Dos ciclistas salen a las 8 de la mañana y regresan a las 12. Durante ese tiempo han recorrido un tramo llano a 30 kilómetros por hora, han subido una colina a 20 km/h, la han bajado a 60 km/h y han regresado por el mismo tramo llano a 30 km/h.
¿Cuál es la distancia total recorrida?
La solución, debajo de la ilustración.
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| ¿Es lógico suponer que cuando π monta en bicicleta, necesita πedalear si quiere dar un πaseo? |
SOLUCIÓN:
Es sencillo hacernos un esquema del recorrido de los ciclistas:
Hemos llamado x al tramo llano, e y al tramo que sube por la colina. Como es un viaje de ida y vuelta, el trayecto total recorrido por los dos ciclistas es de:
x + y + y + x = 2(x + y)
Sabemos que en recorrer el trayecto han empleado en total 4 horas (desde las 8 hasta las 12). Teniendo en cuenta que velocidad = espacio / tiempo, y que por tanto tiempo = espacio / velocidad, podemos plantear la siguiente ecuación, que suma todos los tiempos empleados en los distintos tramos:
x / 30 + y / 20 + y / 60 + x / 30 = 4 (1)
La ecuación (1) tiene dos incógnitas, y no hay ninguna información más en el problema que nos permita plantear otra ecuación, por lo que parecería que no es posible determinar la solución exacta para x e y, sino un número infinito de posibilidades. Sin embargo, si operamos en la ecuación (1) pasando a común denominador y sumando las fracciones:
(2x + 3y + y + 2x) / 60 = 4
2x + 3y + y + 2x = 4 · 60
4x + 4y = 240
x + y = 240 / 4 = 60
Vemos que no hemos podido determinar x e y, pero sí la suma x + y; como el trayecto total es 2(x + y), entonces la solución será:
2(x + y) = 2 · 60 = 120
Los ciclistas han recorrido 120 kilómetros en total.
(No faltará el listo que diga que como son dos ciclistas, cada uno hace 120 kilómetros, la distancia recorrida total es de 240 kilómetros ;) )
Comentario:
La mayoría de los grumetes hicieron cábalas sobre lo que podían medir los tramos x e y, llegando a la conclusión de que cada tramo debía valer 30 kilómetros. Sin embargo, el resultado no depende de lo que valgan x e y por separado, solo exige que x + y sea 60. Así podemos tener por ejemplo que el tramo llano x = 45 kilómetros y el tramo de colina y = 15 kilómetros, y el resultado sería el mismo. O bien que el tramo llano x = 8 kilómetros y el tramo de colina y = 52 kilómetros y los dos ciclistas tardarían lo mismo si mantienen las velocidades del enunciado. Cualquier combinación en la que ambos tramos sumen 60 pueden servir para que se cumplan las condiciones del problema.
Es sencillo hacernos un esquema del recorrido de los ciclistas:
Hemos llamado x al tramo llano, e y al tramo que sube por la colina. Como es un viaje de ida y vuelta, el trayecto total recorrido por los dos ciclistas es de:
x + y + y + x = 2(x + y)
Sabemos que en recorrer el trayecto han empleado en total 4 horas (desde las 8 hasta las 12). Teniendo en cuenta que velocidad = espacio / tiempo, y que por tanto tiempo = espacio / velocidad, podemos plantear la siguiente ecuación, que suma todos los tiempos empleados en los distintos tramos:
x / 30 + y / 20 + y / 60 + x / 30 = 4 (1)
La ecuación (1) tiene dos incógnitas, y no hay ninguna información más en el problema que nos permita plantear otra ecuación, por lo que parecería que no es posible determinar la solución exacta para x e y, sino un número infinito de posibilidades. Sin embargo, si operamos en la ecuación (1) pasando a común denominador y sumando las fracciones:
(2x + 3y + y + 2x) / 60 = 4
2x + 3y + y + 2x = 4 · 60
4x + 4y = 240
x + y = 240 / 4 = 60
Vemos que no hemos podido determinar x e y, pero sí la suma x + y; como el trayecto total es 2(x + y), entonces la solución será:
2(x + y) = 2 · 60 = 120
Los ciclistas han recorrido 120 kilómetros en total.
(No faltará el listo que diga que como son dos ciclistas, cada uno hace 120 kilómetros, la distancia recorrida total es de 240 kilómetros ;) )
Comentario:
La mayoría de los grumetes hicieron cábalas sobre lo que podían medir los tramos x e y, llegando a la conclusión de que cada tramo debía valer 30 kilómetros. Sin embargo, el resultado no depende de lo que valgan x e y por separado, solo exige que x + y sea 60. Así podemos tener por ejemplo que el tramo llano x = 45 kilómetros y el tramo de colina y = 15 kilómetros, y el resultado sería el mismo. O bien que el tramo llano x = 8 kilómetros y el tramo de colina y = 52 kilómetros y los dos ciclistas tardarían lo mismo si mantienen las velocidades del enunciado. Cualquier combinación en la que ambos tramos sumen 60 pueden servir para que se cumplan las condiciones del problema.
Nota: este problema ha sido adaptado de uno de los que aparecen en el libro Un cuento enmarañado y otros problemas de almohada, de Lewis Carroll.
Recordemos que Lewis Carroll, cuyo auténtico nombre era Charles Lutwidge Dodgson, además de ejercer como profesor de matemáticas en Oxford , fue el autor de Alicia en el País de las Maravillas.
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