[El Problema de la Semana] El duende de Fermat

Hoy nos encontramos con una discusión:

A cierto profesor de matemáticas se le apareció un duende travieso que le dijo: “estoy muy contento, porque a pesar de lo que dice el Teorema de Fermat, he encontrado un número n, mayor que 2, que cumple que

72ⁿ + 91ⁿ = 121ⁿ

Te reto a que adivines el número”.

“Eres un duende travieso y mentiroso” le contestó el profesor, “no puede existir ese número por una razón bastante sencilla”.

¿Eres capaz de encontrar una razón por la que, en este caso concreto, nunca se puede cumplir la igualdad para ningún n? 

Veamos la solución al dilema más abajo.

Aquí vemos una increíble ilustración, realizada por el artista Daniel Castro Maia, y titulada Un Puente Más Allá del Último Teorema de Fermat. Esta ilustración aparece en la revista Quanta Magazine, en un artículo que expone una breve historia del último teorema de Fermat, cómo establece un puente entre dos campos separados de las matemáticas, y los descubrimientos que ha permitido desde entonces.

SOLUCIÓN:

Si nos fijamos en las potencias implicadas, 91ⁿ siempre va a dar de resultado un número que acaba en 1:

91¹ = 91

91² = 8281

91³ = 753571, etc.

Lo mismo pasa con 121ⁿ, todas sus potencias también acaban en 1: 

121¹ = 121

121² = 14641

121³ = 1771561, etc.

Sin embargo, todas las potencias de 72ⁿ acaban en un número par que no es cero:

72¹ = 72

72² = 5184

72³ = 373248

72⁴ = 26873856

72⁵ = 1934917632, etc.

Es decir, las potencias de 72ⁿ van acabando en una sucesión de números pares: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6... que se repite periódicamente, sin que aparezca ningún cero.

Si sumamos un número que acaba en 2, 4, 8, ó 6 con un número que acaba en 1, el resultado dará un número que acaba en 3, 5, 9 ó 7, pero nunca acabará en 1. Luego no se puede cumplir la igualdad para ningún n, debido a esta sencilla explicación.

Nota: este problema ha sido adaptado del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.