El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Caleidoscopios

Cuaderno de bitácora: supongo que todos los que ven por primera vez un caleidoscopio quedan fascinados por él. A mi me enseñaron uno cuando era pequeño, y me pareció algo precioso, y ya de mayor he podido comprar un par de ellos que en su día encontré en algunos mercados portuarios de cierto país costero.

El funcionamiento de un caleidoscopio es muy sencillo. El corazón del aparato, lo que le da vida, son dos espejos alargados rectangulares unidos por uno de sus lados mayores, formando un ángulo determinado. Esos dos espejos se colocan dentro de un tubo, uno de cuyos extremos se utilizará como abertura para ver la imagen, y el otro se cierra habitualmente con un cristal o plástico transparente y sobre él un papel o plástico translúcido. Entre el cristal transparente y el plástico translúcido, se suelen colocar pedacitos sueltos de cristal o plástico de colores, para que al mover el caleidoscopio o agitarlo vayan adquiriendo nuevas posiciones, formando patrones cambiantes y siempre nuevos. Éste sistema de los pedacitos de colores colocados entre un cristal transparente y uno translúcido es el más corriente, pero se han desarrollado muchas variantes, como se puede contemplar en esta página sobre caleidoscopios: tubos llenos de aceite por los que circulan los pedacitos de colores, imágenes fijas translúcidas que se pueden cambiar o desplazar, etc.

Una de las variantes del caleidoscopio es lo que se ha denominado teleidoscopio o tomoscopio: el final del tubo del caleidoscopio se completa con una semiesfera de cristal en lugar de los pedacitos de colores; así la imagen del lugar donde nos encontramos se filtra por la esfera de cristal, miniaturizándose, y lo que se ve por el tomoscopio es la multiplicación simétrica de esa imagen, y podemos jugar, por tanto, con la imagen real de nuestro entorno, en lugar de los motivos geométricos más sencillos habituales.

Si el corazón del caleidoscopio son sus dos espejos, el alma del caleidoscopio es el ángulo que forman los dos espejos y el consiguiente efecto de simetría múltiple que provoca este ángulo. Según la apertura del ángulo, la imagen se repetirá en los espejos formando hermosos rosetones. Para que la simetría sea perfecta, el ángulo de los espejos ha de ser coincidente con una partición exacta del círculo. Si el ángulo es, por ejemplo, de 90º (la cuarta parte del círculo), entonces la imagen se verá multiplicada por cuatro; si el ángulo es de 72º tendremos un rosetón de exactamente cinco figuras simétricas; si el ángulo es de 60º, obtendremos seis figuras, etc.

Precisamente, uno de los ángulos más utilizados en los caleidoscopios es el de 60º, ya que si los espejos se disponen en esta abertura, podemos añadirles un tercer espejo de las mismas dimensiones, y así los tres formarán un triángulo equilátero, multiplicando el reflejo y consiguiendo un motivo simétrico mucho más amplio. Además, la estructura de los tres espejos en triángulo tiene mucha solidez y estabilidad a la hora de construir el caleidoscopio y colocar los espejos dentro del tubo.

No es necesario que el ángulo sea de 60º para añadir un tercer espejo, podemos cerrar con un tercer espejo la formación, sea el que sea el ángulo de partida, y buscando combinaciones diferentes se pueden conseguir muchos efectos. También se pueden colocar, por ejemplo, cuatro espejos en lugar de tres. Si ponemos cuatro espejos iguales formando ángulos de 90º, obtenemos un infinito reflejo simétrico cuadrado muy llamativo, que me recuerda a la siguiente ilustración del artista M.C.Escher:

En el artículo de la Wikipedia dedicado al caleidoscopio se afirma que este aparato fue inventado por David Brewster en 1816. Un colaborador de la Wikipedia ha completado el artículo afirmando poéticamente que "el caleidoscopio puede transportarte a un mundo, que por una extraña razón es el lugar mismo donde se fabrican los sueños y las canciones de cuna". Efectivamente, es extraña la razón de que las construcciones geométricas, las simetrías, los giros, sean capaces de crear mundos mágicos de misterio y ensueño.

No son pocas las películas que utilizan el tema de los espejos para crear escenas llenas de magia y evocación. En muchas se aprovecha dicho tema para ubicar en esas escenas los momentos álgidos del argumento, conflictos terribles, luchas épicas. Recordemos, por ejemplo, las escenas finales de La Dama de Shanghai, protagonizada por Orson Welles y Rita Hayworth, de las cuales incluimos un fotograma a continuación:

También tenemos la lucha final de Operación Dragón, la mítica película de Bruce Lee (véase la ilustración más abajo), y se me viene al recuerdo unas escenas de Conan el Destructor, protagonizada por Arnold Schwarzenegger, Grace Jones y el impresionante jugador de la NBA Wilt Chamberlain (que todavía conserva el récord de los 100 puntos en un solo partido, y otros 71 récords más).

En el Parque de las Ciencias de Granada, existe una Sala dedicada a la percepción, en la que entre otras experiencias se muestran varias actividades con espejos. Una de ellas, concretamente, es un espacio en forma de triángulo equilátero rodeado por tres espejos; la persona que se introduce en ese espacio ve su imagen multiplicada hasta el infinito entre los espejos, como si se encontrara en el interior de un caleidoscopio.

[imagen extraída de flickr]

Poder entrar y situarse entre los tres espejos, y contemplar el reflejo en ellos, es una experiencia inquietante, porque no sólo nos podemos ver de frente, sino que también vemos nuestro perfil y nuestra espalda, en vivo y en directo, lo cual suele parecernos extraño y es posible que hasta nos cause rechazo y cierto complejo. Hay que tener en cuenta que cada uno de nosotros tiene una imagen idealizada de sí mismos, que no coincide con la realidad, y cuando tenemos la oportunidad de contemplar por primera vez esa imagen real, nos suele parecer peor de lo que es, y surge un sentimiento de mucha vergüenza, porque nos damos cuenta de que esa imagen de nosotros que nos desagrada es la que ven continuamente las personas que nos rodean.

La geometría también es un instrumento particularmente evocador, por ejemplo, en tiempos como la Navidad. Los motivos geométricos navideños son abundantes: los copos de nieve, con su simetría hexagonal, la estrella de Belén, habitualmente de cinco puntas como el pentagrama pitagórico, los abetos en su forma triangular-cónica y ligeramente fractal, las piñas de los abetos, que esconden entre sus escamas espirales con números de Fibonacci, las bolas navideñas de colores, como esferas perfectas, etc... No es de extrañar que la Navidad sea un momento perfecto para regalar caleidoscopios y disfrutar de su contemplación mientras dejamos que vuele nuestra fantasía...

Para terminar, quiero comentar que existe una asociación, la Brewster Kaleidoscope Society, dedicada a los aficionados a los caleidoscopios y que lleva precisamente el nombre de Brewster en honor al inventor del caleidoscopio; en su página web se detalla una extensa biografía de aquel portentoso científico escocés que destacó en muy diversos campos, contribuyendo a la ciencia no sólo con la invención del caleidoscopio (con mucho su logro más popular), sino con el perfeccionamiento del estereoscopio, la invención de esas lentes cortadas en capas usadas en los faros, el estudio de las leyes de la polarización de la luz y de la reflexión de la luz sobre los metales, y otras muchas propiedades ópticas muy importantes y de uso corriente hoy en día.

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: el Astrolabio

Cuaderno de bitácora: hace ya dos años por lo menos que matenavegando por el Parque de las Ciencias de Granada descubrí el Astrolabio en la sala dedicada a Al-Ándalus. En ella se explica su funcionamiento y se propone una práctica con un modelo de astrolabio y unas estrellas proyectadas sobre una pantalla. En la tienda del Parque se vendía además un astrolabio recortable, y decidí comprarlo, y luego lo monté sobre un panel de cartón grueso, con lo que me quedó un instrumento bastante decente. Gracias a las instrucciones que venían en el recortable y a la práctica que se enseñaba en la sala dedicada a Al-Ándalus, aprendí a manejarlo y tuve oportunidad de enseñárselo a los grumetes y a diversos oficiales de nuestro Barco Escuela.

Sobre la definición y la historia extraigo parte de la información que aparece en la Wikipedia sobre el astrolabio:

"El astrolabio es un instrumento que permite determinar las posiciones de las estrellas sobre la bóveda celeste. La palabra astrolabio significa etimológicamente "el que busca estrellas" y debe su procedencia al griego ("Astro", estrella y "Labio", el que busca). Sinesio de Ptolemais (siglo IV) atribuye su invención a Hiparco de Nicea, alrededor de 150 a. C. Para el siglo VIII ya era ampliamente conocido en el mundo islámico y en Europa en el siglo XII. Aún cuando existen vestigios de la cultura Sumeria, desde 5.000 a.c., que demuestra que los astrólogos sumerios lo utilizaban para saber las posiciones de las estrellas.
Durante los siglos XVI hasta el XVIII el astrolabio fue utilizado como el principal instrumento de navegación hasta la invención del sextante.
Los astrolabios eran usados para saber la hora y podían usarse también para determinar la latitud a partir de la posición de las estrellas. Los marineros musulmanes a menudo los usaban también para calcular el horario de oración y encontrar la dirección hacia la Meca."

En la definición de la Wikipedia, como se ve, define el astrolabio como un "buscador de estrellas". Se puede usar como los actuales planisferios celestes: a una latitud determinada, sabiendo el día del año y la hora, se puede determinar la posición de la estrella buscada. Pero se puede usar al contrario: conociendo las estrellas, localizándolas en el cielo, se puede determinar su posición, y gracias a ella la hora del día.

El astrolabio se puede usar de día o de noche. Durante el día se utilizará la inclinación de los rayos solares para alinearlo correctamente; esta alineación junto con la fecha en la que nos encontramos nos dará, por ejemplo, la hora del día en la que estamos haciendo la medición (la hora solar, no la oficial). Si, por el contrario, sabemos la hora solar gracias a un reloj adecuado, entonces con el astrolabio podemos calcular la longitud geográfica en la que estamos.

Por la noche, en lugar de usar la luz del sol, usaremos la posición de las estrellas. Si observamos la cara principal del astrolabio, la parte delantera de la llamada placa madre, vemos una serie de curvas y salientes en forma de uña; cada uno de estos salientes corresponde y señala a una estrella importante del firmamento. Toda la estructura con sus salientes se llama "araña" o "red". Midiendo la altura de las estrellas sobre el horizonte y su posición respecto a los puntos cardinales se puede calcular la hora, o bien la longitud a la que nos hayamos en medio del océano. Midiendo la altura de la estrella Polar sobre el horizonte podemos averiguar la latitud a la que nos encontramos.

En la Alejandría del siglo IV existió una persona experta en la construcción y el uso del astrolabio. Se trata de Hipatia, una de las pocas mujeres matemáticas que han pasado a la historia. Fue hija del director de la Biblioteca de Alejandría, Teón, quien era además matemático y astrónomo. Teón educó esmeradamente a su hija Hipatia, que gracias a sus capacidades y su inteligencia se convirtió en una de las principales científicas de la época. Sus conocimientos abarcaron las matemáticas, la astronomía, la filosofía y la mecánica. Escribió varios libros que se han perdido, comentando y ampliando la Aritmética de Diofanto, el Tratado sobre las Cónicas de Apolonio, los Elementos de Euclides, y el Almagesto de Tolomeo, entre otros. En una carta a uno de sus discípulos, Sinesio de Cirene, que más tarde sería arzobispo, le envió instrucciones precisas para la construcción de un astrolabio.

Muchas veces los grumetes hacen la pregunta terrible: ¿para qué sirven las matemáticas? Pues bien, las matemáticas sirven, por ejemplo, para poder construir instrumentos como el astrolabio, que ayudaron a la orientación y a la navegación en mitad del océano durante muchos siglos. Para elaborar los astrolabios se necesitó de personas como Hipatia, con profundos conocimientos matemáticos y astronómicos. Las matemáticas del astrolabio se basan fundamentalmente en el conocimiento de las cónicas (las curvas que aparecen al cortar el cono con diferentes planos: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas), y los diferentes métodos para trasladar las trayectorias de las estrellas y planetas en la bóveda celeste a un plano.

Manejar un astrolabio no es difícil, una vez que se aprenden sus mecanismos, la forma de orientarlo respecto al Sol y a las estrellas y leer sus mediciones. Para eso no se necesitan demasiadas matemáticas. Pero sin las matemáticas no existiría el astrolabio, lo mismo que no existiría la calculadora, ni el calendario, ni los ordenadores, ni los teléfonos, ni los discos compactos, ni tantos aparatos, medios de transporte, economía, etc...

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Ábacos

En uno de los documentales de la serie Universo Matemático, de Antonio Pérez Sanz, concretamente el titulado Números y Cifras, un Viaje en el Tiempo, se describe la historia de las cifras y se explican antiguos algoritmos de cálculo para realizar operaciones aritméticas como la multiplicación o la división. También son comparados los diversos sistemas numéricos, y se destaca la ventaja del sistema decimal con los dígitos indo-arábigos que hoy utilizamos, 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9, frente a otros sistemas, como por ejemplo el de los números romanos. Asimismo, se recuerda que en la antigüedad se empleaban instrumentos como el ábaco para hacer los cómputos aritméticos. Al elogiar nuestro actual sistema decimal frente al sistema romano, Antonio Pérez Sanz, comenta: "imagínense al pobre abaquista romano penando para colocar las fichas de su ábaco. Incluso tendría dificultades para anotar un número tan grande", con lo que parece dar a entender que el uso del ábaco era lento y complicado, y los algoritmos del sistema indo-arábigo vinieron a liberar a la humanidad de su empleo.

Sin embargo, la impresión de que el ábaco es un instrumento complicado y abandonado hace muchos siglos, es errónea.

Alberto Coto, récord Guinness de cálculo, en su libro La Aventura del Cálculo editado por la Editorial Filarias, explica brevemente la historia del ábaco:

La palabra ábaco proviene del griego "abax", que significa "superficie plana". El ábaco es el primer dispositivo manual de cálculo y permite realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas (sumar, restar, multiplicar y dividir).
Se suele considerar a los chinos como los inventores del ábaco, aunque hay indicios de que en Babilonia (3500 a. C.) ya se contaba con algo parecido. También los egipcios habían ideado un sistema similar de bolillas atravesadas por alambres.
El ábaco funciona de una forma sencilla. Con una serie de elementos de señalización, que pueden ser piedrecitas, varillas de bambú, fichas coloreadas, etc., y, a través de una serie de manipulaciones mecánicas que dependerán de la estructura del aparato, se consiguen realizar operaciones sin necesidad de un desarrollo formal del algoritmo de cálculo.
El ábaco fue el instrumento de cálculo y el impulsor del desarrollo científico-técnico durante varios siglos. Fue utilizado en Occidente hasta que hicieron su aparición los sistemas posicionales de cálculo y el invento del cero, a través del sistema indoarábigo de numeración.
La introducción en Occidente de los algoritmos propició una batalla entre los partidarios de la utilización del ábaco y entre los que preconizaban el uso de los algoritmos. Dicha batalla se decantó a favor de estos últimos ya entrado en el siglo XVI, aunque el ábaco siguió siendo el instrumento comercial por excelencia.
Hoy en día se sigue utilizando el ábaco en diferentes regiones de Asia y de Rusia, sobre todo en los comercios, y también en algunos Chinatowns. En muchos lugares también se enseña a los niños ciegos el uso del ábaco.

Así pues, hay lugares en el mundo donde se sigue utilizando el ábaco. Uno de ellos es un país tan avanzado y civilizado como Japón. El ábaco japonés se llama soroban, y es una versión simplificada y mejorada del ábaco chino suan pan. Fernando Tejón tiene una página web muy completa dedicada al ábaco japonés y a otros ábacos tradicionales, en la que incluso publica un Manual del Uso del Ábaco Japonés Soroban, y en la que explica, por ejemplo que

El ábaco, tradicional instrumento eficaz para todo tipo de cálculos matemáticos, pesenta en pleno siglo XXI innumerables ventajas. Fomenta la habilidad numérica, pero además su uso habitual mejora la capacidad de concentración, de razonamiento lógico, la memoria, el procesamiento de información de forma ordenada y la atención visual. Por lo tanto se podría considerar que el uso del ábaco es una excelente forma de ejercitar el cerebro, manteniéndolo activo y ágil a cualquier edad. Por si fueran pocas ventajas, en muchos casos los cálculos matemáticos con el ábaco son más rápidos que con una moderna calculadora electrónica...

Más adelante, en el capítulo introductorio de su Manual, explica que

El ábaco japonés, o Soroban, tiene su origen en el siglo XVI. Inicialmente tenía una disposición de cuentas 2-5 como en el Suan-pan chino, del que deriva. Posteriormente se le eliminó una de las cuentas superiores, quedando en disposición 1-5. A principios del siglo XX perdió una de las cuentas inferiores quedando en la actual disposición 1-4 que es la más adecuada al sistema decimal usado actualmente. Las cuentas del Soroban son de pequeño grosor y tienen los cantos vivos. Con esta forma se mejora notablemente la rapidez en los movimientos, y como consecuencia de los cálculos. Es, sin duda, el ábaco más evolucionado y con el que se realizan los cálculos con mayor rapidez.

Como ejemplo de las potencia de cálculo del ábaco está la famosa competición patrocinada por el periódico del ejército americano, Stars and Stripes (barras y estrellas) ocurrida en Tokyo el día 12 de Noviembre de 1946, entre el japonés Kiyoshi Matsuzaki del Ministerio Japonés de comunicaciones utilizando un Soroban y el americano Thomas Nathan Wood de la armada de ocupación de los E.U.A. con una calculadora electromecánica. El vencedor fue Matsuzaki usando el Soroban, que resultó vencedor en cuatro de las cinco pruebas, sólo perdiendo en la prueba con operaciones de multiplicación con números grandes.

También se cita en otra página, Highlights from The Computer Museum Report que "el empleo del soroban no ha declinado desde la llegada de sus rivales, la calculadora y el ordenador. En algunos bancos, las cifras diarias computerizadas se comprueban dos veces con un soroban. Cuando empiezan con el soroban, los estudiantes aprenden a visualizar la posición de los números. La campeona de soroban, la Srta. Nishida, puede sumar ocho números de diez cifras en menos de diez segundos, visualizando simplemente la posición de las fichas en su cabeza. De hecho, los japoneses afirman que el aprendizaje del uso del soroban puede aumentar el coeficiente intelectual de los estudiantes".

Más abajo, en la misma página se explica sobre el ábaco chino: "El chino suapan o bandeja de contar, tiene fichas redondas y está dividido en dos secciones. La sección superior se llama cielo y contiene dos fichas, cada una de las cuales vale cinco unidades. La sección inferior se llama tierra, y contiene cinco fichas, cada una vale una unidad. El suapan se usó en China sobre el 1300, y se hizo muy popular en 1593 cuando el matemático Chen Ta-wei publicó un libro sobre el cálculo con el ábaco. El ábaco es todavía una parte tan importante de la cultura china que todavía se celebra el 10 de Mayo como el Día Nacional del Ábaco".

En resumen, el ábaco es uno de esos tesoros matemáticos que todavía están en uso a pesar de que su origen se remonta a tiempos muy antiguos. Diferentes culturas, algunas muy alejadas entre sí, como los japoneses y los mayas, han compartido su uso. El diseño del ábaco ha sido siempre muy similar en todas partes, adaptándose a diferentes sistemas de numeración con suma facilidad; por ejemplo, en la cultura maya, que usaba un sistema de contar de veinte en veinte, se usaba un ábaco con tres cuentas en una sección y cinco en la otra (véase la misma página de Fernando Tejón mencionada antes)

Por mi parte, hace años compré un ábaco chino en una tienda de decoración. Posteriormente descubrí una tienda (hoy ya cerrada) en la que había material de go (el juego japonés); en esa tienda también se vendía el soroban, y adquirí uno para poder incluirlo en mi cofre de tesoros.

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Calculadoras

Cuaderno de bitácora: la corriente de mis pensamientos e ideas es mucho más rápida y activa que la velocidad a la que puedo completar las diferentes entradas de este blog. Cuando me pongo a escribir, son muchas las cosas que se me pasan por la cabeza, y necesito, indefectiblemente, desarrollar todo un artículo para dar forma a mis ideas.

Es por eso que aunque hace ya varios meses publiqué la entrada titulada El Cofre de los Tesoros Matemáticos, y mi intención era dedicar una entrada a cada uno de mis tesoros, he necesitado tiempo para completar este primer artículo sobre las Calculadoras, a pesar de haber recibido algún comentario interesándose por el tema. Este artículo sobre calculadoras, además, es de esos que se van atascando, que necesitan investigación y maduración, a diferencia de otros artículos que salen de un tirón, en un rato de concentración dedicada.

Cuando era pequeño, allá por la década de los 70, apenas tendría más de 7 u 8 años, un tío mío apareció por mi casa con un aparato que yo no había visto jamás: una calculadora. Era una calculadora Casio Memory 8F, muy bonita, que todavía conservo en mi poder y funciona como el primer día. Su pantalla negra, con números luminosos en fósforo verde, era especialmente atractiva, en una época en la que cualquier cosa parecida a un videojuego era completamente desconocida, sobre todo aquí, en España. Funciona con dos pilas normales, pero también tiene una entrada para conectarla a la corriente eléctrica mediante un transformador apropiado.

Aquella calculadora era una curiosidad. Mi madre, preocupada por mis estudios, jamás me dejó utilizarla para hacer mis deberes de matemáticas: usarla hubiera sido como hacer trampas, utilizar un atajo prohibido que obstaculizaría mi proceso de aprendizaje del cálculo aritmético. Por mi parte, tampoco se me ocurrió nunca buscar a hurtadillas la ayuda de la Casio, a espaldas de lo que dijera mi madre, para ayudarme con los deberes del colegio. A diferencia de muchas personas, incluidos algunos matenavegantes famosos, siempre fui hábil para las cuentas, incluso me gustaban, y sólo empecé a usar la calculadora cuando se requería en los problemas de Física y Química del Bachillerato.

Ahora que la contemplo, todavía ejerce una atracción fascinadora, como la que suscitan los aparatos tecnológicos que se ven por primera vez. Sus dígitos de luz verde que brillan a través de una pequeña malla metálica son especialmente evocadores. Puede que los realizadores de la película "Matrix" se inspiraran en ellos para la escena inicial de la película, en la que la cámara hace un zoom y entra en las cifras de una pantalla de ordenador.

Sobre la historia de las calculadoras, se pueden consultar muchos sitios, por ejemplo la página de la Wikipedia. Se puede decir, para empezar, que desde la más remota antigüedad, se han usado artilugios para ayudar a los seres humanos a realizar las operaciones aritméticas, tanto las básicas como sumar, restar, multiplicar o dividir, como operaciones más avanzadas, con ayudas de logaritmos, tablas trigonométricas, etc. Así tenemos por ejemplo los diferentes tipos de ábaco, las varillas neperianas, las reglas de cálculo, y artilugios mecánicos, como la pascalina, la máquina de Babbage, el comptómetro, la Curta, etc.

Hay que esperar hasta la década de los 60 del siglo XX para que aparezcan las primeras calculadoras electrónicas, que son armatostes muy pesados y aparatosos. Después, a principio de los 70, salieron las calculadoras electrónicas de bolsillo, y sobre el año 75 (más o menos cuando mi tío apareció por casa con la Casio Memory 8F, si no recuerdo mal) las calculadoras ya tenían un precio muy asequible y estaban al alcance de cualquiera.

Me viene ahora al pensamiento una reflexión interesante. Se nos ha dicho, por ejemplo, que el inventor del teléfono fue Graham Bell, el de la radio fue Marconi, el de la bombilla fue Edison. Hay muchos inventos que tienen un inventor, el primero que los desarrolló, el primero al que se le ocurrió la idea. Sin embargo, no pasa lo mismo con la calculadora. Las calculadoras forman parte de una lenta evolución a lo largo de miles de años, que al llegar el siglo XX, con ayuda de los descubrimientos de la electrónica, los transistores, los circuitos integrados, ha despegado y nos ha brindado la enorme variedad de aparatos de infinidad de marcas entre los que podemos elegir hoy en día. No se puede decir que haya un solo inventor de la calculadora. Muchos matenavegantes, muchos cerebros, muchas empresas cada una con sus intereses comerciales han contribuido al desarrollo de las calculadoras, porque es un instrumento tremendamente útil, mal que les pese a algunos que no gustan de los números, imprescindible para tantos aspectos de la vida cotidiana. Si no, que se lo digan a los que vivían en el siglo XVII y siguientes, para los cuales el descubrimiento de las tablas de logaritmos (hoy obsoletas e innecesarias) fue en su época un inmenso alivio y facilitó enormemente la realización de cálculos complejos.

Llegar a las calculadoras ha sido uno de los más claros indicadores de la evolución científica humana: los pueblos antiguos ni siquiera tenían un sistema numérico tan sencillo como el actual, de base diez, nuestro sistema fue aceptado en Occidente en la Edad Media gracias a Fibonacci y tras muchos recelos supersticiosos, pero desde entonces, todas las personas que pasaron por la escuela tuvieron que aprender a hacer las cuentas a mano sin ninguna otra posibilidad, y sólo en las últimas décadas nos hemos liberado de esa necesidad del cálculo aritmético tradicional, y nos podemos apoyar, perezosamente, en el empleo de las calculadoras.

La Casio Memory 8F es quizás la calculadora más valiosa que tengo, no por su utilidad, sino por su historia. Pero no es la única calculadora. Tengo otra que compré en el año 1987, la Casio fx-3600P. Me costó en aquella época casi 6.000 pesetas (más de 35 euros), y es la primera calculadora científica que tuve. En el colegio, durante el Bachillerato, siempre me apañé con otra calculadora que ya no está en mi poder, que no era científica y sólo realizaba las operaciones de suma, resta multiplicación y división. Para los logaritmos y los cálculos trigonométricos me apoyaba en mi compañero de clase, que sí tenía una calculadora científica, del mismo modelo que la que luego me compré.

Posteriormente, allá por el año 1995, llegó a mis manos una calculadora que más bien era un ordenador, la Casio FX-850P. Se puede decir que este aparato fue una "herencia": alguien se la dejó a un amigo mío, luego perdió el contacto con él y no reclamó nunca la calculadora, y mi amigo, sabiendo que yo daba clases de matemáticas y que él no la iba a necesitar, me la regaló. Se pueden escribir en ella programas en lenguaje Basic, y tiene una librería muy amplia de fórmulas y funciones. Es una de esas calculadoras que "no te dejan llevar a los exámenes", pues se pueden guardar chuletas en ellas.

Actualmente, aprovechando mi condición de Oficial en la Matenavegación, he aprovechado para renovar mi provisión de aparatos. Así, en la taquilla de mi camarote, tengo cuatro calculadoras. No se puede decir que sean de mi propiedad, son más bien del Barco Escuela, pero yo las uso cuando las necesito. Son la Texas Instruments TI-30XS, la Casio FX-570ES, la HP 10s y la Scientific SS-529 (que la daban casi gratis con el periódico el País). Me gustan especialmente la TI-30XS, de Texas Instruments, que es la que estoy usando ahora, y la Casio FX-570ES. Ambas permiten la introducción de fracciones, potencias, raíces y otras operaciones tal y como se escribe a mano, dando el resultado de la misma forma como se ha escrito. Además, la TI guarda en pantalla una enorme cantidad de operaciones anteriores, y las mantiene en memoria aunque apaguemos la calculadora. Cuando la volvemos a encender, podemos recuperar las operaciones hechas, editarlas y modificarlas.

Si alguien quiere ver muchos modelos de calculadoras antiguas, puede visitar este museo de calculadoras , es uno de los varios que circulan por Internet. Contemplándolo se da uno cuenta de la inmensa cantidad de variedades distintas del aparatejo sobre el que hemos hablado en esta entrada del blog.

El Cofre de los Tesoros Matemáticos

Cuaderno de bitácora: hace un par de semanas decidí crear el Cofre de los Tesoros Matemáticos. Como todo marino que se precie, me atraen los tesoros escondidos por los siete mares. En este caso, voy a ir recopilando en un cofre todos aquellos que ya tenía y los que vaya consiguiendo durante las próximas travesías.

Es mi objetivo, durante las próximas entradas del blog ir escribiendo con detalle de cada una de las joyas del tesoro. En esta entrada voy a mencionar algunas de las que tengo en mi poder.

Podemos comenzar por el ábaco. En el cofre hay dos tipos de ábaco, el suan-pan chino, y el ábaco japonés o soroban. El ábaco chino tiene quince varillas, y en cada varilla hay cuentas negras redondeadas, de forma toroidal, en grupos de cinco y de dos, separados los grupos por un travesaño. El soroban, mucho más pequeño en tamaño y por tanto más manejable, ha reducido el número de fichas al mínimo indispensable: trece varillas, en cada una cuentas en dos grupos, uno de cuatro fichas, en lugar de las cinco del ábaco chino, y otro de una sola, en lugar de las dos del ábaco chino. Las cuentas son de color blanco discoidales, con borde afilado. Además, el soroban tiene un pulsador en uno de los lados que hace palanca para que todas las piezas vuelvan a la posición de cero. El soroban se dice que es el ábaco más evolucionado; una página desde la que se puede descargar un manual completo del uso del soroban es ésta.

Recientemente conseguí en la sección de papelería de unos grandes almacenes ún sencillo espirógrafo, un artilugio parecido a una regla que junto a unas ruedas dentadas de varios tamaños permite dibujar curvas epicicloides muy bonitas. Para saber más sobre el espirógrafo hay dos páginas, la primera en inglés y la segunda en español, que además incorporan programas Java con los que se pueden dibujar epicicloides de todos los tipos y a varios colores.

Entre mis tesoros más antiguos tengo que destacar dos calculadoras de la marca Casio, una de ellas, de más de treinta años de antigüedad, con pantalla de fósforo verde luminoso, sencilla, funciona con dos pilas normales y sólo hace las operaciones básicas, raíces cuadradas y tantos por ciento. La otra tiene más de veinte años y es científica, y recuerdo que en la época que me la compré me costó mucho dinero, casi 6.000 pesetas, o 36 euros al cambio. Hoy en día se puede conseguir una calculadora científica de más o menos las mismas prestaciones por tan sólo diez o doce euros, así son las paradojas del mercado.

En el cofre también he introducido algunas variedades de cubos de Rubik que han salido al mercado. Está el cubo normal de orden tres, un par de cubos de orden dos, y otro de orden tres en el que las caras en lugar de ser de colores están cubiertas con los dígitos del 1 al 9, de forma que, similar a los Sudokus, en cada cara del cubo están todos los dígitos del 1 al 9 sin repetirse ninguno.

En algunas tiendas de decoración se han puesto de moda últimamente vender esferas metalizadas que reflejan el entorno como si fueran espejos. En cuanto las vi compré una, porque me recuerdan mucho el autorretrato de Escher en el que se ve su mano sosteniendo la esfera y su imagen reflejada en la superficie.

También se han puesto de moda los puzles formados por dos piezas metálicas semejando argollas abiertas de formas diversas que han de unirse y desunirse sin emplear la fuerza, sino con una combinación de movimientos y orientaciones de las piezas para que la unión o separación sea suave. En el cofre solo tengo uno ahora mismo, porque en una incursión pirata me robaron tres o cuatro que atesoraba de uno de mis viajes.

El año pasado tuvo mucho éxito un astrolabio que realicé a partir de un recortable comprado en el Parque de las Ciencias. Me permitió aprender el manejo de los antiguos astrolabios y enseñárselo a grumetes y compañeros oficiales. En la navegación actual, con los sistemas GPS, ya no es necesario el astrolabio, pero en la Edad Media y siglos posteriores fue imprescindible.

A partir del astrolabio decidí también confeccionar un cuadrante con el que es sencillo medir el ángulo de visión sobre el horizonte de un punto elevado, ya sea estrella, montaña, torre, y además se puede calcular rápidamente con su escala la altura de un punto elevado si tenemos acceso a su base, así se puede calcular o medir la altura de una torre, de un árbol, etc.

A mi infancia se remonta el uso del View-Master, un aparato que permite ver fotografías en tres dimensiones, las llamadas fotografías estereoscópicas, relacionadas con los estereogramas. Me lo trajeron de Holanda de regalo unos amigos de la familia que habían emigrado a ese país y que regresaban de visita cada verano. Con el aparato conservo unos cuantos discos con fotografías, de paisajes, de animales y plantas, y de películas de aventuras.

También tengo un par de caleidoscopios, uno tradicional o clásico, con un grupo de piececitas de colores al final del tubo, que se pueden mover para ir configurando infinidad de simetrías, y otro con una lente esférica, también llamado tomoscopio, con lo que las imágenes simétricas se forman con la misma imagen del entorno en donde estamos, con las caras de las personas, con los paisajes, etc.

Tengo más tesoros, pero de momento son suficientes para la entrada de hoy.