[El Problema de la Semana] Los compañeros del primo

Hoy tenemos lo siguiente:

Probar que si un número es primo, exceptuando el 2 y el 3, entonces el anterior o el siguiente es un múltiplo de 6.

El razonamiento completo, después de la imagen ilustrativa.

En esta ilustración, obtenida de la web UM Científica, podemos ver una representación de la Espiral de Ulam. Se trata de colocar los números naturales, empezando por el 1, en forma espiral, y luego se van señalando los números primos. En la imagen, la bola clara a la derecha del centro representa al 1, luego encima de ella, otra bola clara que representa el 2, luego la espiral sigue hacia la izquierda con el 3 (bola clara), el 4 (bola roja), luego hacia abajo el 5 (bola clara) y así sucesivamente. Los números primos están señalados con bolas claras, los compuestos con bolas rojas. (El número 1 se considera no primo, sin embargo aquí se ha señalado como primo). Al colocar de esta manera los números, se aprecia inmediatamente que aparecen diagonales muy saturadas de números primos, e incluso algunas horizontales y verticales. Este extraño patrón es una de las muchas propiedades de los números primos que hasta hoy permanecen inexplicadas.

SOLUCIÓN:

Si consideramos un número múltiplo de 6, podemos expresarlo como 6 · n, ó 6n para abreviar y no tener que escribir un signo de multiplicación innecesario. Entonces él y los siguientes son:

6n

6n + 1

6n + 2

6n + 3

6n + 4

6n + 5

6n + 6

Debemos darnos cuenta que 6n y 6n + 6 son múltiplos de 6 consecutivos, y por tanto no pueden ser números primos.

6n + 2 es un número par, lo mismo que 6n + 4, luego ninguno de estos dos números puede ser primo. 6n + 3 es múltiplo de 3, y tampoco puede ser primo. (Recordemos que en el enunciado se habían excluido expresamente el 2 y el 3, los únicos primos par y múltiplo de 3 respectivamente)

Entonces los únicos primos de este grupo pueden ser el 6n + 1 ó el 6n + 5, y ambos están al lado de múltiplos de 6.

Si el número es 6n + 1 entonces el anterior a él es múltiplo de 6.

Si el número es 6n + 5 entonces el posterior a él es múltiplo de 6.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.