El Triángulo de Sierpinski en pop-up

Cuaderno de bitácora: Hace años, cuando nuestro periplo nos llevaba por los matemares de Priego de Córdoba, aprendimos una construcción con papel y tijeras que queremos presentar aquí, para deleite de nuestros "numerosos" seguidores: el pop-up del Triángulo de Sierpinski.

(Entiéndase la palabra numerosos en sentido estricto matemático: hay un número de seguidores de nuestro blog, no importa si ese número es grande o pequeño, y menos importa en matemáticas, donde un número tan grande como un gúgol está tan cerca del infinito como el número uno.)

Recordamos en las siguientes imágenes qué es el triángulo de Sierpinski:

Tomamos un triángulo (en negro) y lo "agujereamos" quitando el triángulo central que conecta los puntos medios de los lados, obtenemos tres triángulos (negros) semejantes al primero, ahora volvemos a agujerear esos tres triángulos, y obtenemos nueve triángulos, volvemos a agujerearlos y así vamos iterando el proceso hasta el infinito.

El resultado es un fractal llamado Triángulo de Sierpinski.
[Imagen realizada por Beojan Stanislaus.]

Bien, si ya estamos provistos de un folio A4 y de unas tijeras, podemos empezar a construir nuestro pop-up o relieve en papel. También son muy útiles una regla, un lápiz y una goma. Sigamos la secuencia de fotografías para saber cómo se debe proceder.

Figura 1.
Se dobla el folio por la mitad. El rectángulo formado vamos a llamarlo escalera de 1 peldaño. Cortamos desde la mitad del doblez hasta la mitad del peldaño.

Figura 2.
Doblamos la parte de arriba, haciendo coincidir el borde del rectángulo pequeño con el borde izquierdo del folio.
Remarcamos el doblez.

Figura 3.
Desdoblamos e invertimos el doblez, introduciendo el rectángulo entre las dos caras del folio.
Con esto ya tenemos la escalera de 2 peldaños.

Figura 4.
Aquí tenemos una vista desde arriba de la escalera de 2 peldaños, formando ya una estructura tridimensional.

Figura 5.
Otra vista de la misma escalera, donde se aprecia el hueco formado por los dobleces interiores.

Figura 6.
En el siguiente paso cortamos cada uno de los dos peldaños por la mitad hasta el centro del rectángulo, tal como se indica en la imagen.

Figura 7.
Doblamos los rectángulos superiores a los cortes.

Figura 8.
Procedemos a invertir los dobleces, empujando los peldaños hacia el interior del papel, y obtenemos la escalera de 4 peldaños.

Figura 9.
Este es el resultado, en forma de pop-up tridimensional, de la escalera de 4 peldaños.

Figura 10.
Continuamos haciendo otra iteración o repetición del mismo proceso.

Figura 11.
Hacemos los dobleces formando los nuevos peldaños.

Figura 12.
Esta es la forma tridimensional en este tercer paso de la escalera de 8 peldaños. 

Figura 13.

Figura 14.
Conforme aumentan los peldaños, el número de dobleces también aumenta, de forma exponencial. Ya estamos en una escalera de 16 peldaños.

Figura 15.
La escalera de 16 peldaños. La forma tridimensional se va pareciendo cada vez más al triángulo de Sierpinski.

Figura 16.
Continuamos con la quinta iteración. 

Figura 17.
Hemos conseguido la escalera de 32 peldaños.
Invertir los dobleces de esta escalera es un trabajo meticuloso que lleva un buen rato de esfuerzo y paciencia.

Figura 18.
El resultado final.

Con un folio A4, el máximo objetivo es la escalera de 32 peldaños y el pop-up de la figura 18. Llegar hasta este paso requiere bastante paciencia. Suponemos que es posible hacer una escalera de 64 peldaños, pero imaginamos que ya es un trabajo para especialistas en miniaturas, en busca de batir récords, y no digamos de 128 peldaños. También se puede empezar por hojas más grandes, de tamaño A3, A2 o incluso más grandes.

Hay que tener en cuenta que el número de dobleces interiores que tenemos que realizar, se multiplica por 3 en cada paso. Para la primera escalera tuvimos que invertir 1 doblez, para la segunda 3, para la tercera 9, para la cuarta 27 y para la quinta 81. Si quisiéramos conseguir la escalera de 64 peldaños nos esperan nada más y nada menos que 243 inversiones de dobleces más.