[El Problema de la Semana] Los peregrinos

Avancemos hacia el siguiente problema:

Ambrosio y Bonifacio son dos peregrinos que empiezan a caminar a las 8 de la mañana del mismo día por una carretera en el mismo sentido. Bonifacio lleva 28 kilómetros de ventaja, y ambos caminan cada día desde las 8 de la mañana hasta las 8 de la tarde. Ambrosio camina con paso regular 20 kilómetros el primer día, 18 el segundo, 16 el tercero y así sucesivamente. Bonifacio camina con paso regular 4 kilómetros el primer día, 8 el segundo, 12 el tercero, y así sucesivamente.

¿Cuándo y dónde se encontrarán?

 La solución, como siempre, más abajo.

Figura 1. Esta imagen no tiene nada que ver con el enunciado del problema, pero no hemos podido resistir el impulso de usarla de ilustración. Es la foto de una gotita rebotando sobre la superficie de un fluido. La foto aparece ilustrando un artículo de John W. M. Bush, de la MIT.

SOLUCIÓN:

Consideramos que el punto desde donde parte Ambrosio es el kilómetro 0, y Bonifacio parte del kilómetro 28 de la carretera. Ahora observemos dónde está cada uno al final de cada día:

Cuando ha terminado el primer día, Ambrosio ha caminado 20 kilómetros, y Bonifacio 4. Luego Ambrosio está en el kilómetro 20, y Bonifacio en el kilómetro 32, (todavía le lleva 12 kilómetros de ventaja).

Cuando ha terminado el segundo día, Ambrosio ha caminado 18 kilómetros más, y Bonifacio 8. Luego Ambrosio está en el kilómetro 38, y Bonifacio en el kilómetro 40, (ya sólo le lleva 2 kilómetros de ventaja).

Cuando ha terminado el tercer día, Ambrosio ha caminado 16 kilómetros más, y Bonifacio 12. Luego Ambrosio está en el kilómetro 54, y Bonifacio en el kilómetro 52, y por lo tanto, en algún momento del tercer día Ambrosio ha alcanzado a Bonifacio.

¿En qué momento y en qué lugar se ha producido el encuentro entre ambos?

Los dos peregrinos caminan con paso regular, luego su velocidad es constante. La velocidad de Ambrosio durante el tercer día se calcula dividiendo el espacio recorrido, 16 kilómetros, entre el tiempo empleado, 12 horas. Análogamente la velocidad de Bonifacio es de 12 kilómetros en 12 horas:

Velocidad de Ambrosio: 16 / 12 = 1,333... km/hora.
Velocidad de Bonifacio: 12 / 12 = 1 km/hora.

Recordemos que espacio es igual a espacio inicial más velocidad por tiempo, y en el tercer día Ambrosio parte del kilómetro 38 y Bonifacio del kilómetro 40, luego las expresiones del espacio en función del tiempo t son:

Espacio recorrido por Ambrosio: 38 + 1,333t
Espacio recorrido por Bonifacio: 40 + 1t

En el momento en que se encuentran tanto el espacio como el tiempo son iguales:

38 + 1,333t = 40 + 1t

Resolvemos la ecuación:

0,333t = 2
t = 2 / 0,333 = 6 horas.

Y de aquí el espacio es 38 + 1,333 · 6 = 40 + 1 · 6 = 46 kilómetros.

Por tanto Ambrosio y Bonifacio se encontrarán el tercer día en el kilómetro 46 de la carretera, a las 8 + 6 = 14 horas, es decir, a las dos de la tarde.

AMPLIACIÓN:

Aquí no acaba la cosa.

Como se puede apreciar, cada día Ambrosio recorre menos kilómetros, y Bonifacio recorre más. La velocidad de Ambrosio va disminuyendo y la de Bonifacio va aumentando.

Aunque Ambrosio alcanza a Bonifacio el tercer día y lo supera, su paso va "perdiendo fuelle", y al cuarto día, Ambrosio, que ya ha superado a Bonifacio, va caminando a ritmo más lento, luego se puede esperar que Bonifacio alcance a Ambrosio y lo supere, teniendo lugar un segundo encuentro entre los dos.

Siguiendo la progresión de velocidades, en el cuarto día, Ambrosio recorre 14 kilómetros, y Bonifacio 16. Por tanto al final del cuarto día, tanto Ambrosio como Bonifacio están en el kilómetro 68. Es decir, se produce un segundo encuentro entre ambos el cuarto día a las 8 de la tarde.

En el quinto día, la velocidad de Ambrosio disminuye aún más, y la de Bonifacio sigue aumentando, por lo que ambos se separan, y si la progresión de velocidades continúa al mismo ritmo, ya nunca más se volverán a encontrar.

Curiosamente, si la progresión de velocidades sigue el mismo ritmo, se puede calcular que Ambrosio en el décimo día sólo recorre 2 kilómetros, en el undécimo día no recorre ningún kilómetro (se queda descansando en el kilómetro 110), y en el duodécimo día recorre −2 kilómetros, es decir, empieza a deshacer el camino y a regresar por la carretera. Bonifacio hace 48 kilómetros en el duodécimo día, y al final del mismo se encuentra en el kilómetro 312 de la carretera.

Figura 2. En este gráfico se pueden apreciar los recorridos de ambos peregrinos. Las gráficas están formadas por segmentos rectos. En el tiempo se han eliminado los periodos de descanso. Obsérvese que los tramos de Ambrosio tienen cada vez menos pendiente, es decir, cada vez menos velocidad, mientras que los de Bonifacio van aumentando en pendiente y por tanto en velocidad

OTRA AMPLIACIÓN MÁS:

Este problema es tan jugoso que todavía podemos comentar más cosas sobre él. En la figura 2 se pueden apreciar las gráficas de los dos peregrinajes, y aunque están formadas por tramos rectos, pues el enunciado del problema nos dice que los peregrinos caminan con paso regular en cada etapa, no podemos dejar de ver una curva implícita en cada gráfica.

De hecho las curvas implícitas son dos parábolas. En efecto, haciendo algunos cálculos, podemos obtener las siguientes fórmulas:

Parábola de Ambrosio: y = (-1/144)x² + (7/4)x

Parábola de Bonifacio: y = (1/72)x² + (1/6)x + 28

Se puede comprobar que ambas parábolas pasan por los puntos señalados al final de cada día. Según esto, los puntos de encuentro entre Ambrosio y Bonifacio podrían ser calculados como los puntos de intersección de ambas parábolas. Si así lo hacemos, nos daremos cuenta que el segundo encuentro coincide en el momento que habíamos calculado, pero el primer encuentro no coincide en el mismo lugar, lo cual se puede ver en la siguiente gráfica:

Figura 3. Las parábolas que se ajustan a los recorridos de los dos peregrinos se cortan en el segundo encuentro (segundo punto verde), pero no coinciden en el primer encuentro (primer punto verde), sino un poco antes, donde está señalado el punto negro.

Más concretamente, estas parábolas se cortan cuando x = 28 y cuando x = 48, y traduciéndolo a términos de días, el primer encuentro tendría lugar el tercer día a las 12 de la mañana (12 + 12 + 4 horas), y el segundo al final del cuarto día (12 + 12 + 12 + 12 horas).

Nota: este problema ha sido adaptado de uno de los que aparecen en el libro Un cuento enmarañado y otros problemas de almohada, de Lewis Carroll.

Los gráficos han sido trazados con Geogebra.