Veamos el problema de esta semana:
Primero una ilustración estrellada, después la solución.
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| Si dividimos una circunferencia en 11 partes iguales, y unimos los puntos consecutivos con segmentos, obtenemos un polígono regular de 11 lados, llamado undecágono o endecágono (ambas palabras están admitidas en el Diccionario de la Real Academia de la Lengua). Si en lugar de unir los puntos consecutivos, los unimos a saltos, obtenemos cuatro tipos de polígonos estrellados, según los saltos sean de 2, de 3, de 4 o de 5 vértices. A estos polígonos se les puede llamar, respectivamente, endecágono estrellado de 1ª especie, de 2ª especie, de 3ª especie y de 4ª especie. En la página dibujotecni.com se explican con más detalle estas construcciones geométricas. |
SOLUCIÓN:
Para encontrar el número que nos piden se pueden seguir diversos métodos.
El primero de ellos sería el método de fuerza bruta: se toman todas las permutaciones de los números del 1 al 9, se ordenan de mayor a menor y se va dividiendo cada una de ellas entre 11 hasta que obtengamos un resultado exacto. En el caso de este problema, el método de fuerza bruta es razonable, ya que no es necesario buscar mucho hasta que se encuentra el número solución.
Sin embargo, nosotros vamos a emplear un método más razonado. Para ello debemos recordar las reglas de la divisibilidad: para que un número sea divisible por 11, tomamos la suma de las cifras en posición par y la suma de las cifras en posición impar, y restamos ambas cantidades; si el resultado es 0, 11 o múltiplo de 11 entonces el número es divisible por 11.
Ejemplo: tomemos el número 134867952.
1 3 4 8 6 7 9 5 2
Las cifras en lugar par están señaladas en rojo, y son 3, 8, 7 y 5. Su suma es 23. Las cifras en lugar impar, en color negro, son 1, 4, 6, 9 y 2. Su suma es 22. La diferencia entre las dos sumas es 1, que no coincide con 0, ni con 11, ni es múltiplo de 11. Por tanto el número 134867952 no es divisible por 11. De hecho, si hacemos la división: 134867952 : 11 = 12260722,909090..., no sale exacta.
Ahora pensemos en el número que tenemos que encontrar. Debe estar formado por las nueve cifras. Cuatro cifras estarán en lugar par, cinco en lugar impar. Llamemos Sₚ a la suma de las cuatro cifras en lugar par, y Sᵢ a la suma de las cinco en lugar impar.
Tengamos en cuenta que la suma total de las cifras siempre es 45:
Sₚ + Sᵢ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
¿Cuánto puede ser la diferencia entre las sumas para que el número sea divisible por 11?
Si Sₚ − Sᵢ = 0, entonces las dos sumas serían iguales, pero esto no es posible, porque 45 no es divisible por 2, y nos saldría una solución decimal para las sumas.
Si Sₚ − Sᵢ = ±11, entonces una de las sumas valdría 28, y la otra 17.
Si Sₚ − Sᵢ = ±22, nos vuelve a salir una solución decimal.
Si Sₚ − Sᵢ = ±33, entonces una de las sumas valdría 39, y la otra 6. Esta opción tampoco es válida, porque si al menos estamos sumando cuatro de los números en la suma de las cifras de lugar par, no puede salir sólo 6, tiene que salir como mínimo 10, ya que las cifras están entre los números del 1 al 9.
La única opción, por tanto, es la segunda. Vamos a tratar de construir el número, distribuyendo las cifras entre los lugares par en impar.
⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚
Para que el número sea lo más grande posible, elegimos como primera cifra el 9 para los impares, y la segunda el 8 para los pares:
9 8 ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚
Teniendo en cuenta estas elecciones, entonces los cinco números en lugar impar deben sumar 28, y los cuatro números en lugar par deben sumar 17 (ya que cinco números en lugar impar que sumen 17, no puede estar entre ellos el 9, pues entonces los otros cuatro sumarían 8, y la suma mínima de cuatro números es 10 como ya hemos comentado).
Añadimos dos cifras más, buscando el mayor resultado posible:
9 8 7 6 ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚
Ahora es fácil completar el número con las condiciones exigidas, porque ya solo queda una opción:
9 8 7 6 5 2 4 1 3
Si comprobamos 987652413 : 11 = 89786583, la división es exacta, y el número 987652413 es el número que buscábamos.
Nota: Este problema ha sido adaptado del libro Matemáticas recreativas, de Yakob Perelman.
El primero de ellos sería el método de fuerza bruta: se toman todas las permutaciones de los números del 1 al 9, se ordenan de mayor a menor y se va dividiendo cada una de ellas entre 11 hasta que obtengamos un resultado exacto. En el caso de este problema, el método de fuerza bruta es razonable, ya que no es necesario buscar mucho hasta que se encuentra el número solución.
Sin embargo, nosotros vamos a emplear un método más razonado. Para ello debemos recordar las reglas de la divisibilidad: para que un número sea divisible por 11, tomamos la suma de las cifras en posición par y la suma de las cifras en posición impar, y restamos ambas cantidades; si el resultado es 0, 11 o múltiplo de 11 entonces el número es divisible por 11.
Ejemplo: tomemos el número 134867952.
1 3 4 8 6 7 9 5 2
Las cifras en lugar par están señaladas en rojo, y son 3, 8, 7 y 5. Su suma es 23. Las cifras en lugar impar, en color negro, son 1, 4, 6, 9 y 2. Su suma es 22. La diferencia entre las dos sumas es 1, que no coincide con 0, ni con 11, ni es múltiplo de 11. Por tanto el número 134867952 no es divisible por 11. De hecho, si hacemos la división: 134867952 : 11 = 12260722,909090..., no sale exacta.
Ahora pensemos en el número que tenemos que encontrar. Debe estar formado por las nueve cifras. Cuatro cifras estarán en lugar par, cinco en lugar impar. Llamemos Sₚ a la suma de las cuatro cifras en lugar par, y Sᵢ a la suma de las cinco en lugar impar.
Tengamos en cuenta que la suma total de las cifras siempre es 45:
Sₚ + Sᵢ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
¿Cuánto puede ser la diferencia entre las sumas para que el número sea divisible por 11?
Si Sₚ − Sᵢ = 0, entonces las dos sumas serían iguales, pero esto no es posible, porque 45 no es divisible por 2, y nos saldría una solución decimal para las sumas.
Si Sₚ − Sᵢ = ±11, entonces una de las sumas valdría 28, y la otra 17.
Si Sₚ − Sᵢ = ±22, nos vuelve a salir una solución decimal.
Si Sₚ − Sᵢ = ±33, entonces una de las sumas valdría 39, y la otra 6. Esta opción tampoco es válida, porque si al menos estamos sumando cuatro de los números en la suma de las cifras de lugar par, no puede salir sólo 6, tiene que salir como mínimo 10, ya que las cifras están entre los números del 1 al 9.
La única opción, por tanto, es la segunda. Vamos a tratar de construir el número, distribuyendo las cifras entre los lugares par en impar.
⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚
Para que el número sea lo más grande posible, elegimos como primera cifra el 9 para los impares, y la segunda el 8 para los pares:
9 8 ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚
Teniendo en cuenta estas elecciones, entonces los cinco números en lugar impar deben sumar 28, y los cuatro números en lugar par deben sumar 17 (ya que cinco números en lugar impar que sumen 17, no puede estar entre ellos el 9, pues entonces los otros cuatro sumarían 8, y la suma mínima de cuatro números es 10 como ya hemos comentado).
Añadimos dos cifras más, buscando el mayor resultado posible:
9 8 7 6 ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚
Ahora es fácil completar el número con las condiciones exigidas, porque ya solo queda una opción:
9 8 7 6 5 2 4 1 3
Si comprobamos 987652413 : 11 = 89786583, la división es exacta, y el número 987652413 es el número que buscábamos.
Nota: Este problema ha sido adaptado del libro Matemáticas recreativas, de Yakob Perelman.
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