El Fujiyama en camiones

Cuaderno de bitácora: con motivo de ayudar a los grumetes, cuando en el Barco Escuela les pongo un examen de matemáticas doy la opción de que realicen un trabajo o actividad complementaria en lugar de uno de los problemas del examen. Esta actividad complementaria siempre consiste en leer un texto de algún libro o de la web relacionado con las matemáticas y contestar a varias cuestiones sobre el texto.

Hace varios meses les propuse un texto del libro El hombre anumérico, de John Allen Paulos. El texto y las actividades propuestas se pueden encontrar en este enlace. Una de las cuestiones planteadas en las actividades consiste en resolver el problema que aparece al final del texto de Allen Paulos:

Y para terminar daremos otro ejemplo de cálculo terrenal que suele usar un asesor científico el MIT para eliminar aspirantes en las entrevistas de selección de personal: pregunta cuánto se tardaría en hacer desaparecer una montaña aislada, como el Fujiyama japonés, por ejemplo, transportándola con camiones. Supóngase que, durante todo el día, llega un camión cada 15 minutos, es cargado instantáneamente de tierra y piedras, y se va sin interrumpir al siguiente camión. El resultado es un tanto sorprendente.

¿Cuánto tardaríamos en trasladar el Fujiyama con camiones? El problema no contiene los datos necesarios para hacer las cuentas, si uno quiere resolver el problema, necesita informarse antes de la altura del Fujiyama, calcular aproximadamente su volumen, suponer que está constituido por roca homogénea, buscar la densidad de la roca y pasar el volumen a peso, y luego decidir qué tipo de camiones puede utilizar y cuál es la capacidad de cada uno.

Vamos a ir recopilando datos:

Altura del Fujiyama - 3776 metros

Volumen del Fujiyama - esto es más difícil; haciendo una busca rápida en la red, no hemos encontrado ningún sitio donde aparezca el volumen, así que vamos a calcularlo suponiendo que tiene aproximadamente la forma de un cono. Haciendo mediciones directamente sobre la fotografía, vemos que el ángulo de inclinación es de unos 20º, y por trigonometría básica, el radio de la base del cono se puede calcular con la fórmula: r = h/tan20º, donde h es la altura del cono y "tan" es la tangente del ángulo, y de aquí sale que r = 10374 metros.

De aquí, con la fórmula del volumen de un cono, V = π·r²·h/3 = 4.26 · 10¹¹ m³ = 426 kilómetros cúbicos, aproximadamente.

Peso del Fujiyama - consultando en esta página, vemos que el Fujiyama está compuesto, principalmente por basalto y andesita. La densidad del basalto es de unos 2700 kilogramos por metro cúbico, es decir, 2.7 toneladas por metro cúbico, luego el peso total sería de 1.15 · 10¹²  toneladas (más de un billón de toneladas).

Ya tenemos la cantidad de material que tenemos que transportar, ahora necesitamos los camiones, y no vamos a ser tacaños, usaremos los mayores camiones que existen. Según las investigaciones en la red, el camión más grande del mundo es el caterpillar 797, que es capaz de desplazar 345 toneladas de carga útil.

Ahora sí que podemos terminar los cálculos. Si cada 15 minutos un camión es cargado instantáneamente de piedras del Fujiyama y se va sin entorpecer al siguiente camión, son 4 cargas a la hora, y 96 cargas al día (trabajando las veinticuatro horas sin parar). Multiplicamos y tenemos que cada día logramos desplazar 96 · 345 = 33120 toneladas. Si queremos desplazar el billón largo de toneladas del volcán japonés, necesitamos 1.15 · 10¹² : 33120 = 34695000 días aproximadamente, más de 95000 años.

Los cálculos pueden variar según la aproximación que tengamos de los datos, pero es interesante hacerse a la idea de que con los mayores camiones disponibles se necesitarían casi cien mil años para hacer desaparecer el Fujiyama. Si dispusiéramos de camiones más estándar, que acarrearan la décima parte de peso en cada viaje, entonces el tiempo se multiplicaría por diez, dándonos la friolera de un millón de años para hacer todo el trabajo.

¿Nos ha sorprendido? ¿Nos parece una cantidad muy grande? ¿Por qué aparecen números tan grandes en los cálculos?

La razón debemos buscarla en el volumen de las cosas. Estamos bastante acostumbrados a comparar longitudes, y así medimos las alturas de las montañas, de los edificios, de los monumentos, etc. y nos hacemos una idea de su tamaño. Pero no estamos tan acostumbrados a comparar volúmenes; tengamos en cuenta que un volumen es una longitud al cubo, y al elevar al cubo se multiplican las cantidades por sí mismas tres veces. Si una montaña es el doble de alta que otra que tenga la misma forma, su volumen es 2·2·2 = 8 veces más grande. Un kilómetro contiene mil metros, pero un kilómetro cúbico contiene mil millones de metros cúbicos.

¿Sería capaz de calcular el lector el tiempo que se tardaría en trasladar una montaña de forma similar al monte Fuji, pero que tuviera la altura del Everest, de 8848 metros? ¿y qué me dice del monte Olimpo, en Marte, con 27 kilómetros de altura?