[El Problema de la Semana] Larga sucesión de sumas y restas

Un nuevo problema, bastante sencillo si sabemos enfocarlo adecuadamente.

En cierto libro nos ha aparecido una operación bastante larga: 

999 – 998 + 997 – 996 + 995 – 994 + … + 5 – 4 + 3 – 2 + 1 

Es decir, se trata de ir sumando y restando los números, en sucesión decreciente, desde el 999 hasta el 1, los impares se suman, los pares se restan. ¿Eres capaz de calcular esta operación?

La solución, como siempre, más abajo, así no hay que esperar para comprobar nuestras deducciones.

[Esta ilustración, encontrada mientras matenavegábamos buscando imágenes de sumas, ha sido extraída de esta página. Como puede verse, es una tabla en la que se exponen todas las sumas de dos cuadrados menores o iguales que 100. ¿Qué tiene esto de curioso? Fermat se dio cuenta de que estas sumas podían dar números compuestos y números primos, pero los primos obtenidos eran aquellos de la forma 4n+1, es decir, los que al dividirse por 4 dan de resto 1 (con la única excepción del 2, que es primo, es la suma de dos cuadrados y no da resto 1 al dividirse por 4). En la tabla van apareciendo todos los primos 4n+1 y ninguno de los primos 4n+3. Esto condujo a Fermat a enunciar el llamado Teorema de Navidad, nombre que se le da a veces porque se encuentra en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640]

Solución:

Aunque parezca una tontería, vamos a añadir a la suma el término cero, que no modifica para nada el resultado, y escribimos:

999 – 998 + 997 – 996 + 995 – 994 + … + 5 – 4 + 3 – 2 + 1 – 0

De esta manera podemos emparejar los números:

(999 – 998) + (997 – 996) + (995 – 994) + … + (5 – 4) + (3 – 2) + (1 – 0)

Cada pareja da el mismo resultado, 1, luego tenemos una larga suma de unos. ¿Cuántos unos hay? Teniendo en cuenta que los números van del 999 al 0, hay exactamente 1000 números, y por tanto hay 500 parejas. (El cero lo hemos añadido para poder emparejar y contar las parejas más fácilmente). Hay 500 parejas, cada una da 1, luego la suma es 500:

1 + 1 + 1 + … [500 veces] ... + 1 + 1 + 1 = 500.

Nota: este problema, ligeramente modificado, ha sido extraído del libro de texto de 4º ESO de la editorial Anaya.