28.4.21

Obtención geométrica de la raíz cuadrada

Cuaderno de bitácora: recientemente hemos descubierto, gracias al libro Mathematics and the Imagination de Edward Kasner y James Newman, un sencillo hecho que vamos a compartir a continuación.

Nos dan un número cualquiera, x. ¿Sabríamos calcular con regla y compás su raíz cuadrada?

Primero debemos representar gráficamente el número x como un segmento cuya longitud es precisamente x. Vamos a suponer, por ejemplo, que el número es x = 5, y lo representamos gráficamente.

A dicho segmento le añadimos una extensión de longitud 1.


Tomamos ahora el centro del segmento AC y trazamos un semicírculo que pase por A y por C.

Levantamos una perpendicular desde el punto B, y la cortamos con el semicírculo. Obtenemos un segmento, AD. La longitud de este segmento es la raíz cuadrada de x. En este caso la raíz cuadrada de 5, que si la aproximamos con decimales sale 2.236067977...



¿Esto funciona siempre así? ¿Cuál es su justificación?

Sí, funciona con cualquier número. Su justificación está en el llamado TEOREMA DE LA ALTURA.

Construimos un triángulo rectángulo. Para ello tomamos como base el lado AC, que va a ser la hipotenusa, y trazamos un semicírculo que pase por A y por C. Elegimos un punto del semicírculo, D, y lo unimos con A y C. Se puede demostrar que el triángulo ACD es rectángulo necesariamente, con el ángulo recto en D y catetos AD y CD.

Desde D trazamos la altura, que corta perpendicularmente a AC en el punto B.

La altura BD corta al triángulo rectángulo original en dos triángulos rectángulos más pequeños, ABD y BCD. Es fácil razonar que los tres triángulos, el grande ACD y los pequeños ABD y BCD son semejantes, ya que sus ángulos son iguales. Por ejemplo, el ángulo A forma parte tanto del triángulo ACD como del ABD, luego estos dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el A y el ángulo recto, y por tanto también tienen igual el tercer ángulo, por tanto ACD y ABD son semejantes. Igual razonamiento podemos hacer con el ángulo C, el triángulo ACD y el BCD, y de aquí ACD y BCD también son triángulos semejantes. Como consecuencia, BCD y ABD son semejantes entre sí por ser semejantes ambos al triángulo grande ACD.

Si dos triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales. Si tomamos los catetos de los triángulos ABD y BCD, entonces se cumple la proporción:

AB/BD = BD/BC

Como en la figura hemos dado los nombres x = AB, y = BC, h = BD, entonces:

x/h = h/y

De aquí, multiplicando en cruz:

h2 = x · y

Este es el teorema de la altura, que dice: "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura trazada sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa".

En el caso que estamos estudiando en esta entrada, si y = 1, entonces tenemos que

h2 = x ·1 = x

Y por tanto:

h = √x

Así se justifica la construcción que hemos hecho al principio, donde pusimos el ejemplo x = 5.

24.4.21

[El Problema de la Semana] Apretones de manos

No estoy seguro, pero puede que este problema que este problema clásico ya haya salido en nuestro blog:

Todas las personas que asistieron a una reunión se saludaron estrechándose la mano. Uno de ellos se molestó en contar cuántos apretones se habían dado y fueron 120.

¿Cuántas personas estuvieron en la reunión?

La solución, más abajo de la ilustración.

La imagen ha sido extraída de esta web.

SOLUCIÓN:

Supongamos que en la reunión hay x personas. Cada una estrecha la mano de x − 1 personas. Parece que basta con multiplicar las dos cantidades para obtener el número de apretones, pero si lo hacemos así estamos contando dos veces cada apretón. Por tanto dicha cantidad hay que dividirla entre 2, y ya podemos plantear la ecuación:

x · (x − 1) / 2 = 120

Desarrollamos:

x2 − x = 240

x2 − x − 240 = 0

Si resolvemos la ecuación de segundo grado obtenemos las soluciones:

x1 = 16

x2 = −15

Evidentemente, descartamos la raíz negativa, y por tanto la solución es que en la reunión estuvieron 16 personas.


Nota: este problema ha sido extraído del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.

21.4.21

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665)

Born in the Basque region, Fermat studied law and later mathematics. He developed independently of Descartes the principles of using a coordinate system to define the positions of points.

Fermat worked extensively on curves, developing a method for measuring the area under a curve that is similar to integral calculus, and to generalized definitions of common parabolas. He worked extensively, too, on the theory of numbers and corresponded with Blaise Pascal on this subject. This was his only contact with other mathematicians. He was a secretive recluse, who generally communicated only with Marin Mersenne.

Fermat was the most productive mathematician of his day, but was so reluctant to publish that he gained little credit for his work during his lifetime.


Pierre de Fermat (1601-1665)

Nacido en la región vasca (el texto parece referirse al país vasco francés, pero al parecer Fermat nació en Beaumont-de-Lomagne, en la región de Occitania), Fermat estudió leyes y posteriormente matemáticas. Desarrolló, con independencia de Descartes, los principios del uso de un sistema de coordenadas para definir la posición de los puntos.

Fermat trabajó ampliamente sobre las curvas, desarrollando un método para medir el área bajo una curva que es similar al cálculo integral, y en definiciones generalizadas de parábolas ordinarias. También trabajó extensamente en teoría de números, y mantuvo correspondencia con Blaise Pascal sobre dicha materia. Este era su único contacto con otros matemáticos. Fermat era un solitario reservado, que generalmente solo se comunicaba con Marin Mersenne.

Fermat fue el matemático más productivo de su época, pero era tan reticente a publicar que recibió pocos méritos por su trabajo durante su vida.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

17.4.21

[El Problema de la Semana] El viaje en moto

Pongámonos el casco y preparémonos para rodar por la carretera:

Un motorista viaja entre dos ciudades. El viaje de ida lo cubre a 90 km/h, y el de vuelta a 60 km/h.

¿Cuál ha sido la velocidad media de su recorrido?

(Ayuda: suponer que la distancia entre las ciudades es de 180 km)

La solución después de la estupenda ilustración.

 


SOLUCIÓN:

Si hacemos caso de la ayuda y suponemos que la distancia entre las ciudades es de 180 km, entonces el viaje de ida, a 90 km/h, lo cubre en 2 horas, y el viaje de vuelta, a 60 km/h, lo cubre en 3 horas. En total ha tardado 5 horas en hacer 360 km (ida y vuelta), luego la velocidad media de su recorrido ha sido de:

360/5 = 72 km/h.

¿Y si no hacemos caso de la ayuda y dejamos abierta la distancia recorrida entre las dos ciudades?

En ese caso, supongamos que la distancia es d, entonces el tiempo empleado en la ida será:

tiempo ida = espacio/velocidad = d/90

Y el tiempo gastado en la vuelta es de:

tiempo vuelta = d/60

Luego:

tiempo total = d/90 + d/60

Y la velocidad media será:

velocidad media = espacio total / tiempo total = 2d/(d/90 + d/60)

Si hacemos operaciones, teniendo en cuenta que:

d/90 + d/60 = 2d/180 + 3d/180 = 5d/180

Entonces:

2d/(5d/180) = 360d/5d

Las distancias se simplifican y nos queda que la velocidad media es de:

velocidad media = 360/5 = 72 km/h.

por tanto, la distancia entre las ciudades es indiferente para el cálculo de la velocidad media.

 

AMPLIACIÓN:

Hay un error muy frecuente que consiste en tomar las dos velocidades y hacer la media de las dos: (90 + 60)/2 = 150/2 = 75 km/h.

Esta operación es incorrecta porque el tiempo durante el cual ha durado cada velocidad es diferente. Veámoslo con el siguiente ejemplo:

Si la moto hubiera estado a 90 km/h durante por ejemplo dos horas, y a 60 km/h durante otras 2 horas, entonces en las primeras dos horas habría recorrido 180 km, en las segundas dos horas habría recorrido 120 km, y en total 300 km en 4 horas, lo que quiere decir que la velocidad media habría sido de 300/4 = 75 km/h, que era lo esperado al hacer la media de las velocidades.

Profundizando en estos detalles, podemos ver que lo último que hemos calculado es la media aritmética entre 90 y 60, que vale 75, pero otra es la media armónica:

2/(1/90 + 1/60) = 72;

la media armónica es la preceptiva en este caso, y la que da el resultado correcto.
 

Este problema ha sido adaptado del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.

14.4.21

Robert Recorde

Robert Recorde (1510-1558)

Robert Recorde was born in Wales and taught mathematics at the Universities of Oxford and Cambridge. He re-established mathematics in England, when the country had not seen a notable mathematician for 200 years. He explained everything in careful detail, in steps that were easy to follow and in English, as he wanted to make mathematics as accesible as possible. Most of his works were written in the form of dialogues between a master and a student. In 1551 he published an abridged version of Euclid's Elements, making the text available in English for the first time. He first used the equals sign, though using much longer lines than we do now. It took 100 years before the sign was universally accepted above alternative notations.


Robert Recorde (1510-1558)

Robert Recorde nació en Gales y enseñó matemáticas en las universidades de Oxford y Cambridge. Él restableció las matemáticas en Inglaterra, en una época en que el país no había visto a un matemático notable desde hacía 200 años. Explicaba todo con cuidadoso detalle, mediante pasos que fueran fáciles de seguir, y en inglés, ya que quería hacer las matemáticas lo más fácil posible de entender. La mayoría de sus trabajos estaban escritos en la forma de diálogos entre un maestro y un discípulo. En 1551 publicó una versión abreviada de los Elementos de Euclides, haciendo el texto comprensible en inglés por primera vez. Fue el primero en usar el signo igual, aunque empleaba líneas mucho más largas de las que utilizamos ahora. Se necesitaron 100 años antes de que el signo fuera universalmente aceptado por delante de otras notaciones alternativas.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

10.4.21

[El Problema de la Semana] Problema en la peluquería

Llegó el momento de teñirse el pelo:
 
Un peluquero tiene dos botellas de agua oxigenada de un litro cada una. La primera botella tiene agua oxigenada al 40% de concentración. La concentración de la segunda botella es del 10%.
 
¿Cuánto tiene que mezclar de cada botella para que salga un litro de agua oxigenada con una concentración del 20%?

La solución: bajando, bajando...

 

Aquí vemos un esquema de la molécula del peróxido de hidrógeno, llamado también agua oxigenada, con dos átomos de oxígeno al centro y dos átomos de hidrógeno en los extremos. El esquema incluye ángulos y distancias. Las distancias están medidas en pm = picometros. Un picometro es la billonésima parte de un metro, es decir, 10-12 metros.

SOLUCIÓN:

Un litro son 1000 mililitros, 1000 ml; vamos a usar estas unidades en todo el ejercicio, para no tener que complicarnos con la masa en gramos ni con la densidad de los líquidos.

Si la primera botella tiene una concentración del 40%, significa que de los 1000 ml, 400 ml son de peróxido de hidrógeno puro, y el resto, 600 ml, es agua (el peróxido de hidrógeno H2O2 es otro nombre del agua oxigenada).

La segunda botella tiene una concentración del 10%, esto significa que de los 1000 ml, 100 ml son de peróxido de hidrógeno puro, y el resto, 900 ml, es agua.

Si llamamos x e y a las cantidades respectivas en mililitros que tenemos que tomar de cada botella para mezclarlas y obtener un litro de agua oxigenada al 20%, entonces se cumplen las siguientes ecuaciones:

x + y = 1000;

ya que juntas dan un litro de agua oxigenada;

40x/100 + 10y/100 = 200;

ya que hacemos un 40% de la primera cantidad y le sumamos un 20% de la segunda cantidad y obtenemos 200 ml de peróxido puro, el 20% de un litro.

simplificando:

4x + y = 2000

ya que este es el peróxido de hidrógeno que cada botella aporta, y que en conjunto debe sumar los 200 ml, el 20%, de la botella resultante.

Resolvemos el sistema, por ejemplo por sustitución:

y = 1000 − x

4x + 1000 − x = 2000;

3x = 1000

x = 1000/3;

de aquí:

y = 1000 − 1000/3 = 2000/3

Es decir, tendremos que mezclar 1/3 de litro de la primera botella, con 2/3 de litro de la segunda.


Nota: este problema ha sido adaptado del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.

7.4.21

François Viète

François Viète (1540-1603)

François Viète was a French mathematician and Huguenot sympathizer. Trained in law, he became a member of the Breton parliament, then of the King's Council serving Henri III and Henri IV. He was proficient at deciphering secret messages intercepted by the French. Indeed, he was so successful that the Spanish accused him of being in league with the devil, complaining to the Pope that the French were using black magic to help them win the war. However, the Pope paid no attention to these accusations.

For a period of nearly six years in the second half of the 1580s, Viète was out of favour at court and concentrated almost exclusively on mathematics. He made great advances in several fields of mathematics, but always working in his spare time. Being wealthy, he printed numerous of his papers at his own expense.


François Viète (1540-1603)

François Viète fue un matemático francés, simpatizante de los hugonotes. Preparado en leyes, se convirtió en un miembro del parlamento bretón, y después en miembro del Consejo del Rey, sirviendo a Enrique III y a Enrique IV. Viète era competente descifrando mensajes secretos interceptados por los franceses. De hecho, tuvo tanto éxito que los españoles le acusaron de estar en complot con el diablo, y se quejaron al Papa de que los franceses estaban usando magia negra para ayudarse a ganar la guerra. Sin embargo, el Papa no prestó atención a estas acusaciones.

Por un periodo de cerca de seis años durante la segunda mitad de los años 1580, Viète perdió el favor en la corte y se concentró casi exclusivamente en las matemáticas. Hizo grandes avances en varios campos de las matemáticas, pero siempre trabajando en su tiempo libre. Como era rico, imprimió numerosos trabajos pagándolos de su propio bolsillo.

[El texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney]

3.4.21

[El Problema de la Semana] Matrícula a la fuga

¡Cuidado con las infracciones!:

Tres matemáticos observaron que un conductor de un automóvil infringía gravemente las normas de tráfico y se daba a la fuga. Todo fue tan rápido que no pudieron anotar el número de la matrícula. Sin embargo, el primer matemático se fijó en que las dos primeras cifras del número eran iguales. El segundo matemático vio que las dos últimas cifras del número también eran iguales, y el tercer matemático se fijó que el número de cuatro cifras era un cuadrado perfecto.

¿Sabrías averiguar el número de la matrícula con estos datos?

La matrícula se resolverá más abajo


SOLUCIÓN:

Recordemos la regla de la divisibilidad por 11: "un número es divisible por 11 si al tomar la suma de las cifras colocadas en lugar par y la suma de las cifras colocadas en lugar impar y restar ambas cantidades, el resultado sale 0, 11 o múltiplo de 11".

Tenemos un número de cuatro cifras con las dos primeras iguales y las dos últimas iguales: XXYY, entonces las cifras colocadas en lugar par (segundo y cuarto lugar) suman X+Y, y las colocadas en lugar impar (primer y tercer lugar) también suman X+Y. Si restamos ambas cantidades iguales, nos da 0, luego el número de la matrícula es divisible por 11.

Como el número es un cuadrado perfecto y 11 es primo, entonces necesariamente será múltiplo de 112 = 121. Además, si dividimos el número de cuatro cifras por este factor, el cociente también será un cuadrado perfecto (en un cuadrado perfecto, todos los factores primos de su descomposición han de aparecer elevados a exponente par).

Basta ir multiplicando 121 por los cuadrados perfectos hasta encontrar la solución:

121 · 1 = 121

121 · 4 = 484

121 · 9 = 1089

121 · 16 = 1936

121 · 25 = 3025

121 · 36 = 4356

121 · 49 = 5929

121 · 64 = 7744

121 · 81 = 9801

El número de la matrícula es 7744, que es el cuadrado de 88 = 8 · 11.


Nota: este problema ha sido extraído del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.