[El Problema de la Semana] El jardín para pasear

Un problema para relajarse:

En un jardín rectangular de 74 m de largo y 53 de ancho, hay dos paseos de cemento, perpendiculares y de 2 m de ancho.

¿Cuánto mide la superficie cultivable del jardín?

Veamos una bucólica ilustración y luego encontremos la solución.

En la página tredhunter.com hemos encontrado esta caseta de jardín. Por lo que se puede observar en la foto, su forma es la de un poliedro con cinco caras cuadradas (incluyendo la base o suelo de la caseta) y ocho triangulares, seis triángulos equiláteros y dos rectángulos isósceles. Las ventanas son también triángulos equiláteros en su mayoría, aunque hay alguna ventana cuadrada (pero puesta en forma de rombo). Tiene una hechura abombada que debe dar una sensación de amplitud, una vez se entra en ella.

SOLUCIÓN:

El enunciado del problema deja abiertas varias preguntas. Nosotros haremos suposiciones lógicas sin las cuales el problema no tendría sentido.

La primera cosa que hay que completar en el enunciado es que los paseos son rectilíneos y atraviesan todo el jardín. Que son rectilíneos nos lo indica el afirmar que son perpendiculares, y si no atravesaran todo el jardín, entonces no sabríamos qué longitud tienen, pues habría infinitas posibilidades.

Una vez hechas estas dos primeras suposiciones, podemos entender también que los paseos son respectivamente paralelos a los lados del rectángulo. Sin embargo esto no tiene por qué ser cierto, y de hecho, si los paseos son paralelos a los lados del rectángulo, el problema es muy sencillo de resolver, pero si no lo son, entonces la situación se complica sobremanera.

Resumiendo: tenemos un jardín rectangular de 74 por 53 metros, cruzado por dos paseos rectilíneos perpendiculares de cemento, de 2 metros de ancho cada uno y paralelos respectivamente a los lados del rectángulo.

La superficie de todo el jardín es: 74 · 53 = 3922 metros cuadrados.

La superficie de cemento del paseo largo es 74 · 2 = 148 metros cuadrados.

La superficie de cemento del paseo corto es 53 · 2 = 106 metros cuadrados.

Al jardín hay que quitarle las superficies de cemento de los dos paseos. Sin embargo el cuadradito de 2 por 2 = 4 metros cuadrados donde se cruzan las dos superficies no hay que quitarlo dos veces. La operación correcta sería:

3922 - 148 - 106 + 4 = 3672 metros cuadrados de superficie cultivable.

Ampliación: Uno podría pensar que aunque los paseos no sean paralelos a los lados de los rectángulos el resultado es el mismo, pero no es así. Hay que tener en cuenta que si los paseos no son paralelos a los lados, sino oblicuos, la distancia que cruzan sobre el jardín es más larga, y por tanto hay más superficie de cemento y menos superficie cultivable. Los resultados van a depender de lo oblicuos que sean los paseos, y de dónde se sitúe el cruce de los mismos, pero parece claro que cuando los paseos son paralelos a los lados del jardín, y no oblicuos, tienen una longitud mínima, y por tanto ocupan menos superficie. Por consiguiente el área cultivable de 3672 metros cuadrados es la máxima posible. Es posible calcular una cota para los resultados cuando los paseos son oblicuos, y probablemente esa cota se alcance cuando los paseos formen un ángulo de 45º con los lados del jardín. Hemos hecho los cálculos y esta cota sería de 3626.19 metros cuadrados aproximadamente.

Si hacemos una representación de la situación con el programa Geogebra, podemos comprobar cómo varía cuantitativamente la solución cambiando la orientación de los paseos respecto al jardín.

 

Hemos dibujado con el programa GeoGebra el jardín con sus medidas exactas y colocado los dos paseos de cemento, que nos dividen el jardín en cuatro rectángulos. Si sumamos las áreas de los cuatro rectángulos obtenemos 3672 metros cuadrados.

En este gráfico se muestra un ejemplo de cómo quedaría el jardín con paseos no paralelos a los lados del rectángulo. En este caso concreto son paseos formando ángulos de 45º con los lados del jardín. Se comprueba empíricamente, sumando las áreas cultivables, que la superficie del jardín ha disminuido, concretamente la suma da 3626.19 metros cuadrados.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.