[El Problema de la Semana] Los dos pececitos

A continuación proponemos un sencillo problema geométrico:

Dos pececitos están juntos y empiezan a nadar. Nadan 6 metros en línea recta y luego ambos giran 90º a la derecha, nadando cada uno en línea recta 8 metros más. ¿Cuál puede ser la mayor distancia que los separa ahora?

La respuesta, como ya todo el mundo debe saber, debajo de la ilustración.

[En esta ilustración presentamos el desarrollo de un cubo decorado con una de las famosas teselaciones de Escher. La ilustración se ha obtenido de este sitio, en el que aparecen cubos de rubik virtuales decorados con este tipo de diseños. Si se quiere imprimir esta imagen para construir un cubo, debe tenerse en cuenta que el cuadrado inferior derecho, el que tiene las caras de los peces azul y verde, debe ser recortado completamente y colocado a la derecha del cuadrado justo encima. En el esquema se ve cómo la cara B "back" debe ser colocada a la derecha de la R "right"]

Solución:

El recorrido que hace cada pez, 6 metros en línea recta, ángulo recto hacia la derecha y 8 metros en línea recta, lo coloca en un punto que forma un triángulo rectángulo con el punto de origen y el punto donde se gira en ángulo recto. Los catetos de ese triángulo miden 6 y 8 metros respectivamente, y por el teorema de Pitágoras podemos calcular la distancia desde el punto de origen al de llegada, que es exactamente de 10 metros.

Con un poco de lógica se puede comprender que para que los dos peces acaben lo más lejos posible, deben partir en dos direcciones exactamente opuestas. Si ambos distan 10 metros del punto de origen, la distancia entre ellos será de 20 metros.

Ampliación: cada uno de los peces se encuentra a una distancia de 10 metros del punto de origen. Nos podemos imaginar que, sea cual sea la dirección en la que hayan partido, cada uno de los peces se encuentran en sendos puntos de una esfera de radio 10 metros cuyo centro es el punto de donde partieron. Es evidente que en una esfera, los puntos más alejados son los puntos opuestos respecto al centro, o las antípodas.

Acostumbrados como estamos a trabajar sobre el papel y en superficies planas, al principio no se me pasó por la cabeza que el movimiento de los peces se debe considerar tridimensional, y me fascina imaginármelos en el agua, nadando en la superficie de esferas virtuales.

Nota: el problema de los pececitos ha sido extraído del libro The Riddles of the Sphinx, de David J. Bodycombe, editorial Penguin Books.