Papiroflexia Matemática: Papirolas

Cuaderno de bitácora: hace ya unos años llegó a mis manos el estupendo libro de Robert Ghattas, Bricológica - Treinta objetos matemáticos para construir con las manos, de la editorial Rialp.

[portada tomada de la casa del libro, en ella se puede apreciar la foto de un icosaedro estrellado, hecho a base de módulos de papiroflexia]

Uno de los capítulos del libro está dedicado a la construcción de módulos de papiroflexia básicos o papirolas, con los que se pueden montar luego diferentes estructuras geométricas: figuras bidimensionales, (el molinete, la estrella, tapetes), y también tridimensionales (cubos y conjuntos de cubos, el octaedro estrellado, el icosaedro estrellado).

Para construir los módulos básicos o papirolas, emplearemos cuadrados de papel de diferentes colores. Se pueden emplear papel especial para origami, pero una opción cómoda y barata se encuentra en los tacos cuadrados de papel de notas que venden en las papelerías, pero que no sean los adhesivos.

Partiendo de un cuadrado de papel, podemos formar la papirola con los siguientes pasos:

1. Se dobla el papel por la mitad y luego se desdobla.

2. Se dobla cada mitad hasta hacer coincidir el borde con el centro del papel.

3. Aquí tenemos el resultado.

4. Ahora vamos a doblar en triángulo, empezando por la esquina superior derecha.

5. Hacemos coincidir el borde derecho del papel con el borde inferior.

6. Con la esquina inferior izquierda hacemos lo mismo, obteniendo este romboide.

7. Se desdobla el papel, y observamos que nos han quedado unos triángulos pequeños a modo de solapas en los extremos.

8. Los triángulos pequeños los doblamos hacia adentro del papel, ocultándolos. 

9. Se vuelve a doblar la esquina superior derecha, ahora introduciendo la esquina dentro del "bolsillo" inferior.

10. Hacemos lo mismo con la esquina inferior izquierda, metiéndola en el correspondiente bolsillo superior.

11. Aquí tenemos el resultado.

Es importante que todas las papirolas nos queden en la misma orientación, para que luego se puedan montar. Si hay papirolas de orientaciones diferentes no encajarán correctamente y no podremos formar las figuras tridimensionales.

Si en el paso 5 de los anteriores hemos doblado la esquina superior izquierda en lugar de la derecha, la papirola nos queda en otra orientación. Papirolas de distinta orientación no encajan correctamente.

Si queremos empezar formando un cubo, debemos construir seis papirolas. Es recomendable tomar tres colores para los papeles, es decir, dos papeles de cada color, 6 en total. También se puede hacer con todos los papeles del mismo color, o con los seis de colores diferentes, etc. Eso depende del gusto de cada uno y de la disponibilidad de colores.

Ejemplo de papirolas. Todas deben tener la misma orientación.

A cada papirola se le doblan los "triángulos" de los extremos para que quede de frente un cuadrado con una x en medio.

Ya tenemos las seis papirolas y ahora viene el momento de montarlas para formar el cubo. La regla básica es introducir cada oreja triangular de una papirola por el lateral del cuadrado de otra papirola. Las orejas triangulares no deben quedar debajo del cuadrado de las otras papirolas, esto también impediría el montaje completo de nuestro cubo.

Siguiendo un patrón lógico y buscando la forma geométrica del cubo, al final no es demasiado difícil conseguir completarlo. En Youtube hay varios tutoriales en vídeo que muestran la construcción completa.

Hexaedro o cubo.

Una vez que dominamos la construcción del cubo, podemos atrevernos a construir un octaedro estrellado. Para ello necesitaremos 12 papirolas, y es recomendable elegir grupos de 3 papeles de 4 colores diferentes. Además, las papirolas tendrán un doblez más en una de las diagonales del cuadrado para facilitar la construcción del poliedro.

Las papirolas deben doblarse por una de las diagonales del cuadrado, (la diagonal que permite que la papirola se pliegue como un acordeón en una forma triangular)

La forma básica que va a componer el octaedro estrellado y luego el icosaedro estrellado es la pirámide triangular formada con tres papirolas. El octaedro va a tener ocho de estas pirámides y el icosaedro veinte pirámides.

Octaedro estrellado.

El mayor desafío es la construcción de un icosaedro estrellado, con 30 papirolas, en grupos de 6 papeles de 5 colores diferentes.

Icosaedro estrellado

Aquí podemos ver los tres sólidos juntos y comparar sus tamaños relativos.

Encajando papirolas en un plano sin darles forma tridimensional, podemos formar tapetes, partiendo de las figuras simples de un molinete o una estrella. 

Preparamos cuatro papirolas en dos parejas y las unimos de la forma indicada.

Asi obtenemos la figura llamada estrella.

Si las unimos en otra posición diferente...

... Obtenemos el molinete. Podemos ampliar los tapetes uniendo cuatro estrellas entre sí o cuatro molinetes entre sí, y de ahí en adelante.

Si hacemos varios cubos, podemos combinarlos para formar poliedros más alargados y complejos. Por ejemplo, podríamos hacer el puzle del cubo Soma, todo de papiroflexia, partiendo de 27 cubos. Es un trabajo muy laborioso y de mucho tiempo, que quedará para otra ocasión.