El hundimiento de doDK

Cuaderno de bitácora: lo que temíamos desde hace semanas ha sucedido por fin: doDK ya no existe.

Fue precisamente en octubre de 2003 cuando iniciamos la andadura por la Matenavegación, y creamos doDK, una página web alojada en Geocities, de Yahoo. En ella, con ilusión, fuimos incluyendo algunos artículos, pasatiempos, problemas, curiosidades, anécdotas, chistes... lo que nos parecía interesante en aquellos momentos.

Pasó el tiempo y descubrimos Blogger y el fenómeno de los blogs, y decidimos abrir éste en el que estamos embarcados, con el nombre de El Matenavegante, y nos dimos cuenta que nos gustaba el formato de los blogs, y que trabajar con ellos era sencillo y ágil.

Como no manejo mucho el mundo de las páginas web, y tan sólo sé hacer unas cuantas cosas muy sencillas, me pareció que, de momento, trabajar a través del blog era lo más adecuado para lo que buscaba, y doDK se quedó como una página estática que poco a poco dejé de actualizar.

Así ha permanecido durante meses y años amarrada a puerto, hasta que Yahoo ha decidido la clausura del muelle de Geocities, y no ha habido más remedio que dejar que doDK, humilde pero valiente nave, se hunda en el mateocéano con todos los honores.

Sin embargo, muchas de las mercancías que guardaba en la bodega se han podido salvar del naufragio, y así, poco a poco, en este mismo blog, iremos publicando los artículos, curiosidades, problemas y pasatiempos que contenía, aprovechando la ocasión para corregirlos, actualizarlos y ampliarlos.

[El Problema de la Semana] Los Relojes

Veamos el problema de esta semana para los grumetes:

En el mismo instante, el reloj A marca las cinco y el reloj B marca las siete. A adelanta un minuto cada hora y B retrasa 2 minutos cada hora.

a) ¿En cuánto tiempo marcarán la misma hora por primera vez?
b) ¿Cuál es la hora común que marcarán en ese momento?
c) ¿Cuántas veces coincidirán marcando la misma hora en un año?

a) La diferencia entre los dos relojes es de dos horas. Si A adelanta un minuto por hora, y B atrasa dos minutos por hora, entonces A le gana tres minutos por hora a B, y por tanto, para reducir la diferencia de 120 minutos entre los dos, necesita 120 : 3 = 40 horas.

b) Si A marca las cinco, dentro de cuarenta horas marcará cuarenta horas más, y al adelantar un minuto por hora, cuarenta minutos más. Cuarenta horas es lo mismo que tres vueltas completas de doce horas, y cuatro horas. La hora marcada por A será las 9:40. Evidentemente, B marcará exactamente la misma hora.

c) Después de coincidir una vez, A seguirá adelantando un minuto por hora y B atrasando dos, con lo que A lleva una velocidad relativa de tres minutos por hora más que B. Para que A de una vuelta completa más que B, es decir, 60 · 12 = 720 minutos, necesita 720 : 3 = 240 horas = 10 días.

Si cada diez días los dos relojes vuelven a coincidir, entonces en un año podrán coincidir 36 veces como máximo, marcando la misma hora.

Notas: aunque no tenga nada que ver, he recordado que el título de este problema coincide con el de la primera novela de Agatha Christie que yo leí cuando era pequeño.

Este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

El Lema de Zorn (relato)

Cuando salió del estrecho desfiladero por el que había cruzado la cordillera, se encontró con un amplio valle iluminado por el sol de la tarde. El paisaje era seco y escaso en vegetación, pero no carecía de belleza. En el fondo del valle se extendía una pequeña población, y en su centro parecía distinguirse un edificio importante. El Estudiante observó una torre cuadrada coronada con un tejado puntiagudo, de aspecto evocador. Detrás de ella, lejos, en las brumas del horizonte, apenas se adivinaban las cumbres blancas de un sistema montañoso. A un lado y al otro del sendero, el espacio estaba colonizado, a parches, por grandes agrupaciones de brezos combinados con diversas especies de árboles que el joven no supo reconocer.

Con un movimiento reflejo, volvió a colocarse correctamente el saco sobre la espalda. En él llevaba, además de algo de comida y ropa de abrigo, un par de libros, varios cuadernos, instrumentos de escritura, una palmatoria con su vela, una daga, un anteojo y un reloj de arena. De momento, era todo lo que poseía. Si las cosas funcionaban como le había explicado el Viejo Ridras, su maestro, en la Escuela le darían alojamiento y manutención a cambio de dedicar unas horas a trabajar en los huertos y a limpiar las estancias.

Jamás antes el Estudiante había abandonado su tierra natal en el lejano sur. Pero Ridras le había enseñado todo lo que sabía respecto a esa extraña ciencia de números y letras que casi nadie era capaz de entender. Cuando el joven le insistió para seguir avanzando en el conocimiento, el Viejo sólo le pudo decir que si quería de verdad profundizar en sus secretos debía viajar al norte, hasta la Escuela de Brezales. Era el sitio más cercano donde los estudiosos podían acceder a completas bibliotecas con los títulos más avanzados sobre cada materia. Muchos de los libros contenidos en ellas eran copias únicas escritas a mano por sus propios autores. Algunos eran tan antiguos que muy pocos sabían descifrar la lengua y la caligrafía en que estaban redactados.

El Estudiante llegó a Brezales justo antes de que cayera la noche, y fue recibido en la Escuela por un portero de mediana edad, aunque bastante estropeado por los años, que lo condujo a una habitación baja en el extremo de un gran edificio de paredes amarillentas. Antes de atravesar la puerta e internarse en los pasillos que conducían hacia su cuarto, pudo ver que anexa al edificio se destacaba la torre cuadrada de tejado puntiagudo que dominaba sobre todo el poblado. La habitación a la que le condujo el portero, tenía dos literas adosadas a paredes opuestas, y cada litera disponía de tres camas; las camas de abajo ya habían sido ocupadas por sendos jóvenes que parecían dormir plácidamente. El Estudiante vio también a un tercer joven que escribía sentado a una mesa junto a la ventana, y se iluminaba con los restos de una vela a la que quedaban pocos minutos para apagarse. Esta visión y un cierto olor a cerrado fueron las impresiones que más se le quedaron marcadas de su llegada a la Escuela, y que no olvidaría el resto de su vida.

La adaptación durante los días siguientes fue progresiva, mientras aprendía las tareas cotidianas que tenía que realizar desde el amanecer hasta el mediodía. Al cabo de una semana se le permitió, por primera vez, acceder a la planta baja de la inmensa biblioteca de la torre. Los Escolares le dieron ese acceso, que apenas duró una hora, para que tuviera una primera vista de la estancia, de la gran cantidad de libros que almacenaba, del ambiente que reinaba en ella, y sobre todo, de la distribución de las estanterías, mesas y sillas. A partir de ese momento, todas las tardes tendría la tarea de limpiar y ordenar la biblioteca durante varias horas, sin permiso de momento, para sentarse a consultar ningún volumen.

Tuvo que pasar un mes hasta que le dieron licencia para leer durante la última hora de la tarde. Ése, sin duda, también sería un momento grandioso en sus recuerdos, pero le surgió la pequeña duda de qué libro tomar durante esa hora. No obstante, el momento de duda duró poco, porque desde los primeros días se había sentido atraído por un tomo grueso de tapas de color castaño oscuro grabadas con letras doradas, cuyo título era simplemente Elementos de Matemática. Su autor, un tal Pedro Abellanas, era desconocido para el Estudiante, pero eso no le impidió admirar desde un principio su trabajo, aunque en realidad conociera tan poco de él.

Aquella noche podría haber abierto el libro por la primera página y haber empezado su lectura ordenadamente. Sin embargo la página que apareció fue la 42. A mitad de la hoja amarillenta, unos renglones atraparon su mirada: "Otra consecuencia muy importante del axioma de Zermelo es el siguiente: TEOREMA DE ZORN.- Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal, por lo menos".

Fueron esos dos nombres que empezaban por zeta, Zermelo, Zorn, los que cautivaron al momento la imaginación del muchacho. Jamás los había oído antes, pero su sonoridad le sugería algo importante y misterioso. Cierto es que llevaba cinco semanas sin hacer otra cosa que limpiar y remover la tierra del huerto, que todavía no había hecho amigos (aunque sí había notado un par de veces la mirada interesada de una joven estudiante que ya tenía pleno derecho a trabajar en la biblioteca todas las tardes), y que no había leído otra cosa en su vida que los escasos y manoseados libros del Viejo Ridras, que apenas llegaban a la docena. Decidió que tenía que empezar por averiguar quiénes eran esos dos personajes de nombre tan sonoro, y tratar de desentrañar lo que decía aquél teorema, del que no había entendido nada aunque solo abarcara un renglón.

En la página 41 del mismo libro, encontró el Axioma de Zermelo al que se referían aquellos renglones anteriores: "AXIOMA DE LA LIBRE ELECCIÓN DE ZERMELO.- Si c es una correspondencia arbitraria entre X e Y, tal que or(c) = X, existe una aplicación f entre X e Y tal que para todo x perteneciente a X se verifica que el par (x, f(x)) es un par de la correspondencia c".

Debajo de este axioma se encontraba otro resultado que parecía importante: "TEOREMA DE LA BUENA ORDENACIÓN.- En todo conjunto C se puede definir una buena ordenación".

Investigando en los viejos volúmenes, averiguó que Ernst Zermelo y Max Zorn habían sido dos sabios, el primero alemán, y el segundo estadounidense, que habían trabajado en teoría de conjuntos, álgebra abstracta, teoría de grupos y otras disciplinas que el Estudiante aún no conocía. Además, descubrió que el Axioma de la libre elección de Zermelo, o simplemente Axioma de elección (cuyo enunciado, de forma más sencilla dice que "dado X, un conjunto de conjuntos no vacíos, entonces se puede tomar o elegir un elemento de cada conjunto de X"), era un principio muy importante, sobre el que los sabios seguían discutiendo si debía ser aceptado o no, y asimismo, el Lema de Zorn se utilizaba muchas veces en las ramas abstractas de diversas disciplinas numéricas.

Al Estudiante le costó muchos días desentrañar el significado completo de aquellas simples frases que le habían llamado tanto la atención. Sin embargo, finalmente empezó a comprender algunos términos, y en la mesa de su habitación, armado de pluma y papel, fue anotando los términos y un ejemplo para cada uno de ellos:

Correspondencia: una relación cualquiera entre dos conjuntos; ejemplo: sea el conjunto de los estudiantes de la Escuela, y el conjunto de los libros de la Biblioteca, se puede definir una correspondencia relacionando cada estudiante con aquellos libros que ha leído en alguna ocasión. Habrá estudiantes que no han leído ningún libro, otros uno, y otros muchos.

Aplicación: una correspondencia en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto; ejemplo: el conjunto de estudiantes y el conjunto de habitaciones de la Escuela. Cada estudiante tiene una habitación asignada, y solo una. Aunque hay estudiantes que comparten la misma habitación, y puede que haya habitaciones vacías.

Orden: una relación entre los elementos de un conjunto, en la que se puede determinar si un elemento es menor o igual que otro. Cumple unas propiedades (que más adelante explicaré). Un ejemplo puede ser, la relación de orden entre las personas a través de la edad: una persona es menor que otra cuando tiene menos años. Otra relación puede ser a través de su estatus dentro de la Escuela: una persona es menor que otra siempre que su puesto sea de menor importancia; los Estudiantes son menores que los Escolares, los Escolares menores que el Decano.

Orden total: aquel orden en que dados dos elementos, uno de ellos siempre es menor o igual que el otro. Esto no ocurre en todos los órdenes; cuando viene uno de los nobles de visita, yo no sé decir si tiene menor o mayor categoría que uno de nuestros Escolares, porque no pertenece a nuestra Escuela.

Buena ordenación: aquel orden total establecido en un conjunto en el que si tomo cualquier subconjunto, éste tiene un mínimo. Los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, ... están bien ordenados.

Cota superior: si tengo un conjunto ordenado y tomo un subconjunto, una cota superior es aquel elemento del conjunto que es mayor que todos los del subconjunto.

Conjunto inductivo: conjunto en el que hay un orden, y en el que si tomamos un subconjunto con un orden total dentro de él (a este subconjunto se le llama también cadena), entonces ése subconjunto tiene una cota superior.

Elemento maximal: un elemento de un conjunto ordenado, tal que no existe ningún otro elemento mayor que él.

Más adelante, una templada tarde en la que apetecía estar fuera, paseando entre los huertos, el Estudiante tuvo oportunidad de charlar con la joven que había visto en la Biblioteca los días anteriores. Le explicó todo lo que había aprendido hasta ese momento, y lo difícil que le había resultado al principio entender aquella terminología y adaptar su mente a conceptos tan abstractos, pero que ahora veía, por ejemplo, que el Axioma de Libre Elección o el Teorema de Buena Ordenación de Zermelo parecían algo de lo más natural del mundo.

-Si yo tengo por ejemplo un conjunto de cajas -decía el Estudiante-, y en cada caja tengo un conjunto de objetos, ¿no es lógico que pueda ir tomando un objeto de la primera caja, otro de la segunda, otro de la tercera, y así sucesivamente hasta terminar las cajas? Y si tengo un conjunto de objetos, ¿no parece trivial ir colocando todos los objetos en un buen orden, uno el primero, otro el segundo y así sucesivamente hasta terminar?

-Eso es muy sencillo -contestaba la joven- cuando el número de objetos con el que trabajas es finito, porque esa tarea que describes acaba finalmente. Pero empieza a no ser tan sencillo cuando los conjuntos son infinitos.

Y entonces la joven empezó a hablarle al Estudiante del infinito, y de todas las clases de infinitos que existían, los infinitos numerables y los no numerables, y todas las paradojas que se producían al tratar con conjuntos infinitos. Estuvieron charlando durante un buen rato, hasta que la luz del atardecer empezó a menguar y un viento frío azotó los árboles frutales, y entonces, escuchando la cálida voz de su acompañante, el Estudiante se dijo que a través de las infinitas posibilidades que ofrece el destino, no quería vivir otra diferente de la que tenía en esos momentos, y aquella ocasión la atesoró en su memoria hasta el fin de sus días.

[El Problema de la Semana] Rutas posibles

Aquí tenemos el problema que la última semana se les puso a los grumetes para que lo resolvieran:

¿De cuántas maneras puedo ir de A hasta B por las líneas, si sólo se puede ir de arriba a abajo y de izquierda a derecha?

Para encontrar la solución se necesitan ir combinando todas las posibilidades, lo cual puede ser un trabajo tedioso en el que es fácil equivocarse y dejar algún posible camino sin contar. Pero tenemos aquí un gráfico se puede dividir claramente en dos partes más simples: cualquier camino que vaya de A a B tiene que pasar forzosamente por el punto central, llamémosle C, y podemos estudiar en primer lugar el caso más simple que es ir de A hasta C.

Si estudiamos la parte cuadrada del gráfico que va de A a C, no es demasiado complicado contar los posibles caminos uno a uno:

Si sólo podemos movernos de izquierda a derecha y de arriba a abajo, tenemos 6 caminos posibles para ir de A a C. Teniendo en cuenta de que de C a B el gráfico es el mismo, entonces tendremos otros 6 caminos posibles para ir de C a B.

Combinando todos los caminos: 6 · 6 = 36 caminos en total.

Nota: este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

[El Problema de la Semana] El cuadrado aparecido

Este enigma es todo un clásico. Se trata de descubrir dónde está el truco.

Como se puede apreciar en la ilustración de la izquierda, tenemos un cuadrado que hemos dividido en varias piezas, de varios colores. Obsérvese que el cuadrado ocupa 64 cuadraditos más pequeños (8x8).

Hemos dispuesto las piezas de colores de otra manera, formando ahora un rectángulo, en el que hay 65 cuadraditos (5x13) en total. De repente ha aparecido un cuadradito más pero los dibujos de las piezas son los mismos, ¿o no? ¿Por qué hay un cuadradito más en este nuevo dibujo que en el de arriba?

Solución:

Observando bien el dibujo y haciéndolo con precisión, veremos que las uniones en el rectángulo no están hechas correctamente, y si encajamos las piezas como deben ser encajadas nos quedaría el dibujo correcto que se puede ver pulsando aquí, es decir, nos quedaría un fino hueco alargado entre las piezas. Ese fino hueco es el cuadrado de más que aparece al contar el número total.

El Caso del Sorteo Injusto

Cuaderno de bitácora: aquí en España, los padres se encuentran con algunos problemas para que sus hijos ingresen en el colegio preferido por ellos. En algunos colegios la demanda de plazas es superior a la oferta: hay muchos más niños que solicitan ingresar al colegio que plazas disponibles. Para poder acceder a ellos las familias son puntuadas con un baremo por la situación familiar, el domicilio, el nivel de ingresos económicos, etc. De ese modo los niños con más puntos tienen preferencia para entrar en los colegios que solicitan, pero aún así, se dan muchos casos en los que los colegios siguen teniendo una demanda excesiva y tienen que recurrir a un sorteo para asignar las plazas disponibles.

Así le ha ocurrido a un compañero oficial del Barco Escuela. Su hija está en edad de ingresar en el colegio para la etapa Infantil, y en el centro que sus padres han elegido aquí en Granada había 50 plazas disponibles, mientras que el número de solicitantes ascendía a 111.

El sorteo para asignar las plazas se celebró hará cinco meses, y a la hija de mi compañero no le tocó. Días después de que se hiciera el sorteo, habló conmigo y me expresó ciertas dudas que tenía sobre cómo se había realizado. Me explicó que para seleccionar a los niños se les había ordenado por orden alfabético y se les había asignado un número, del 1 al 111. A la hija de mi compañero le dieron el 78. Después se sorteó uno de los números y una dirección para contar, ascendente o descendente.

Por ejemplo, si sale el número 40 y luego se sortea una dirección y sale ascendente, entonces los alumnos que ingresarían en el colegio serían los que tienen los números 40, 41, 42, …, 88 y 89, es decir, se cuentan cincuenta niños a partir del que ha salido, en sentido ascendente. Si hubiera salido el 40 en sentido descendente, los niños serían los números 40, 39, 38, …, 2, 1, 111, 110, 109, ... , 103 y 102. Cuando se termina la lista en sentido ascendente o descendente, se supone que se continúa cíclicamente por el otro extremo.

Hasta aquí, todo es correcto. El problema surgió al sortear el número que sería el punto de partida para el conteo. En lugar de tomar, por ejemplo, 111 bolas numeradas, introducirlas en una bolsa o en un bombo y sacar una al azar, a los responsables no se les ocurrió otra cosa que sortear la centena, luego la decena y luego la unidad.

Así dijeron: "primero sorteamos 0 ó 1, y saldrá menos de cien o más de cien". (Al sortear, salió el 1.) "Ya tenemos un número de cien en adelante. Luego, como los mayores de cien son del 100 al 111, sorteamos la decena: también 0 ó 1 solamente". (Salió el 1 también.) "Ya sólo queda sortear entre el 110 y el 111, otra vez elegimos entre 0 y 1". (Volvió a salir el 1.) Salió como número elegido, por tanto, el 111. Se sorteó luego el sentido, salió ascendente, y los niños seleccionados para las plazas disponibles fueron los que tenían los números 111, 1, 2, 3, 4, …, 49.

Muy mal hecho. Este sorteo es totalmente injusto. No asigna las mismas probabilidades de salir a cada niño. Es muy fácil entender, por ejemplo, que al sortear la centena se están dando las mismas probabilidades a dos conjuntos diferentes: los 99 primeros niños (del 1 al 99), cuya centena es 0, y los 12 niños siguientes (del 100 al 111) cuya centena es 1. Es mucho más ventajoso estar en el segundo grupo, pues hay menos competidores. Lo mismo ocurre luego con la decena, pues tenemos dos grupos diferentes también, uno de 10 niños (del 100 al 109) y otro de sólo 2 (110 y 111). Así tenemos que, de entrada, números como el 78 tienen una probabilidad entre 200 de salir (un 0’5%), mientras que el 110 ó el 111 tienen una probabilidad de salir de una entre ocho (12’5%), una probabilidad 25 veces superior. De esa forma, el sorteo está viciado desde el origen, pues luego al contar cincuenta ya no se tienen las mismas probabilidades.

A mi compañero también le recordé que hubo un sorteo parecido hace unos años con los reclutas de la mili (el servicio militar obligatorio que existió en España hasta hace poco). Al igual que en el colegio del que estamos hablando, las plazas en el ejército para hacer la mili eran ese año menos del número de reclutas que se presentaban. Había unos 160.000 reclutas para unas 70.000 plazas (más o menos, según lo que recuerdo). Se numeró a los reclutas, puede que por orden alfabético, y se sorteó un número, y a partir de él se contaban los 70.000.

El problema estuvo en que el número se sorteó con los bombos de la lotería, pero éstos sólo contienen 100.000 números, con lo que en primer lugar se sorteó la centena de millar 0 ó 1: si salía 0, el número que saliera en el bombo (del 00000 al 99999) sería el válido, pero si salía 1, sólo se tendrían en cuenta del 00000 al 60000 y al número que saliera en el bombo había que ponerle un 1 delante. Así se hizo, pero luego salió el caso en la prensa y se explicaba que había sido un sorteo injusto, y se incluía un estudio probabilístico de las posibilidades de salir de todos los números. No recuerdo si el sorteo fue recurrido por los que sí fueron seleccionados, porque a la mili no quería ir nadie que fuera lo suficientemente sensato, al contrario de nuestro colegio, en el que lo que interesa es conseguir la plaza.

Me ofrecí a hacer un estudio probabilístico completo del sorteo tal y como se había realizado, para demostrar que con él, los niños tenían distintas probabilidades de entrar. En efecto, me salió, por ejemplo, que la hija de mi compañero tenía una probabilidad del 47% aproximadamente, la misma que tenían bastantes otros niños, pero en otros la probabilidad oscilaba desde una máxima, un 53% para el 110 y el 111, hasta una mínima, de un 26% para el 50. Estuve entretenido un par de horas haciendo cálculos laboriosos, trabajando en este problema que me parecía tan interesante, y luego le mandé el resultado a mi compañero para que pudiera presentar la reclamación correspondiente. Así lo hizo, y después de varias semanas sin noticias, pareció que la Delegación de Educación de Granada estaba teniendo en cuenta los argumentos y era posible que se repitiera el sorteo.

Todo este caso me parece un ejemplo muy interesante de cómo las matemáticas de un nivel medio pueden ser útiles en situaciones importantes de la vida cotidiana, distintas de la economía, la construcción, el bricolaje y otras más habituales. Sin embargo, si se repitiera el sorteo no quiere decir que la hija de mi compañero fuera a obtener la plaza con seguridad, pero al menos disfrutaría de una nueva oportunidad, y en este caso con un sorteo justo, no como el primero. Habría, sin embargo, padres que sus hijos sí salieron entre los seleccionados y si el sorteo se volviera a hacer, esos niños se quedarían probablemente fuera del colegio. Para ellos sería difícil aceptar nuestra reclamación, pero hay que comprender que la responsabilidad de todo el asunto recae en las personas que organizaron este sorteo, las cuales lo prepararon sin cuidado y con ignorancia de las leyes de probabilidad, haciendo un tratamiento injusto y arbitrario, aunque no fuera esa su intención, de algo tan delicado como el futuro de 111 niños y niñas y sus respectivas familias.

Al cabo de los meses, después de las vacaciones de verano, tras regresar de nuestros respectivos periplos por los templados mares tropicales, mi compañero oficial me ha informado que, desgraciada e inexplicablemente, la Delegación de Educación ha desestimado la reclamación. Para seguir reclamando queda abierta la vía judicial, pero para tomar esta vía se necesita un abogado, un juicio, que, según le han dicho, puede tardar en resolverse ¡de cinco a ocho años!, y que tras el juicio, si se ganara la causa, lo único que se conseguiría es que ¡se repitiera el sorteo! Repetir un sorteo para ver si una niña entra en un colegio cuando la niña puede estar ya en el instituto, cursando la Secundaria...

Todo este asunto no hace más que dejar un sabor amargo de decepción al enfrentarse con la realidad de las matemáticas en la vida cotidiana, y descubrir la ignorancia de las leyes básicas de la probabilidad entre personas con puestos sociales importantes, como los Directores de colegios, la poca importancia que se le da a garantizar que los sorteos sean justos desde la misma Delegación de Educación, y la terrible, espantosa lentitud con la que funcionan a veces los tribunales de justicia y que los convierte finalmente en injustos, sea cual sea el veredicto final.

PD: para todos los interesados en profundizar en el problema, pretendo subir pronto a la red el documento PDF en el que está resuelto y calculadas todas las probabilidades.

[El Problema de la Semana] Triangulitis

El problema propuesto esta semana a los grumetes va de calcular áreas:

El triángulo exterior de la figura es equilátero y su área es de 4 metros cuadrados. Los triángulos interiores se han construido uniendo los puntos medios de los lados. Calcula el área de la zona sombreada.

(Debajo de la imagen viene la solución. Si el lector quiere intentar resolver el problema por sí mismo, no debe seguir leyendo.)

Como el triángulo exterior lo hemos dividido en cuatro partes, una de ellas sombreada, y luego la parte central se ha dividido en cuatro partes a su vez, una sombreada, y luego volvemos a dividir en cuatro sombreando una, podemos resolver el problema con una suma de fracciones; si el área total es de 4 metros cuadrados, la primera área sombreada será de solo 1 metro cuadrado, la siguiente de 1/4 metros cuadrados, y la última de 1/16 metros cuadrados.

1 + 1/4 + 1/16 = (16 + 4 + 1)/16 = 21/16 metros cuadrados.

Los grumetes no han usado fracciones para resolver el problema, sino números decimales:

1 + 0'25 + 0'0625 = 1'3125 metros cuadrados.

Ambas respuestas, en fracciones o en números decimales, son correctas.

Ampliación del problema: da la sensación de que eso de dividir cada triángulo en cuatro partes y tomar una y luego dividir otra de esas partes y tomar una, etc., es un proceso que se podría repetir todas las veces que se quisiera.

Supongamos que repetimos el proceso infinitas veces. ¿Se podría calcular el área total de los infinitos triángulos sombreados?

La suma sería una serie infinita de fracciones, con denominadores potencias de 4:

1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 + ...

Para los matenavegantes que conozcan las progresiones aritméticas y geométricas, la sucesión 1, 1/4, 1/16, 1/64, 1/256, etc., es una progresión geométrica, ya que cada término se obtiene del anterior multiplicando por 1/4, y a este número se le llama razón de la progresión. En este caso que nos ocupa, la razón de la progresión, 1/4, es menor que 1, y por lo tanto la serie infinita es convergente, es decir, es posible calcular la suma de las áreas de los infinitos triángulos.

La fórmula que nos da esa suma es S = a₁/(1 − r), donde a₁ es el primer término de la sucesión (1 en nuestro caso) y r es la razón (1/4 en nuestro caso).

Hacemos las cuentas pertinentes y obtenemos que:

S = 1/(1 − 1/4) = 1/(3/4) = 4/3 = 1'333333...

La suma de las áreas de los infinitos triángulos vale 4/3 metros cuadrados, o también 1'333333... metros cuadrados.

Nota: el problema Triangulitis ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

El extraño caso de Oliva Sabuco

Cuaderno de bitácora: en la película La Habitación de Fermat (ver la entrada correspondiente en este blog) cinco personajes son citados misteriosamente a una reunión para resolver enigmas, y cada uno de ellos se presenta bajo un seudónimo, o nick, como diríamos hoy, tomado de algún personaje de la historia de las matemáticas. Así tenemos al propio Fermat, mencionado en el título de la película, y también a Hilbert, Pascal, Galois y Oliva. Para todos los matenavegantes los cuatro primeros son matemáticos famosos, pero la única mujer del grupo lleva el seudónimo de una tal Oliva Sabuco, que hasta que salió en la película era totalmente desconocida para mí.

He investigado a esta mujer de la antigüedad, y lo que he averiguado a través de Internet me ha interesado mucho, además de llenarme de incógnitas sin despejar, sobre todo en relación al papel que toma en la película.

¿Quién es Oliva Sabuco? Hay diversas páginas con información sobre ella. Tenemos por ejemplo Oliva Sabuco en la Wikipedia, en la que aparece con el nombre completo de Oliva Sabuco de Nantes Barrera, y se dice que fue una esposa y madre española de la época renacentista a la que se le atribuye la redacción del libro Nueva Filosofía de la naturaleza del hombre, no conocida ni alcanzada de los grandes filósofos antiguos, la cual mejora la vida y salud humana. Por la publicación de este libro, algunos autores afirman que Oliva Sabuco fue una destacada médica y filósofa de su época.

Si estudiamos su biografía, Oliva Sabuco nació en Alcaraz, Albacete, en 1562. La fecha de su muerte es incierta, pero se afirma que es posterior a 1629, es decir, que probablemente llegó a cumplir los 67 años. En 1580, cuando tenía unos dieciocho años, contrajo matrimonio con Acacio de Buedo, con el que tuvo al menos cuatro hijos. Acacio ocupó varios cargos públicos en Alcaraz, y el matrimonio dispuso de una posición desahogada, legando dotes sustanciosas a sus hijos.

No está registrado en ninguna parte que Oliva Sabuco cursara estudios; se dice que fue formada en su casa, y que su padre había organizado tertulias intelectuales. En realidad, éste era el único camino para que la joven Oliva adquiriera una formación, porque en aquella época los estudios académicos oficiales estaban prohibidos para las mujeres. Fuera como fuese, la joven Oliva se las ingenió para redactar el libro Nueva Filosofía de la naturaleza del hombre... antes de 1585, con menos de veintitrés años, y lo publicó en 1587. Estas circunstancias han suscitado la controversia sobre si Oliva Sabuco fue realmente la autora del texto, y hay estudiosos que están a favor de su autoría, y otros que definitivamente niegan tal posibilidad.

Por un lado tenemos una mujer muy joven, de veinte y pocos años, recién casada, de la que algunos historiadores afirman que tuvo que dedicarse desde el momento en que contrajo matrimonio a sus tareas de esposa y madre, sin formación académica documentada y crecida en un pueblo o aldea de Albacete, lejos, en principio, de los círculos intelectuales de entonces. Por otro lado un libro escrito en un castellano de elevado estilo, un tanto arcaico para la época en que creció Oliva Sabuco, con partes escritas en un latín excelente, y de un contenido muy avanzado, científico-naturalista y filosófico, que fue elogiado por muchos autores de la época y recibió varias ediciones. Oliva Sabuco, además, no mantuvo ningún tipo de correspondencia científica con los autores y sabios de su tiempo, ni volvió a escribir ningún otro libro, ni dejó otros textos sin publicar que se conozcan, sino que su vida fue sencilla, oscura y desconocida para las crónicas, la vida de un ama de casa de buena posición en aquellos años.

Debido a estas circunstancias, hay muchos estudiosos que afirman que la autoría del libro no pertenece en realidad a Oliva, sino a su padre, el bachiller Miguel Sabuco, quien, al parecer, habría escrito el libro y al intentar publicarlo, temeroso de que su avanzado contenido le granjeara una denuncia por hereje, cedió la autoría a su hija, y más tarde, cuando vio que el libro había recibido las licencias para su publicación, intentó recuperar su nombre como autor del mismo.

Hay, sin embargo, ardientes defensores de que dicho libro fue escrito, efectivamente por la propia Oliva, y tratan de mantener el prestigio de esta mujer como una de las pocas mujeres científicas de la antigüedad, y una de las escasas figuras femeninas españolas que destacaron en aquellos tiempos en los campos del saber. Tenemos, por ejemplo, la Sociedad Oliva Sabuco, en la que se estudian todos los pormenores y detalles de su historia, concretamente en la página dedicada a su biografía.

Mi postura personal, en cuanto al caso de esta mujer, está más cerca, en principio, de la de la Sociedad Oliva Sabuco, pues no veo por qué hay que negar la posibilidad ni el mérito a una mujer joven para ser una gran estudiosa y la autora de un libro importante, a pesar de las dificultades de la época en que vivía. Parece ser, además, que tuvo acceso a importantes bibliotecas de Alcaraz, como la de su padrino, el Doctor Heredia, y pudo departir con personajes de la talla del profesor Simón Abril, eminencia en autores clásicos latinos y griegos, que llegó al pueblo por aquellos años y luego sería nombrado profesor de la Universidad de Zaragoza.

Tenemos pues, por un lado, el descubrimiento de esta mujer excepcional, bastante desconocida, y de su libro, un descubrimiento lleno de puntos interesantes. Pero por otro lado, nos encontramos con el papel de esta mujer en la película La Habitación de Fermat.

Aquí las cosas no me coinciden. En primer lugar, la película trata sobre matemáticos, y los seudónimos empleados son nombres de matemáticos famosos, excepto Oliva, porque ella, se dude o no, es conocida como médica y filósofa, no como matemática. Su libro no trata de matemáticas, sino de medicina y filosofía. En segundo lugar, en un momento clave de la película, se comenta que Oliva Sabuco murió a la edad de 26 años, edad que coincide con la de la mujer que lleva su seudónimo. Pero los pocos datos de su biografía con los que se cuenta dicen que pudo llegar a vivir más de sesenta años.

Habiendo mujeres matemáticas famosas en la historia, ¿por qué se ha incluido en la película a Oliva Sabuco, que no era matemática? Y si la edad de la muerte de los matemáticos mencionados es un punto importante en el argumento, ¿por qué se afirma que murió a una edad que no parece ser cierta?

Quedan abiertas para nosotros estas pequeñas incógnitas, difíciles de resolver por el momento, salvo que algún día tengamos acceso a conocer las intenciones de los guionistas del film. En cualquier caso, es curioso cómo algunas veces hay detalles que llaman la atención, y que luego, al investigarlos, resultan ser más interesantes de lo que parecían en un principio, como sucede con cualquier travesía a traves de los mateocéanos: en la distancia, la isla que se ve a los lejos es solo un punto que rompe la continuidad del horizonte; cuando te acercas lo suficiente, sin embargo, se revela ante tus ojos todo un paisaje nuevo de exhuberante vegetación cuajado de flores y frutos, elevadas montañas, ríos caudalosos interrumpidos por rugientes cascadas, y ocultas tras ellas, oscuras cuevas de paredes forradas con piedras preciosas que conducen, inevitablemente, al corazón del misterio.

[El Problema de la Semana] La altura del tronco

Inauguramos un nuevo tipo de entradas a los que vamos a llamar El Problema de la Semana.

Desde hace ya cinco años, en nuestro Barco Escuela venimos proponiendo problemas a los grumetes, un problema por semana, aunque no todas las semanas, porque en total salen unos quince problemas durante el curso. Suelen ser problemas variados, algunos de ellos ingeniosos, que se pueden resolver de diversas maneras. Habitualmente los extraemos de los libros de nuestra biblioteca matemática, aunque también hay algunos que proceden de la web, o nos los cuentan espontáneamente otros matenavegantes, etc. A aquellos grumetes que entregan más problemas resueltos se les da un premio al final del curso.

El problema de esta semana es muy sencillo:

¿Qué altura tiene un tronco que es 2 metros más corto que un árbol de altura triple que la del tronco?

La solución viene debajo de la ilustración. Si el lector quiere intentar resolverlo por sí mismo, no debe seguir leyendo.

[autor de la fotografía: Luis Diago]

Hay varias formas de resolver el problema. Una de ellas puede ser por cálculo mental, tanteando con algunas cantidades, aunque en realidad no hay que tantear mucho. Otra forma es plantear una ecuación.

Llamemos x a la altura del tronco. Entonces x es 2 unidades menor que 3x. En forma de ecuación:

x = 3x − 2

Es fácil despejar x:

x − 3x = −2

−2x = −2

x = −2/(−2)

x = 1

Solución: el tronco mide 1 metro de altura.

Nota: este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

El método americano para el cálculo del mínimo común múltiplo

Cuaderno de bitácora: la navegación por los matemares nunca deja de traernos descubrimientos inesperados. El último ha sido hace un par de días, cuando uno de nuestros grumetes me ha mostrado lo que podemos llamar como "método americano para el cálculo del mínimo común múltiplo".

En los colegios españoles es costumbre enseñar a los alumnos la descomposición factorial de los números en factores primos. Esto es lo que entre los matenavegantes se conoce como Teorema Fundamental de la Aritmética: todos los números enteros positivos se pueden descomponer de forma única como producto de números primos.

Tal y como está enunciado, para que éste Teorema sea cierto, es necesario que el 1 no sea un número primo. Los números primos son, por tanto, 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Muchas personas recuerdan una de las definiciones más corrientes de número primo: un número que sólo es divisible por 1 y por sí mismo. Si seguimos al pie de la letra esta definición, el 1 sí sería primo, ya que sólo es divisible por 1 y por sí mismo, 1.

Sin embargo, es muy incómodo dejar que el 1 sea primo, ya que entonces la factorización en factores primos de los números naturales (también llamados enteros positivos) permitiría expresiones como: 6 = 1·2·3, o que 6 = 1·1·1·2·3, en lugar de limitarnos a decir que 6 = 2·3. La factorización en factores primos no sería única, podría variar todo lo que quisiéramos introduciendo tantos factores 1 como nos apeteciera.

Una definición más ajustada de número primo es, por tanto, la siguiente: un número primo es un número natural mayor que 1 que sólo es divisible por 1 y por sí mismo. (Así el 1 queda excluido, y con él, los problemas de unicidad de las descomposiciones.)

Cuando se trata de calcular el máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números, en los colegios españoles, tradicionalmente, se ha enseñado que los números han de descomponerse en factores primos, y luego tomar

-para el mcd los factores comunes con el menor exponente.

-para el mcm los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

Pero eso de tomar los factores comunes, no comunes, mayor, menor exponente... muchos grumetes se hacen un verdadero lío, y no les queda nada claro. Se les olvida rápidamente, y aunque la intención de los profesores es buena, no parece que este método de cálculo de mcd y mcm tenga el éxito que merece en el aprendizaje de nuestros alumnos.

Da la sensación de que al enseñar todos estos procesos se pretende que el alumno vaya captando algunos conceptos abstractos que, en realidad, son bastante avanzados, como la unión y la intersección de conjuntos, y esa íntima arquitectura de los números que se descifra gracias a su descomposición factorial.

Se me ocurre comparar un número con el motor de un coche. Descomponer un número sería como desmontar un motor: usando las herramientas adecuadas para cada tornillo y cada tuerca, cualquiera puede aprender a desmontar un motor. Pero sacar a partir de las descomposiciones el mcd y el mcm se asemeja a tener el motor de un coche desmontado y lograr que una persona aprenda a recombinar las piezas para conseguir, por ejemplo, el motor de una motocicleta o el de un camión. Eso ya es una tarea mucho más difícil, que requiere conocer profundamente el funcionamiento interno del motor, conceptos como la energía y el trabajo, la potencia, el diseño de las piezas, y muchos aspectos técnicos que quizás sólo son interesantes para especialistas de la talla, por ejemplo, de los que trabajan como mecánicos en la Fórmula Uno.

Cuando aprendemos a sumar y restar fracciones, nos enseñan que hay que calcular el mínimo común denominador de las fracciones. Esto no es necesario, porque basta calcular un común denominador, no hace falta que sea el mínimo, siempre que en el resultado final nos habituemos a simplificar o reducir las fracciones hasta conseguir una fracción irreducible.

Las calculadoras científicas corrientes que se usan en la Enseñanza Secundaria, permiten trabajar con fracciones y es muy sencillo simplificar con ellas cualquier fracción. Pero no están programadas para calcular el mínimo común múltiplo, por lo que averiguar el mcm es una tarea que en clase hay que hacerla a mano.

Aunque calcular el mínimo común denominador no es necesario, como hemos dicho antes, se les acostumbra a los grumetes a realizar el cálculo, y entonces, como no se acuerdan del algoritmo, surgen los problemas: ¿cómo se calculaba el mcm de los denominadores? ¿cogemos los factores comunes o los no comunes? ¿cuántas potencias de cada factor tomamos? Además, el proceso de sumar o restar las fracciones queda interrumpido por el cálculo del mcm, que a veces resulta largo y tedioso.

Estábamos dedicados en el Barco Escuela a este tipo de ejercicios cuando uno de los grumetes me preguntó si el método que estaba empleando se podía usar. Y entonces me enseñó un procedimiento que yo no había visto antes, y que a él le habían enseñado en tierras americanas.

Dicho método o algoritmo me ha parecido tan sencillo que lo voy a tratar de explicar aquí. Aunque utiliza la descomposición en factores primos, no se necesita hablar explicitamente de factores comunes ni de mayores o menores potencias. Se toman los números a los que se quiere calcular el mínimo común múltiplo. Se ponen en fila. A un margen de la fila se coloca un factor primo, que aparezca al menos en uno de los números, y se dividen todos los números que se puedan por ese factor, colocando los cocientes debajo de cada número. Luego se coloca otro factor primo, puede que el mismo si en algunas columnas todavía se puede seguir dividiendo por él, y se dividen todos los números que ahora tenemos en la parte inferior de cada columna (los cocientes de la primera división y los que no se pudieron dividir en el primer paso) por el nuevo factor. El caso es ir logrando que todos los números vayan siendo divididos progresivamente hasta que cada columna termine en 1. Luego se toman todos los factores que pusimos al margen y se multiplican; el resultado es el mcm buscado.

Ilustrémoslo con un ejemplo: sean los números 12, 18, 30, 45. Busquemos el mcm de estos cuatro números.

Empezamos escribiendo en el margen el número primo 2, que divide a algunos de los números. Los que se pueden dividir son divididos, los que no, se quedan como están (véase ilustración)

Como todavía en la primera columna se puede dividir por 2, volvemos a ponerlo al margen, y dividimos lo que podemos.

Continuamos con el 3, que ponemos al margen, y dividimos los números de la parte inferior de las columnas por 3, los que se puedan, (en este caso se pueden todos).

Obsérvese que en la primera columna ya hemos conseguido llegar a 1. Esa columna ya está terminada. Como en algunas de las otras columnas todavía se puede dividir por 3, volvemos a colocar un 3 al margen y dividimos.

Ya hemos terminado también la segunda columna, nos quedan sólo la tercera y la cuarta, ponemos un 5 al margen y dividimos.

Hemos llegado al final. Si observamos el margen, hemos recopilado todos los factores necesarios para el mcm, que será 2·2·3·3·5 = 180.

El lector puede hacer sus propias comprobaciones con otros ejemplos, como el siguiente: calcular el mcm de 28, 32, 40. El proceso debe ser el que aparece en la ilustración, en la que hemos reflejado todos los pasos:

Obtenemos finalmente que el mcm de 28, 32 y 40 es 2·2·2·2·2·5·7 = 1120.

PD: todos los matenavegantes expertos saben que para el cálculo del mcd de dos números existe un algoritmo clásico muy antiguo, fácil y rápido, conocido como algoritmo de Euclides que no emplea la descomposición en factores primos. Consúltese, por ejemplo, la página de Vitutor, que lo explica de forma muy sencilla.

El Nurikabe

Cuaderno de bitácora: estamos empezando un nuevo periplo en el Barco Escuela, y este año a los grumetes les hemos propuesto como pasatiempo que aprendan a resolver nurikabes.

Descubrí el Nurikabe en una librería, en la sección de los libros dedicados a juegos y pasatiempos. Entre los libros de sudokus y kakuros estaba El libro del Nurikabe, escrito por Sam Griffith-Jones y publicado por Valor Editions.
Dice Sam Griffiths-Jones en su Introducción al Nurikabe:

En el folklore japonés, el Nurikabe es una pared invisible que impide al viajero proseguir su camino. El Nurikabe toma la forma de una tabla en la cual están colocados una serie de números. El objetivo es usar esos números para decidir qué casillas en la tabla deberían estar ennegrecidas (el Nurikabe, o pared), y cuales deberían quedarse en blanco, basándose en una serie de normas sencillas. El Nurikabe también es conocido bajo el nombre de "islas en una corriente", donde las casillas negras son la corriente y las casillas blancas las islas. Cada puzzle tiene una sola solución, y siempre se puede llegar a esa solución por deducción lógica. No es menester hacer adivinanzas.

Según la wikipedia, el Nurikabe es un pasatiempo desarrollado por un tal Reenin en el número 33 de la revista Nikoli, publicado en marzo de 1991. Pronto se convirtió en un éxito dentro de la revista, que ha seguido incluyéndolos en todas sus ediciones.

El Nurikabe ha seguido la estela del extraordinario éxito del Sudoku. Después de que el Sudoku se popularizase en 2004, otros pasatiempos de origen japonés han ido apareciendo en todo el mundo. El Kakuro y el Nurikabe son dos de ellos.

En la página web Nurikabe @ Daily Sudoku se explican las reglas, hay un tutorial y una gran colección de nurikabes para imprimir y resolver. Como quiera que la página está en inglés, a continuación incluyo una traducción de las reglas y el tutorial.

Reglas:

-Cada celda o casilla debe ser blanca o negra.

-Cada grupo de casillas blancas (islas) debe contener uno y solo un número.

-El número de casillas blancas en un grupo debe ser igual a ese número.

-Todas las casillas negras deben estar unidas formando un bloque continuo (el muro o corriente).

-Los bloques 2x2 de casillas negras no están permitidos.

Ejemplo resuelto:

Primer paso: casillas con un 1

Fijémonos en el número 1 cerca del centro de la cuadrícula. Cada isla debe contener un número. El número 1 representa una isla con solo un cuadrado blanco, así que podemos sombrear las casillas adyacentes. Esto mismo es cierto para el 1 de la esquina superior derecha.

Paso dos: sombreando entre las islas

Ningún grupo de celdas blancas debe contener más de un número. Esto significa que los números deben estar separados por cuadrados negros. Cuando tenemos dos números con un solo cuadrado entre ellos, este cuadrado debe ser ennegrecido. Por ejemplo, el 5 y el 2 de la esquina superior izquierda deben separarse por una casilla negra.

Paso tres: extendiendo el muro

Si nos concentramos en la esquina inferior izquierda de la cuadrícula, cada cuadrado negro debe estar conectado para formar el muro. La casilla negra de la esquina inferior izquierda no debe quedarse aislada. Sólo tiene un cuadrado vecino posible, el cual, por tanto debe ser negro. Donde haya una única posibilidad, debemos extender el muro.

Paso cuatro: extendiendo las islas

Fijémonos en el número 2 en la esquina inferior izquierda. Esta isla no está completa todavía, necesita un segundo cuadrado blanco. El número tiene sólo una casilla vecina posible, y por tanto debe ser blanca. Podemos poner un punto en esa casilla para mostrar que es blanca. Ahora la isla "2" está completa, y por tanto la podemos rodear de cuadrados negros.

Paso cinco: aislamiento

Echemos un vistazo a los cuadrados marcados con (a). Estos cuadrados están rodeados, y por tanto no pueden ser parte de ninguna isla. Se deben sombrear.

Como estamos ahí, debemos extender el muro de la esquina superior derecha. Podemos buscar otros lugares donde el muro debe extenderse también.

Paso seis: otra vez las islas

Miremos el 5 en la esquina superior izquierda. Necesitamos extender la isla. Usemos puntos para señalar los cuadrados que deben ser blancos.

¿Qué otras islas se pueden extender?

Paso siete: bloques 2x2

La última regla dice que no se permiten bloques 2x2. Los dos cuadrados marcados con (a) en la parte central izquierda de la cuadrícula deben ser blancos, porque si los sombreamos violamos dicha regla. Marquémoslos con puntos.

Paso ocho: sombreando entre las islas II

En el paso dos, rellenamos los cuadrados que separaban dos números. Esto lo podemos extender de manera lógica y rellenar los cuadrados que separan las islas que van creciendo. Observemos los cuadrados marcados (a). ¿Se comprende por qué deben ser sombreados?

Paso 9: muro e islas

El error más corriente es concentrarse sólo en el muro, o sólo en las islas. Necesitamos ir cambiando la atención del muro a las islas y de las islas al muro. Busquemos si se pueden extender partes del muro para evitar que se queden aisladas, y extender islas y sombrear las casillas que las rodean cuando están llenas.

Paso 10: ya casi está

¡Casi lo hemos conseguido! Nótese que en la cuadrícula mostrada arriba, debemos rellenar los cuadrados marcados (a) para que no se queden aislados trozos enteros de muro.

Paso 11: últimos cuadrados

Las islas restantes se pueden extender en una sola dirección. El último cuadrado oscuro une dos grandes secciones de muro en una unidad continua.

Paso 12: solución

¡Bien hecho! Obsérvese la distribución de las islas y la línea continua de muro.

En la misma web Nurikabe @ Daily Sudoku hay una página con muchos nurikabes para imprimir.

Notas:

Las reglas del Nurikabe no son tan intuitivas ni tan simples como las de los sudokus. De hecho hay variantes. Así tenemos, que en El libro del Nurikabe, Sam Griffiths-Jones incluye una regla específica, no incluida aquí, que dice que el muro no puede tener ciclos, es decir, el muro no puede contener circuitos cerrados de casillas; otra forma de definir esta misma regla es exigir que dadas dos casillas negras del muro, debe haber un solo camino posible que las une. Además no están permitidos los bloques 2x2 de casillas negras ni tampoco los bloques 2x2 de casillas blancas. Sin embargo, en la página web Nurikabe @ Daily Sudoku no se incluyen estas dos reglas, aunque el ejemplo que trae sí las sigue implícitamente.

Hay otras páginas de Nurikabes en las que los ciclos sí están permitidos explícitamente. Véase, por ejemplo, el siguiente Nurikabe resuelto, que aparece en la página de su.doku.es:

En este Nurikabe hay un ciclo en torno a la isla "1" del centro. Si quisiéramos ir por el muro de una casilla negra que esté junto al 3, a la casilla negra que está junto al 6, habría dos caminos posibles, al poder rodear al 1 central por dos lados distintos.

Hay otras muchas webs en las que aparecen Nurikabes para resolver online. La página de la revista japonesa Nikoli tiene también tutoriales flash (en inglés) para aprender de forma sencilla e interactiva a solucionarlos.

Si yo tuviera un gúgol de euros...

Cuaderno de bitácora: en uno de nuestros viajes por los puertos ingleses, descubrimos un libro con muy buen precio, The Story of Mathematics, escrito por Anne Rooney. Su contenido es ameno y fácil de leer (para los que saben inglés), y durante el nuevo periplo del Barco Escuela estamos seleccionando algunos textos para trabajar con los grumetes.

Uno de esos textos habla sobre el gúgol y el gúgolplex (googol y googolplex en inglés). Los matenavegantes suelen conocer estos dos números, ya que han ido adquiriendo cierta fama a lo largo del tiempo.

Un gúgol es un número: un 1 seguido de cien ceros. En potencias de diez, diríamos que es diez elevado a cien, 10¹⁰⁰. Es, por tanto, un número muy grande, enorme.

Un millón es un 1 seguido de seis ceros, un billón (en España) es un 1 seguido de 12 ceros. Un trillón, un 1 seguido de dieciocho ceros. Éstos ya son números muy grandes. El gúgol es mucho, mucho, pero mucho más grande que cualquiera de los mencionados. En la definición de gúgol de la Wikipedia, que recomendamos leer porque trae unas cuantas curiosidades sobre el gúgol, se comenta, por ejemplo, que siguiendo la misma tónica de potencias de diez: trillón, cuatrillón, quintillón, sextillón, septillón, octillón, etc., el gúgol equivaldría a diez mil hexadecillones.

Un gúgol, como hemos dicho, es enorme, pero mucho peor es el gúgolplex. El gúgolplex es otro número: un 1 seguido de un gúgol de ceros, o en potencias de diez, diríamos diez elevado a un gúgol.

La ocurrencia de ponerle nombres propios a estos dos números la tuvo Milton Sirotta, el sobrino de nueve años del matemático americano Edward Kasner. En el libro Matemáticas e Imaginación, de Edward Kasner y James Newman, se dice, por ejemplo, que

Palabras de sabiduría pronuncian los niños, por lo menos tan a menudo como los hombres de ciencia. El nombre "gúgol" fue inventado por un niño (sobrino del doctor Kasner, de nueve años de edad), a quien se le pidió que propusiera un nombre para un número muy grande, a saber: un 1 seguido de cien ceros. Estaba muy seguro de que este número no era infinito y, por lo tanto, igualmente en lo cierto de que tenía que tener un nombre. Al mismo tiempo que indicó la palabra "gúgol", sugirió el nombre para otro número aún mayor: "gúgolplex". Un gúgolplex es mucho mayor que un gúgol, pero continúa siendo finito, como se apresuró a señalar el inventor de su nombre. Primero se sugirió que un gúgolplex sería un 1 seguido de tantos ceros que uno se cansase de escribirlos. Esto es una descripción de lo que sucedería si uno tratara realmente de escribir un gúgolplex, pero distintas personas se cansan en tiempos diferentes y no consideraríamos a Carnera [un boxeador de la época] mejor matemático que al doctor Einstein, sencillamente porque tuviera más resistencia. El gúgolplex es, pues, un número finito determinado, formado por tantos ceros después de la unidad, que el número de ceros sea igual a un gúgol.

En otro pasaje del mismo libro, se dice también que

Desgraciadamente, tan pronto como la gente habla de números grandes, pierde la chaveta. Parecen hallarse bajo la impresión de que, ya que cero es igual a nada, pueden agregar a un número tantos ceros como les plazca sin que ello traiga consecuencias serias. Tendremos que ser un poco más cuidadosos, pues, al hablar de números grandes.

En efecto, corroborando lo que dice el libro, una vez que explicamos a los grumetes lo que significa un gúgol, ellos no parecen captar la idea. No les culpamos, porque es muy raro que alguien pueda captar la idea al principio. Les decimos, por ejemplo, que se ha calculado el número de partículas subatómicas del universo (protones, neutrones, electrones, fundamentalmente) y que ese número es menor que un gúgol, está en torno a diez elevado a ochenta, o un 1 seguido de ochenta ceros. Les decimos también que si quisiéramos escribir un gúgolplex, no habría en el universo espacio suficiente para escribir todos los ceros. Parece que con estas comparaciones es suficiente para que capten el concepto, pero no es así.

Porque de repente, siempre surge la misma ocurrencia: ¿y tener tanto dinero como un gúgol?

Hasta ahora no me había dado cuenta que una de las mejores maneras para hacerse una idea de los números grandes es hablar en términos de dinero. Ahí los grumetes, y cualquier persona, en general, tiene muchas referencias, y además interesantes, porque es fácil suponer que tenemos grandes cantidades de dinero y dejar volar la imaginación con todo lo que podríamos hacer con ellas.

Si hablamos de mil euros, por ejemplo, estamos hablando del sueldo mensual, un poco bajo, de una persona (últimamente se ha acuñado el término mileurista para designar en España a los trabajadores que tienen un sueldo en torno a mil euros al mes, cantidad que es escasa a la hora de hacer frente a la hipoteca de un piso, el mantenimiento de una familia, etc.) Si hablamos de diez mil euros, entonces ya entramos en lo que vale, por ejemplo, un automóvil sencillo. Si fueran cien mil euros, es el valor de un piso pequeño en una ciudad donde los precios de los pisos sean bajos.

Cuando llegamos a un millón de euros, entonces ya nos podemos imaginar una casa grande con jardín, piscina, bien amueblada, y si son diez millones de euros, empezamos a movernos en las cifras que ganan algunos deportistas al año. Cien millones de euros es un poco más de lo que costó el traspaso de Cristiano Ronaldo al Real Madrid, y puede ser el presupuesto de una superproducción de Hollywood protagonizada por actores famosos. Miles de millones de euros se pueden usar para contabilizar la fortuna de algunos multimillonarios. Aquí ya se empieza a perder la perspectiva.

Un billón de euros, (un millón de millones), es una cifra que se usa en la economía global de los países. El Producto Interior Bruto (PIB) en España, la suma de todos los bienes y servicios finales producidos en un año, fue en 2008 alrededor de un billón de euros, mientras que el PIB mundial, es decir, la suma de todos los países, no llegó a cincuenta billones de euros.

Un mil billones de euros, por tanto, es más de lo que se ha producido en todo el mundo durante los veinte últimos años.

Si ahora subimos a un trillón de euros (un 1 seguido de dieciocho ceros), resulta que es más de mil veces el dinero que se ha movido en todo el mundo en veinte años, ¿qué se le puede decir a un grumete cuando con ingenua e inconciente ocurrencia pregunta por un gúgol de euros?

En ese momento clave intento contestarle de forma contundente, y mi propia imaginación me traiciona. Lo primero que digo es que ese dinero no existe, que no hay tanto dinero en el mundo, y el grumete me pregunta: ¿por qué?

Luego se me ocurre decirle que con ese dinero se podría comprar el mundo entero, qué digo el mundo, el sistema solar entero, y esto último ya me parece bastante fuerte.

Pero poco a poco lo realmente enorme de tal cantidad se va abriendo paso en mi mente: un gúgol de euros...

No hay un gúgol de partículas subatómicas en el universo, luego si se me ocurriera pagar un euro por cada átomo del universo, podría comprar el universo entero, y me sobraría mucho dinero...

Pagar un euro por cada átomo es un precio CARÍSIMO. ¡Para comprar un SIMPLE vaso de agua no habría suficiente dinero en el mundo!.

Si yo tuviera un gúgol de euros, podría pagar un euro por cada átomo y comprar este universo entero.

Si yo tuviera un gúgol de euros, podría pagar un euro por cada partícula subatómica y comprar un trillón de universos como éste...

Si yo tuviera un gúgol de euros...

El Sudoku X

Cuaderno de bitácora: hace un par de meses, con el barco atracado en puerto, nos pusimos a ordenar los camarotes, y entre la montaña de viejos papeles que sacamos de los polvorientos armarios, apareció una doble página del Diario Córdoba, con fecha del 30 de diciembre de 2005, llena de sudokus para resolver durante las vacaciones de Navidad de aquel año.

Creo recordar que fue Antonio, un compañero oficial matenavegante, el que tras las fiestas navideñas, al reencontrarnos en el Barco Escuela, me tendió la doble página con la amable frase: "mira, el periódico traía estas páginas, me he acordado de tí que sé que te gustan los sudokus, aquí las tienes..."

No puedo negar que los sudokus me agradan mucho, aunque comparto su afición con los kakuros, nurikabes, puzzles japoneses y en general cualquier pasatiempo medianamente entretenido, incluyendo los clásicos crucigramas y autodefinidos. Aparte de la lectura, la escritura, las películas, etc., los pasatiempos me sirven para rellenar los numerosos ratos de ocio en las largas travesías por los mateocéanos.

Cuando Antonio me dio aquella doble página, hace ya casi cuatro años, escribí algunos números en algún que otro sudoku, sin terminar ninguno, y luego guardé el papel en cierto lugar del camarote, y allí se ha quedado, esperando pacientemente la ocasión de volver a salir a la luz, lo que ocurrió por fin cuando este verano me puse a ordenar y limpiar.

El espacio en la doble página se había aprovechado muy bien: en total venían en ella veinticinco sudokus, de los cuales, dieciocho eran sudokus normales, había tres sudokus más sencillos, uno de 4x4 y otros dos de 6x6, también un sudoku monstruo de 16x16, y tres sudokus irregulares (que en el diario se llamaban sudokus estrella, quizás aludiendo a los adornos navideños).

Los sudokus irregulares son como los normales, salvo que en lugar de estar organizados en cuadrados 3x3, están dividido en nueve zonas de nueve números cada una, pero las zonas no suelen ser cuadradas, sino que son figuras irregulares, de ahí el nombre.

En los largos días de verano, mecido suavemente por las olas que venían a descansar al puerto, aprovechando la ocasión de aquel hallazgo, me dediqué a resolver, uno por uno, todos los pasatiempos. Había sudokus más sencillos, otros de nivel medio, y otros más difíciles. El sudoku monstruo 16x16 fue especialmente laborioso, pues se debían tener en cuenta, además de los dígitos del 1 al 9 habituales, el 0 y las letras A, B, C, D, E, F. Dos de los sudokus irregulares salieron sin problemas. Pero el tercer sudoku irregular se resistió enormemente a ser solucionado.

Lo intenté en varias ocasiones, pero al principio, ante la imposibilidad de encontrar razonamientos que me condujeran a sacar los números, lo iba posponiendo, hasta que se me quedó en último lugar. Todos los demás sudokus estaban ya terminados y sólo éste permanecía invicto, desafiante. Le di muchas vueltas, y poco a poco, día tras día, empezó a ceder. Un día lograba poner un nuevo número. Al día siguiente, otro número, y así, casi a dígito por día, logré avanzar, como piloto que guía su navío con extrema lentitud y cuidado por un estrecho marino sembrado de escollos. Finalmente, se consiguió. El sudoku fue resuelto.

Siempre que logramos resolver un problema difícil, ocurre que nuestra mente encuentra nuevos razonamientos, nuevos senderos lógicos, nuevas tesis e implicaciones. Así ocurrió también en la solución de este sudoku. A pesar de haber resuelto muchos, hemos descubierto algunas elaboradas relaciones entre los números de la cuadrícula que no son evidentes a simple vista, sino que aparecen después de reflexionar un día tras otro sobre los mismos números, las mismas filas, las mismas columnas, las mismas zonas.

A continuación incluyo el sudoku protagonista de esta aventura. Invito a todos los matenavegantes a que intenten resolverlo, pero quedan advertidos de su dificultad. Es posible que alguno descubra un camino corto para solucionarlo, un atajo que se me haya pasado inadvertido, lo cual no dejaría de ser una sorpresa muy agradable.

Es curioso que las casillas sombreadas de este sudoku, formadas por cinco zonas, la central y las de las esquinas, tengan, precisamente, la forma de una X, la clásica incógnita matemática. Por eso hemos bautizado a este sudoku con el misterioso nombre de Sudoku X.

Esta es la Solución al Sudoku X

Buscando la Combinación del Candado

Cuaderno de bitácora: el otro día me vino a la memoria aquella vez de tantas que regresé al mando de mi nave al renombrado puerto de Hispalis y pasé un buen rato en la cantina charlando con viejos exploradores conocidos mientras degustábamos viandas de tierra adentro. En aquella ocasión de la que hablo, uno de estos exploradores, amigo mío de hace muchos años, del que sé que ya se afincó en el otro hemisferio tras haber dejado varios océanos atrás, me enseñó un objeto que había encontrado en uno de sus viajes y me pidió ayuda para poder darle uso.

El objeto en principio no tenía nada de especial. Era un sencillo candado metálico de combinación, con tres rueditas de números, que se puede abrir girando las rueditas hasta colocar la combinación correcta de dígitos. Nuestro explorador, que había aprendido hacía años a ahorrar hasta el último doblón, quería aprovechar el hallado objeto para asegurar el cierre de una de sus muchas maletas, pero ignoraba la combinación y no imaginaba cómo proceder.

Resultaba indudable que para él, intentar averiguar la combinación quedaba fuera de sus capacidades; aquella tarea se le antojaba casi imposible, digna de un experto ladrón de cajas fuertes, de esos que con un estetoscopio de médico y manos enguantadas se cuelan en las mansiones de los ricos durante las horas de la madrugada y logran abrir las puertas blindadas de las cajas prestando atención al clic-clic de las ruedas de la cerradura. Quizás con ese pensamiento fue que me comentó lo del candado, enseñándomelo, pero cuando lo vi, le dije con seguridad que yo podía encontrar la combinación.

En efecto, así fue. ¿Cómo lo hice? Sentado tranquilamente a la mesa y dejando con indiferencia que mi jarra de zumo de uva se calentara, procedí a colocar las rueditas en el 000, y pulsé para abrir el candado, pero no se abrió, luego las puse en el 001 y volví a pulsar, luego en el 002, y así sucesivamente fui probando, 003, 004, 005 ...

Cuando mi amigo el viejo explorador me vio intentando abrir el candado número a número, me preguntó si aquello no me iba a llevar demasiado tiempo, y su pregunta sonó como una afirmación, porque él estaba convencido de que lo que yo estaba haciendo era del todo inútil, y que me cansaría antes de llegar ni siquiera a acercarme a la solución.

Sin embargo le dije que no se preocupase, y seguí con mi tarea. Para su sorpresa, al cabo de no más de un cuarto de hora, la combinación estaba averiguada (recuerdo que el número era ciento y pico, cerca de doscientos), y el candado, abierto.

Como matenavegante, yo jugaba con ventaja. Sabía que una combinación de tres números no se tarda mucho en averiguar probando cada posibilidad una a una. Si contamos el tiempo, aunque no lo he vuelto a intentar, supongo que se pueden ir probando hasta veinte números por minuto, con lo que en una hora da tiempo de sobra para sacar la combinación, sea la que sea, y probablemente en mucho menos de una hora, como me pasó a mí.

Pero claro, estamos hablando de un candado de tres rueditas. Diferente es si empezamos a probar con candados de cuatro, cinco o más rueditas. Para el de cuatro, la tarea puede alargarse durante horas enteras, y para el de cinco es posible que se tarden días, y así sucesivamente. El candado de sólo tres ruedas es ciertamente asequible.

Como consecuencia, este tipo de candados de tres ruedas deben servir, por tanto, para asegurar objetos que podamos controlar en casi todo momento y de los que no nos separaremos salvo por periodos muy cortos de tiempo (minutos apenas). No resulta inteligente utilizar uno de estos candados para objetos que van a estar solos durante un rato prolongado, al alcance de otras personas que puedan, sin vigilancia, trastear con ellos hasta encontrar la combinación. No son seguros para estos casos, y se debería optar por candados con más ruedas.

Cuando le devolví solucionado el problema, mi viejo amigo explorador me lo agradeció bastante. Ignoro si todavía conserva el candado. La última vez que lo vi fue no hace mucho, en una de las principales ciudades costeras del Extremo Oriente, y en esta ocasión charlamos sobre muchas cosas, pero no nos acordamos de esta anécdota. No sé si leerá esta entrada del blog allá al otro lado del charco, pero cuando nos volvamos a encontrar se la mencionaré por si quiere añadir algún comentario.