[El Problema de la Semana] Sacos por parejas

Veamos otro nuevo problema:

En un almacén tenemos cinco sacos de trigo. El primer saco y el segundo pesan juntos 11,5 kilos. El segundo y el tercero pesan juntos 13 kilos. El tercero y el cuarto pesan juntos 15,5 kilos. El cuarto y el quinto pesan 14,5 kilos, y el primero y el quinto pesan juntos 15,5 kilos.

¿Cuánto pesa cada saco por sí solo?

La solución más abajo en esta misma página.

Figura 1. Este es el reverso de un billete de diez chelines, editado en Nigeria en 1972. En él se ven dos hombres apilando sacos de cacahuetes en grandes pirámides. La imagen ha sido extraída de la web Notescollector.eu.

Figura 2. En esta imagen, sacada de la misma web que la anterior, se pueden apreciar mejor las enormes pirámides de sacos apilados. La foto se realizó en los años setenta del siglo pasado. ¿Sería capaz el lector de hacer una estimación del número aproximado de sacos que hay en cada pirámide?

SOLUCIÓN:

El acercamiento más natural a este problema es plantear un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas. Si llamamos A, B, C, D y E respectivamente a lo que pesa cada uno de los cinco sacos, entonces:

A + B = 11,5

B + C = 13

C + D = 15,5

D + E = 14,5

A + E = 15,5

Sin embargo, antes de empezar a despejar y sustituir, o de aplicar cualquier otro método (como el método de Gauss) para resolver este sistema, observemos que si sumamos todas las parejas de sacos, obtenemos el doble del peso de todos los sacos juntos:

(A +B) + (B + C) + (C + D) + (D + E) + (A + E) = 11,5 + 13 + 15,5 + 14,5 + 15,5 = 70

Es decir:

2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 70

Por tanto:

A + B + C + D + E = 35

Teniendo en cuenta lo que suman B + C y D + E y sustituyendo:

A + 13 + 14,5 = 35

A = 35 − 13 − 14,5 = 7,5

Obtenido el valor de A, podemos calcular "en cascada" los valores de los demás sacos:

A = 7,5

B = 4

C = 9

D = 6,5

E = 8

Nota: este problema ha sido adaptado de uno de los que aparecen en el libro Un cuento enmarañado y otros problemas de almohada, de Lewis Carroll.