El vuelo del Matenavegante

Cuaderno de bitácora: usando nuestros nuevos conocimientos de papiroflexia matemática, nos hemos embarcado en el diseño de un nuevo avión de papel. Hemos empleado en él la construcción del ángulo de 60 grados que nos permite obtener triángulos equiláteros y hexágonos. El desarrollo se ha visto pronto coronado con el éxito. El resultado ha sido un elegante avión planeador, al que hemos bautizado, como no podía ser menos, con el nombre de el Matenavegante.

Veamos los pasos de nuestra construcción:

Figura 1. Partimos de un folio A4 normal.

Figura 2. Lo doblamos por la mitad a lo largo.

Figura 3. Aquí viene el doblez clave: tomamos una de las esquinas superiores y la llevamos a la línea de la mitad del folio, señalada por el doblez, mientras procuramos que la diagonal formada parta exactamente desde la otra esquina superior.

Figura 4. Con la otra esquina hacemos el mismo doblez. Con estos dobleces conseguimos ángulos de 60º exactos.

Figura 5. Juntamos las dos esquinas superiores en el medio y al hacerloel papel se levanta de forma natural en el centro, formando un pico.

Figura 6. Aplastamos ese pico de forma que nos quede un pequeño triángulo equilátero en la parte superior, bien centrado respecto al medio del folio.

Figura 7. Damos la vuelta al papel y lo doblamos desde arriba en el centro, llevando un lado superior sobre la mitad del folio.

Figura 8. Con el otro lado hacemos lo mismo.

Figura 9. Le damos la vuelta otra vez al papel y doblamos la punta hasta que llegue a la base del pequeño triángulo superior (en la imagen no se ve que llegue a la base, pero es por la perspectiva).

Figura 10. Le damos la vuelta al doblez de la punta y lo ponemos hacia el otro lado. Este doblez es para que el avión tenga una punta sólida y con peso, que lo guíe en su vuelo.

Figura 11. Es el momento de definir las alas: doblamos el avión sobre sí mismo por la mitad.

Figura 12. Hacemos un doblez paralelo a la mitad del folio, a lo largo de un ala, de forma que nos encaje con el doblez de la punta del avión. Este doblez lo repetimos en el otro ala. Ya tenemos el cuerpo central.

Figura 13. Es el momento de completar el diseño con un par de alerones al final de cada ala. Como se ve en la imagen, el doblez no es paralelo al cuerpo del avión, sino que se cierra un poco en la parte trasera. Esto es para que el avión tienda a ir hacia arriba, en lugar de hacia abajo. Es cuestión de experimentar con el vuelo para encontrar el alerón ideal.

Figura 14. Aquí vemos el avión terminado.

Figura 15. Podemos levantar la zona delantera imitando a "la cabina del piloto". Sin embargo esta posición es más bien estética; parece tener un vuelo mucho más estable si se mantiene aplastada sobre las alas.

Figura 16. Una vista delantera del avión.

Figura 17. ¡El Matenavegante ya está terminado y listo para despegar!

Notas: el diseño que acabamos de compartir es propio, es decir, no lo hemos tomado de ningún libro ni de ninguna otra fuente, sino que lo hemos inventado nosotros. Ignoramos si alguien más ha llegado a él por su propia inventiva. Este caso no sería de extrañar, pues en matemáticas y en otras muchas disciplinas es bastante normal que las ideas aparezcan en varias mentes de forma independiente.

Como se puede apreciar al ir construyendo el avión, aparecen figuras geométricas interesantes, como triángulos equiláteros de varios tamaños y ángulos de 30º y 60º por doquier. El vuelo del avión es un planeo rápido y estable, para ello hay que ajustar bien los dobleces, los alerones y mantener "la cabina" baja, aplastada sobre el cuerpo del avión.

Sudoku de letras (29)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto

A   C   E   G   I   M   N   O   T

 

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: el imán lo es...

 

 

La raíz cuadrada de 2 en un folio A4

¿Tiene usted a mano un folio A4? Es indiferente si está en blanco o ya está escrito, pues con él vamos a hacer un par de dobleces. Tome una esquina y doble el papel a lo largo de una diagonal que parta de una esquina, hasta hacer coincidir el lado corto del folio con el lado largo. El folio le debe haber quedado como en la fotografía.

Figura 1. Tomemos un folio A4.

Figura 2. Doblamos a lo largo de una diagonal que parte exactamente de una esquina y hacemos coincidir el lado corto del folio sobre el lado largo.

Se nos ha formado un triángulo rectángulo isósceles (la mitad de un cuadrado), ya que el ángulo inferior izquierdo es justamente de 45º. Si tomamos los dos catetos iguales de este triángulo como unidad, es decir, suponemos que cada uno vale 1, entonces, aplicando la fórmula del teorema de Pitágoras, la hipotenusa vale exactamente la raíz cuadrada de 2.

Figura 3. Tomando el cateto como unidad, la hipotenusa vale exactamente raíz cuadrada de 2.

Debemos darnos cuenta, bien mediante un compás o doblando de nuevo en diagonal, que la longitud de la hipotenusa coincide con el largo del folio A4.

Figura 4. En un folio A4 la hipotenusa del triángulo que hemos obtenido coincide con el largo del folio.

 

Figura 5. Si doblamos otra vez en diagonal, trayendo el vértice superior del triángulo sobre la esquina inferior derecha del folio, veremos que los lados coinciden.

Figura 6. Una vez doblado vemos que ambas longitudes son iguales.

Esto significa que el folio A4 tiene unas proporciones que no han sido calculadas al azar, sino que han sido especialmente tomadas para que tenga esta propiedad. De hecho, esa es la base de la proporción del folio A4: los lados del folio están en proporción de 1 a raíz cuadrada de 2.

Cuando se cumple esta proporción, también se cumple otra propiedad: si dividimos un folio por la mitad, el rectángulo resultante es semejante al del folio, es decir, conserva la misma proporción. A esta hoja más pequeña se la llama A5.

Figura 7. Si doblamos un folio por la mitad, podemos comprobar que cada una de las dos mitades del folio cumplen la misma proporción.

Figura 8. Seguimos los mismos pasos, doblando en diagonal como se ve en la imagen y obteniendo un nuevo triángulo rectángulo isósceles.

Figura 9. Volvemos a doblar en diagonal y comprobamos efectivamente que las longitudes de la hipotenusa y del largo del semifolio vuelven a coincidir.

Figura 10. Podemos dar la vuelta al papel y hacer lo mismo por el otro lado.

Figura 11. Terminamos los dobleces y...

Figura 12. ...¡Hemos obtenido un avión de papel! Su diseño es de lo más simple que se puede realizar.

Sudoku de letras (28)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto

A   B   E   I   K   N   R   S   U

 

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: pasatiempos en los que hay que "construir un muro" que rodea a unas "islas".

 

 

Chronograms - Cronogramas

[Presentamos aquí pequeños textos en inglés y traducidos al castellano, para que los grumetes puedan practicar en la traducción de textos en inglés sobre matemáticas. Hemos destacado algunas palabras  de traducción difícil, y otras cuya traslación al español se debe elegir cuidadosamente por el hecho de estar en un contexto matemático]

Chronograms

Phrases that incorporate a number in Roman numerals - chronograms - were often used on tombstones and books. By picking out certain letters an rearranging them, a date is revealed. For example, My Day Closed Is In Immortality is a chronogram conmemorating the death of Queen Elizabeth I of England in 1603. The capitals read MDCIII when put together, which corresponds to 1603. A coin struck by Gustavus Adolphus in 1627 includes the Latin inscription ChrIstVs DuX ergo trIVMphVs ('Christ the Leader, therefore triumphant') which is a chronogram for MDCXVVVII or 1627.

Cronogramas

Frases que incorporan un número en numeración romana - cronogramas - se usaron a menudo en lápidas y libros. Seleccionando ciertas letras y reordenándolas, se revela una fecha. Por ejemplo, Mi Día se CIerra en la InmortalIdad es un cronograma de la Reina Isabel I de Inglaterra en 1603. Las mayúsculas infieren MDCIII cuando se colocan juntas, lo que corresponde a 1603. Una moneda acuñada por Gustavo Adolfo en 1627 incluye la inscripción latina ChrIstVs DuX ergo trIVMphVs ('Cristo el Líder, y por tanto triunfante') que es un cronograma para MDCXVVVII o 1627.

Cronograma en la Columna de la Santísima Trinidad de Olomouc, en la República Checa. Si sumamos las cifras romanas que están destacadas: L+I+D+I+D+I+L+I+D+C+L = 50+1+500+1+500+1+50+1+500+100+50 = 1754, que es la fecha en la que se terminó de erigir la columna.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

Sudoku de letras (27)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto

A   E   G   I   N   P   S   T   Y

 

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: construyeron pirámides en la antigüedad, en inglés.

 

 

[El Problema de la Semana] Pájaros a la pesca

En esta ocasión, un problema de resolución muy sencilla, pero que tiene un fondo interesante:

Situados uno a cada orilla de un hermoso río tropical, y subidos en lo más alto de dos enormes árboles, se encuentran dos pájaros que se alimentan de pescado. De pronto aparece un pez en el río y los pájaros se lanzan a cazarlo al mismo tiempo y con la misma velocidad. Los dos pájaros alcanzan al pez al mismo tiempo. El río mide 70 metros de ancho y los árboles tienen una altura de 30 y 40 metros respectivamente.

¿Sabrías encontrar en qué punto del río estaba el pez?

No se preocupen, que nosotros también vamos a cazar a este pez, debajo de la ilustración.

Este es uno de los grabados del genial Maurits Cornelis Escher. Su título es Cielo y Agua II, y consideramos que viene perfecto para ilustrar nuestro problema de hoy.

SOLUCIÓN:

Es fácil dibujar un esquema del río con los dos árboles y darse cuenta de que si los dos pájaros van a la misma velocidad, recorrerán el mismo espacio en el mismo tiempo, luego los vuelos de los dos pájaros son dos segmentos rectilíneos que miden la misma longitud.

 

Para que esto suceda, el pez tiene que estar en un punto que diste 40 metros del árbol de 30 metros de altura, y que por tanto diste 30 metros del árbol de 40 metros de altura. Así se forman dos triángulos rectángulos exactamente iguales, de catetos 30 y 40 metros, tal y como se puede apreciar en la ilustración.

Nota: aunque en el dibujo no se aprecia, estamos suponiendo que el ancho del río es lo mismo que la distancia entre las bases de los árboles.

Se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras la longitud de los segmentos rectilíneos que recorren los pájaros: ambos segmentos miden 50 metros.

Ampliación:

 

La solución de este problema es muy sencilla debido a la elección de los datos, ya que justamente el ancho del río coincide con la suma de las alturas de los árboles. Sin embargo, si planteamos una situación más general, entonces tenemos que emplear razonamientos más avanzados, aunque no demasiado difíciles.

 

Así, supongamos que las alturas de los árboles son a y b respectivamente, y que el ancho del río, o la distancia entre las bases de los árboles vale L. Tenemos una situación como la del esquema siguiente:

Nos han aparecido dos triángulos rectángulos, y si les aplicamos el teorema de Pitágoras a cada uno de ellos, obtenemos las ecuaciones siguientes:

x² = a² + y²

x² = b² + (L - y)²

 

Igualando ambas ecuaciones:

 

a² + y² = b² + (L - y)² 

 

Haciendo operaciones, la y al cuadrado se cancela y nos queda una ecuación de primer grado en la que podemos despejar la y sin dificultad:

 

y = (b² + L² - a²)/(2L)

 

Puede comprobar el lector que si aplicamos esta fórmula cuando a = 40, b = 30 y L = 70, obtenemos el valor de y = 30.

 

Nota: este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.

Sudoku de letras (26)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto

A   E   G   I   L   N   R   S   T

 

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: los más sencillos polígonos, en inglés.