[El Problema de la Semana] Comparando rectángulos

Retomamos la agradable tarea de proponer el problema de la semana. El que tenemos hoy es en realidad el último que pusimos el curso pasado a los grumetes:

Observa los dos rectángulos de la figura. ¿Cuál de los dos ocupa mayor superficie, el ABCD ó el BEFD? Razona tu respuesta.

Por supuesto, para no hacer esperar a nuestro amado público, la respuesta al problema está más abajo de la ilustración.

[Esta fotografía matemática está tomada de la will's web. De momento, ignoro el lugar donde ha sido tomada la foto, pero me gustaría averiguarlo; hay una buena colección de ortoedros en él, con sus correspondientes rectángulos que la perspectiva ha convertido en simples paralelogramos]

Solución:

En primer lugar, si nos fijamos detenidamente en la figura, alguien podría argumentar que ABCD es un rectángulo, pero que BEFD no lo es, porque sus ángulos no son rectos. El gráfico lo hice con el programa Paint de Windows o con otro programa similar, y en efecto, el BEFD no me salió con los ángulos tan rectos como pretendía. Pero este detalle no influye en el problema. O bien podemos dibujar BEFD correctamente para que sea un rectángulo, o bien podemos suponer que es un rectángulo, o bien podemos ignorar completamente el gráfico; en cualquier caso la solución va a ser la misma: La superficie de ABCD es la misma que la de BEFD.

El razonamiento es muy sencillo: Ambos rectángulos tienen un triángulo en común, el BCD. Luego nos basta demostrar que los restos de área de cada uno son iguales, es decir, que el área ABD es igual a la suma de las áreas BEC + DCF.

Esto es fácil, basta trazar un segmento paralelo a BE por el punto C para que corte al segmento BD en el punto G, tal como se ve en la siguiente figura:

Se puede observar que BECG es un paralelogramo, y por tanto, por razones de paralelismo de sus lados,  el triángulo BEC es igual al triángulo BCG. De la misma manera, GCFD es otro paralelogramo, y los triángulos GCD y DCF son iguales. Por tanto BEC + DCF = BCG + GCD, pero esta última suma es igual al triángulo BCD.

Como ABCD es un rectángulo, los triángulos BCD y ABD son iguales, y de aquí concluimos lo que necesitábamos demostrar: ABD = BEC + DCF.

Notas:

1) El razonamiento geométrico que hemos utilizado es un proceso lógico que se viene usando en la geometría desde los tiempos de Euclides. Es independiente de las medidas de los lados, no tiene conexión con ninguna operación algebraica, emplea solamente propiedades geométricas como la del paralelismo y la semejanza de triángulos. Hoy en día no se suele enseñar este tipo de razonamientos a los grumetes, y es muy difícil que ellos, motu proprio, lo empleen para resolver el problema. En realidad, los grumetes solucionaron el problema midiendo los lados de los rectángulos sobre el folio donde estaban impresos. Como quiera que las medidas nunca van a ser exactas por las imperfecciones del dibujo y la falta de precisión de las reglas usadas para medir, las áreas de los rectángulos les salían distintas, y esa es la respuesta que me dieron. Ni uno solo de los grumetes halló la respuesta correcta.

2) He tenido un problema lingüístico al decir el área, pues me había entrado la duda de que últimamente se hubiera aceptado decir la área, ya que área es un sustantivo femenino. Gracias a la Real Academia Española lo he resuelto: se ha de decir el área, aunque con el artículo indefinido un, una lo normal es decir un área, pero no está incorrecto decir una área.

3) Como han pasado varios meses desde que propuse este problema y he sido trasladado a otro Barco Escuela, no recuerdo de dónde lo saqué, pero creo que fue de un libro de texto de la editorial Anaya.