Mensajes cifrados (2): la clave URODINELAS

Como ya dije en la entrada anterior, siempre me interesaron los mensajes cifrados, la manera de escribir en forma secreta para que nadie pueda enterarse de lo escrito salvo que conozca la clave.

Una de las maneras más sencillas de cifrar un mensaje es ir sustituyendo cada letra por otra cosa, otra letra por ejemplo, o algún símbolo diferente. Se trata de definir una correspondencia biunívoca entre el conjunto de las letras de nuestro alfabeto y otro conjunto, que puede ser el de las propias letras, o un conjunto de símbolos o de números, etc.

Si la correspondencia es biunívoca quiere decir que a cada letra de nuestro alfabeto le corresponde una y sólo una letra o símbolo, y a letras distintas le corresponden símbolos distintos.

En la siguiente imagen se puede ver un esquema de un par de ruedas alfabéticas concéntricas. Una puede girar respecto a la otra. Según el giro, se establece una correspondencia biunívoca o biyectiva entre las letras del mensaje original y las letras del mensaje cifrado. Éste es uno de los métodos más sencillos y más antiguos de cifrar mensajes.

Este tipo de cifrado es fácil de descubrir y comprender siempre que el mensaje sea lo suficientemente largo, mediante una distribución estadística. Así es como Sherlock Holmes descifra los mensajes que aparecen en el relato de Arthur Conan Doyle, Los Hombrecitos Danzantes, y también es el método usado en El Escarabajo de Oro, de Edgar Allan Poe. Basta contar la frecuencia con la que aparece cada símbolo en el texto cifrado, e ir correspondiendo los símbolos más frecuentes del texto con las letras más frecuentes del idioma en que está escrito el mensaje, por ejemplo, en español podrían ser la E, la A, la O, la S, etc. (Visitar esta página para ver la frecuencia de aparición de letras en castellano)

Pero ¿qué pasaría si ciframos los mensajes haciendo una correspondencia que no sea biunívoca entre los conjuntos? Ahí empiezan las complicaciones, y el texto se va haciendo cada vez más difícil de descifrar.

Cuando era adolescente se me ocurrió buscar un cifrado que cumpliera ciertas condiciones: quería que fuera rebuscado, diferente del de las correspondencias biunívocas como los de los relatos mencionados anteriormente y por tanto muy difícil de descifrar para el profano; también que fuera muy sencillo de recordar, que bastara una clave fácil y que al cifrar el texto se hiciera de forma rápida; por último, que al leerlo no pareciera un mensaje cifrado, sino que pareciera un idioma diferente, que incluso se pudiera leer en voz alta.

Entonces diseñé la clave URODINELAS. Voy a explicar a continuación en qué consiste:

-Cada consonante se sustituirá por una sílaba de dos letras, la primera es la misma consonante, la segunda es una vocal, elegida a nuestro gusto, pues sólo es de relleno.

-Cada vocal se sustituye por una consonante. ¿Cuál? ¡Para eso está el nombre de la clave: URODINELAS, es decir, la U se sustituye por la R, la O por la D, la I por la N, la E por la L, la A por la S.

Así, por ejemplo, la palabra cifra se convertiría en canferes, o en confiras, o en cenfirus (las vocales introducidas son aleatorias). Si me dan una palabra cifrada: melnasisjal, es fácil de descifrar sabiendo la clave: me equivale a m, l equivale a e, na equivale a n, si equivale a s, s equivale a a, ja equivale a j, l equivale a e. Resultado: melnasisjal = mensaje.

Pongo algunos ejemplos más para que se vean las transformaciones:

flor = filadre

número = narmelrod

navegante = nisvalgasnatul

página = pesgonnes

ordenador = dredalnisdadra

calendario = caslalnidesrand

"La travesía del océano es larga" = "Les teresvalsons dalla dcilsned lsa lesrugos"

Otras propiedades de nuestra clave:

• Las vocales intercaladas son aleatorias, ya que sólo sirven para distinguir a las consonantes de las auténticas vocales. A las consonantes le podemos añadir las vocales que queramos, e incluso podemos añadir diptongos. Así, por ejemplo flor se convierte en filadre, o foludra, o fiuladra o faladria. Todas estas palabras cifradas equivalen a flor.
• Las vocales también se pueden añadir al principio de la palabra sin cambiar la traducción de la misma. Así, ofiladre también se descifraría como flor, o bien apesgonnes como página.
• Sustituir la U por la R, la O por la D, la I por la N, la E por la L, la A por la S, como indica el nombre URODINELAS, es sólo una de las multiples posibilidades. Podemos, por ejemplo, cambiar la clave a AFIMETOVUG, y en esta clave, la A se sustituye por la F, la I por la M, la E por la T, la O por la V, la U por la G. Cada uno puede diseñarse una clave según el gusto. En esta última clave, flor sería filavre, y página sería pefgovnef, por ejemplo. Mi elección de URODINELAS fue simplemente para que en el cifrado salieran palabras no muy difíciles de pronunciar.
• Da lo mismo decir clave URODINELAS, que clave ELASINUROD, o incluso NISALERUDO. El nombre de la clave da el cifrado de las vocales por consonantes diferentes, y cada consonante va emparejada con su vocal equivalente. También es lo mismo clave AFIMETOVUG que OVAFIMUGET, o incluso TEMIFAGUVO.

Propongo a los lectores que descifren el siguiente texto, una cita de Pappus de Alejandría, matemático del siglo III y IV d. de C.:

LASSIE OSBELJOSSA, ILNO VINRETIERDO DOL URNAS CANLRUTIAS INNETORNCANDNA GOLDMELTERINCAS, SASBIALNA QUERL ALLIO HELXISGUDNAD ELSUO MASYODRO QUORL ILLA CORIORSDERESDOD YI QUERL PADDERAS CIDNETELNALRIO MUSSA MINLLIA CEADNA ALLO MAINSEMAD GASSETAD DIAL MASTUELRANSLIA.

Mensajes cifrados (1)

Cuaderno de bitácora: hace ya algún tiempo, en uno de los muchos puertos en los que atracamos, compré un libro editado en 1959 (este año cumple por tanto cincuenta años). Su título es Humor de Contrabando, y sus autores son Chumy Chúmez y Miguel de Salabert.

El libro tiene poco que ver con las matemáticas, es un libro humorístico, en el que se recogen esas casualidades, errores sin intención, despistes, que se dan en la vida real, en los periódicos, en las calles y los comercios, en los anuncios comerciales, etc. y que generan un chiste, algo gracioso y hasta hilarante lleno de espontaneidad. Con el tiempo se han editado varios libros de este tipo; son la versión impresa de los programas de zapping que hoy en día se han puesto tan de moda en la televisión y que recogen las curiosidades graciosas o sorprendentes que inesperadamente aparecen en la pequeña pantalla.

En el libro, por ejemplo, abundan los recortes de la prensa de aquellos años, en los que, por ejemplo se dice que "el vapor español Almadén llegó a Valencia con mil toneladas de península", "24 personas fallecieron en el descarrilamiento de un pesquero español", "de madrugada varias bandadas de nutrias estuvieron volando sobre Pamplona dando fuertes graznidos que despertaron a muchos vecinos", "el famoso escritor Jean Cocteau se encuentra gravemente enfermo a consecuencia de un ataque cardiocultivo de la aceituna", etc.

También hay coincidencias desafortunadas pero muy graciosas: un señor llamado Eroteides Cascajo que hace decoración con escayola y piedra artificial, un médico especialista en garganta, nariz y oídos cuyo nombre es José L. Dañino Suárez, un portal de una casa en donde al lado de la placa de un médico hay una placa de una funeraria, una calle en la que al lado de una consulta veterinaria hay una carnicería, un matadero de nombre La Piedad...

Hay dos citas que son interesantes. La primera dice:

Los cocodrilos están infectando las alcantarillas de Nueva York. Fueron comprados cuando eran chiquititos para entretenimiento de los niños, pero después, las madres, temerosas, los arrojaron a las alcantarillas, y en ellas se han desarrollado en todo su tamaño.

La reseña está publicada en el diario España de Tánger, el 16 de noviembre de 1958. Los cocodrilos de las alcantarillas de Nueva York es una leyenda urbana que tiene, por tanto, más de cincuenta años, y a pesar de ello yo la escuché como si fuera cierta hará unos quince o veinte años, y creo que aún colea de vez en cuando por ahí.

Otra cita es estremecedora: en el mismo diario España, de Tánger, en 1958 se recoge:

En una escuela de Pleasant Hill (Misouri) se han establecido nuevas reglas de disciplina en vista de la actitud díscola de los alumnos. Una dice: 'Se prohibe escupir a los maestros'.

Pero en relación al tema que nos ocupa hoy, en la parte final del libro hay algunos anuncios por palabras curiosos y extravagantes, la mayoría de ellos de personas que se comunican con sus amantes enviándoles mensajes románticos y apasionados. Uno de ellos dice:

Parece un siglo que no te veo; hay momentos de verdadera desesperación y que tiemblo al pensar estás tan lejos de mí; que quiero verte y hablarte y no puedo y sin saber hasta cuando; es horrible; otras veces es una tristeza que me muero al verme tan solo, pero completamente solo, porque solo es estar sin tí, que eres mi dulce bien, mi encanto, mi alegría, mi felicidad; sin tí, que sabes eres la vida entera de tu Gfsñbñep.

Este individuo que firma de forma tan extraña, Gfsñbñep, tiene en el libro otros dos mensajes más del mismo calado, igual de empalagosos y desesperados. No es el único, hay otros mensajes de otras personas, pero que firman de forma más convencional: Norma, P.M., Marte, Esperanza, Juana, Elabel, Ninita, Aida, Pepe. Uno firma Cyrano, como el personaje literario, otro simplemente Z, y una tercera se da a sí misma el apelativo de Necia.

Evidentemente me llamó la atención una firma tan extraña y supuse que debía ser un nombre cifrado en clave, para que sólo la persona a la que iba dirigido lo descifrara. Pero pensé unos momentos, y la clave me vino en seguida. Si sustituimos cada letra del nombre Gfsñbñep por la anterior en el alfabeto español, la G por la F, la f por la e, la s por la r y así sucesivamente, vemos que este apasionado amante de los anuncios por palabras se llama en realidad Fernando.

Cuando era pequeño y estaba en 4º o 5º de E.G.B. (Educación General Básica, equivalente a la Enseñanza Primaria actual) alguien me pasó en el colegio un papel escrito con un mensaje cifrado. Era la primera vez que veía uno: cada letra había sido sustituida por un símbolo sencillo, cruces, círculos, figuras geométricas, etc. Aquel cifrado me entusiasmó, y cuando me dieron la clave y fui capaz de hacer mis propios mensajes ocultos disfruté mucho, e incluso diseñé yo mismo varias claves y formas de sustituir letras por símbolos. Sin embargo, una vez diseñada la clave, no tenía nadie a quien enviar un mensaje secreto, así que dichas claves sólo me hacían pasar un buen rato en casa y quedaban después archivadas y olvidadas en alguno de mis muchos cuadernos.

Una de las últimas claves de cifrado que diseñé, y de la que quedé muy satisfecho, es la que bauticé con el nombre URODINELAS, y que explicaré en la próxima entrada del blog.

Los mensajes cifrados se han utilizado mucho como argumento en los relatos literarios. Hay dos relatos de autores clásicos muy conocidos en los que los mensajes en clave son la parte central del argumento: uno de ellos es El Escarabajo de Oro, (The Gold Bug) de Edgar Allan Poe, y el otro Los Hombrecitos Danzantes, (The Adventure of the Dancing Men) de Arthur Conan Doyle.

En El Escarabajo de Oro, un mensaje cifrado indica el lugar en el que se encuentra oculto un tesoro. En Los Hombrecitos Danzantes, Sherlock Holmes tiene que solucionar un caso en el que los implicados se comunican entre sí con mensajes cifrados, donde cada letra del mensaje ha sido sustituida por la figurita de un hombrecillo, y para cada letra la postura del hombrecillo es diferente.

En ambos casos, el sistema de cifrado es el mismo: sustituir cada letra por un símbolo de forma unívoca, y en ambos relatos los protagonistas logran descifrar los mensajes mediante un método estadístico: cuentan la frecuencia con la que aparece cada símbolo, y los símbolos más frecuentes los asocian con las letras más frecuentes del idioma (el inglés en este caso). Así, por ejemplo, el símbolo más frecuente debe corresponder a la e, el siguiente a la t, y luego la a, la i, la n, la o, la s, etc. Esta asociación será más efectiva si la longitud del texto es lo suficientemente larga. Para textos cortos, las frecuencias pueden variar mucho. Una vez colocadas las letras más frecuentes, mediante la lógica, descartando opciones, se puede descifrar el texto sin mucha dificultad.

Así, por ejemplo, tenemos el siguiente texto en clave que proponemos a los lectores para que lo descifren. Es una cita sobre matemáticas del conocido pintor holandés Maurits Cornelis Escher (el punto y los dos puntos del texto son signos de puntuación, no sustituyen a ninguna letra):

?+! ?8º8! ¿8 ?+ 4+&84+&-=+ {2 !2{ 48+48{&8 -{/8{=-2{8! 2 =$8+=-2{8! 364+{+!. !-4)?848{&8 !2{: 8#-!&8{ -{¿8)8{¿-8{&848{&8 ¿8? -{&8?8=&2 364+{2. ?2 4+! 768 )68¿8 3+=8$ 6{ 3245$8 ¿8 -{&8?-*8{=-+ +*6¿+ 8! ¿8!=65$-$ 768 8!+! ?8º8! 8!&+{ +??- º ??8*+$ + =2{2=8$?+!.

Se puede visitar la página de la wikipedia para conocer las frecuencias de aparición de las letras en español.

PD: El cifrado de mensajes pertenece al campo de la criptografía, y modernamente se apoya en matemáticas muy avanzadas.

Una forma sencilla de cifrar un mensaje con el ordenador es escribirlo en formato Word, seleccionar el texto y cambiar la Fuente a Webdings o Wingdings, por ejemplo. Todas las letras automáticamente se convierten en símbolos.

Edgar Allan Poe era muy aficionado a los mensajes cifrados, y sus lectores le enviaban cartas con textos en clave que él solucionaba habitualmente. Sin embargo dos de estas cartas se han hecho famosas porque no pudo solucionarlas, ni él ni todos los que posteriormente lo intentaron, hasta muy recientemente. Para saber más, visitar esta página de Ecojoven donde se cuenta la historia completa.

El Teorema de Napoleón

Cuaderno de bitácora: uno de los últimos descubrimientos de nuestras matenavegaciones ha sido el llamado Teorema de Napoleón. En ciertos puertos y ciudades costeras de los matemares oí hablar de él, y por fin hemos podido explorarlo.

Napoleón Bonaparte, uno de los personajes más geniales e importantes no sólo de Francia, sino de la historia mundial, aparte de ser militar invencible, político sobresaliente, legislador y emperador de Francia, también fue un matenavegante. Él mismo, cuando estudiaba matemáticas, descubrió y demostró un curioso teorema geométrico que desde entonces lleva el nombre de Teorema de Napoleón en su honor.

El Teorema de Napoleón dice así: "Si tomamos cualquier triángulo y sobre cada uno de sus lados levantamos un triángulo equilátero, uniendo los centros geométricos de estos tres triángulos equiláteros nos sale un nuevo triángulo que también es equilátero".

Para ver más detalles se puede visitar esta página del Departamento de Matemáticas del IES Marqués de Santillana, de Colmenar Viejo, Madrid, en la que viene también la demostración.

En dicha página se distingue entre triángulo exterior y triángulo interior. Efectivamente, si dibujamos los triángulos equiláteros hacia el exterior del triángulo de partida, uniendo sus centros obtenemos el triángulo exterior de Napoleón, y si dibujamos los triángulos equiláteros hacia el interior del triángulo de partida de modo que sus superficies se superpongan, entonces uniendo los centros de los triángulos obtenemos el triángulo interior de Napoleón. Tanto el exterior como el interior son triángulos equiláteros. Un último teorema o resultado, un tanto sorprendente, nos asegura que el área del triángulo de partida es igual a la diferencia de las áreas de los dos triángulos de Napoleón.

Hoy en día se dice que Napoleón era aficionado a la geometría, y se pone en duda que estos teoremas fueran realmente suyos, como se ponen en duda tantas otras cosas. Sin embargo, Napoleón Bonaparte se interesó desde pequeño por las matemáticas. Eran de las pocas partes de sus estudios que le gustaban. A los diez años ingresó en la escuela militar francesa de Brienne-le-Château, y sacó notas destacadas en matemáticas y geografía. Después de graduarse a los catorce años (1784), fue admitido en la Ècole Royale Militaire de París, en la que estudió artillería y se graduó al año siguiente, 1785. Fue comisionado como teniente segundo de artillería y tomó su cargo en 1786 con dieciséis años.

Una de las principales características de la estrategia usada por Napoleón para ganar sus batallas fue el perfecto uso de la artillería. Era un genio colocando convenientemente los cañones en el campo de batalla y bombardeando con ellos las zonas que le parecían oportunas. Está claro que sacó el máximo provecho de sus estudios de artillero en las academias militares francesas, y para ello se basó enormemente en su conocimiento de las matemáticas.

En la época en que me dedicaba a dar clases particulares de matemáticas a tiempo completo, tuve a una alumna cuya abuela me comentó varias veces "que su marido había sido artillero y que sabía muchas matemáticas". Sus palabras desprendían ese clásico halo de admiración que se tiene por las Ciencias Exactas y que parece haberse disipado en la actualidad. La señora me afirmaba que para estudiar artillería se necesitaban saber muchas matemáticas, lo cual no dudo.

Complicados y elaborados cálculos matemáticos han estado detrás de muchas batallas famosas, especialmente en los últimos siglos. Utilizar correctamente la artillería, desarrollar armas cada vez más potentes y eficaces, toda la tecnología que hay detrás de los tanques, aviones, cohetes, etc., y por supuesto la codificación y descodificación de mensajes secretos, como el caso de la máquina Enigma que los nazis usaron durante la Segunda Guerra Mundial y que los aliados lograron descifrar, con la consiguiente ventaja obtenida para ganar la guerra... son sólo algunos de los aspectos que las matemáticas han tratado en el campo bélico.

Las Fórmulas Desconocidas

Cuaderno de bitácora: a lo largo de varios años, cuando ha llegado el momento, he tenido que explicarles a los grumetes la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

En esas ocasiones, y a manera de introducción, les he contado un poco sobre las ecuaciones, sus grados, y sus soluciones.

La ecuación de primer grado y la ecuación de segundo grado son conocidas desde la antigüedad. Vienen recogidas de una u otra manera en viejos libros de matemáticas de varias culturas.

Diferente es el caso de la ecuación de tercer y cuarto grado. Para resolverlas en su totalidad hay que esperar hasta el Renacimiento, concretamente el siglo XVI, y trasladarnos a Italia, en la que aparecen grandes matemáticos de la talla de Niccolò Fontana (apodado Tartaglia), Gerolamo Cardano, y Lodovico Ferrari. Fueron ellos los que encontraron el método general para resolver dichas ecuaciones.

Retrato de Gerolamo Cardano

Pero un caso diferente es el de las ecuaciones de quinto grado y superiores. Infructuosamente se buscó una fórmula para ellas, hasta que los trabajos de Abel y Galois en teoría de grupos, ya en el siglo XIX, demostraron que no existía ni puede existir una fórmula general para resolver las ecuaciones a partir del quinto grado. Es uno de esos resultados sorprendentes que resultan difíciles de creer. Que no se haya encontrado la fórmula parece aceptable, pero que sea imposible encontrarla...

Después de explicar todo esto, les comento a los grumetes que aunque sí existen fórmulas generales para resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grados, yo no me las sé. Les aseguro que son fórmulas muy difíciles, y que no merece la pena estudiarlas. Sin embargo, a base de repetir lo mismo me entró el otro día la inquietud de revisarlas y conocerlas a fondo, y me embarqué en su búsqueda. Después de surcar con viento favorable los mateocéanos, me encontré frente a frente, por fin, con las fórmulas desconocidas.

Y estaba en lo cierto. Son realmente muy complicadas. En la Wikipedia se explica el método de cálculo y también se dan las fórmulas explícitas de las soluciones, pero escritas en línea, usando paréntesis y el símbolo ^ para indicar las potencias y las raíces, con lo que se hacen aún más difíciles de leer. Las he pasado a la forma habitual con ayuda del editor de ecuaciones del Word, y se pueden ver pulsando este vínculo: fórmulas de las soluciones de la ecuación de tercer grado.

En general, dado el volumen de estas fórmulas, no se suelen utilizar directamente para solucionar la ecuación. Más bien se utiliza un proceso en varios pasos, con cambios de variable que hace más cómodo el cálculo. Para los matenavegantes expertos, pueden descargar un documento del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla en el que se explica con todo rigor matemático la forma de resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y también trata sobre el Teorema Fundamental del Álgebra.

Numeros astronómicos (3): Viajes Espaciales

Un tema recurrente en los relatos y películas de ciencia ficción son los viajes espaciales. Cruzar las distancias siderales para ir de un planeta a otro planeta, de una estrella a otra estrella, de una galaxia a otra galaxia, con multitud de tipos de naves espaciales, es algo que forma parte del argumento de tantos relatos conocidos. En la saga de Star Wars, por ejemplo, las naves que aparecen no tienen problema en trasladarse de un lugar a otro de la galaxia, aunque algunas veces tienen dificultades con el salto hiperespacial, como le ocurre al Millenium Falcon en el Episodio V, o como le ocurre a la nave de la Reina Amidala en el Episodio I. En la serie Star Trek, la nave Enterprise cambia de velocidad, desde el salto hiperespacial, empleado para trasladarse de un sistema estelar a otro, a la velocidad de impulso, usada dentro de un sistema planetario, para acercarse a los planetas o para aproximarse a otra nave.

Por salto hiperespacial se entiende un estado en el que la nave en cuestión viaja a una velocidad superior a la de la luz. Según las necesidades del argumento, dicha nave viajando a esa velocidad mayor que la de la luz empleará más o menos tiempo (minutos, horas, días) en llegar a su destino. Nunca suele ser más de unos pocos días, porque el interés de la acción no está en el viaje en sí, sino en lo que pasa antes y después del viaje. Este tipo de argumentos da por hecho que las naves tienen una tecnología suficientemente avanzada como para viajar de forma rápida y efectiva, sin mayores complicaciones, entre los planetas o estrellas pertinentes.

Hay otro tipo de relatos en la ciencia ficción en los que los autores plantean viajes espaciales más realistas, o más al alcance de la ciencia actual. Así, por ejemplo, tenemos 2001 Una Odisea del Espacio. En este argumento, la nave que aparece viaja lentamente desde la Tierra hasta Júpiter, empleando meses, incluso años, en su trayecto. También tenemos por ejemplo la película Planeta Rojo, que narra un viaje a Marte en el que se emplean varios meses. Las naves de estos dos ejemplos no tienen una tecnología como para alcanzar la velocidad de la luz, ni siquiera llegar cerca de ella. Sus trayectos son lentos, pesados, laboriosos, peligrosos y llenos de inconvenientes. El viaje en sí se convierte en el centro del argumento de la película.

¿Cuánto puede tardar un viaje espacial? Depende del destino que elijamos y de la velocidad a la que nos desplacemos.

Empecemos por el trayecto espacial más sencillo, el más largo que los seres humanos han logrado hasta la fecha: viajar a la Luna. La distancia entre la Tierra y la Luna es de 384.000 kilómetros, aunque los cohetes que han llegado hasta ella han tenido que hacer una distancia ligeramente mayor, porque antes de dirigirse hacia la Luna han de tomar impulso trazando varias órbitas en torno a la Tierra, como los atletas lanzadores de disco, que giran sobre sí mismos varias veces hasta que sueltan el disco. Si pudiéramos ir en coche a la Luna (ver La Carretera hacia la Luna, en este mismo blog), viajando a una velocidad de 120 kilómetros por hora, tardaríamos 3.200 horas cruzar los 384.000 kilómetros. Eso significa un total de 133 días de conducción sin parar, más de cuatro meses.

Las naves espaciales tardan, teniendo en cuenta todas las maniobras de separarse de despegue, separación de la órbita terrestre, adaptación a la órbita lunar y regreso a la Tierra, menos de una semana en ir y volver a la Luna. La velocidad de escape del planeta Tierra es de 40.320 kilómetros por hora, es decir, ésta es la velocidad que tiene que alcanzar un cohete para poder salir al espacio y separarse de la Tierra. A esa velocidad se tarda menos de diez horas en llegar a las proximidades de la Luna.

Si fuéramos a la velocidad de la luz, unos 300.000 kilómetros por segundo, tardaríamos poco más de un segundo en llegar. Pero cuidado, en la práctica estas velocidades son engañosas: hay que tomarse un tiempo para acelerar y otro para frenar, pues de lo contrario, si no frenamos a tiempo, nos pasaríamos muy de largo en un abrir y cerrar de ojos.

Esto es algo que sucede en el espacio: las velocidades suelen ser tremendamente elevadas. Pongámonos en la orilla de una autopista aquí en la Tierra y observemos los coches que pasan. A pesar de desplazarse a una velocidad relativamente moderada, 120 kilómetros por hora, podemos comprobar cómo se acercan rápidamente hacia nosotros y cómo pasan a nuestro lado como una exhalación. Apenas nos da tiempo a fijarnos en su matrícula o en el modelo del coche.

Imaginemos que estamos ahora en el espacio. La velocidad mínima de una cápsula que haya escapado de la Tierra es de 40.320 kilómetros por hora, un poco más de 11 kilómetros por segundo. Si estuviéramos parados observando el paso de un cohete o de una nave espacial, o de una sonda, no tendríamos tiempo ni de darnos cuenta de que se acerca cuando ya habría pasado. ¡11 kilómetros por segundo! En un momento se puede encontrar acercándose desde una dirección a 5 kilómetros y medio de distancia de nosotros, y al segundo siguiente ya ha pasado y se aleja en dirección contraria a 5 kilómetros y medio de distancia.

La velocidad tan elevada a la que se mueven los objetos en el espacio es lo que hace peligrosa a la chatarra espacial. Cuando un cohete o satélite artificial estalla en la órbita de la Tierra, esparce gran cantidad de pequeños trozos que con el paso del tiempo irán cayendo a la superficie de la Tierra, pero que mientras permanecen en órbita se mueven a la velocidad que tenía el satélite: cerca de treinta mil kilómetros por hora. Una bala disparada por una pistola o por un rifle se puede mover a una velocidad diez o veinte veces menor. Eso significa que cualquier tornillo, tuerca o trozo de metal procedente de un satélite artificial se desplaza diez o veinte veces más rápido que una bala. Si se cruza con otro satélite o cohete, lo atraviesa limpiamente, rompiendo todo lo que se encuentre a su paso, por muy resistente que sea. La única salvaguarda que tienen los aparatos mandados al espacio es la ley de probabilidades: el espacio es enormemente grande y la probabilidad de encontrarse con un tornillo suelto es muy pequeña.

Peor es el caso de una nave que se acercara a la velocidad de la luz: ¡ni siquiera la puedes ver mientras se acerca! La luz que emite la nave viene a la misma velocidad que la misma nave, con lo que cuando llega, llega junto a la nave, y antes de eso somos incapaces de ver nada. Captaríamos un fogonazo cuando pasara junto a nosotros, y en un segundo se encontraría tan lejos casi como la Luna.

Se puede calcular también el tiempo que tardaría un avión comercial (velocidad de vuelo: unos 900 ó 1.000 kilómetros por hora) en llegar a la Luna: unas 380 a 400 horas, es decir, 16 días, más o menos.

Más allá de la Luna, las distancias se multiplican, y la duración de los viajes empieza a subir enormemente. Para ir al Sol, hay que recorrer 150 millones de kilómetros, 390 veces más que la distancia a la Luna. Una nave espacial a cuarenta mil ó cincuenta mil kilómetros por hora tarda no menos de 3000 horas, 133 días, en llegar al Sol, siempre que el trayecto lo haga en línea recta, lo cual no es así normalmente, sino que como hemos explicado antes, aprovecha la gravitación terrestre y puede aprovechar la de otros cuerpos del sistema solar, como la Luna, Venus o Mercurio, para impulsarse en su viaje.

La misma nave espacial o sonda, para llegar a Júpiter desde la Tierra necesita cruzar no menos de 630 millones de kilómetros (ésta es la mínima distancia entre Júpiter y la Tierra cuando están en su mayor acercamiento). La duración del viaje llega a ser de dos o tres años, por lo menos.

La duración se multiplica si queremos viajar a Saturno, Urano, Neptuno o Plutón. Carl Sagan, en su obra Cosmos, compara estos viajes con los que tenían que realizar los navegantes en los siglos XVI a XIX en sus periplos alrededor del mundo. Juan Sebastián Elcano, por ejemplo, tardó más de tres años en completar la primera vuelta al mundo. En la actualidad, unos astronautas que intenten llegar a algún otro planeta del sistema solar, especialmente a los exteriores, con las naves de las que disponemos, tienen que prepararse para un viaje de muchos meses, años incluso, con todas las dificultades que ello conlleva: alimento, agua y oxígeno para todo ese tiempo, y mantener ocupados y en buena forma física y mental a los astronautas durante el trayecto, en el que van a estar confinados en un espacio tan reducido como el de la nave.

Viajar a otros planetas del sistema solar es complicado, pero si queremos llegar a otras estrellas, a otros sistemas estelares fuera del nuestro, la cosa se vuelve imposible con los medios actuales. Las estrellas más cercanas, el trío de Alfa Centauri, la estrella de Barnard, la Wolf 359, la Lalande 21185, Sirio, etc., están a varios años luz de distancia. La más cercana, Próxima Centauri, está a más de 4 años luz. Cada año luz es casi 10 billones de kilómetros (billones españoles: diez elevado a doce). Si mandamos un cohete o una sonda de las actuales hacia una de las estrellas más cercanas, a la velocidad a la que se mueven con la tecnología de la que disponemos su viaje tardaría miles de años en completarse. No tiene mucho sentido mandar ninguna nave con nuestra tecnología actual.

Para intentar un viaje hacia otra estrella, se necesitan naves que alcancen velocidades cercanas a la de la luz. Aproximándose mucho a la velocidad de la luz, para llegar al grupo de Alfa Centauri necesitamos más de cuatro años, pues como se ha indicado, este grupo está a más de 4 años luz. Surge el mismo problema de antes: aún teniendo naves tan rápidas, necesitamos preparar astronautas con alimento, agua, oxígeno y buenas condiciones físicas y psíquicas para aguantar un viaje de más de cuatro años (sólo la ida, la vuelta serían otros tantos). Aunque si se consiguiera una velocidad muy próxima a la de la luz, la dilatación temporal que predice la teoría de la relatividad haría que para los astronautas el tiempo corriera mucho más lento, y un viaje de cuatro años visto desde la Tierra, duraría meses o días para los astronautas.

En velocidades comparables a la de la luz, viajar a las estrellas cercanas supone varios años, pero para otras estrellas no tan cercanas puede suponer cientos o miles de años. Las Pléyades, por ejemplo, están a 440 años luz, según las mediciones del Hubble. Si quisiéramos atravesar la Vía Láctea de punta a punta, nos enfrentaríamos a un viaje de cien mil años luz. Salir de nuestra galaxia para visitar otras ya es cuestión de millones de años luz; la galaxia más cercana, Andrómeda o M31, se encuentra a dos millones de años luz.

Ese tipo de viajes, según las teorías relativistas de Einstein, se pueden hacer en velocidades muy cercanas a la de la luz, del orden de 99'99999999995% de la velocidad de la luz, y a este porcentaje, un viaje de dos millones de años luz tardaría para los tripulantes unos 20 años. Evidentemente este tipo de trayectos sólo son de ida, no tiene sentido plantearse el volver, pues entre la ida y la vuelta pasan cientos, miles o millones de años en la Tierra, según el viaje haya sido a estrellas de la Vía Láctea o a otras galaxias fuera de la Vía Láctea. El único sentido de volver a la Tierra es para ver el futuro de nuestro planeta.

Para viajar a otros sistemas estelares existen tres opciones:

1. Diseñar naves que puedan conseguir velocidades muy muy cercanas a la de la luz. Es el caso que hemos estado explicando hasta ahora.

2. Si no se pueden conseguir velocidades tan elevadas, diseñar naves que sean como mundos en miniatura, donde se introducirían una pequeña población de astronautas que vivirían en la nave y tendrían descendencia. Al cabo de varias generaciones los descendientes llegarían al destino. También se puede buscar un sistema de criogenización para mantener a los astronautas en animación suspendida durante cientos o miles de años, y descongelarlos al llegar al final del viaje.

3. Encontrar otro tipo de desplazamiento, más allá de las limitaciones de la Relatividad de Einstein, una especie de salto hiperespacial o alguna forma de desplazarse a través de los llamados agujeros de gusano. Todo esto pertenece en gran parte al terreno de la ciencia ficción, y es lo que se especula en las películas del tipo mencionado al comienzo de esta entrada del blog.

Propongo a los matenavegantes que busquen la fórmula relativista que relaciona el tiempo transcurrido en la Tierra y el tiempo transcurrido para los viajeros de una supuesta nave a las estrellas, y calculen, por ejemplo, cuánto tiempo transcurre para unos astronautas que viajan a las Pléyades a una velocidad de 299.791 km/s (velocidad de la luz: c=299.792'458 km/s).

[Respuesta: casi un año y medio]

El Reto del Súper Cúbix

Cuaderno de bitácora: desde el año pasado estoy introduciendo el cubo de Rubik entre los grumetes, como actividad complementaria. Les propongo que aprendan a resolverlo y cuando lo saben hacer les doy un positivo que se añade a la nota global del trimestre.

Aprovechando esta actividad del cubo de Rubik, una de las grumetes me ha traído un pasatiempo parecido que tenía en su casa, el Súper Cúbix. Se trata también de un cubo en el que se distinguen tres pisos. El del centro está formado únicamente por dos piezas, y los pisos de arriba y abajo están formados por triángulos isósceles en la mitad del lado y trapezoides en las esquinas.

Al ver el puzle, uno piensa en principio que se trata de una figura extraña, sobre todo cuando la vemos desordenada, con los triángulos y trapezoides mezclados y las piezas centrales descolocadas. Hay dificultad al principio hasta para hacerlo girar, sobre todo usando la única división que hay en el piso central.

Una vez que nos hacemos con los movimientos, nos fijamos que la gama de movimientos posibles parece mucho menor que en la del cubo de Rubik, porque las piezas son diferentes entre sí, en el centro sólo hay una división, y todo consiste en ir pasando piezas de la cara de arriba a la de abajo y viceversa, girando las caras convenientemente en cada traslado. Pero los giros de las caras de arriba y abajo son muy diversos: en el cubo de Rubik sólo hay tres giros posibles: de 90º, de 180º ó de 270º. En el Súper Cúbix sin embargo hay giros de 30 en 30 grados, con lo cual hay once giros posibles en las caras de arriba y abajo.

Así pues, me hice la idea, que luego resultó equivocada, que con un poco de ingenio yo podría resolverlo sin ayuda de nadie, tan sólo buscando un método lógico y encontrando la manera de colocar las piezas en su sitio sin desfigurar el resto. Empleé varias horas intentando llegar a la solución. Logré formar una cara completa, pero no conseguí formar la cara opuesta. Cansado de darle vueltas al dichoso puzle lo dejé reposar durante un par de semanas.

Para no retener mucho el puzle en mis manos, pues era un préstamo, un sábado por la mañana decidí buscar la solución matenavegando en la web. Y la encontré rápidamente. En la página http://chelis.iespana.es/cubix.htm encontré una explicación muy detallada de todos los algoritmos necesarios para llegar a la solución. Ahí me di cuenta de que el Súper Cúbix era difícil en realidad. Incluso más que el cubo de Rubik, porque los algoritmos parecen más complicados. Luego he pasado por tres estados de pensamiento respecto a este puzle: al principio lo vi raro, luego opiné que era fácil, por último creo que es bastante difícil.

En cualquier caso, es un ejemplo más de todo ese conjunto de puzles en los que se necesitan aprender una lista de algoritmos para llegar a resolverlos, siendo casi imposibles de solucionar sin conocer previamente los algoritmos adecuados.

No le he dedicado mucho tiempo al Súper Cúbix, pues se lo devolví resuelto a la grumete, satisfecho de haber cumplido el objetivo. Quizás en el futuro, si decido conseguir uno para mí, le preste más atención y mi visión del mismo vuelva a cambiar.

En la actualidad han surgido en el mercado infinidad de variantes de estos puzles tridimensionales. Hay una página web, http://www.kastellorizo.org/puzzles/ de la que he sacado la imagen que acompaña esta entrada del blog, en la que se ven fotos de muchísimos puzles diferentes. Uno queda asombrado al descubrir tanta variedad, suficiente para satisfacer a los más fanáticos de los pasatiempos geométricos.

Trivial Matemático (3) y Algoritmos

Proponemos otras diez preguntas:

   

1. ¿Cómo se llaman los triángulos con los tres lados iguales?

2. ¿Cómo se llama el lado más largo de un triángulo rectángulo?

3. Calcula el 5% de 500

4. Si un cuadrado tiene un área de 36 metros cuadrados, ¿cuánto mide su lado?

5. ¿Cuánto es  (-1)²⁰ ?

6. ¿Cuánto es  10⁶ ?

7. ¿Qué potencia de diez es un trillón?

8. ¿Cuál es el número cuyo opuesto coincide con él mismo?

9. Calcula rápidamente 0’5 × 40

10. ¿De qué matemático árabe proviene la palabra algoritmo?

1. equiláteros 2. hipotenusa 3. 25 4. 6 metros 5. 1 6. un millón, 1.000.000 7. diez elevado a dieciocho en España, diez elevado a doce en otros países 8. el cero 9. 20 10. de Al Juarismi.

El nombre de Al Juarismi aparece de forma variada según el libro o la página web, así he visto escrito Al-Juarizmi, Al-Kwarizmi, Al-Khwarizmi, Al-Khowarizmi, etc., sin contar con los diferentes acentos o tildes que se le ponen a las vocales. En la Wikipedia aparece el artículo relacionado titulado como Al Juarismi, en el que se explica extensamente sobre su vida y obra, y así vamos a escribir aquí su nombre por comodidad.

Por otro lado, la ilustración que he incluido más arriba, proviene de un sello de la Unión Soviética (que luego se fragmentaría en Rusia y otros países), editado en 1983. Esta ilustración de Al Juarismi es la más extendida, casi la única; aparece en muchos libros y webs que hablan del matemático árabe y es muy raro encontrar otra ilustración diferente.

Al Juarismi es uno de los matemáticos más importantes de la Edad Media. Su influencia fue tan profunda que su propio nombre dio origen a la palabra algoritmo, y también a la palabra guarismo. La palabra álgebra, es una adaptación del comienzo de "Hisab al yabr ua al muqabala", que es el título del famoso libro de Al Juarismi, escrito en el siglo IX de nuestra era, en el que se habla de la resolución de ecuaciones.

Un algoritmo es "es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema" [definición de algoritmo en la Wikipedia]. Generalizando y para entendernos, es como una receta con la que se puede conseguir el resultado que buscamos. El aprendizaje de las matemáticas en la Educación Primaria y Secundaria está llena de algoritmos. Algoritmos son, por ejemplo, los métodos para sumar, restar, multiplicar o dividir números. También son algoritmos los métodos para hacer una raíz cuadrada, para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, para sumar y restar fracciones, para hacer una regla de tres, etc. Más tarde se aprenden algoritmos, por ejemplo, para resolver ecuaciones de primer grado, para distinguir los casos de las ecuaciones de segundo grado, y los métodos clásicos para solucionar sistemas de ecuaciones. Y éstos son solo algunos.

Un ejemplo muy visual de lo que es un algoritmo aparece en la solución del famoso cubo de Rubik. Resulta casi imposible que una persona normal tome por primera vez un cubo de Rubik desordenado y sepa resolverlo y llevarlo a la posición estándar sin que nadie le enseñe nada, sino sólo probando y usando la lógica. Casi todo el mundo (no me atrevo a decir que todo el mundo, porque puede que haya alguien extraordinario por ahí) ha necesitado aprender una serie de algoritmos, de conjuntos de movimientos, para ir colocando el cubo, paso a paso, parte a parte, en la posición estándar. Estos algoritmos han sido descubiertos y elaborados gracias a estudios matemáticos abstractos a los que sólo los especialistas en álgebra y teoría de grupos tienen acceso.

Lo mismo que ocurre con el cubo de Rubik me pasó hace poco con otro pasatiempo parecido, aunque menos conocido: el Súper Cúbix. Ya hablaré de él en una próxima entrada.

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: el Astrolabio

Cuaderno de bitácora: hace ya dos años por lo menos que matenavegando por el Parque de las Ciencias de Granada descubrí el Astrolabio en la sala dedicada a Al-Ándalus. En ella se explica su funcionamiento y se propone una práctica con un modelo de astrolabio y unas estrellas proyectadas sobre una pantalla. En la tienda del Parque se vendía además un astrolabio recortable, y decidí comprarlo, y luego lo monté sobre un panel de cartón grueso, con lo que me quedó un instrumento bastante decente. Gracias a las instrucciones que venían en el recortable y a la práctica que se enseñaba en la sala dedicada a Al-Ándalus, aprendí a manejarlo y tuve oportunidad de enseñárselo a los grumetes y a diversos oficiales de nuestro Barco Escuela.

Sobre la definición y la historia extraigo parte de la información que aparece en la Wikipedia sobre el astrolabio:

"El astrolabio es un instrumento que permite determinar las posiciones de las estrellas sobre la bóveda celeste. La palabra astrolabio significa etimológicamente "el que busca estrellas" y debe su procedencia al griego ("Astro", estrella y "Labio", el que busca). Sinesio de Ptolemais (siglo IV) atribuye su invención a Hiparco de Nicea, alrededor de 150 a. C. Para el siglo VIII ya era ampliamente conocido en el mundo islámico y en Europa en el siglo XII. Aún cuando existen vestigios de la cultura Sumeria, desde 5.000 a.c., que demuestra que los astrólogos sumerios lo utilizaban para saber las posiciones de las estrellas.
Durante los siglos XVI hasta el XVIII el astrolabio fue utilizado como el principal instrumento de navegación hasta la invención del sextante.
Los astrolabios eran usados para saber la hora y podían usarse también para determinar la latitud a partir de la posición de las estrellas. Los marineros musulmanes a menudo los usaban también para calcular el horario de oración y encontrar la dirección hacia la Meca."

En la definición de la Wikipedia, como se ve, define el astrolabio como un "buscador de estrellas". Se puede usar como los actuales planisferios celestes: a una latitud determinada, sabiendo el día del año y la hora, se puede determinar la posición de la estrella buscada. Pero se puede usar al contrario: conociendo las estrellas, localizándolas en el cielo, se puede determinar su posición, y gracias a ella la hora del día.

El astrolabio se puede usar de día o de noche. Durante el día se utilizará la inclinación de los rayos solares para alinearlo correctamente; esta alineación junto con la fecha en la que nos encontramos nos dará, por ejemplo, la hora del día en la que estamos haciendo la medición (la hora solar, no la oficial). Si, por el contrario, sabemos la hora solar gracias a un reloj adecuado, entonces con el astrolabio podemos calcular la longitud geográfica en la que estamos.

Por la noche, en lugar de usar la luz del sol, usaremos la posición de las estrellas. Si observamos la cara principal del astrolabio, la parte delantera de la llamada placa madre, vemos una serie de curvas y salientes en forma de uña; cada uno de estos salientes corresponde y señala a una estrella importante del firmamento. Toda la estructura con sus salientes se llama "araña" o "red". Midiendo la altura de las estrellas sobre el horizonte y su posición respecto a los puntos cardinales se puede calcular la hora, o bien la longitud a la que nos hayamos en medio del océano. Midiendo la altura de la estrella Polar sobre el horizonte podemos averiguar la latitud a la que nos encontramos.

En la Alejandría del siglo IV existió una persona experta en la construcción y el uso del astrolabio. Se trata de Hipatia, una de las pocas mujeres matemáticas que han pasado a la historia. Fue hija del director de la Biblioteca de Alejandría, Teón, quien era además matemático y astrónomo. Teón educó esmeradamente a su hija Hipatia, que gracias a sus capacidades y su inteligencia se convirtió en una de las principales científicas de la época. Sus conocimientos abarcaron las matemáticas, la astronomía, la filosofía y la mecánica. Escribió varios libros que se han perdido, comentando y ampliando la Aritmética de Diofanto, el Tratado sobre las Cónicas de Apolonio, los Elementos de Euclides, y el Almagesto de Tolomeo, entre otros. En una carta a uno de sus discípulos, Sinesio de Cirene, que más tarde sería arzobispo, le envió instrucciones precisas para la construcción de un astrolabio.

Muchas veces los grumetes hacen la pregunta terrible: ¿para qué sirven las matemáticas? Pues bien, las matemáticas sirven, por ejemplo, para poder construir instrumentos como el astrolabio, que ayudaron a la orientación y a la navegación en mitad del océano durante muchos siglos. Para elaborar los astrolabios se necesitó de personas como Hipatia, con profundos conocimientos matemáticos y astronómicos. Las matemáticas del astrolabio se basan fundamentalmente en el conocimiento de las cónicas (las curvas que aparecen al cortar el cono con diferentes planos: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas), y los diferentes métodos para trasladar las trayectorias de las estrellas y planetas en la bóveda celeste a un plano.

Manejar un astrolabio no es difícil, una vez que se aprenden sus mecanismos, la forma de orientarlo respecto al Sol y a las estrellas y leer sus mediciones. Para eso no se necesitan demasiadas matemáticas. Pero sin las matemáticas no existiría el astrolabio, lo mismo que no existiría la calculadora, ni el calendario, ni los ordenadores, ni los teléfonos, ni los discos compactos, ni tantos aparatos, medios de transporte, economía, etc...

El Calendario Loco

Cuaderno de bitácora: hace unos días estuve programando un examen, y al indicar la fecha y el día, uno de los grumetes me corrigió en el día de la semana. Si yo le dije que el examen iba a ser un martes, él me dijo que la fecha mencionada no era martes, sino sábado. Me acerqué a comprobar el calendario que estaba consultando, el que venía en su agenda, y al mirar el mes, el día y el año, comprobé que tenía razón, en su agenda la fecha indicada era sábado.

Observé con atención el calendario de su agenda y mi sorpresa fue en aumento. Octubre, por ejemplo, aparecía con 29 días, Noviembre con 31 días, y lo más genial de todo: Febrero aparecía con 30 días. Los meses estaban dislocados, las fechas no coincidían, eran absurdas. Aquel calendario estaba loco.

Después me he fijado con atención en la página de la agenda, y he comprobado que todo se debe a un error de imprenta. Propongo a los lectores a que descubran qué ha pasado en la página para que las fechas aparezcan tan mal.

Personalmente me sorprendió mucho que en un calendario pudiera haber este tipo de errores, y pensé en todos los acontecimientos de nuestra vida que dependen del calendario y en todas las consecuencias que se darían si nuestro calendario estuviera equivocado. Citas, días de trabajo y descanso, cumpleaños, aniversarios, plazos administrativos...

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Ábacos

En uno de los documentales de la serie Universo Matemático, de Antonio Pérez Sanz, concretamente el titulado Números y Cifras, un Viaje en el Tiempo, se describe la historia de las cifras y se explican antiguos algoritmos de cálculo para realizar operaciones aritméticas como la multiplicación o la división. También son comparados los diversos sistemas numéricos, y se destaca la ventaja del sistema decimal con los dígitos indo-arábigos que hoy utilizamos, 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9, frente a otros sistemas, como por ejemplo el de los números romanos. Asimismo, se recuerda que en la antigüedad se empleaban instrumentos como el ábaco para hacer los cómputos aritméticos. Al elogiar nuestro actual sistema decimal frente al sistema romano, Antonio Pérez Sanz, comenta: "imagínense al pobre abaquista romano penando para colocar las fichas de su ábaco. Incluso tendría dificultades para anotar un número tan grande", con lo que parece dar a entender que el uso del ábaco era lento y complicado, y los algoritmos del sistema indo-arábigo vinieron a liberar a la humanidad de su empleo.

Sin embargo, la impresión de que el ábaco es un instrumento complicado y abandonado hace muchos siglos, es errónea.

Alberto Coto, récord Guinness de cálculo, en su libro La Aventura del Cálculo editado por la Editorial Filarias, explica brevemente la historia del ábaco:

La palabra ábaco proviene del griego "abax", que significa "superficie plana". El ábaco es el primer dispositivo manual de cálculo y permite realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas (sumar, restar, multiplicar y dividir).
Se suele considerar a los chinos como los inventores del ábaco, aunque hay indicios de que en Babilonia (3500 a. C.) ya se contaba con algo parecido. También los egipcios habían ideado un sistema similar de bolillas atravesadas por alambres.
El ábaco funciona de una forma sencilla. Con una serie de elementos de señalización, que pueden ser piedrecitas, varillas de bambú, fichas coloreadas, etc., y, a través de una serie de manipulaciones mecánicas que dependerán de la estructura del aparato, se consiguen realizar operaciones sin necesidad de un desarrollo formal del algoritmo de cálculo.
El ábaco fue el instrumento de cálculo y el impulsor del desarrollo científico-técnico durante varios siglos. Fue utilizado en Occidente hasta que hicieron su aparición los sistemas posicionales de cálculo y el invento del cero, a través del sistema indoarábigo de numeración.
La introducción en Occidente de los algoritmos propició una batalla entre los partidarios de la utilización del ábaco y entre los que preconizaban el uso de los algoritmos. Dicha batalla se decantó a favor de estos últimos ya entrado en el siglo XVI, aunque el ábaco siguió siendo el instrumento comercial por excelencia.
Hoy en día se sigue utilizando el ábaco en diferentes regiones de Asia y de Rusia, sobre todo en los comercios, y también en algunos Chinatowns. En muchos lugares también se enseña a los niños ciegos el uso del ábaco.

Así pues, hay lugares en el mundo donde se sigue utilizando el ábaco. Uno de ellos es un país tan avanzado y civilizado como Japón. El ábaco japonés se llama soroban, y es una versión simplificada y mejorada del ábaco chino suan pan. Fernando Tejón tiene una página web muy completa dedicada al ábaco japonés y a otros ábacos tradicionales, en la que incluso publica un Manual del Uso del Ábaco Japonés Soroban, y en la que explica, por ejemplo que

El ábaco, tradicional instrumento eficaz para todo tipo de cálculos matemáticos, pesenta en pleno siglo XXI innumerables ventajas. Fomenta la habilidad numérica, pero además su uso habitual mejora la capacidad de concentración, de razonamiento lógico, la memoria, el procesamiento de información de forma ordenada y la atención visual. Por lo tanto se podría considerar que el uso del ábaco es una excelente forma de ejercitar el cerebro, manteniéndolo activo y ágil a cualquier edad. Por si fueran pocas ventajas, en muchos casos los cálculos matemáticos con el ábaco son más rápidos que con una moderna calculadora electrónica...

Más adelante, en el capítulo introductorio de su Manual, explica que

El ábaco japonés, o Soroban, tiene su origen en el siglo XVI. Inicialmente tenía una disposición de cuentas 2-5 como en el Suan-pan chino, del que deriva. Posteriormente se le eliminó una de las cuentas superiores, quedando en disposición 1-5. A principios del siglo XX perdió una de las cuentas inferiores quedando en la actual disposición 1-4 que es la más adecuada al sistema decimal usado actualmente. Las cuentas del Soroban son de pequeño grosor y tienen los cantos vivos. Con esta forma se mejora notablemente la rapidez en los movimientos, y como consecuencia de los cálculos. Es, sin duda, el ábaco más evolucionado y con el que se realizan los cálculos con mayor rapidez.

Como ejemplo de las potencia de cálculo del ábaco está la famosa competición patrocinada por el periódico del ejército americano, Stars and Stripes (barras y estrellas) ocurrida en Tokyo el día 12 de Noviembre de 1946, entre el japonés Kiyoshi Matsuzaki del Ministerio Japonés de comunicaciones utilizando un Soroban y el americano Thomas Nathan Wood de la armada de ocupación de los E.U.A. con una calculadora electromecánica. El vencedor fue Matsuzaki usando el Soroban, que resultó vencedor en cuatro de las cinco pruebas, sólo perdiendo en la prueba con operaciones de multiplicación con números grandes.

También se cita en otra página, Highlights from The Computer Museum Report que "el empleo del soroban no ha declinado desde la llegada de sus rivales, la calculadora y el ordenador. En algunos bancos, las cifras diarias computerizadas se comprueban dos veces con un soroban. Cuando empiezan con el soroban, los estudiantes aprenden a visualizar la posición de los números. La campeona de soroban, la Srta. Nishida, puede sumar ocho números de diez cifras en menos de diez segundos, visualizando simplemente la posición de las fichas en su cabeza. De hecho, los japoneses afirman que el aprendizaje del uso del soroban puede aumentar el coeficiente intelectual de los estudiantes".

Más abajo, en la misma página se explica sobre el ábaco chino: "El chino suapan o bandeja de contar, tiene fichas redondas y está dividido en dos secciones. La sección superior se llama cielo y contiene dos fichas, cada una de las cuales vale cinco unidades. La sección inferior se llama tierra, y contiene cinco fichas, cada una vale una unidad. El suapan se usó en China sobre el 1300, y se hizo muy popular en 1593 cuando el matemático Chen Ta-wei publicó un libro sobre el cálculo con el ábaco. El ábaco es todavía una parte tan importante de la cultura china que todavía se celebra el 10 de Mayo como el Día Nacional del Ábaco".

En resumen, el ábaco es uno de esos tesoros matemáticos que todavía están en uso a pesar de que su origen se remonta a tiempos muy antiguos. Diferentes culturas, algunas muy alejadas entre sí, como los japoneses y los mayas, han compartido su uso. El diseño del ábaco ha sido siempre muy similar en todas partes, adaptándose a diferentes sistemas de numeración con suma facilidad; por ejemplo, en la cultura maya, que usaba un sistema de contar de veinte en veinte, se usaba un ábaco con tres cuentas en una sección y cinco en la otra (véase la misma página de Fernando Tejón mencionada antes)

Por mi parte, hace años compré un ábaco chino en una tienda de decoración. Posteriormente descubrí una tienda (hoy ya cerrada) en la que había material de go (el juego japonés); en esa tienda también se vendía el soroban, y adquirí uno para poder incluirlo en mi cofre de tesoros.

La Carretera hacia la Luna

Al profesor Cristóforus, eminente explorador de los Mateocéanos imaginarios, se le ha ocurrido la peregrina idea de proyectar la construcción de una carretera hacia la Luna. Aunque diversos amigos ingenieros y físicos se han apresurado a desanimarlo, por los numerosos inconvenientes que presenta el proyecto, el profesor no ha dudado en continuar con su propósito, alegando que "todo es posible en el mundo abstracto del pensamiento".

Uno de los ingenieros amigos de Cristóforus, la profesora Sebastianis, ha declarado que si se lograse trazar una carretera recta hacia nuestro satélite, al enganchar dicha carretera con la superficie lunar el movimiento orbital del satélite empezaría a retorcerla y a enrollarla sobre la Tierra. En ese caso, a menos que la carretera se hiciera con un material flexible e infinitamente elástico, sólo podrían suceder dos cosas: que la carretera se rompiera inmediatamente, o bien, si es suficientemente sólida, que arrastrara a la propia Luna hacia la superficie terrestre hasta colisionar con ella. La profesora Sebastianis sólo encuentra ante este problema la solución de no enganchar la carretera a nuestro satélite, sino dejarla sin terminar, suelta en el espacio, pero esto obligaría a cualquier viajero que usara la carretera a esperar que la Luna, después de dar su vuelta orbital, se colocara en la posición exacta para "saltar" desde la carretera hasta la superficie lunar. La maniobra, debido a la velocidad de nuestro satélite en su movimiento de traslación, sería tremendamente arriesgada.

Uno de los físicos, el profesor Cortés, ha puesto reparos al uso de la carretera. Afirma que ante la falta de gravedad en el espacio exterior, el agarre de los vehículos sobre la misma sería nulo, con lo que se tendría que emplear algún tipo de atracción magnética entre la superficie de la carretera y los coches que circularan por ella. También, debido a la falta de aire una vez que se sale al espacio y en la propia superficie lunar, los vehículos han de ir presurizados, y a nadie se le debe ocurrir durante el trayecto bajar las ventanillas en ningún momento.

Frente a los obstáculos y constantes discusiones que sostiene con sus colegas, el profesor Cristóforus insiste, como niño caprichoso, en que tiene la ilusión de poder ir algún día a la Luna conduciendo su propio coche, como el que se va a la playa cuando llegan las vacaciones. Sus compañeros intentan desanimarlo por todos los medios, pero se ha encabezonado en sus propósitos y permanece impermeable a todas las críticas.

El Sr. Pizárrez, que trabaja en una empresa de automóviles, le ha manifestado también al profesor las dificultades técnicas añadidas por la inmensa distancia de la Tierra a la que se encuentra la Luna. Parecería que nuestro satélite está al alcance de la mano, especialmente cuando lo vemos cerca del horizonte, pero la distancia real es de 384.000 kilómetros. Si un coche circulase por la carretera a una velocidad media de 120 kilómetros a la hora, se necesitan más de 3.000 horas para cubrir esa distancia. Haciendo una media de diez horas diarias de conducción, los viajeros pueden tardar trescientos días en llegar a la Luna. Son necesarias gasolineras para repostar y hoteles para pernoctar, y si se reducen las paradas a una sola al día, tendrían que instalarse no menos de trescientas gasolineras con sus correspondientes hoteles a intervalos iguales a lo largo de toda la carretera.

Además, continúa el señor Pizárrez, tenemos el tema de las revisiones del coche. Si hacemos una revisión al coche, con su cambio de aceite, filtros, bujías, etc., cada 30.000 kilómetros por ejemplo, han de instalarse doce o trece talleres. Y el automóvil, si al salir de la Tierra está nuevo, cuando llegue a la Luna tendrá casi cuatrocientos mil kilómetros, con lo que estará al final de su vida útil. Para un viaje a la Luna hay que comprar un coche nuevo en la Tierra y desecharlo para desguace cuando se llega a la Luna. Ni que decir tiene que si se quiere regresar desde la Luna también en coche, hay que comprar otro en la superficie de nuestro satélite, y por tanto se ha de abrir allí un concesionario.

De cualquier manera, Cristóforus sigue contumaz, y ya tiene trazado unos planos de una autopista que partiendo desde la Antártida tangencialmente a la Tierra se va separando suavemente de la superficie de nuestro planeta, que se curva sobre sí misma siguiendo las geodésicas, mientras que la carretera se mantiene recta apuntando directamente hacia el espacio exterior. La idea del profesor recuerda vagamente a la historia narrada por Tolkien, la de los barcos élficos que partían de los Puertos Grises en la Tierra Media para alcanzar la sagrada Valinor. Al igual que esta leyenda, el proyecto del profesor Cristóforus no parece que pueda salir del terreno de la fantasía para convertirse algún día en una construcción real. Seguiremos informando a ver en qué queda todo esto.

Más allá de los números perfectos

Cuaderno de bitácora: hace ya tiempo que conozco la existencia en los Matemares de los números perfectos, aquellos que son iguales a la suma de sus divisores propios. Escasean como diamantes preciosos en el inmenso cofre de la Aritmética, pero puedo nombrar a los primeros: el 6, el 28, el 496, el 8128. También descubrí uno de esos días de Matenavegación incansable a los números amigos, como el par 220 y 284, que cumplen que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro y viceversa.

Una buena tarde, con viento favorable y mar en calma, decidí emprender en solitario una búsqueda nueva, al menos para mí. Pensé que si existían números perfectos y números amigos podrían existir números a los que en principio llamé simpatizantes. Me dije que debían haber grupos cerrados de números tales que al sumar los divisores propios del primero de ellos me diera el segundo, al sumar los divisores propios del segundo me diera el tercero, y así sucesivamente hasta que al sumar los divisores propios del último me diera el primero de los números y así se cerrara el círculo. Es decir, conjuntos cíclicos en los que la suma de los divisores se mantenga girando entre ellos eternamente.

Desgraciadamente para mí, en los Mateocéanos existen ya pocas tierras desconocidas, y la de mis números simpatizantes es una tierra visitada ya por muchos otros matenavegantes.

En efecto, los que llamé números simpatizantes se llaman en realidad números sociables. Al encontrarlos en Internet, me di cuenta de que mi búsqueda hubiera resultado inútil, pues armado tan solo con un bolígrafo, un cuaderno y una calculadora, llegué en mis indagaciones no más allá del 500 sin éxito, quedándome lejos del primer grupo de números sociables que existe, el formado por los cinco números: 12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264, descubrimiento que he obtenido gracias a toda la información que circula por la red.

Además me enteré que todo esto de sumar los divisores propios de un número para obtener otro, y luego sumar los divisores propios de éste para obtener un tercero, y así sucesivamente se llama una sucesión alícuota. Sí, a mí también me asustó esta última palabra cuando la leí por primera vez.

Habitualmente, la sucesión alícuota de los números que no son perfectos, amigos o sociables acaba en 1. Invito a todos los matenavegantes a que prueben con diversos ejemplos. Pongamos por caso el número 34. Tiene divisores propios 1, 2, 17, luego 1+2+17=20; el 20 tiene divisores 1, 2, 4, 5, 10, 1+2+4+5+10=22; divisores propios del 22 son 1, 2, 11, y 1+2+11=14; divisores del 14 son 1, 2, 7, y 1+2+7=10; divisores del 10 son 1, 2, 5; 1+2+5=8; divisores del 8 son 1, 2, 4; 1+2+4=7; el 7 es un número primo luego su único divisor propio es el 1, y la sucesión alícuota acaba en 1. La sucesión alícuota completa del 34 sería: 34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1.

Pero dentro de mi viaje particular descubrí rápidamente unos islotes inadvertidos, y en ellos cierto tipo de números a los que no se les ha puesto nombre todavía y yo me he atrevido a bautizar como números fans. Uno de ellos es el 25. La sucesión alícuota de 25 no acaba en 1, sino que acaba en un número perfecto. Si sumamos sus divisores propios, 1 y 5, obtenemos 6, un número perfecto, luego su sucesión alícuota no termina en 1 sino en 6. Podemos decir que el 25 admira al 6, y me parece ver a los dos números como si uno fuera una celebridad y otro fuera su fan incondicional, de ahí el nombre que le he puesto. Además del 25 existen otros números cuya sucesión alícuota acaba en un número perfecto. Animo a los matenavegantes a que encuentren otros ejemplos.

Los números fans... ¿Acaso nadie todavía se había fijado en este tipo de números? ¿Nadie había prestado atención a una tierra que estaba delante de todos y que no tenía nombre hasta ahora?

Paralelo 28

Cuaderno de bitácora: hace unas semanas volví a ver la película 1492, de Ridley Scott, y por ese motivo estuve recordando las hazañas de uno de los navegantes más famosos e intrépidos de todos los tiempos: Cristóbal Colón.

Realmente hay muchos temas interesantes ligados a las matemáticas que aparecen en esta película. Ejemplos: la esfericidad de la Tierra, la manipulación y falsificación de cálculos que tuvo que realizar Colón para que su proyecto fuera aprobado, la navegación por el Atlántico utilizando el cuadrante y el astrolabio, el cálculo de la velocidad de los barcos y de la posición de los mismos en el mar, la economía de Colón en sus primeras colonias en el nuevo mundo, etc.

Algunos afirman que en su primer viaje a través del Atlántico, aquél que realizó entre agosto y octubre de 1492, Colón sabía hacia dónde se dirigía, pues tenía en su poder cierta información de otros navegantes e incluso algunos mapas antiguos en los que figuraba el continente americano.

Sería muy largo aquí explicar toda la historia de la exploración de nuestro planeta antes de Colón, y las diferentes teorías precolombinas sobre la forma y el tamaño de la Tierra. Solamente quiero recordar que aunque la idea extendida en la antigüedad era de que la Tierra tenía una forma plana, hubo diversos sabios, filósofos, científicos, geógrafos, que afirmaron antes de Colón que la Tierra era esférica. Entre ellos, uno de los más conocidos fue Eratóstenes, que ya en el siglo III a. de C. llegó a calcular, mediante mediciones de la inclinación de los rayos solares en diferentes latitudes, el tamaño terrestre con un error muy pequeño frente al tamaño real (se dice incluso que con un error menor a un 1%).

Cuando Colón quiso presentar su proyecto de atravesar el océano, él no podía basarse en que iba a descubrir nuevas tierras desconocidas, porque todo el mundo lo tomaría por loco, y nadie le prestaría el apoyo y los recursos financieros para fletar las naves de su viaje. Apoyándose en la convicción de que la Tierra era esférica, Colón afirmó que viajando hacia el oeste a través del Atlántico se podía dar toda la vuelta al planeta y llegar a las Indias Orientales (el continente asiático: China, Japón, etc.) y así abrir una nueva ruta de comercio con aquellos remotos parajes que beneficiaría y enriquecería a la corona española.

Pero si se pretendía llegar hasta el Asia atravesando el mar y se hacían cálculos del tamaño de la Tierra y de cuánto podía durar esa travesía, la extensión del océano resultaba demasiado grande, y los barcos no podrían realizar un viaje tan largo en los que estarían meses y meses sin tocar tierra. Los marineros no tendrían comida ni agua suficiente para completar la travesía. Colón entonces trucó los datos: eligió aquellas teorías en las que el tamaño de la Tierra era más pequeño y la extensión de Asia era más grande, para que el viaje saliera lo más corto posible y fuera factible llevarlo a cabo.

De hecho, si no existiera América, Colón no habría sido capaz de atravesar el océano (el Atlántico y el Pacífico juntos) para llegar hasta Asia. Pero cuando expuso su proyecto en Salamanca, logró convencer a los estudiosos de aquella época de que el viaje era posible.

En la película, durante el primer viaje, se observan algunas escenas interesantes, como aquella en la que Colón, durante la noche calcula la latitud a la que se encuentran los barcos con la ayuda de un cuadrante apuntado hacia la estrella Polar. Uno de sus compañeros le pide que le enseñe esa forma de orientarse en medio del océano, y el genovés le muestra cómo apuntar el cuadrante y comprobar que se encuentran en el Paralelo 28. Ésa es la ruta correcta. Cómo lo sabe Colón, o por qué elige ese paralelo terrestre, la película no lo explica, tan sólo dice que si siguen ése paralelo llegarán a su destino.

1492 tiene una banda sonora espectacular, maravillosa, profundamente inspiradora. Fue compuesta por Vangelis, autor de tantas otras músicas increíbles y bandas sonoras como la de Carros de Fuego, Blade Runner, o la de la serie de divulgación científica Cosmos, de Carl Sagan, por citar sólo algunas. En la banda sonora de 1492 Vangelis dedica uno de los temas más bellos, precisamente al Paralelo 28.

Cuando vi la película esta última vez, me pregunté ¿por qué exactamente 28? Y encontré varias asociaciones interesantes que quisiera exponer aquí.

Por un lado, en el terreno del misterio, se ha hablado en algunos libros sobre el Paralelo 27, que es como se ha bautizado una zona o banda alrededor de la Tierra en la que se ubican lugares especialmente misteriosos por los fenómenos y la historia que arrastran, por ejemplo, el famoso Triángulo de las Bermudas, las pirámides de Egipto, el desierto del Sáhara, la cordillera del Himalaya, el mar del Diablo en Japón, la Zona del Silencio en México, etc. Teniendo en cuenta que un paralelo es una línea, y estos lugares mencionados son extensos en superficie, en realidad ocupan varios paralelos, y asignar el número 27 no se debe tomar como algo que busque una exactitud geográfica, sino que es tan sólo un número llamativo para agrupar todas estas zonas. De hecho, la trayectoria de Colón en su navegación atravesando el Atlántico hacia América se mantuvo en esta franja, pues la distancia entre dos paralelos contiguos es poco más de 100 kilómetros. También sabemos que las Pirámides de la planicie de Gizéh o Giza se encuentran exactamente en el Paralelo 30, no en el 27 ni en el 28, y por tanto su distancia al centro de la Tierra es la misma que hasta el Polo Norte, lo que induce a pensar que cuando se construyeron las pirámides, ese lugar fue elegido adrede.

Entonces, ¿por qué Colón eligió el 28, y no el 27 ó 30? Ahora mismo no sé responder a esta pregunta, lo mismo que no sé por qué el paralelo del misterio es el 27 exactamente. Pero el número 28 no es un número al azar, matemáticamente hablando. Es un número perfecto: coincide con la suma de sus divisores propios. En efecto, 28 es divisible entre 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Si lo excluimos a él mismo y sumamos el resto de los divisores (los llamados divisores propios), 1+2+4+7+14=28. Esta propiedad la presentan muy pocos números, el más pequeño de ellos es el 6, el siguiente es el 28, y luego hay que esperar hasta el 496, y después el 8128, etc.

Podemos decir, por tanto, que para un matenavegante el Paralelo 28, el que llevó a Cristóbal Colón al descubrimiento del nuevo mundo, es un paralelo perfecto.