El Túnel de los Polígonos

Cuaderno de bitácora: investigando en el libro Mathematics and the Imagination, escrito por Edward Kasner y James Newman, hemos descubierto una construcción a la que podríamos llamar "el túnel de los polígonos".

La construcción es muy sencilla de entender: se comienza trazando un círculo, a continuación se traza un triángulo equilátero inscrito dentro de él, luego se inscribe otro círculo dentro del triángulo, después se inscribe un cuadrado dentro de este segundo círculo, a continuación se inscribe un pentágono regular dentro del tercer círculo... Y así sucesivamente, inscribiendo sucesivamente un círculo y dentro un polígono regular, de forma que en cada paso el polígono tiene un lado más que el polígono anterior.

Es evidente que esta construcción es infinita, ya que podemos continuarla con tantos polígonos como números naturales existen. Conforme avanzamos en la construcción, el "túnel" se va cerrando, los círculos se van empequeñeciendo, y puede parecer que en el infinito los círculos terminen por cerrarse en el centro. Sorprendentemente, esto no ocurre así, el "túnel" permanece abierto, y los círculos tienden a un círculo límite, de forma que el radio no tiende a cero, sino a una cantidad aproximadamente igual a 1/12 del radio del círculo inicial.

En la siguiente figura se dibujan los primeros pasos de la construcción y la circunferencia límite aproximada en el centro, trazada en línea discontinua.

Esta construcción se puede hacer en sentido inverso, es decir, hacia afuera: partimos de un círculo de radio definido y trazamos un triángulo equilátero, pero esta vez exterior, circunscrito al círculo inicial. Proseguimos trazando figuras exteriores o circunscritas: otro círculo, un cuadrado, un tercer círculo, un pentágono regular, un cuarto círculo, un hexágono regular, etc. La construcción va aumentando en tamaño, y podría parecer que los círculos trazados son cada vez más grandes con su radio tendiendo a infinito, pero no es así, aunque aumentan, sus radios tienden a un límite, que es aproximadamente igual a 12 veces el radio del círculo inicial.

A continuación vemos la figura de los primeros pasos de la construcción y en el exterior el círculo límite que no llega a superarse.

En el libro de Kasner y Newman no viene la demostración de este resultado, y supongo que debe ser una demostración difícil. Pero eso ya lo dejamos, como se suele decir, para los muy cafeteros...

Nota: los gráficos han sido trazados con el programa Geogebra.

Espiral de triángulos rectángulos

Hoy vamos a presentar una construcción geométrica que ha surgido cuando explicábamos a los grumetes la semejanza entre triángulos y más concretamente la de los triángulos rectángulos.

Empecemos trazando un triángulo rectángulo, por ejemplo uno de los más conocidos, el que tiene como medidas de los catetos y la hipotenusa 3, 4 y 5 unidades respectivamente, en la figura es el triángulo AOB. Recordemos que 3, 4, 5, es una terna pitagórica, pues son números enteros que cumplen que 3² + 4² = 5².

A continuación dibujamos otro triángulo rectángulo que va a ser semejante al primero. Para ello tomamos una perpendicular a la hipotenusa AB, y extendemos hasta cortar a la recta AO en el punto C.

El segundo triángulo BOC es semejante al primero, ya que el ángulo OBC es igual al ángulo OAB. Recordemos que para que dos triángulos rectángulos sean semejantes basta comprobar la igualdad de los ángulos agudos de ambos triángulos.

Como el segundo triángulo es semejante al primero, los lados correspondientes son proporcionales. La razón de proporción en este caso es muy fácil de calcular, comparando los catetos pequeños de ambos triángulos: 4/3. De aquí, las medidas, en el segundo triángulo rectángulo, de los catetos y la hipotenusa son 4, 16/3, 20/3, respectivamente.

Podemos continuar con el proceso y trazar un tercer triángulo rectángulo, semejante a los dos primeros. Para ello tomamos una perpendicular a BC y cortamos con la recta BO en el punto D. La razón de semejanza del tercer triángulo respecto al segundo sigue siendo 4/3, y los catetos y la hipotenusa de este tercer triángulo son, respectivamente, 16/3, 64/9 y 80/9.

Para completar nuestro ejemplo, vamos a dibujar un cuarto triángulo siguiendo el mismo proceso en espiral, tomando una perpendicular a CD que corte a OA en E, y construyendo el triángulo DOE. La razón de semejanza con el tercer triángulo vuelve a ser 4/3, y los catetos y la hipotenusa son, respectivamente 64/9, 256/27 y 320/27.

Podemos continuar la espiral indefinidamente, trazando triángulos rectángulos cada vez más grandes (porque la razón de semejanza, 4/3, es mayor que la unidad) y obteniendo dos progresiones geométricas, la de los catetos y la de las hipotenusas, ambas de razón 4/3:

Progresión geométrica de los catetos: 3, 4, 16/3, 64/9, 256/27, 1024/81, ...

Progresión geométrica de las hipotenusas: 5, 20/3, 80/9, 320/27, 1280/81, ...

Es evidente que esta construcción se puede realizar con cualquier triángulo rectángulo. A continuación hacemos el proceso comenzando con el triángulo rectángulo de lados 1, 2, y √5.

En este caso, la razón de proporcionalidad es 2, las progresiones geométricas crecen más rápidamente y la espiral es más abierta que la del primer ejemplo.

 

Si comenzamos con un triángulo rectángulo en el que el segundo cateto sea menor que el primero, entonces la razón de proporcionalidad es menor que la unidad y por tanto los triángulos que van apareciendo son menores y la espiral se enrolla hacia el interior. Así sucede, por ejemplo, con el triángulo de catetos 6, 5, √61, con razón de proporcionalidad 5/6.

Si comenzamos con un triángulo rectángulo isósceles, como el que tiene de lados 1, 1, √2, entonces la razón de proporcionalidad vale 1, los triángulos sucesivos salen iguales, y la espiral no se ensancha ni se estrecha, sino que regresa a su punto de partida, cerrándose y formando un cuadrado.

AMPLIACIONES:

-Se pueden hacer espirales de triángulos semejantes no rectángulos. Si por ejemplo tomamos el ángulo que apunta al centro de la espiral con una medida de 72º, y luego vamos haciendo que los ángulos de brazos de la espiral siempre midan 108º, obtenemos una espiral que va siguiendo las particiones de un pentágono.

En la imagen partimos de un triángulo en el que los dos lados que flanquean al ángulo de 72º valen, respectivamente 3 y 4. El tercer lado ya sale decimal, 4'19. Los ángulos del triángulo son 72º, 65'1º y 42'9º. Los triángulos semejantes que se obtienen siguen la razón de semejanza 4/3.

Igualmente se pueden hacer espirales de triángulos semejantes partiendo de cualquier triángulo que tenga los ángulos que se quiera, aunque la estética del dibujo obtenido puede ser discutible.

-Interesante es el caso de las ternas pitagóricas, los triángulos rectángulos en los que los catetos y la hipotenusa son números enteros. Como hemos visto en el ejemplo 3, 4, 5, el primer triángulo de la sucesión si tiene una terna pitagórica, pero a partir del segundo triángulo van apareciendo números fraccionarios. Esto es así porque la razón de semejanza, 4/3 en el ejemplo, es un número fraccionario. Se puede comprobar que esto es una regla general: si comenzamos con una terna pitagórica, la razón de proporcionalidad siempre es una fracción, y viceversa, si la razón de proporcionalidad es un número entero, entonces el triángulo rectángulo de partida no presenta una terna pitagórica.

Nota: todos los gráficos se han hecho con Geogebra.

La nota mínima para aprobar

Cuando llega junio el profesor de matemáticas tiene que hacer cálculos para asignar la nota correspondiente a cada alumno que ha tenido durante el curso.

Se trata de recopilar todas las calificaciones, sumar, restar, hacer porcentajes, hacer medias, etc.

Es evidente que al hacer todos estos cálculos, lo habitual es obtener un número decimal, que hay que redondear, pues la nota final se expresa como un número entero.

Si un alumno tiene de calificación un 6'8, entonces con el redondeo se le pondrá en la nota final un 7. Igualmente, si un alumno tiene de calificación un 9'1, entonces tendrá un 9.

¿Y si el decimal acaba en un 5? Entonces el criterio es redondear hacia arriba; por ejemplo, un 7'5 se redondea a un 8.

¿Y para aprobar? El criterio es que un alumno con una nota igual a superior a 4'5 aprueba con el redondeo, ya que 4'5 redondea a 5.

Pero si un alumno tiene varios decimales, ¿cómo aplicar el redondeo?

La mayoría de las situaciones son sencillas: si la calificación obtenida es, por ejemplo, 4'813 entonces el redondeo es a 4'8 y por tanto quedaría un 5.

Pero ¿y si tenemos por ejemplo un 4'47?

Hay dos opciones: la primera es decir que 4'47 es menor que 4'5 y por tanto el redondeo total sería a 4, luego el alumno quedaría suspenso.

La segunda opción sería redondear a la décima y decir que 4'47 redondea a 4'5 y en el redondeo final sería 5.

Como el profesor de matemáticas quiere ayudar al máximo a que sus alumnos aprueben, decide elegir esta segunda opción, y redondear de forma progresiva todos los decimales.

Así una calificación de 4'446 redondearía a 4'45, y de aquí a 4'5 y por último a 5.

Según esta regla de redondeo progresivo, ¿cuál es la calificación mínima para aprobar y cuál es la máxima en la que todavía no se llega al aprobado?

Dejemos al lector que piense un poco en el problema...

La respuesta es sencilla: con el redondeo progresivo, la nota máxima en la que el alumno no llega al aprobado sería el decimal infinito periódico 4'444444444...

Cualquier nota mayor que esta ya significa un aprobado, redondeando de forma progresiva:

Por ejemplo, si tenemos un 4'44445, este número redondea al 4'4445, y éste a su vez al 4'445, luego al 4'45, luego al 4'5 y finalmente al 5.

Sin embargo, curiosamente, no existe un número mínimo para aprobar: teniendo en cuenta los decimales infinitos, si nos dan un número en el que tenemos el aprobado, siempre podemos encontrar un número menor para el cual el redondeo también es aprobado.

Así, el 4'44445 es aprobado, pero podemos encontrar un número menor, por ejemplo el 4'444445, y luego otro menor, el 4'4444445, y así sucesivamente, y todos ellos redondean progresivamente al 5.

No obstante, el ínfimo de este conjunto de números: 4'5; 4'45; 4'445; 4'4445; ... es el número 4'44444444..., y este número es una nota de suspenso.

Hablando de forma más matemática, el conjunto de notas suspensas tiene un supremo, el 4'44444444... que pertenece al conjunto y al que se le llama máximo. Pero el conjunto de notas aprobadas tiene un ínfimo, el mismo número 4'444444444... que no pertenece al conjunto, pues es una nota suspensa, y por tanto el conjunto no tiene mínimo, porque a este número que no pertenece al conjunto no se le puede llamar mínimo.

Conclusión: la nota mínima para aprobar no existe.

[El Problema de la Semana] La servilleta y el bizcocho

En esta ocasión traemos un problema apetitoso:

Hemos cocinado un bizcocho rectangular, y sus medidas son de 30cm de largo por 10cm de ancho. Lo queremos cubrir con una servilleta cuadrada de papel que tiene 30 cm de diagonal, con lo cual quedan unos triángulos de bizcocho sin cubrir, como se ve en la figura. ¿Cuánto mide el área total de lo que queda sin cubrir? ¿Cuánto mide el área cubierta?

La solución después de la ilustración.

[En la ilustración vemos un conocido fractal tridimensional: la esponja de Menger, el cual se forma partiendo de un cubo, dividiéndolo en 3·3·3 = 27 cubos más pequeños, como el cubo de Rubik, y quitando el cubo central y los cubos que están al centro de cada cara, 7 cubos en total. Luego, con los 20 cubos restantes, se vuelve a repetir la operación, y así hasta el infinito.]

 

SOLUCIÓN:

A primera vista el problema puede parecer complicado, incluso para aplicar el teorema de Pitágoras. Sin embargo, cuando examinamos bien las superficies a calcular, nos damos cuenta que son cuatro pequeños triángulos rectángulos, en cada uno de los cuales el área se calcula de forma muy sencilla.

Área de uno de los triángulos = (base · altura) / 2 = (5 · 5) / 2 = 12.5 cm².

Área total sin cubrir (4 triángulos) = 12.5 · 4 = 50 cm².

También es muy fácil calcular el área cubierta por la servilleta:

Área total del bizcocho: base · altura = 30 · 10 = 300 cm²

Área cubierta: 300 - 50 = 250 cm².

 

AMPLIACIÓN:

Para los que se quedaron con las ganas de aplicar el teorema de Pitágoras, ahí va la siguiente pregunta: Con los mismos datos, si ponemos la servilleta con los lados paralelos a los lados del bizcocho, ¿qué área del bizcocho quedará sin cubrir? ¿Qué área quedará cubierta?

Sudoku de letras (34)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A   C   I   M   N   O   R   U   S

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: habitantes de cierta provincia española.

 

¡Cuidado con esta regla!

Cuaderno de bitácora: el otro día, como suele ocurrir de vez en cuando, abordaron nuestro Barco Escuela los representantes de un sindicato de oficiales. Además de informar de diversos temas, traían varios recuerdos de propaganda, entre los cuales venían unas reglas hechas de un material plástico.

Como quiera que para nosotros los matenavegantes las reglas son muy útiles, tomé varias, dispuesto a usarlas en mis clases con los grumetes. Sin embargo, una inquietud me vino de repente, y me pregunté si estas reglas estaban bien hechas, si coincidían plenamente con los patrones oficiales.

Mi primera sorpresa fue al comparar los 20 cm que mostraban con los de otra regla, y resultaron más cortos, más de medio centímetro. Fue después de esto cuando me llevé la segunda y más terrible sorpresa: al contar los centímetros, ¡faltaba el centímetro 11, había un salto del 10 al 12!

¡Cuidado con esta regla! Como puede verse en la imagen, falta el centímetro 11, y la escala pasa directamente del 10 al 12.

Además, si comparamos la regla con otra hecha correctamente con los patrones de medida, vemos que los centímetros son ligeramente más largos, pero al faltar el centímetro 11, los 20 centímetros acaban más de medio centímetro antes de lo que debía ser.

Esta es una regla inservible para su función, sin embargo es un motivo de inspiración para muchas reflexiones ácidas, sobre todo al compararla con el eslogan.

¿Los que están "orgullosos de ser docentes de la educación pública" presentan esta regla defectuosa e inútil para que la use quién?

¿La falta de centímetros se debe a los recortes?

¿Nadie se fijó en la regla antes de repartirla como propaganda? ¿O es que hoy se presta atención a otros detalles, olvidando los fundamentales?

Y un largo etcétera. 

Sudoku de letras (33)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A   B   C   E   I   N   O   R   S

 

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: persona que escribe muy bien.

 

 

Puzle de papiroflexia: Un marco para cada retrato

Cuaderno de bitácora: buscando nuevos retos de papiroflexia y construcciones en papel para los grumetes del Barco Escuela, hemos encontrado este puzle en uno de los libros del genial divulgador Martin Gardner. De él hemos hecho una actualización y adaptación.

En primer lugar debemos preparar un cuadrado de papel y lo dividimos en una cuadrícula 3×3. Dibujamos o imprimimos dos marcos y dos retratos, tal y como se aprecia en las ilustraciones:

Figura 1. Esta es la parte delantera de la hoja. Se ven los dos marcos a la izquierda, y la cara del gatito a la derecha. La zona gris dentro de los marcos hay que recortarla, de manera que nos queden dos ventanas.

Figura 2. Esta es la parte trasera de la hoja.

El juego consiste en doblar el papel siguiendo las líneas de puntos, de forma que quede totalmente plegado, y que por un lado se vea uno de los marcos sobre uno de los retratos, y por el otro lado el otro marco sobre el otro retrato.

Para ver todo el proceso, así como la solución, podemos consultar el vídeo siguiente:

https://youtu.be/N5LScXZ_GaA

Otra propiedad del folio A4

Cuaderno de bitácora: un día de esos de matenavegación se nos ocurrió una idea que ha tenido un resultado interesante y que nos ha permitido descubrir otra propiedad que tienen las proporciones de un folio A4. La idea surge del siguiente problema:

Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 1. Queremos inscribir un rectángulo dentro del cuadrado, de forma que el eje mayor del rectángulo (pasa por el centro y es paralelo a los lados más largos) coincida con una de las diagonales del cuadrado, y los cuatro vértices del rectángulo estén sobre los lados del cuadrado. Si el lado mayor del rectángulo también mide 1, ¿cuánto mide el lado menor?

La situación es como se ve en el gráfico.

 

El cuadrado es ABCD, de lado 1, el rectángulo IJKH está inscrito en el cuadrado, su eje mayor LM coincide con la diagonal del cuadrado AC. Si el lado mayor del rectángulo, HK, mide también 1, ¿cuánto mide el lado menor IH?

El lector puede intentar resolver el problema, que no es difícil. Nosotros lo resolvemos a continuación.

 

Primero nos fijamos en el triángulo HBK. Se trata de un triángulo isósceles rectángulo, cuya hipotenusa mide 1. Es muy sencillo calcular la longitud de los catetos HB y BK, pues ambos son iguales. Aplicamos el teorema de Pitágoras:

 

 

De aquí se deduce que

Como AIH es un triángulo rectángulo isósceles, AH = AI, entonces nuevamente aplicando el teorema de Pitágoras, en este caso podemos calcular la hipotenusa, IH = x.

 

 

Ya tenemos el valor de la x. Pues bien, si nos fijamos, resulta que juntos el cuadrado de lado 1 y el rectángulo de lados 1 y raíz de 2 menos 1 coinciden en las proporciones de un folio A4. (Véase La raíz cuadrada de 2 en un folio A4)

Proporciones en un folio A4 y en el formato DIN.

 

En conclusión, si tomamos un folio A4, y lo dividimos en un cuadrado y un rectángulo, este último se puede inscribir diagonalmente en el cuadrado. Sugiero al lector que tome un folio y haga la comprobación. A continuación incluimos algunas fotos con el proceso.

Tomamos un folio A4; recordemos que sus lados están en proporción √2:1.

Doblamos en diagonal, haciendo coincidir el lado menor sobre el lado mayor.

Cortamos o separamos el rectángulo sobrante.

Desdoblamos el cuadrado y doblamos el rectángulo por su eje mayor.

Si hacemos coincidir el eje mayor del rectángulo sobre la diagonal del cuadrado veremos que las esquinas del rectángulo coinciden perfectamente sobre los lados del cuadrado, sin quedarse cortas ni sobresalir. Esto solo ocurre cuando partimos de un rectángulo que, como el folio A4, tenga unas proporciones √2:1.

También se puede consultar esta misma construcción en el vídeo: https://youtu.be/x-HMCKHOIVs

Sudoku de letras (32)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A   C   E   I   L   O   R   T   V

 

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: magnitud que no es escalar.

Sudoku de letras (31)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A   B   E   H   I   L   O   P   R

 

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: una de las cónicas.

 

[El Problema de la Semana] Más Triángulos de un Solo Trazo

Continuando con el trazado de grafos sin levantar el lápiz del papel, proponemos al lector el siguiente:

¿Sería capaz el lector de dibujar de un solo trazo el siguiente grafo lleno de triángulos?

Más abajo encontrará la solución.

Esta fotografía está tomada en el Centro de Conferencias KAFD en Riyadh, Arabia Saudita. El autor del diseño es Daniel Buren, un artista conceptual francés. La imagen está sacada de este sitio.

SOLUCIÓN:

El recorrido se puede hacer de muchas formas. A continuación exponemos una de las posibles soluciones, la cual me fue sugerida por un grumete del Barco Escuela:

A-E-F-J-K-N-O-Q-R-O-K-F-A-B-F-G-K-L-O-P-L-G-B-C-G-H-L-M-H-C-D-H-I-D

También exponemos otra solución, con un recorrido un poco más complejo:

A-E-F-G-H-I-D-H-L-O-Q-R-O-K-F-A-B-C-G-K-N-O-P-L-G-B-F-J-K-L-M-H-C-D

 

AMPLIACIÓN:

Como se ha explicado en el problema de la semana anterior, Triángulos de un Solo Trazo, Euler demostró que un grafo era resoluble mediante un solo trazo siempre que el número de vértices impares fuera cero o dos, pero no es resoluble si el número de vértices impares es cuatro o más.

En nuestro ejemplo de hoy tenemos que todos los vértices son pares, salvo el A y el D. Luego este grafo es resoluble, siempre que tomemos A y D como puntos de inicio y final.

Nota: este problema está inspirado en uno de los capítulos del libro Mathematics and the Imagination, de Edward Kasner y James Newman.

Sudoku de letras (30)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A   B   E   L   M   O   P   R   S

 

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: el libro de matemáticas está lleno de ellos.

 

[El Problema de la Semana] Triángulos de un Solo Trazo

Presentamos hoy uno de los típicos problemas o pasatiempos en los que hay que conseguir trazar una figura de un solo trazo, es decir, en una sola línea, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por un mismo camino ya dibujado:

¿Es usted capaz de dibujar, de un solo trazo, la siguiente figura triangulada?

La solución, unos cuantos triángulos más abajo.

 

Buscando triángulos hemos encontrado esta caja de porciones de queso. Anuncia que lleva dentro "16 cheese triangles", (16 triángulos de queso), aunque estrictamente hablando, las porciones no son triangulares, porque uno de sus lados es curvo. Pero claro, anunciar que dentro de la caja hay "16 cheese circular sectors", (16 sectores circulares de queso), sería no solo confuso, sino matemáticamente pedante.

SOLUCIÓN:

En este grafo en particular podemos empezar a trazar por cualquiera de los puntos, y si hacemos el recorrido de forma inteligente lograremos nuestro objetivo.

Así, por ejemplo, podemos empezar por el vértice A, y luego hacer el siguiente recorrido:

A - C - D - B - G - I - J - H - E - C - F - I - H - F - D - G - F - E - A

Pasando en este orden por los diferentes vértices habremos resuelto el problema. Hay muchas otras soluciones que el lector puede ir probando.

AMPLIACIÓN:

Históricamente, el problema de dibujar grafos pasando por todas las aristas sin levantar el lápiz del papel tiene su origen en el Problema de los Puentes de Königsberg. Este problema fue resuelto por Leonhard Euler, y dio origen a una nueva rama de las matemáticas, la Topología, también llamada originalmente Analisis Situs.

La solución de Euler es muy sencilla de entender y se basa en clasificar los vértices del grafo en vértices pares o impares, según el número de aristas que convergen en cada vértice:

-Si un grafo solo tiene vértices pares, entonces se puede dibujar de un solo trazo, empezando por cualquier vértice.

-Si un grafo tiene dos vértices impares y el resto son pares, también se puede dibujar, pero esta vez hay que empezar el trazo en uno de los vértices impares, mientras que el otro vértice impar será el punto en el que finaliza el trazo.

-Si un grafo tiene cuatro o más vértices impares, entonces no se puede dibujar de un solo trazo.

En el grafo que hemos puesto en el problema de hoy, podemos ver que todos los vértices son pares: en A, B y J convergen 2 aristas, en C, D, E, G, H e I convergen 4 aristas, y en F convergen 6. Por tanto, se puede dibujar de un solo trazo, empezando por cualquier punto.

Nota: este problema está inspirado en un capítulo del libro Mathematics and the Imagination, de Edward Kasner y James Newman.

Newton and Leibniz - Newton y Leibniz

Newton and Leibniz

Sir Isaac Newton (1643-1727) was an English mathematician and scientist who is generally thought to be one of the greatest mathematicians of all time. He identified the principle of gravitation and the fact that it applied to all bodies throughout the Universe, establishing a formula to predict its effect in all circumstances. He formulated the three laws of motion and, by using a prism, established that white light was made up or a spectrum of colours. One of his greatest achievements was the invention of the calculus.

Gottfried von Leibniz (1646-1716) was a German mathematician who, independently of Newton, but about the same time, also invented the calculus. Though their methods were the same in principle, they differed widely in the notation they used. Controversy over which was the better dragged on for almost a century, but it is the Leibniz notation we use today.

Newton y Leibniz

Sir Isaac Newton (1643-1727) fue un matemático y científico inglés que generalmente se piensa que es uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Identificó el principio de gravitación y el hecho de que se aplicaba a todos los cuerpos del Universo, estableciendo una fórmula para predecir su efecto en todas las circunstancias. Formuló las tres leyes del movimiento y, con el uso de un prisma, estableció que la luz blanca estaba compuesta de un espectro de colores. Uno de sus grandes logros fue la invención del cálculo (*).

Gottfried von Leibniz (1646-1716) fue un matemático alemán, que independientemente de Newton, pero sobre la misma fecha, también inventó el cálculo. Aunque sus métodos eran en principio los mismos, se diferenciaban mucho en la notación que usaron. La controversia sobre cuál era la mejor, se mantuvo durante casi un siglo, pero es la notación de Leibniz la que usamos hoy.

(*) A la rama matemática desarrollada por Newton y Leibniz, en inglés se le ha dado el nombre de calculus, pero en español la palabra cálculo tiene la acepción general de "cómputo que se hace de algo por medio de operaciones matemáticas". Por tanto, una traducción más específica de calculus sería cálculo infinitesimal, y también análisis matemático.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído y adaptado del libro Oxford Study Mathematics Dictionary.

[El Problema de la Semana] El Espía de la Trinchera de Color Ocre

Cuaderno de bitácora: hoy transcribimos un problema de lógica, ambientado en la época de los espías:

EL ESPÍA DE LA TRINCHERA DE COLOR OCRE

Un misterio en doce puntos

por SUSAN ZIVICH

1. Cuatro espías con trinchera se habían acomodado en asientos encarados.

2. Viajaban en el exprés de Pekín.

3. Dos iban junto a la ventanilla, y los otros dos al lado del pasillo.

4. La colocación resultaba un tanto extraña (como sin duda pensó el lector).

5. El espía inglés estaba sentado a la izquierda del señor B.

6. El señor A llevaba una trinchera beige.

7. El espía con trinchera de color oliva se hallaba a la derecha del espía alemán.

8. El señor C era el único que fumaba un puro.

9. El señor D estaba en frente del espía norteamericano.

10. El ruso, vestido de caqui, llevaba una bufanda al cuello.

11. El espía inglés miraba por la ventanilla, a su izquierda.

12. ¿Quién era el espía de la trinchera de color ocre?

La solución: en la página 144 y más abajo.

 

Este problema ha sido extraído de un número de la revista Selecciones del Reader's Digest, concretamente del publicado en octubre de 1979 en España. El mismo problema, aunque con el texto de la edición de Ecuador, también ha sido publicado en el blog Momento Digital. La palabra trinchera apenas se utiliza hoy en la acepción en la que la vemos en este problema. Si miramos la acepción 3 del Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, trinchera es una "gabardina de aspecto militar".

SOLUCIÓN:

Necesitamos hacernos un esquema con los asientos, la ventanilla y el pasillo. El problema ya traía un dibujo que parece facilitar la situación.

El problema tiene algunos puntos que no aportan información relevante y tan solo sirven para ambientarlo. Por ejemplo, en el punto 2 se dice que viajaban en el exprés de Pekín, pero igualmente podría ser un tren que lleva a Moscú, o a Estocolmo, pues eso no aporta información al problema. El punto 8 habla del señor C que fumaba un puro, pero igualmente podría estar bebiendo una limonada, lo único que es útil es saber que hay un señor C.

Teniendo en cuenta esto, vamos a ir extrayendo la información de los diferentes puntos.

Por el punto 11, sabemos que el espía inglés está en el asiento V2.

Por el punto 5, sabemos que el señor B está en el asiento P2.

En el punto 7 se nos habla de que  "el espía con trinchera de color oliva se hallaba a la derecha del espía alemán", esto significa que el espía alemán debe estar en el asiento V2 o en el P1, pero el V2 está ocupado por el espía inglés. Por tanto el espía alemán está en P1, y el espía con trinchera de color oliva está en V1.

Por el punto 10, el ruso, vestido de caqui y con una bufanda al cuello (esto último es un dato irrelevante), tiene que encontrarse en P2, y es el señor B.

Por el punto 9, el espía norteamericano debe estar en V1 y tiene trinchera de color oliva. El espía inglés, por tanto, es el señor D.

Por el punto 6, el señor A, que leva una trinchera beige tiene que ser el espía alemán del asiento P1, ya que no puede ser el norteamericano, pues este lleva una trinchera de color oliva.

Ya tenemos que: el ruso viste de color caqui, el alemán viste de color beige y el norteamericano viste de color oliva.

Por eliminación, el espía de la trinchera de color ocre es el inglés.

 

Nota: como ya se ha indicado, este problema ha sido extraído de la revista Selecciones del Reader's Digest, concretamente del número de octubre de 1979, edición española.

The Platonic solids - Los sólidos platónicos

The Platonic solids

Plato (427-347 BC) identified five polyhedral solids with all faces the same. He associated these with the basic elements which he believed made up the physical world. These Platonic solids are the triangular pyramid (tetrahedron), cube (hexahedron), octahedron, dodecahedron and icosahedron. Plato claimed that earth was made of cubic particles, fire of pyramids, air of octahedrons and water of icosahedrons. He claimed, '… the gods used the dodecahedron for arranging the constellations on the whole heaven'.

In his Elements, Euclid gives a thorough account of the Platonic solids and repeats Plato's assertion that there are only five regular solids.

Los sólidos platónicos

Platón (427-347 a.C.) identificó cinco sólidos poliédricos con todas las caras iguales. Los asoció con los elementos básicos que creía que formaban el mundo físico. Estos sólidos platónicos son la pirámide triangular (tetraedro), el cubo (hexaedro), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Platón afirmaba que la tierra estaba hecha de partículas cúbicas, el fuego de pirámides, el aire de octaedros y el agua de icosaedros. Él aseguraba que "... los dioses usaron el dodecaedro para ordenar las constelaciones en todo el cielo".

En sus Elementos, Euclides da una detallada descripción de los sólidos platónicos y repite la afirmación de Platón de que solo hay cinco sólidos regulares.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro: The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

[El Problema de la Semana] Velocidad de crecimiento

Todavía es primavera:

¿A qué velocidad en kilómetros por hora crece una planta que en seis meses ha pasado de tener 20 centímetros de altura a tener 30?

La solución, 30 centímetros más abajo.

El problema de hoy nos ha recordado una cuestión similar que aparece en el libro El Hombre Anumérico, de John Allen Paulos. Más abajo, en la ampliación, citamos el texto donde se menciona. La imagen está tomada de la web librosdemario.com.

SOLUCIÓN:

Se trata de un ejercicio de cambio de unidades.

La velocidad es igual a espacio partido por tiempo. Primero tenemos el espacio:

30 − 20 = 10 centímetros

Lo pasamos a kilómetros:

10 centímetros = 10/100 = 0.1 metros

0.1 metros = 0.1/1000 = 0.0001 kilómetros

Luego tenemos el tiempo:

6 meses = 6 · 30 = 180 días = 180 · 24 = 4320 horas.

Ya podemos calcular la velocidad en kilómetros por hora que nos pide el problema:

velocidad = 0.0001/4320 = 0.000000023148 km/h aproximadamente.

Si ponemos la solución en notación científica, tendríamos: 2.3148 × 10⁻⁸ km/h.

AMPLIACIÓN:

Como ya mencionamos en la imagen, este problema es similar a una cuestión que se plantea en el libro El Hombre Anumérico, de John Allen Paulos. Citamos el texto en concreto:

"Siempre me sorprende y me deprime encontrar estudiantes que no tienen la menor idea de cuál es la población de los Estados Unidos, de la distancia aproximada entre las costas Este y Oeste, ni de qué porcentaje aproximado de la humanidad representan los chinos. A veces les pongo como ejercicio que calculen a qué velocidad crece el cabello humano en kilómetros por hora, cuántas personas mueren aproximadamente cada día en todo el mundo, o cuántos cigarrillos se fuman anualmente en el país. Y a pesar de que al principio muestran cierta desgana (un estudiante respondió, simplemente, que el cabello no crece en kilómetros por hora), en muchos casos su intuición numérica acaba mejorando espectacularmente."

Luego continúa más adelante:

"En notación científica, las respuestas a las preguntas que planteé al principio son las siguientes: el cabello humano crece aproximadamente a razón de 1,6 × 10⁻⁸ kilómetros por hora; cada día mueren en la tierra unas 2,5 × 10⁵ personas y cada año se fuman aproximadamente 5 × 10¹¹ cigarrillos en los Estados Unidos. Las expresiones de estos números en notación común son: 0,000000016 kilómetros por hora, 250.000 personas y 500.000.000.000 cigarrillos."

Si nos fijamos en la velocidad a la que crece el cabello humano, se parece bastante a la de la hierba de nuestro problema. Concretamente la hierba crece un poco más rápido. ¿Será que con fertilizante para plantas el cabello puede crecer más rápido?

Nota: este problema ha sido extraído del libro Matemágicas, de Ignacio Soret Los Santos.

The Nine Chapters - Los Nueve Capítulos

The Nine Chapters

The earliest Chinese mathematical text, The Nine Chapters on the Mathematical Art, was first produced in the 1st century BC. Many commentaries were written over the ensuing centuries, the best of which was by Liu Hui in AD 263. The text demonstrates Pythagoras’ theorem (derived independently) and shows how to calculate such distances as the height of a tower seen from a hill, the breadth of an estuary, the height or a pagoda and the depth or a ravine. It also deals with finding areas and volumes of figures such as trapezoids, circles, segments of circles, cylinders, pyramids and spheres.

Los Nueve Capítulos

El texto matemático chino más antiguo, Los Nueve Capítulos del Arte Matemático, apareció por primera vez en el siglo I a.C. Se escribieron muchos comentarios a lo largo de los siglos siguientes, el mejor de los cuales fue de Liu Hui en 263 d.C. El texto demuestra el teorema de Pitágoras (deducido de forma independiente) y enseña como calcular distancias tales como la altura de una torre vista desde una colina, la anchura de un estuario, la altura de una pagoda y la profundidad de un barranco. También trata del cálculo de áreas y volúmenes de figuras como trapezoides, círculos, segmentos de círculos, cilindros, pirámides y esferas.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

[El Problema de la Semana] El cuadrado y el cubo

Creo que hoy nos encontramos con el problema de enunciado más corto de todos los que hemos publicado.

Encuentra un cuadrado que al sumarle dos se convierte en un cubo.

La solución es igualmente corta y aparece más abajo.

La imagen está sacada de la web de zazzle.

SOLUCIÓN:

En el problema de hoy la solución aparece de forma muy sencilla: basta ir probando con los cuadrados perfectos, sumar dos y ver si el resultado es un cubo perfecto.

Los cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25, 36...

1 + 2 = 3

4 + 2 = 6

9 + 2 = 11

16 + 2 = 18

25 + 2 = 27

Ya hemos encontrado la respuesta: 25 es el cuadrado de 5; si le sumamos 2 nos sale 27, que es el cubo de 3.

AMPLIACIÓN:

Nadie garantiza que haciendo lo que hemos hecho podamos encontrar la solución. El problema está pensado de antemano para que la solución sea fácil de encontrar.

Supongamos que se nos ocurre modificar el enunciado ligeramente: "encuentra un cuadrado que al sumarle tres se convierte en un cubo". He estado probando con bastantes números y no veo ninguna solución, ni parece que pueda aparecer pronto.

Sin embargo, si ponemos "encuentra un cuadrado que al sumarle cuatro se convierte en un cubo", entonces salen dos soluciones sin pensarlo demasiado: 4 que al sumarle cuatro sale 8, y 121, que al sumarle cuatro sale 125.

 
Nota: este problema ha sido adaptado del libro: Matemágicas, de Ignacio Soret Los Santos.