[El Problema de la Semana] Menos que la media

Hoy tenemos estadísticas en el instituto:

En cierto instituto, un profesor se ha quejado de que “la inmensa mayoría del alumnado, quizás más del 75%, ha sacado una nota inferior a la puntuación media del centro”.

¿Es esto posible? Si no lo es, razónalo. Si lo es, pon un ejemplo con una clase de 30 alumnos y alumnas.

La solución, sobre la media de la página.

"El birrete es un gorro rematado con una borla, usado en actos ceremoniales, por magistrados, jueces, letrados, abogados y componentes de la comunidad universitaria en ocasiones solemnes. El mismo consiste en un panel horizontal de forma cuadrada fijado a un casquete, con una borla fijada a su centro" (wikipedia). Siempre me ha preocupado el momento en el que los estudiantes recién graduados lanzan sus birretes al aire, pues no sé si luego cuando caen cada uno logra recuperar el suyo. En fin, ellos sabrán. La imagen está tomada de la University College Roosevelt, situada en Middelburg, Holanda.

SOLUCIÓN:

Contestemos rápidamente a la pregunta ¿Es esto posible?: Sí, por supuesto que sí es posible. En este caso nos piden que pongamos un ejemplo. Ahí va:

Tenemos una clase de 30 alumnos. De ellos, 27 han obtenido una nota de 6 en un examen. Los 3 restantes han obtenido un 10. La media de las notas en esta clase es:

(27 · 6 + 3 · 10) /30 = 192/30 = 6'4

Si la nota media ha sido de 6'4, entonces todos los alumnos que han sacado un 6 han obtenido una nota inferior a la media. Estos han sido 27 de 30, es decir un 90%, más del 75%. En esta clase, un 90% de los alumnos han sacado una nota inferior a la media.

Si nos fijamos en el ejemplo que hemos puesto, se pueden notar los siguientes detalles:

-Todos los alumnos de la clase están aprobados.

-Casi todos los alumnos tienen una nota igual, un poco baja, mientras unos pocos tienen una nota muy alta. Las notas están asimétricamente distribuidas: un grupo muy numeroso en la zona inferior de las notas, otro grupo muy pequeño en la superior.

-La media, que está entre los dos grupos, es cercana a la nota que tiene el grupo más numeroso.

 AMPLIACIÓN:

Si alguien pensaba que no era posible lo que decía el profesor es porque está confundido entre lo que es la media de una distribución estadística y la mediana de dicha distribución.

Tanto la media como la mediana son parámetros de tendencia central, y es de esperar que se coloquen al centro de la distribución estadística. Pero esta forma de colocarse al centro es diferente para cada parámetro. La mediana se coloca de forma que el 50% de los valores estadísticos sean menores o iguales que ella, y el otro 50% sean mayores o iguales. Luego si en lugar de la media hablamos de la mediana en el problema, lo que dice el profesor sería matemáticamente imposible: el 50% del alumnado, ni más ni menos, siempre tiene una nota igual o menor a la mediana, y no es posible que el 75% tenga una nota inferior a la mediana.

Pero la media está colocada en el "centro de gravedad" de la distribución, y se dan diferentes situaciones según la distribución es simétrica o asimétrica.

Cuando la distribución estadística está simétricamente distribuida, entonces es de esperar que la media esté al centro junto a la mediana. Pero no sucede así cuando la distribución es asimétrica. Por eso vemos en la solución del problema, por ejemplo, que podemos tener un enorme grupo de puntuaciones "un poco bajas", todas iguales, y luego unas pocas puntuaciones "muy altas", y al calcular la media, el resultado se queda entre estos dos grupos, con lo que el grupo de puntuaciones bajas, muy numeroso, que puede fácilmente ser del 75% y más, queda por debajo de la media.

¿Por qué se queja entonces el profesor del problema?

El profesor se está quejando porque la distribución de notas es asimétrica. Si en su queja quería expresar su convencimiento de que las notas son bajas, el razonamiento es insuficiente. No podemos asegurar que las notas sean malas, pues no sabemos cuál es la media del instituto. Incluso si el profesor se quejase de que el 75% del alumnado del centro tiene una nota inferior a la media regional o nacional, es posible que no haya motivo de preocupación, pues también a nivel regional o nacional la distribución puede ser asimétrica. El profesor necesita más datos para fundamentar su queja; decir que el 75% del alumnado tiene menos nota que la media del instituto solo indica la asimetría de la distribución.

Nota: este problema ha sido adaptado del libro Matemágicas, de Ignacio Soret Los Santos.

La Esperanza de Vida

Recientemente escuchamos a una persona explicar que en cierto país había una esperanza de vida de 35 años. "Observen ustedes", dijo, "nadie pasaba de los 35 años, todo el mundo se moría sobre esa edad".

Este comentario es algo muy común, y cualquier persona que lo oye está de acuerdo. Mecánicamente, nos imaginamos que en ese país nadie llega a anciano y que los habitantes, cuando se acercan a los treinta años de edad, ya están envejecidos o acosados por enfermedades que acabarán con ellos en muy poco tiempo.

Pero no es así. El término esperanza de vida es un término matemático, probabilístico. La esperanza es la media probabilística de las edades que se espera que alcancen los habitantes de una población. Es una media aritmética, y como media, es lógico pensar que hay personas que alcanzan menos edad y otras que alcanzan más edad.

Uno de los problemas fundamentales en los países con una sanidad subdesarrollada es la alta mortalidad infantil. Un gran porcentaje de niños mueren en sus primeros años de vida porque no son atendidos adecuadamente, o bien por las malas condiciones higiénicas o de alimentación. También las mujeres que dan a luz corren muchos riesgos de fallecer en el parto o a consecuencia de problemas derivados de él. Este factor de por sí disminuye mucho la esperanza de vida. También influyen, evidentemente, las guerras, en las que fallecen muchas personas jóvenes, sobre todo soldados combatientes; igualmente epidemias, hambrunas, etc.

Pero si descartamos estos factores mencionados y nos quedamos solamente con la mortalidad infantil, podemos comprobar que influye enormemente en la esperanza de vida. Supongamos que una pareja tiene cuatro hijos. Tres de ellos mueren a la edad de 1 año. El cuarto sobrevive a la infancia y su vida se alarga hasta los 97 años. Si hacemos la media entre las edades:

1 + 1 + 1 + 97 = 100;

100 : 4 = 25

Resulta que la esperanza de vida de los hijos de dicha pareja es de 25 años. Pero ninguno de ellos ha muerto a los 25 años, tan solo es una media entre las cuatro edades. El problema está en que tres no han podido superar el primer año de vida, pero el que sí superó la infancia ha llegado a anciano y ha fallecido con edad muy avanzada.

Con esto se demuestra que la mortalidad infantil es un factor tremendamente importante en el cálculo de la esperanza de vida. Si en el ejemplo anterior hubieran dos niños que sobrevivieran al primer año de vida y alcanzaran ambos la edad de 97 años, entonces:

1 + 1 + 97 + 97 = 196;

196 : 4 = 49

La esperanza salta de golpe a 49 años. Si fueran tres los que sobreviven:

1 + 97 + 97 + 97 = 292;

292 : 4 = 73

Ahora tenemos una esperanza de 73 años. Obsérvese que en ninguno de los casos puestos como ejemplo la esperanza tiene relación con las edades reales. Su dato, la media de las edades, no nos da una idea de lo que realmente está pasando. En el último ejemplo se puede observar también que basta que uno de los niños muera en el primer año de vida para que la esperanza de vida, 73 años, disminuya (en más de veinte años) respecto a la edad real, 97 años, que alcanzan los otros tres.

Podemos concluir, por tanto, que en cuanto disminuye la mortalidad infantil, la esperanza de vida de la población se dispara. Pero no porque de repente todo el mundo vaya a vivir más años, sino porque la media de edades alcanzadas se ve muy afectada. Lo que ocurre en realidad es que las personas tienen menos probabilidades de morir en la infancia, pero aquellas que sobreviven a la infancia llegarán a ancianos igual que antes, y puede que mueran de media a la misma edad.

[El Problema de la Semana] El profe de matemáticas

A continuación un sencillo problema recuperado entre los restos de doDK.

Tenemos un profesor de matemáticas que no pierde oportunidad de ponernos problemas. El otro día hicimos un examen y hoy, en la clase, le dijimos que si lo había corregido. Nos dijo que sí, pero que los había olvidado en su casa. Nos fastidió, así que le preguntamos si recordaba al menos el número de aprobados. Nos contestó que no recordaba el número exactamente, pero que le llamó la atención que al 95% de los alumnos y alumnas que habían aprobado les gustase mucho el baloncesto. Si en clase hay 35 alumnos/as, ¿cuántos aprobaron?

Si miran ustedes más abajo de la imagen, encontrarán la solución, como siempre.

[Ya que el problema de la semana habla de baloncesto, y yo siempre he sido muy aficionado a este deporte, incluyo una ilustración con las medidas de la cancha, del balón, la canasta, etc. Como todo el mundo sabe, tanto el baloncesto como los demás deportes se pueden ver desde un punto de vista matemático, por la geometría de la cancha y de los objetos usados, la estadística de los deportistas, las marcas de velocidad, tiempo y masa, las trayectorias del balón, la disposición dinámica de los jugadores, etc. La imagen está tomada de esta web.]

Solución:

Basta mirar aquellos números que al hacerle el 95 % da un resultado exacto. El único número menor de 35 cuyo 95% es exacto, es 20, luego aprobaron 20 alumnos y de ellos al 95%, es decir, a 19 alumnos, les encanta el baloncesto.

También se puede observar que 95% = 95/100 y si simplificamos la fracción nos queda 95/100 = 19/20.

[El Problema de la Semana] Medias semanales

El problema que hemos propuesto esta semana es bastante sencillo, aunque se necesita tener un  mínimo de sentido común y saber lo que es una media aritmética.

Bartolomé es vendedor ambulante seis días a la semana. Ayer, viernes, calculó que durante esta semana había conseguido una ganancia media de 48 euros diarios. Sin embargo, al hacer la misma cuenta hoy, sábado, resulta una media de 60 euros diarios. ¿Cuánto ha ganado hoy?

Bajo la imagen, ponemos la solución al problema.

[Esta foto fue realizada en 1860 por William Carrick, y representa a un muchacho vendedor de ábacos en San Petersburgo. Ha sido extraída de la National Gallery of Scotland]

Solución: Si el viernes se ha hecho la cuenta, entonces es el resultado de cinco días de ventas es el que da una media de 48 euros diarios, con lo que la ganancia total ha sido 48 · 5 = 240 euros. Si añadiendo el sábado, un día más, la media ha subido a 60 euros, entonces la ganancia total de los seis días incluyendo el sábado es de 60 · 6 = 360 euros. La diferencia entre las dos cantidades será la ganancia concreta del sábado: 360 − 240 = 120 euros.
Obsérvese una de las características de la media aritmética: mientras que la media de ingresos de los primeros cinco días es de 48 euros, y el último día se han ingresado 120 euros, esta última cantidad ha logrado desplazar la media hasta los 60 euros diarios. La media aritmética no tiene por qué coincidir con ninguno de los valores reales de las mediciones, y se ve muy afectada por resultados extremos. Es conocido el siguiente ejemplo: un día cierto hombre adinerado se come un pollo asado, y ese mismo día otro hombre, que no tiene recursos, se queda sin comer nada. Si hacemos la media aritmética, tenemos que ese día cada hombre se ha comido, de media, medio pollo.
Hay un dato gracioso, pero totalmente cierto, relacionado con todo esto, que encontré en nuestro libro de texto del Barco Escuela y que se lo he puesto a los grumetes como chiste matemático: en la Ciudad del Vaticano hay dos papas por kilómetro cuadrado. ¿Cómo es posible? Téngase en cuenta que este pequeño país sólo tiene una extensión de medio kilómetro cuadrado...

Nota: el problema de hoy ha sido extraído del libro de texto de matemáticas 3º ESO, editorial Anaya.