Veamos:
Elige un número cualquiera de tres cifras y escríbelo dos veces seguidas para obtener un número de seis dígitos (por ejemplo 327, que se convierte en 327327). Puedes comprobar que el número que resulta es divisible por 7. Haz la división y comprueba que el cociente es divisible por 11. Haz de nuevo la división y comprueba que el cociente es divisible por 13.
¿Puedes explicar por qué ocurre esto con cualquier número que elijas?
La solución, más abajo.
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| No se sabe quién fue el autor que compiló el libro de Las Mil y Una Noches y que tuvo la feliz idea de darle este sugerente título. El número 1001 parece querer significar "más de mil". Teniendo en cuenta que en la antigüedad se usaban números grandes redondos para expresar que la cantidad era enorme, mil y una noches nos sugieren "más de muchísimas", o "muchísimas y una más". Con esta ilustración estamos haciendo un spoiler de la solución, pues esta involucra al número 1001. |
SOLUCIÓN:
Tomar un número de tres cifras cualquiera y escribirlo dos veces seguidas equivale a multiplicarlo por 1001, veámoslo con el ejemplo:
327327 = 327000 + 327 = 327 · 1000 + 327 = 327 · (1000 + 1) = 327 · 1001
Resulta que si descomponemos 1001 en factores primos, nos sale precisamente 7 · 11 · 13. Por consiguiente, 1001 se puede dividir por 7, por 11 o por 13, y por tanto, cualquier múltiplo de 1001, como el 327327, es divisible por 7, por 11 o por 13.
Nota: este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.
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