Cuaderno de bitácora: en una entrada anterior hicimos la construcción en papel de la llamada Espiral de Fibonacci. Para ello utilizamos una hoja cuadriculada estándar, tamaño folio, donde hacer el dibujo de forma sencilla. También comentamos las propiedades de los rectángulos que habíamos ido dibujando con la espiral, y cómo se aproximaban en sus proporciones al rectángulo áureo.
Al igual que cada uno de los rectángulos que hemos dibujado es una aproximación cada vez más exacta del rectángulo áureo, la espiral que hemos dibujado es una aproximación de una espiral llamada Espiral Áurea. Vamos a tratar de entender cómo se construye la Espiral Áurea y qué diferencia tiene con la Espiral de Fibonacci.
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| Figura 1. Aquí tenemos la Espiral de Fibonacci dibujada, con el conjunto de cuadrados y rectángulos que se basan en los términos de la sucesión de Fibonacci. |
Al igual que cada uno de los rectángulos que hemos dibujado es una aproximación cada vez más exacta del rectángulo áureo, la espiral que hemos dibujado es una aproximación de una espiral llamada Espiral Áurea. Vamos a tratar de entender cómo se construye la Espiral Áurea y qué diferencia tiene con la Espiral de Fibonacci.
Hablemos ahora de un aspecto importante dentro de la Geometría de las Curvas, una parte de las matemáticas que se engloba dentro de la Geometría Diferencial. Centrémonos en curvas planas y veamos qué es eso de la curvatura de una curva plana.
Ilustremos este tema con un sencillo ejemplo: el famoso circuito de Fórmula 1 en Montecarlo.
El trazado del circuito de Montecarlo se puede asimilar a una línea curva cerrada. Si observamos la imagen, esa línea se curva más o menos según el punto donde nos encontremos. Hay puntos donde la curvatura es muy pronunciada: en el punto ⑥, por ejemplo, donde está el Grand Hotel Hairpin (hairpin = horquilla), en ese punto la fuerza centrífuga que experimentan los coches de Fórmula 1 es máxima, y tienen que frenar mucho si no se quieren salir del circuito. Otros puntos tienen una curvatura muy pequeña, como la curva ⑨, el Túnel; en él hay poca fuerza centrífuga, y los coches pueden acelerar hasta el máximo sin peligro de salirse del trazado. También hay tramos rectos, como el tramo entre el ⑪ y el ⑫; en ese tramo la curvatura es cero, y también es cero la fuerza centrífuga.
Es sencillo comprender que la curvatura mide lo doblada que está una curva en un punto; a mayor curvatura, la curva está más doblada y es más cerrada, y a menor curvatura la curva es más abierta. Si la curvatura es cero, entonces la curva es en realidad una línea recta.
También es sencillo entender que la curva plana más sencilla de todas es la circunferencia, y que en todos los puntos de la circunferencia la curvatura siempre es la misma. Además, la curvatura de una circunferencia se puede calcular numéricamente, como el inverso de su radio. Una circunferencia de radio igual a 2 tiene una curvatura igual a 1/2 = 0,5. Una circunferencia de radio 4 tiene una curvatura igual a 1/4 = 0,25. Una circunferencia muy pequeña de radio 0,1 tiene una curvatura igual a 1/0,1 = 10.
En una curva plana que no sea una circunferencia, podemos también medir la curvatura en cada punto. Basta encontrar en dicho punto el círculo osculador, (ósculo = beso) que para entendernos sería el círculo "que más se parece" a la curva en dicho punto. En ese caso, la curvatura de la curva sería la del círculo osculador en dicho punto. Aquí debemos advertir que no todo punto de una curva admite un círculo osculador, pues hay puntos donde la curva cambia bruscamente de curvatura, por ejemplo puntos que forman el vértice de un ángulo, y otros tipos de puntos que veremos más abajo.
En la figura siguiente, con la ayuda del programa Geogebra, hemos trazado aproximadamente los círculos osculadores de tres curvas del circuito de Montecarlo.
Se puede ver en amarillo el círculo osculador de la curva ⑥ Grand Hotel Hairpin, en azul celeste el círculo de la curva ④ en el Casino, y en verde claro el círculo de la curva ⑨ en el Túnel.
Gracias al trazado de estos círculos, podemos calcular (con el programa Geogebra) los radios y las curvaturas de los círculos osculadores. Tenemos en cuenta también la escala en que está trazado el gráfico, y para ello hemos hecho coincidir la escala del trazado con el eje de coordenadas cartesianas.
Curva ⑥ Grand Hotel Hairpin: radio ≅ 11 metros; curvatura ≅ 0,09.
Curva ④ Casino: radio ≅ 58 metros; curvatura ≅ 0,0173.
Curva ⑨ Túnel: radio ≅ 274 metros; curvatura ≅ 0,00365.
(El símbolo ≅ significa que los cálculos son aproximados.)
Con estos cálculos podemos comparar la curvatura de la curva ⑥ Grand Hotel Hairpin con la de la curva ⑨ Túnel, dividiendo ambas cantidades:
0,09 : 0,00365 ≅ 25
Es decir, la curva del Grand Hotel Hairpin tiene una curvatura aproximada 25 veces superior a la del tramo del Túnel, según las mediciones que hemos hecho sobre el gráfico del circuito de Montecarlo, y este dato ya no depende de la escala que tomemos, tan sólo de lo exactos que sean el gráfico y los trazados de nuestros círculos.
Apliquemos lo que hemos aprendido sobre curvaturas a la Espiral de Fibonacci. En el caso de la Espiral, calcular su curvatura en cada punto es extremadamente sencillo, pues la Espiral está formada por arcos de circunferencia, cada uno abarcando un ángulo de 90º, inscritos en cuadrados. Precisamente, el radio de cada arco de circunferencia coincide con el lado del cuadrado donde está inscrito. Así, las curvaturas serán:
-En los dos cuadrados de lado 1, la curvatura de la Espiral es de 1/1 = 1.
-En el cuadrado de lado 2, la curvatura de la Espiral es de 1/2.
-En el cuadrado de lado 3, la curvatura de la Espiral es de 1/3.
etc.
La curvatura de la Espiral en cada arco de 90º va tomando los siguientes valores: 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/13, 1/21, 1/34..., los inversos de la sucesión de Fibonacci.
Veamos un detalle muy importante: la curvatura varía conforme avanzamos por la espiral. En una circunferencia, la curvatura es constante. En una espiral, la curvatura va disminuyendo si nos desplazamos hacia afuera, y aumenta si nos desplazamos hacia dentro, hacia el origen de la espiral. Para entender esto mejor, podemos imaginarnos dentro de un coche en un circuito de fórmula 1: si el circuito es una circunferencia perfecta, podemos desplazarnos por él colocando el volante en una posición fija, y siempre sentiremos la misma fuerza centrífuga. Si el circuito es una espiral y nos desplazamos hacia afuera, alejándonos del origen, tendremos que ir modificando la posición del volante, poniéndola cada vez más recta, y notaremos cómo va disminuyendo la fuerza centrífuga, y sucederá lo contrario si nos desplazamos hacia dentro, hacia el origen de la espiral.
Aunque el comportamiento de la curvatura es similar en todos los tipos de espirales, en la Espiral de Fibonacci, la curvatura disminuye o aumenta de forma discontinua, a saltos: cuando pasamos de un arco al siguiente, hay un salto brusco de la curvatura, y si nos desplazáramos en un coche por un circuito en forma de Espiral de Fibonacci, notaríamos cambios bruscos en la fuerza centrífuga y en la dirección del volante en cada cambio de tramo.
Continuaremos con este tema en una próxima entrada, donde estudiaremos la Espiral Áurea.
Ilustremos este tema con un sencillo ejemplo: el famoso circuito de Fórmula 1 en Montecarlo.
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| Figura 2. En esta imagen vemos el trazado del circuito de Montecarlo, con cada una de las curvas numeradas. El autor de la imagen es Will Pittenger. Ver créditos abajo. |
El trazado del circuito de Montecarlo se puede asimilar a una línea curva cerrada. Si observamos la imagen, esa línea se curva más o menos según el punto donde nos encontremos. Hay puntos donde la curvatura es muy pronunciada: en el punto ⑥, por ejemplo, donde está el Grand Hotel Hairpin (hairpin = horquilla), en ese punto la fuerza centrífuga que experimentan los coches de Fórmula 1 es máxima, y tienen que frenar mucho si no se quieren salir del circuito. Otros puntos tienen una curvatura muy pequeña, como la curva ⑨, el Túnel; en él hay poca fuerza centrífuga, y los coches pueden acelerar hasta el máximo sin peligro de salirse del trazado. También hay tramos rectos, como el tramo entre el ⑪ y el ⑫; en ese tramo la curvatura es cero, y también es cero la fuerza centrífuga.
Es sencillo comprender que la curvatura mide lo doblada que está una curva en un punto; a mayor curvatura, la curva está más doblada y es más cerrada, y a menor curvatura la curva es más abierta. Si la curvatura es cero, entonces la curva es en realidad una línea recta.
También es sencillo entender que la curva plana más sencilla de todas es la circunferencia, y que en todos los puntos de la circunferencia la curvatura siempre es la misma. Además, la curvatura de una circunferencia se puede calcular numéricamente, como el inverso de su radio. Una circunferencia de radio igual a 2 tiene una curvatura igual a 1/2 = 0,5. Una circunferencia de radio 4 tiene una curvatura igual a 1/4 = 0,25. Una circunferencia muy pequeña de radio 0,1 tiene una curvatura igual a 1/0,1 = 10.
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| Figura 3. Aquí vemos varios ejemplos de circunferencias de diferentes tamaños, con sus radios y sus curvaturas respectivas. |
En una curva plana que no sea una circunferencia, podemos también medir la curvatura en cada punto. Basta encontrar en dicho punto el círculo osculador, (ósculo = beso) que para entendernos sería el círculo "que más se parece" a la curva en dicho punto. En ese caso, la curvatura de la curva sería la del círculo osculador en dicho punto. Aquí debemos advertir que no todo punto de una curva admite un círculo osculador, pues hay puntos donde la curva cambia bruscamente de curvatura, por ejemplo puntos que forman el vértice de un ángulo, y otros tipos de puntos que veremos más abajo.
En la figura siguiente, con la ayuda del programa Geogebra, hemos trazado aproximadamente los círculos osculadores de tres curvas del circuito de Montecarlo.
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| Figura 4. |
Se puede ver en amarillo el círculo osculador de la curva ⑥ Grand Hotel Hairpin, en azul celeste el círculo de la curva ④ en el Casino, y en verde claro el círculo de la curva ⑨ en el Túnel.
Gracias al trazado de estos círculos, podemos calcular (con el programa Geogebra) los radios y las curvaturas de los círculos osculadores. Tenemos en cuenta también la escala en que está trazado el gráfico, y para ello hemos hecho coincidir la escala del trazado con el eje de coordenadas cartesianas.
Curva ⑥ Grand Hotel Hairpin: radio ≅ 11 metros; curvatura ≅ 0,09.
Curva ④ Casino: radio ≅ 58 metros; curvatura ≅ 0,0173.
Curva ⑨ Túnel: radio ≅ 274 metros; curvatura ≅ 0,00365.
(El símbolo ≅ significa que los cálculos son aproximados.)
Con estos cálculos podemos comparar la curvatura de la curva ⑥ Grand Hotel Hairpin con la de la curva ⑨ Túnel, dividiendo ambas cantidades:
0,09 : 0,00365 ≅ 25
Es decir, la curva del Grand Hotel Hairpin tiene una curvatura aproximada 25 veces superior a la del tramo del Túnel, según las mediciones que hemos hecho sobre el gráfico del circuito de Montecarlo, y este dato ya no depende de la escala que tomemos, tan sólo de lo exactos que sean el gráfico y los trazados de nuestros círculos.
Apliquemos lo que hemos aprendido sobre curvaturas a la Espiral de Fibonacci. En el caso de la Espiral, calcular su curvatura en cada punto es extremadamente sencillo, pues la Espiral está formada por arcos de circunferencia, cada uno abarcando un ángulo de 90º, inscritos en cuadrados. Precisamente, el radio de cada arco de circunferencia coincide con el lado del cuadrado donde está inscrito. Así, las curvaturas serán:
-En los dos cuadrados de lado 1, la curvatura de la Espiral es de 1/1 = 1.
-En el cuadrado de lado 2, la curvatura de la Espiral es de 1/2.
-En el cuadrado de lado 3, la curvatura de la Espiral es de 1/3.
etc.
La curvatura de la Espiral en cada arco de 90º va tomando los siguientes valores: 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/13, 1/21, 1/34..., los inversos de la sucesión de Fibonacci.
Veamos un detalle muy importante: la curvatura varía conforme avanzamos por la espiral. En una circunferencia, la curvatura es constante. En una espiral, la curvatura va disminuyendo si nos desplazamos hacia afuera, y aumenta si nos desplazamos hacia dentro, hacia el origen de la espiral. Para entender esto mejor, podemos imaginarnos dentro de un coche en un circuito de fórmula 1: si el circuito es una circunferencia perfecta, podemos desplazarnos por él colocando el volante en una posición fija, y siempre sentiremos la misma fuerza centrífuga. Si el circuito es una espiral y nos desplazamos hacia afuera, alejándonos del origen, tendremos que ir modificando la posición del volante, poniéndola cada vez más recta, y notaremos cómo va disminuyendo la fuerza centrífuga, y sucederá lo contrario si nos desplazamos hacia dentro, hacia el origen de la espiral.
Aunque el comportamiento de la curvatura es similar en todos los tipos de espirales, en la Espiral de Fibonacci, la curvatura disminuye o aumenta de forma discontinua, a saltos: cuando pasamos de un arco al siguiente, hay un salto brusco de la curvatura, y si nos desplazáramos en un coche por un circuito en forma de Espiral de Fibonacci, notaríamos cambios bruscos en la fuerza centrífuga y en la dirección del volante en cada cambio de tramo.
Continuaremos con este tema en una próxima entrada, donde estudiaremos la Espiral Áurea.
Créditos de la imagen del circuito de Montecarlo:
By Will Pittenger (Own work) [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons
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