Kolam (1) : Iniciación

Cuaderno de bitácora: en nuestros viajes por los matemares, hemos hallado otra de esas joyas que se encuentran entre las matemáticas, el arte y el folklore de los pueblos: el Kolam. Esta joya también la hemos obtenido de ese cofre-libro titulado Bricológica (ver la entrada sobre Papirolas).

Si nos vamos acercando al Kolam desde un punto de vista matemático, descubriremos que sus inicios son muy simples. En nuestros ratos aburridos es normal que a veces dibujemos garabatos en un papel de nuestro cuaderno, de un periódico, o del margen de un libro. Algunos garabatos pueden ser simples curvas cerradas. Esas curvas se pueden enredar sobre sí mismas, cortándose, haciendo nudos. Para que esos nudos se dispongan de una forma geométrica regular, nos ayudamos de puntos que harán de pivotes de giro.

Si queremos empezar desde lo más sencillo, podemos empezar de cero: la curva cerrada más simple es un círculo o un óvalo (un cero) que gira alrededor de un centro o pivote. La siguiente curva en orden de sencillez es un 8, o el símbolo del infinito, que se retuerce con ayuda de dos pivotes. A partir de ahí, podemos ir añadiendo pivotes y volutas y construir curvas cada vez más complejas.

El Kolam empieza desde lo más simple: una curva que rodea un punto (un cero) o que rodea dos puntos (el infinito) o que rodea a tres puntos...

También podemos combinar varias curvas cerradas y hacer que sus cruces se combinen con las volutas de las propias curvas.

Aquí tenemos ejemplos de varios kolams simples sobre tramas de pivotes cada vez más amplias. Cada curva cerrada ha sido dibujada de un color diferente

El Kolam en su forma básica, consiste precisamente en esto: curvas cerradas combinadas que se curvan en torno a pivotes, que se cruzan y se cortan a sí mismas y unas a otras, formando motivos geométricos.

Para construir el Kolam nos guiamos por una cuadrícula básica. En dicha cuadrícula vamos a señalar los puntos que nos van a servir de pivotes, separados entre sí dos cuadritos en cada dirección.

Aquí tenemos una sencilla trama de pivotes de tamaño 4×4.
Obsérvese que los pivotes están separados dos cuadritos en cada dirección.

Tomando como referencia los pivotes básicos, que delimitan una trama cuadrada de 2×2 cuadritos, hay otros dos tipos de puntos:

Por un lado tenemos los puntos que se encuentran al centro de cada grupo de cuatro pivotes; a estos puntos los vamos a llamar puntos vacíos, pues por ellos no va a pasar ninguna curva, tan solo serán huecos en el dibujo.

En el centro de cada cuadrado de cuatro pivotes hay un punto vacío, que aquí representamos en color azul.
Por ellos no pasan las curvas del kolam.

Por otro lado tenemos los puntos que están entre cada dos pivotes, a la misma distancia de cada pivote; a estos puntos los llamamos puntos de diagonal o puntos x, pues por ellos van a pasar las curvas del kolam en diagonal, cruzándose y formando una x.

Hemos señalados los puntos x en rojo. Las líneas del kolam siguen las diagonales de puntos x.

Este es el kolam terminado.

Es muy importante tener claro cuál es el papel de cada punto, y aquí lo resumimos: los puntos pivote por ellos no pasan las curvas, pero sí son rodeados por las curvas; los puntos vacíos por ellos no pasan las curvas, permanecen al margen de todos los movimientos; los puntos x son por los que sí pasan las curvas, y en todos hay un cruce en forma de x, salvo en aquellos que expresamente han sido excluidos del paso de las curvas.

Una vez que tenemos claro los tipos de puntos que hay en la cuadrícula, el siguiente paso es definir el grupo de pivotes sobre el que se trazará el kolam, aclarando cuáles serán los límites del dibujo.

Para empezar podemos dibujar una trama de puntos pivote cuadrada o rectangular: empecemos por un cuadrado de 3×3:

Dibujamos la primera curva, empezando en uno de los puntos x entre dos pivotes, y siguiendo la diagonal para pasar por los demás puntos x. El recorrido de la línea debe ser recto y no debe torcerse hasta alcanzar el final de la trama. En ese momento en que nos salimos de la trama giramos alrededor del pivote correspondiente más cercano, buscando el siguiente punto x. El giro puede ser de 90º, de 180º, de 270º o incluso de 360º, pero siempre debemos hacer el mínimo giro necesario.

La curva, después de un recorrido más o menos largo, regresará a su punto de partida y quedará cerrada.

La línea empieza en un punto x, siguiendo una diagonal sin desviarse, hasta que sale de la trama.
Entonces gira alrededor del pivote más próximo.
En este ejemplo ha tenido que dar un giro de 180º para regresar a la trama y continuar por otra diagonal.

Continuamos la línea por la diagonal, y cuando nos salimos de la trama hacemos los giros necesarios para regresar a ella.
Finalmente la línea vuelve a su punto de partida y la curva se cierra.

Si partimos de otro punto x, tenemos otra curva. En este ejemplo, la línea al salir de la trama "rebota" o regresa a la trama dando un giro de 90º 

Aquí tenemos la curva completada.

En el ejemplo de 3×3 esta es la curva que falta.

Y aquí la tenemos completada.

Kolam 3×3 completo con tres curvas.

Hay kolams que están formados por varias curvas cerradas como el de 3×3. Pero hay otros que una sola curva completa el kolam. Veamos el ejemplo del kolam 2×3:

Empezamos en cualquier punto x.

Continuamos el dibujo siguiendo las diagonales y girando en los pivotes de los extremos.

La línea regresa al punto de partida, pero por una diagonal diferente, por lo tanto prosigue su recorrido sin cerrarse. 

La línea completa su recorrido.

Como regla general, todos los pivotes deben quedar completamente rodeados por curvas. Cuando cerramos una curva debemos comprobar si todos los pivotes están rodeados y si hemos pasado por todos los puntos x posibles, cruzando dos curvas en cada punto x siguiendo las dos diagonales; si no fuera así elegimos un punto x por el que falte alguna curva y comenzamos un nuevo trazo.

En próximas entradas continuaremos explicando más aspectos del kolam.