, el artículo de la Wikipedia dedicado a la Notación flecha de Knuth, y al Número de Graham.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.