[El Problema de la Semana] La edad del bisabuelo

Hace ya varias semanas que propusimos este problemita a los grumetes:

Mauricio, el bisabuelo de José, no es ciertamente centenario, pero sí de edad muy avanzada. Podemos decir que el año anterior, su edad era múltiplo de 8, y que el año próximo es múltiplo de 7. ¿Cuántos años tiene Mauricio?

La solución se puede encontrar debajo de la interesante ilustración que proponemos.

[Matenavegando en busca de matemáticos longevos, nos hemos encontrado con la vida de Leopold Vietoris en un interesante artículo publicado en Gaussianos.com. Vietoris fue un matemático austriaco nacido en 1891, que realizó importantes aportaciones en el campo de la topología. Es posible, según este artículo, que Vietoris sea el matemático más longevo que se conoce, pues falleció en 2002 con 110 años cumplidos. Además es el austriaco más longevo, y su segundo matrimonio es el séptimo matrimonio más longevo sumando la edad de ambos cónyuges, pues su segunda mujer falleció con 101 años. La lista de matrimonios más longevos se encuentra en este artículo de la wikipedia.]

Solución:

El problema consiste en encontrar un múltiplo de 8 y un múltiplo de 7 que se diferencien en 2 unidades. Una vez encontrados, la edad de Mauricio será el número intermedio.

 

Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120... 

 

Los múltiplos de 7 son: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119...

 

Como Mauricio no es centenario, los múltiplos mayores que 100 los podemos descartar.

 

Si observamos con detenimiento, hay dos parejas candidatas: 40 y 42 por un lado, 96 y 98 por otro. Pero en el primer caso la edad de Mauricio sería de 41 años, y esto no es una edad avanzada. El segundo caso tiene más lógica: la edad de Mauricio debe ser 97 años. Así el año anterior su edad era de 96 años (múltiplo de 8), y el año que viene su edad será de 98 años (múltiplo de 7).

Ampliación:

Este tipo de ejercicios se puede resolver mediante herramientas matemáticas llamadas congruencias. En lenguaje matemático, si llamamos x a la edad de Mauricio, entonces:

 

x ≡ 1 (mod 8)

x ≡ −1 (mod 7) 

 

El símbolo ≡ es como el signo del igual pero con tres rayas horizontales en vez de dos, y en este contexto significa es congruente con. Por las propiedades de las congruencias, la segunda ecuación se puede sustituir por x ≡ 6 (mod 7)

 

Como el máximo común divisor de 7 y 8 es igual a 1, el Teorema chino del resto nos asegura que este sistema en congruencias tiene solución. Para encontrar la solución se puede seguir el siguiente método:

 

Las dos ecuaciones anteriores serían lo mismo que decir:

 

x = 1 + 8k

x = 6 + 7j; donde k y j representan números enteros cualesquiera.

 

Si multiplicamos la primera igualdad por 7 y la segunda por 8 tenemos: 

 

7x = 7 + 56k

8x = 48 + 56j

 

Restamos la segunda ecuación menos la primera y tenemos:

 

x = 41 + 56(j − k)

 

Como k y j son enteros arbitrarios, la diferencia entre ellos también es un entero arbitrario, luego x es igual a 41 más un múltiplo arbitrario de 56:

 

x = 41 + 56m; o lo que es lo mismo:

 

x ≡ 41 (mod 56)

 

Tenemos por tanto que x puede tomar los valores 41, 97, 153, 209, 265, ... , e incluso podría tomar valores negativos, como −15, −71, −127, −183, −239, ...

 

De entre todas las posibles soluciones de x, elegimos la más lógica, 97, y ahí está nuestra respuesta.