[El Problema de la Semana] Almuerzo en el club VM

Veamos este problema, sugerido por Werner Joho, un físico de Zurich, y recogido por Martin Gardner:

Cada uno de los socios del Club VM es, o bien veraz, y dirá siempre la verdad, o bien mentiroso y siempre responderá con una mentira. En mi primera visita al club encontré a todos sus miembros, exclusivamente hombres, sentados en torno a una gran mesa circular, almorzando. No había forma de distinguir a veraces de mentirosos por su aspecto externo, así que fui preguntándoles por turno si eran una u otra cosa. De nada me sirvió, pues como era de esperar todos aseguraron ser veraces. Volví a probar, esta vez preguntando a cada uno si su vecino de la izquierda era veraz o mentiroso. Para sorpresa mía, todos contestaron que el hombre sentado a su izquierda era mentiroso.

Más tarde, de vuelta a casa, al pasar a limpio mis notas sobre el almuerzo descubrí que había olvidado apuntar el número de personas sentadas a la mesa. Telefoneé entonces al presidente del club, quien me informó que eran 37. Después de colgar me di cuenta de que no podía confiar en esta cifra, porque no sabía si el presidente era veraz o mentiroso. Decidí entonces telefonear al secretario del club.

"No, no", me contestó el secretario, "por desgracia nuestro presidente es un mentiroso empedernido. La verdad es que estábamos cuarenta comensales."

¿A cuál de estos dos hombres debería yo creer?

La solución, como siempre, más abajo de la imagen.

Hemos estado buscando mesas circulares lo suficientemente grandes para que se sienten todos los miembros del Club VM, y son muy difíciles de encontrar. En la mesa de la imagen no caben todos, tan solo un 25%. Nos ha llamado la atención la forma de las lámparas, poliedros formados por caras cuadradas, rectangulares y triangulares. La fotografía está tomada de esta página.

SOLUCIÓN:

Tomamos cualquier socio sentado a la mesa del almuerzo.

Si es veraz, entonces está diciendo la verdad al decir que el hombre que se sienta a su izquierda es mentiroso. Por tanto, a la izquierda de cada socio veraz hay un socio mentiroso.

Si es mentiroso, entonces está mintiendo al decir que el hombre que se sienta a su izquierda es mentiroso. Por tanto, a la izquierda de cada socio mentiroso hay un socio veraz.

Entonces tenemos que necesariamente, los socios veraces y los mentirosos están alternados a lo largo de toda la mesa. Tomando de partida un socio y yendo siempre hacia su izquierda, si el socio es veraz, el siguiente sería mentiroso, el siguiente veraz, el siguiente mentiroso y así sucesivamente. Si damos toda la vuelta completa y regresamos al punto de partida, a la derecha del socio veraz también habría un mentiroso.

Esta configuración alternada sólo es posible si en la mesa hay un número par de socios. Si el número fuera impar, al dar toda la vuelta alternando veraces con mentirosos nos encontraríamos que al final coincidirían dos veraces juntos o dos mentirosos juntos, y esto no puede ser.

Según esto, cuando el presidente nos dice que hay 37 miembros en el club, está mintiendo, pues no puede haber un número impar de miembros. Por tanto el presidente es uno de los mentirosos.

Cuando el secretario dice que el presidente es mentiroso, está diciendo la verdad, por tanto es un socio veraz, y podemos confiar en su palabra: el club tiene 40 miembros.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Festival Mágico-Matemático, de Martin Gardner, editado por Alianza Editorial.