El extraño caso de Oliva Sabuco

Cuaderno de bitácora: en la película La Habitación de Fermat (ver la entrada correspondiente en este blog) cinco personajes son citados misteriosamente a una reunión para resolver enigmas, y cada uno de ellos se presenta bajo un seudónimo, o nick, como diríamos hoy, tomado de algún personaje de la historia de las matemáticas. Así tenemos al propio Fermat, mencionado en el título de la película, y también a Hilbert, Pascal, Galois y Oliva. Para todos los matenavegantes los cuatro primeros son matemáticos famosos, pero la única mujer del grupo lleva el seudónimo de una tal Oliva Sabuco, que hasta que salió en la película era totalmente desconocida para mí.

He investigado a esta mujer de la antigüedad, y lo que he averiguado a través de Internet me ha interesado mucho, además de llenarme de incógnitas sin despejar, sobre todo en relación al papel que toma en la película.

¿Quién es Oliva Sabuco? Hay diversas páginas con información sobre ella. Tenemos por ejemplo Oliva Sabuco en la Wikipedia, en la que aparece con el nombre completo de Oliva Sabuco de Nantes Barrera, y se dice que fue una esposa y madre española de la época renacentista a la que se le atribuye la redacción del libro Nueva Filosofía de la naturaleza del hombre, no conocida ni alcanzada de los grandes filósofos antiguos, la cual mejora la vida y salud humana. Por la publicación de este libro, algunos autores afirman que Oliva Sabuco fue una destacada médica y filósofa de su época.

Si estudiamos su biografía, Oliva Sabuco nació en Alcaraz, Albacete, en 1562. La fecha de su muerte es incierta, pero se afirma que es posterior a 1629, es decir, que probablemente llegó a cumplir los 67 años. En 1580, cuando tenía unos dieciocho años, contrajo matrimonio con Acacio de Buedo, con el que tuvo al menos cuatro hijos. Acacio ocupó varios cargos públicos en Alcaraz, y el matrimonio dispuso de una posición desahogada, legando dotes sustanciosas a sus hijos.

No está registrado en ninguna parte que Oliva Sabuco cursara estudios; se dice que fue formada en su casa, y que su padre había organizado tertulias intelectuales. En realidad, éste era el único camino para que la joven Oliva adquiriera una formación, porque en aquella época los estudios académicos oficiales estaban prohibidos para las mujeres. Fuera como fuese, la joven Oliva se las ingenió para redactar el libro Nueva Filosofía de la naturaleza del hombre... antes de 1585, con menos de veintitrés años, y lo publicó en 1587. Estas circunstancias han suscitado la controversia sobre si Oliva Sabuco fue realmente la autora del texto, y hay estudiosos que están a favor de su autoría, y otros que definitivamente niegan tal posibilidad.

Por un lado tenemos una mujer muy joven, de veinte y pocos años, recién casada, de la que algunos historiadores afirman que tuvo que dedicarse desde el momento en que contrajo matrimonio a sus tareas de esposa y madre, sin formación académica documentada y crecida en un pueblo o aldea de Albacete, lejos, en principio, de los círculos intelectuales de entonces. Por otro lado un libro escrito en un castellano de elevado estilo, un tanto arcaico para la época en que creció Oliva Sabuco, con partes escritas en un latín excelente, y de un contenido muy avanzado, científico-naturalista y filosófico, que fue elogiado por muchos autores de la época y recibió varias ediciones. Oliva Sabuco, además, no mantuvo ningún tipo de correspondencia científica con los autores y sabios de su tiempo, ni volvió a escribir ningún otro libro, ni dejó otros textos sin publicar que se conozcan, sino que su vida fue sencilla, oscura y desconocida para las crónicas, la vida de un ama de casa de buena posición en aquellos años.

Debido a estas circunstancias, hay muchos estudiosos que afirman que la autoría del libro no pertenece en realidad a Oliva, sino a su padre, el bachiller Miguel Sabuco, quien, al parecer, habría escrito el libro y al intentar publicarlo, temeroso de que su avanzado contenido le granjeara una denuncia por hereje, cedió la autoría a su hija, y más tarde, cuando vio que el libro había recibido las licencias para su publicación, intentó recuperar su nombre como autor del mismo.

Hay, sin embargo, ardientes defensores de que dicho libro fue escrito, efectivamente por la propia Oliva, y tratan de mantener el prestigio de esta mujer como una de las pocas mujeres científicas de la antigüedad, y una de las escasas figuras femeninas españolas que destacaron en aquellos tiempos en los campos del saber. Tenemos, por ejemplo, la Sociedad Oliva Sabuco, en la que se estudian todos los pormenores y detalles de su historia, concretamente en la página dedicada a su biografía.

Mi postura personal, en cuanto al caso de esta mujer, está más cerca, en principio, de la de la Sociedad Oliva Sabuco, pues no veo por qué hay que negar la posibilidad ni el mérito a una mujer joven para ser una gran estudiosa y la autora de un libro importante, a pesar de las dificultades de la época en que vivía. Parece ser, además, que tuvo acceso a importantes bibliotecas de Alcaraz, como la de su padrino, el Doctor Heredia, y pudo departir con personajes de la talla del profesor Simón Abril, eminencia en autores clásicos latinos y griegos, que llegó al pueblo por aquellos años y luego sería nombrado profesor de la Universidad de Zaragoza.

Tenemos pues, por un lado, el descubrimiento de esta mujer excepcional, bastante desconocida, y de su libro, un descubrimiento lleno de puntos interesantes. Pero por otro lado, nos encontramos con el papel de esta mujer en la película La Habitación de Fermat.

Aquí las cosas no me coinciden. En primer lugar, la película trata sobre matemáticos, y los seudónimos empleados son nombres de matemáticos famosos, excepto Oliva, porque ella, se dude o no, es conocida como médica y filósofa, no como matemática. Su libro no trata de matemáticas, sino de medicina y filosofía. En segundo lugar, en un momento clave de la película, se comenta que Oliva Sabuco murió a la edad de 26 años, edad que coincide con la de la mujer que lleva su seudónimo. Pero los pocos datos de su biografía con los que se cuenta dicen que pudo llegar a vivir más de sesenta años.

Habiendo mujeres matemáticas famosas en la historia, ¿por qué se ha incluido en la película a Oliva Sabuco, que no era matemática? Y si la edad de la muerte de los matemáticos mencionados es un punto importante en el argumento, ¿por qué se afirma que murió a una edad que no parece ser cierta?

Quedan abiertas para nosotros estas pequeñas incógnitas, difíciles de resolver por el momento, salvo que algún día tengamos acceso a conocer las intenciones de los guionistas del film. En cualquier caso, es curioso cómo algunas veces hay detalles que llaman la atención, y que luego, al investigarlos, resultan ser más interesantes de lo que parecían en un principio, como sucede con cualquier travesía a traves de los mateocéanos: en la distancia, la isla que se ve a los lejos es solo un punto que rompe la continuidad del horizonte; cuando te acercas lo suficiente, sin embargo, se revela ante tus ojos todo un paisaje nuevo de exhuberante vegetación cuajado de flores y frutos, elevadas montañas, ríos caudalosos interrumpidos por rugientes cascadas, y ocultas tras ellas, oscuras cuevas de paredes forradas con piedras preciosas que conducen, inevitablemente, al corazón del misterio.

[El Problema de la Semana] La altura del tronco

Inauguramos un nuevo tipo de entradas a los que vamos a llamar El Problema de la Semana.

Desde hace ya cinco años, en nuestro Barco Escuela venimos proponiendo problemas a los grumetes, un problema por semana, aunque no todas las semanas, porque en total salen unos quince problemas durante el curso. Suelen ser problemas variados, algunos de ellos ingeniosos, que se pueden resolver de diversas maneras. Habitualmente los extraemos de los libros de nuestra biblioteca matemática, aunque también hay algunos que proceden de la web, o nos los cuentan espontáneamente otros matenavegantes, etc. A aquellos grumetes que entregan más problemas resueltos se les da un premio al final del curso.

El problema de esta semana es muy sencillo:

¿Qué altura tiene un tronco que es 2 metros más corto que un árbol de altura triple que la del tronco?

La solución viene debajo de la ilustración. Si el lector quiere intentar resolverlo por sí mismo, no debe seguir leyendo.

[autor de la fotografía: Luis Diago]

Hay varias formas de resolver el problema. Una de ellas puede ser por cálculo mental, tanteando con algunas cantidades, aunque en realidad no hay que tantear mucho. Otra forma es plantear una ecuación.

Llamemos x a la altura del tronco. Entonces x es 2 unidades menor que 3x. En forma de ecuación:

x = 3x − 2

Es fácil despejar x:

x − 3x = −2

−2x = −2

x = −2/(−2)

x = 1

Solución: el tronco mide 1 metro de altura.

Nota: este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

El método americano para el cálculo del mínimo común múltiplo

Cuaderno de bitácora: la navegación por los matemares nunca deja de traernos descubrimientos inesperados. El último ha sido hace un par de días, cuando uno de nuestros grumetes me ha mostrado lo que podemos llamar como "método americano para el cálculo del mínimo común múltiplo".

En los colegios españoles es costumbre enseñar a los alumnos la descomposición factorial de los números en factores primos. Esto es lo que entre los matenavegantes se conoce como Teorema Fundamental de la Aritmética: todos los números enteros positivos se pueden descomponer de forma única como producto de números primos.

Tal y como está enunciado, para que éste Teorema sea cierto, es necesario que el 1 no sea un número primo. Los números primos son, por tanto, 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Muchas personas recuerdan una de las definiciones más corrientes de número primo: un número que sólo es divisible por 1 y por sí mismo. Si seguimos al pie de la letra esta definición, el 1 sí sería primo, ya que sólo es divisible por 1 y por sí mismo, 1.

Sin embargo, es muy incómodo dejar que el 1 sea primo, ya que entonces la factorización en factores primos de los números naturales (también llamados enteros positivos) permitiría expresiones como: 6 = 1·2·3, o que 6 = 1·1·1·2·3, en lugar de limitarnos a decir que 6 = 2·3. La factorización en factores primos no sería única, podría variar todo lo que quisiéramos introduciendo tantos factores 1 como nos apeteciera.

Una definición más ajustada de número primo es, por tanto, la siguiente: un número primo es un número natural mayor que 1 que sólo es divisible por 1 y por sí mismo. (Así el 1 queda excluido, y con él, los problemas de unicidad de las descomposiciones.)

Cuando se trata de calcular el máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números, en los colegios españoles, tradicionalmente, se ha enseñado que los números han de descomponerse en factores primos, y luego tomar

-para el mcd los factores comunes con el menor exponente.

-para el mcm los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

Pero eso de tomar los factores comunes, no comunes, mayor, menor exponente... muchos grumetes se hacen un verdadero lío, y no les queda nada claro. Se les olvida rápidamente, y aunque la intención de los profesores es buena, no parece que este método de cálculo de mcd y mcm tenga el éxito que merece en el aprendizaje de nuestros alumnos.

Da la sensación de que al enseñar todos estos procesos se pretende que el alumno vaya captando algunos conceptos abstractos que, en realidad, son bastante avanzados, como la unión y la intersección de conjuntos, y esa íntima arquitectura de los números que se descifra gracias a su descomposición factorial.

Se me ocurre comparar un número con el motor de un coche. Descomponer un número sería como desmontar un motor: usando las herramientas adecuadas para cada tornillo y cada tuerca, cualquiera puede aprender a desmontar un motor. Pero sacar a partir de las descomposiciones el mcd y el mcm se asemeja a tener el motor de un coche desmontado y lograr que una persona aprenda a recombinar las piezas para conseguir, por ejemplo, el motor de una motocicleta o el de un camión. Eso ya es una tarea mucho más difícil, que requiere conocer profundamente el funcionamiento interno del motor, conceptos como la energía y el trabajo, la potencia, el diseño de las piezas, y muchos aspectos técnicos que quizás sólo son interesantes para especialistas de la talla, por ejemplo, de los que trabajan como mecánicos en la Fórmula Uno.

Cuando aprendemos a sumar y restar fracciones, nos enseñan que hay que calcular el mínimo común denominador de las fracciones. Esto no es necesario, porque basta calcular un común denominador, no hace falta que sea el mínimo, siempre que en el resultado final nos habituemos a simplificar o reducir las fracciones hasta conseguir una fracción irreducible.

Las calculadoras científicas corrientes que se usan en la Enseñanza Secundaria, permiten trabajar con fracciones y es muy sencillo simplificar con ellas cualquier fracción. Pero no están programadas para calcular el mínimo común múltiplo, por lo que averiguar el mcm es una tarea que en clase hay que hacerla a mano.

Aunque calcular el mínimo común denominador no es necesario, como hemos dicho antes, se les acostumbra a los grumetes a realizar el cálculo, y entonces, como no se acuerdan del algoritmo, surgen los problemas: ¿cómo se calculaba el mcm de los denominadores? ¿cogemos los factores comunes o los no comunes? ¿cuántas potencias de cada factor tomamos? Además, el proceso de sumar o restar las fracciones queda interrumpido por el cálculo del mcm, que a veces resulta largo y tedioso.

Estábamos dedicados en el Barco Escuela a este tipo de ejercicios cuando uno de los grumetes me preguntó si el método que estaba empleando se podía usar. Y entonces me enseñó un procedimiento que yo no había visto antes, y que a él le habían enseñado en tierras americanas.

Dicho método o algoritmo me ha parecido tan sencillo que lo voy a tratar de explicar aquí. Aunque utiliza la descomposición en factores primos, no se necesita hablar explicitamente de factores comunes ni de mayores o menores potencias. Se toman los números a los que se quiere calcular el mínimo común múltiplo. Se ponen en fila. A un margen de la fila se coloca un factor primo, que aparezca al menos en uno de los números, y se dividen todos los números que se puedan por ese factor, colocando los cocientes debajo de cada número. Luego se coloca otro factor primo, puede que el mismo si en algunas columnas todavía se puede seguir dividiendo por él, y se dividen todos los números que ahora tenemos en la parte inferior de cada columna (los cocientes de la primera división y los que no se pudieron dividir en el primer paso) por el nuevo factor. El caso es ir logrando que todos los números vayan siendo divididos progresivamente hasta que cada columna termine en 1. Luego se toman todos los factores que pusimos al margen y se multiplican; el resultado es el mcm buscado.

Ilustrémoslo con un ejemplo: sean los números 12, 18, 30, 45. Busquemos el mcm de estos cuatro números.

Empezamos escribiendo en el margen el número primo 2, que divide a algunos de los números. Los que se pueden dividir son divididos, los que no, se quedan como están (véase ilustración)

Como todavía en la primera columna se puede dividir por 2, volvemos a ponerlo al margen, y dividimos lo que podemos.

Continuamos con el 3, que ponemos al margen, y dividimos los números de la parte inferior de las columnas por 3, los que se puedan, (en este caso se pueden todos).

Obsérvese que en la primera columna ya hemos conseguido llegar a 1. Esa columna ya está terminada. Como en algunas de las otras columnas todavía se puede dividir por 3, volvemos a colocar un 3 al margen y dividimos.

Ya hemos terminado también la segunda columna, nos quedan sólo la tercera y la cuarta, ponemos un 5 al margen y dividimos.

Hemos llegado al final. Si observamos el margen, hemos recopilado todos los factores necesarios para el mcm, que será 2·2·3·3·5 = 180.

El lector puede hacer sus propias comprobaciones con otros ejemplos, como el siguiente: calcular el mcm de 28, 32, 40. El proceso debe ser el que aparece en la ilustración, en la que hemos reflejado todos los pasos:

Obtenemos finalmente que el mcm de 28, 32 y 40 es 2·2·2·2·2·5·7 = 1120.

PD: todos los matenavegantes expertos saben que para el cálculo del mcd de dos números existe un algoritmo clásico muy antiguo, fácil y rápido, conocido como algoritmo de Euclides que no emplea la descomposición en factores primos. Consúltese, por ejemplo, la página de Vitutor, que lo explica de forma muy sencilla.

El Nurikabe

Cuaderno de bitácora: estamos empezando un nuevo periplo en el Barco Escuela, y este año a los grumetes les hemos propuesto como pasatiempo que aprendan a resolver nurikabes.

Descubrí el Nurikabe en una librería, en la sección de los libros dedicados a juegos y pasatiempos. Entre los libros de sudokus y kakuros estaba El libro del Nurikabe, escrito por Sam Griffith-Jones y publicado por Valor Editions.
Dice Sam Griffiths-Jones en su Introducción al Nurikabe:

En el folklore japonés, el Nurikabe es una pared invisible que impide al viajero proseguir su camino. El Nurikabe toma la forma de una tabla en la cual están colocados una serie de números. El objetivo es usar esos números para decidir qué casillas en la tabla deberían estar ennegrecidas (el Nurikabe, o pared), y cuales deberían quedarse en blanco, basándose en una serie de normas sencillas. El Nurikabe también es conocido bajo el nombre de "islas en una corriente", donde las casillas negras son la corriente y las casillas blancas las islas. Cada puzzle tiene una sola solución, y siempre se puede llegar a esa solución por deducción lógica. No es menester hacer adivinanzas.

Según la wikipedia, el Nurikabe es un pasatiempo desarrollado por un tal Reenin en el número 33 de la revista Nikoli, publicado en marzo de 1991. Pronto se convirtió en un éxito dentro de la revista, que ha seguido incluyéndolos en todas sus ediciones.

El Nurikabe ha seguido la estela del extraordinario éxito del Sudoku. Después de que el Sudoku se popularizase en 2004, otros pasatiempos de origen japonés han ido apareciendo en todo el mundo. El Kakuro y el Nurikabe son dos de ellos.

En la página web Nurikabe @ Daily Sudoku se explican las reglas, hay un tutorial y una gran colección de nurikabes para imprimir y resolver. Como quiera que la página está en inglés, a continuación incluyo una traducción de las reglas y el tutorial.

Reglas:

-Cada celda o casilla debe ser blanca o negra.

-Cada grupo de casillas blancas (islas) debe contener uno y solo un número.

-El número de casillas blancas en un grupo debe ser igual a ese número.

-Todas las casillas negras deben estar unidas formando un bloque continuo (el muro o corriente).

-Los bloques 2x2 de casillas negras no están permitidos.

Ejemplo resuelto:

Primer paso: casillas con un 1

Fijémonos en el número 1 cerca del centro de la cuadrícula. Cada isla debe contener un número. El número 1 representa una isla con solo un cuadrado blanco, así que podemos sombrear las casillas adyacentes. Esto mismo es cierto para el 1 de la esquina superior derecha.

Paso dos: sombreando entre las islas

Ningún grupo de celdas blancas debe contener más de un número. Esto significa que los números deben estar separados por cuadrados negros. Cuando tenemos dos números con un solo cuadrado entre ellos, este cuadrado debe ser ennegrecido. Por ejemplo, el 5 y el 2 de la esquina superior izquierda deben separarse por una casilla negra.

Paso tres: extendiendo el muro

Si nos concentramos en la esquina inferior izquierda de la cuadrícula, cada cuadrado negro debe estar conectado para formar el muro. La casilla negra de la esquina inferior izquierda no debe quedarse aislada. Sólo tiene un cuadrado vecino posible, el cual, por tanto debe ser negro. Donde haya una única posibilidad, debemos extender el muro.

Paso cuatro: extendiendo las islas

Fijémonos en el número 2 en la esquina inferior izquierda. Esta isla no está completa todavía, necesita un segundo cuadrado blanco. El número tiene sólo una casilla vecina posible, y por tanto debe ser blanca. Podemos poner un punto en esa casilla para mostrar que es blanca. Ahora la isla "2" está completa, y por tanto la podemos rodear de cuadrados negros.

Paso cinco: aislamiento

Echemos un vistazo a los cuadrados marcados con (a). Estos cuadrados están rodeados, y por tanto no pueden ser parte de ninguna isla. Se deben sombrear.

Como estamos ahí, debemos extender el muro de la esquina superior derecha. Podemos buscar otros lugares donde el muro debe extenderse también.

Paso seis: otra vez las islas

Miremos el 5 en la esquina superior izquierda. Necesitamos extender la isla. Usemos puntos para señalar los cuadrados que deben ser blancos.

¿Qué otras islas se pueden extender?

Paso siete: bloques 2x2

La última regla dice que no se permiten bloques 2x2. Los dos cuadrados marcados con (a) en la parte central izquierda de la cuadrícula deben ser blancos, porque si los sombreamos violamos dicha regla. Marquémoslos con puntos.

Paso ocho: sombreando entre las islas II

En el paso dos, rellenamos los cuadrados que separaban dos números. Esto lo podemos extender de manera lógica y rellenar los cuadrados que separan las islas que van creciendo. Observemos los cuadrados marcados (a). ¿Se comprende por qué deben ser sombreados?

Paso 9: muro e islas

El error más corriente es concentrarse sólo en el muro, o sólo en las islas. Necesitamos ir cambiando la atención del muro a las islas y de las islas al muro. Busquemos si se pueden extender partes del muro para evitar que se queden aisladas, y extender islas y sombrear las casillas que las rodean cuando están llenas.

Paso 10: ya casi está

¡Casi lo hemos conseguido! Nótese que en la cuadrícula mostrada arriba, debemos rellenar los cuadrados marcados (a) para que no se queden aislados trozos enteros de muro.

Paso 11: últimos cuadrados

Las islas restantes se pueden extender en una sola dirección. El último cuadrado oscuro une dos grandes secciones de muro en una unidad continua.

Paso 12: solución

¡Bien hecho! Obsérvese la distribución de las islas y la línea continua de muro.

En la misma web Nurikabe @ Daily Sudoku hay una página con muchos nurikabes para imprimir.

Notas:

Las reglas del Nurikabe no son tan intuitivas ni tan simples como las de los sudokus. De hecho hay variantes. Así tenemos, que en El libro del Nurikabe, Sam Griffiths-Jones incluye una regla específica, no incluida aquí, que dice que el muro no puede tener ciclos, es decir, el muro no puede contener circuitos cerrados de casillas; otra forma de definir esta misma regla es exigir que dadas dos casillas negras del muro, debe haber un solo camino posible que las une. Además no están permitidos los bloques 2x2 de casillas negras ni tampoco los bloques 2x2 de casillas blancas. Sin embargo, en la página web Nurikabe @ Daily Sudoku no se incluyen estas dos reglas, aunque el ejemplo que trae sí las sigue implícitamente.

Hay otras páginas de Nurikabes en las que los ciclos sí están permitidos explícitamente. Véase, por ejemplo, el siguiente Nurikabe resuelto, que aparece en la página de su.doku.es:

En este Nurikabe hay un ciclo en torno a la isla "1" del centro. Si quisiéramos ir por el muro de una casilla negra que esté junto al 3, a la casilla negra que está junto al 6, habría dos caminos posibles, al poder rodear al 1 central por dos lados distintos.

Hay otras muchas webs en las que aparecen Nurikabes para resolver online. La página de la revista japonesa Nikoli tiene también tutoriales flash (en inglés) para aprender de forma sencilla e interactiva a solucionarlos.

Si yo tuviera un gúgol de euros...

Cuaderno de bitácora: en uno de nuestros viajes por los puertos ingleses, descubrimos un libro con muy buen precio, The Story of Mathematics, escrito por Anne Rooney. Su contenido es ameno y fácil de leer (para los que saben inglés), y durante el nuevo periplo del Barco Escuela estamos seleccionando algunos textos para trabajar con los grumetes.

Uno de esos textos habla sobre el gúgol y el gúgolplex (googol y googolplex en inglés). Los matenavegantes suelen conocer estos dos números, ya que han ido adquiriendo cierta fama a lo largo del tiempo.

Un gúgol es un número: un 1 seguido de cien ceros. En potencias de diez, diríamos que es diez elevado a cien, 10¹⁰⁰. Es, por tanto, un número muy grande, enorme.

Un millón es un 1 seguido de seis ceros, un billón (en España) es un 1 seguido de 12 ceros. Un trillón, un 1 seguido de dieciocho ceros. Éstos ya son números muy grandes. El gúgol es mucho, mucho, pero mucho más grande que cualquiera de los mencionados. En la definición de gúgol de la Wikipedia, que recomendamos leer porque trae unas cuantas curiosidades sobre el gúgol, se comenta, por ejemplo, que siguiendo la misma tónica de potencias de diez: trillón, cuatrillón, quintillón, sextillón, septillón, octillón, etc., el gúgol equivaldría a diez mil hexadecillones.

Un gúgol, como hemos dicho, es enorme, pero mucho peor es el gúgolplex. El gúgolplex es otro número: un 1 seguido de un gúgol de ceros, o en potencias de diez, diríamos diez elevado a un gúgol.

La ocurrencia de ponerle nombres propios a estos dos números la tuvo Milton Sirotta, el sobrino de nueve años del matemático americano Edward Kasner. En el libro Matemáticas e Imaginación, de Edward Kasner y James Newman, se dice, por ejemplo, que

Palabras de sabiduría pronuncian los niños, por lo menos tan a menudo como los hombres de ciencia. El nombre "gúgol" fue inventado por un niño (sobrino del doctor Kasner, de nueve años de edad), a quien se le pidió que propusiera un nombre para un número muy grande, a saber: un 1 seguido de cien ceros. Estaba muy seguro de que este número no era infinito y, por lo tanto, igualmente en lo cierto de que tenía que tener un nombre. Al mismo tiempo que indicó la palabra "gúgol", sugirió el nombre para otro número aún mayor: "gúgolplex". Un gúgolplex es mucho mayor que un gúgol, pero continúa siendo finito, como se apresuró a señalar el inventor de su nombre. Primero se sugirió que un gúgolplex sería un 1 seguido de tantos ceros que uno se cansase de escribirlos. Esto es una descripción de lo que sucedería si uno tratara realmente de escribir un gúgolplex, pero distintas personas se cansan en tiempos diferentes y no consideraríamos a Carnera [un boxeador de la época] mejor matemático que al doctor Einstein, sencillamente porque tuviera más resistencia. El gúgolplex es, pues, un número finito determinado, formado por tantos ceros después de la unidad, que el número de ceros sea igual a un gúgol.

En otro pasaje del mismo libro, se dice también que

Desgraciadamente, tan pronto como la gente habla de números grandes, pierde la chaveta. Parecen hallarse bajo la impresión de que, ya que cero es igual a nada, pueden agregar a un número tantos ceros como les plazca sin que ello traiga consecuencias serias. Tendremos que ser un poco más cuidadosos, pues, al hablar de números grandes.

En efecto, corroborando lo que dice el libro, una vez que explicamos a los grumetes lo que significa un gúgol, ellos no parecen captar la idea. No les culpamos, porque es muy raro que alguien pueda captar la idea al principio. Les decimos, por ejemplo, que se ha calculado el número de partículas subatómicas del universo (protones, neutrones, electrones, fundamentalmente) y que ese número es menor que un gúgol, está en torno a diez elevado a ochenta, o un 1 seguido de ochenta ceros. Les decimos también que si quisiéramos escribir un gúgolplex, no habría en el universo espacio suficiente para escribir todos los ceros. Parece que con estas comparaciones es suficiente para que capten el concepto, pero no es así.

Porque de repente, siempre surge la misma ocurrencia: ¿y tener tanto dinero como un gúgol?

Hasta ahora no me había dado cuenta que una de las mejores maneras para hacerse una idea de los números grandes es hablar en términos de dinero. Ahí los grumetes, y cualquier persona, en general, tiene muchas referencias, y además interesantes, porque es fácil suponer que tenemos grandes cantidades de dinero y dejar volar la imaginación con todo lo que podríamos hacer con ellas.

Si hablamos de mil euros, por ejemplo, estamos hablando del sueldo mensual, un poco bajo, de una persona (últimamente se ha acuñado el término mileurista para designar en España a los trabajadores que tienen un sueldo en torno a mil euros al mes, cantidad que es escasa a la hora de hacer frente a la hipoteca de un piso, el mantenimiento de una familia, etc.) Si hablamos de diez mil euros, entonces ya entramos en lo que vale, por ejemplo, un automóvil sencillo. Si fueran cien mil euros, es el valor de un piso pequeño en una ciudad donde los precios de los pisos sean bajos.

Cuando llegamos a un millón de euros, entonces ya nos podemos imaginar una casa grande con jardín, piscina, bien amueblada, y si son diez millones de euros, empezamos a movernos en las cifras que ganan algunos deportistas al año. Cien millones de euros es un poco más de lo que costó el traspaso de Cristiano Ronaldo al Real Madrid, y puede ser el presupuesto de una superproducción de Hollywood protagonizada por actores famosos. Miles de millones de euros se pueden usar para contabilizar la fortuna de algunos multimillonarios. Aquí ya se empieza a perder la perspectiva.

Un billón de euros, (un millón de millones), es una cifra que se usa en la economía global de los países. El Producto Interior Bruto (PIB) en España, la suma de todos los bienes y servicios finales producidos en un año, fue en 2008 alrededor de un billón de euros, mientras que el PIB mundial, es decir, la suma de todos los países, no llegó a cincuenta billones de euros.

Un mil billones de euros, por tanto, es más de lo que se ha producido en todo el mundo durante los veinte últimos años.

Si ahora subimos a un trillón de euros (un 1 seguido de dieciocho ceros), resulta que es más de mil veces el dinero que se ha movido en todo el mundo en veinte años, ¿qué se le puede decir a un grumete cuando con ingenua e inconciente ocurrencia pregunta por un gúgol de euros?

En ese momento clave intento contestarle de forma contundente, y mi propia imaginación me traiciona. Lo primero que digo es que ese dinero no existe, que no hay tanto dinero en el mundo, y el grumete me pregunta: ¿por qué?

Luego se me ocurre decirle que con ese dinero se podría comprar el mundo entero, qué digo el mundo, el sistema solar entero, y esto último ya me parece bastante fuerte.

Pero poco a poco lo realmente enorme de tal cantidad se va abriendo paso en mi mente: un gúgol de euros...

No hay un gúgol de partículas subatómicas en el universo, luego si se me ocurriera pagar un euro por cada átomo del universo, podría comprar el universo entero, y me sobraría mucho dinero...

Pagar un euro por cada átomo es un precio CARÍSIMO. ¡Para comprar un SIMPLE vaso de agua no habría suficiente dinero en el mundo!.

Si yo tuviera un gúgol de euros, podría pagar un euro por cada átomo y comprar este universo entero.

Si yo tuviera un gúgol de euros, podría pagar un euro por cada partícula subatómica y comprar un trillón de universos como éste...

Si yo tuviera un gúgol de euros...

El Sudoku X

Cuaderno de bitácora: hace un par de meses, con el barco atracado en puerto, nos pusimos a ordenar los camarotes, y entre la montaña de viejos papeles que sacamos de los polvorientos armarios, apareció una doble página del Diario Córdoba, con fecha del 30 de diciembre de 2005, llena de sudokus para resolver durante las vacaciones de Navidad de aquel año.

Creo recordar que fue Antonio, un compañero oficial matenavegante, el que tras las fiestas navideñas, al reencontrarnos en el Barco Escuela, me tendió la doble página con la amable frase: "mira, el periódico traía estas páginas, me he acordado de tí que sé que te gustan los sudokus, aquí las tienes..."

No puedo negar que los sudokus me agradan mucho, aunque comparto su afición con los kakuros, nurikabes, puzzles japoneses y en general cualquier pasatiempo medianamente entretenido, incluyendo los clásicos crucigramas y autodefinidos. Aparte de la lectura, la escritura, las películas, etc., los pasatiempos me sirven para rellenar los numerosos ratos de ocio en las largas travesías por los mateocéanos.

Cuando Antonio me dio aquella doble página, hace ya casi cuatro años, escribí algunos números en algún que otro sudoku, sin terminar ninguno, y luego guardé el papel en cierto lugar del camarote, y allí se ha quedado, esperando pacientemente la ocasión de volver a salir a la luz, lo que ocurrió por fin cuando este verano me puse a ordenar y limpiar.

El espacio en la doble página se había aprovechado muy bien: en total venían en ella veinticinco sudokus, de los cuales, dieciocho eran sudokus normales, había tres sudokus más sencillos, uno de 4x4 y otros dos de 6x6, también un sudoku monstruo de 16x16, y tres sudokus irregulares (que en el diario se llamaban sudokus estrella, quizás aludiendo a los adornos navideños).

Los sudokus irregulares son como los normales, salvo que en lugar de estar organizados en cuadrados 3x3, están dividido en nueve zonas de nueve números cada una, pero las zonas no suelen ser cuadradas, sino que son figuras irregulares, de ahí el nombre.

En los largos días de verano, mecido suavemente por las olas que venían a descansar al puerto, aprovechando la ocasión de aquel hallazgo, me dediqué a resolver, uno por uno, todos los pasatiempos. Había sudokus más sencillos, otros de nivel medio, y otros más difíciles. El sudoku monstruo 16x16 fue especialmente laborioso, pues se debían tener en cuenta, además de los dígitos del 1 al 9 habituales, el 0 y las letras A, B, C, D, E, F. Dos de los sudokus irregulares salieron sin problemas. Pero el tercer sudoku irregular se resistió enormemente a ser solucionado.

Lo intenté en varias ocasiones, pero al principio, ante la imposibilidad de encontrar razonamientos que me condujeran a sacar los números, lo iba posponiendo, hasta que se me quedó en último lugar. Todos los demás sudokus estaban ya terminados y sólo éste permanecía invicto, desafiante. Le di muchas vueltas, y poco a poco, día tras día, empezó a ceder. Un día lograba poner un nuevo número. Al día siguiente, otro número, y así, casi a dígito por día, logré avanzar, como piloto que guía su navío con extrema lentitud y cuidado por un estrecho marino sembrado de escollos. Finalmente, se consiguió. El sudoku fue resuelto.

Siempre que logramos resolver un problema difícil, ocurre que nuestra mente encuentra nuevos razonamientos, nuevos senderos lógicos, nuevas tesis e implicaciones. Así ocurrió también en la solución de este sudoku. A pesar de haber resuelto muchos, hemos descubierto algunas elaboradas relaciones entre los números de la cuadrícula que no son evidentes a simple vista, sino que aparecen después de reflexionar un día tras otro sobre los mismos números, las mismas filas, las mismas columnas, las mismas zonas.

A continuación incluyo el sudoku protagonista de esta aventura. Invito a todos los matenavegantes a que intenten resolverlo, pero quedan advertidos de su dificultad. Es posible que alguno descubra un camino corto para solucionarlo, un atajo que se me haya pasado inadvertido, lo cual no dejaría de ser una sorpresa muy agradable.

Es curioso que las casillas sombreadas de este sudoku, formadas por cinco zonas, la central y las de las esquinas, tengan, precisamente, la forma de una X, la clásica incógnita matemática. Por eso hemos bautizado a este sudoku con el misterioso nombre de Sudoku X.

Esta es la Solución al Sudoku X

Buscando la Combinación del Candado

Cuaderno de bitácora: el otro día me vino a la memoria aquella vez de tantas que regresé al mando de mi nave al renombrado puerto de Hispalis y pasé un buen rato en la cantina charlando con viejos exploradores conocidos mientras degustábamos viandas de tierra adentro. En aquella ocasión de la que hablo, uno de estos exploradores, amigo mío de hace muchos años, del que sé que ya se afincó en el otro hemisferio tras haber dejado varios océanos atrás, me enseñó un objeto que había encontrado en uno de sus viajes y me pidió ayuda para poder darle uso.

El objeto en principio no tenía nada de especial. Era un sencillo candado metálico de combinación, con tres rueditas de números, que se puede abrir girando las rueditas hasta colocar la combinación correcta de dígitos. Nuestro explorador, que había aprendido hacía años a ahorrar hasta el último doblón, quería aprovechar el hallado objeto para asegurar el cierre de una de sus muchas maletas, pero ignoraba la combinación y no imaginaba cómo proceder.

Resultaba indudable que para él, intentar averiguar la combinación quedaba fuera de sus capacidades; aquella tarea se le antojaba casi imposible, digna de un experto ladrón de cajas fuertes, de esos que con un estetoscopio de médico y manos enguantadas se cuelan en las mansiones de los ricos durante las horas de la madrugada y logran abrir las puertas blindadas de las cajas prestando atención al clic-clic de las ruedas de la cerradura. Quizás con ese pensamiento fue que me comentó lo del candado, enseñándomelo, pero cuando lo vi, le dije con seguridad que yo podía encontrar la combinación.

En efecto, así fue. ¿Cómo lo hice? Sentado tranquilamente a la mesa y dejando con indiferencia que mi jarra de zumo de uva se calentara, procedí a colocar las rueditas en el 000, y pulsé para abrir el candado, pero no se abrió, luego las puse en el 001 y volví a pulsar, luego en el 002, y así sucesivamente fui probando, 003, 004, 005 ...

Cuando mi amigo el viejo explorador me vio intentando abrir el candado número a número, me preguntó si aquello no me iba a llevar demasiado tiempo, y su pregunta sonó como una afirmación, porque él estaba convencido de que lo que yo estaba haciendo era del todo inútil, y que me cansaría antes de llegar ni siquiera a acercarme a la solución.

Sin embargo le dije que no se preocupase, y seguí con mi tarea. Para su sorpresa, al cabo de no más de un cuarto de hora, la combinación estaba averiguada (recuerdo que el número era ciento y pico, cerca de doscientos), y el candado, abierto.

Como matenavegante, yo jugaba con ventaja. Sabía que una combinación de tres números no se tarda mucho en averiguar probando cada posibilidad una a una. Si contamos el tiempo, aunque no lo he vuelto a intentar, supongo que se pueden ir probando hasta veinte números por minuto, con lo que en una hora da tiempo de sobra para sacar la combinación, sea la que sea, y probablemente en mucho menos de una hora, como me pasó a mí.

Pero claro, estamos hablando de un candado de tres rueditas. Diferente es si empezamos a probar con candados de cuatro, cinco o más rueditas. Para el de cuatro, la tarea puede alargarse durante horas enteras, y para el de cinco es posible que se tarden días, y así sucesivamente. El candado de sólo tres ruedas es ciertamente asequible.

Como consecuencia, este tipo de candados de tres ruedas deben servir, por tanto, para asegurar objetos que podamos controlar en casi todo momento y de los que no nos separaremos salvo por periodos muy cortos de tiempo (minutos apenas). No resulta inteligente utilizar uno de estos candados para objetos que van a estar solos durante un rato prolongado, al alcance de otras personas que puedan, sin vigilancia, trastear con ellos hasta encontrar la combinación. No son seguros para estos casos, y se debería optar por candados con más ruedas.

Cuando le devolví solucionado el problema, mi viejo amigo explorador me lo agradeció bastante. Ignoro si todavía conserva el candado. La última vez que lo vi fue no hace mucho, en una de las principales ciudades costeras del Extremo Oriente, y en esta ocasión charlamos sobre muchas cosas, pero no nos acordamos de esta anécdota. No sé si leerá esta entrada del blog allá al otro lado del charco, pero cuando nos volvamos a encontrar se la mencionaré por si quiere añadir algún comentario.

Más sobre Calendarios: Dividiendo el Año

Los años de 365 días tienen un día central: el 2 de Agosto. ¿Qué significa esto? Simplemente que hay exactamente 182 días anteriores al 2 de Agosto y 182 días posteriores.

¿Por qué existe un día central? porque el número de días es impar. Si el número de días fuera par, entonces no habría ningún día en el centro del año.

Ése es el caso de los años bisiestos. Con 366 días, el centro matemático temporal del año bisiesto se encuentra entre el 1 de Agosto y el 2 de Agosto, es decir, en el cambio de uno a otro día, exactamente a las doce de la noche. En un año bisiesto, desde el 1 de Enero hasta el 1 de Agosto inclusive hay 183 días, y desde el 2 de Agosto hasta el 31 de Diciembre hay otros 183.

El número 365 no parece un número demasiado interesante a la hora de factorizarlo:

365 = 5 · 73

Resulta ser cinco veces el número 73 (número primo), con lo que un año se puede dividir en cinco partes iguales, cada una de ellas de 73 días completos: del 1 de Enero al 14 de Marzo, del 15 de Marzo al 26 de Mayo, del 27 de Mayo al 7 de Agosto, del 8 de Agosto al 19 de Octubre, del 20 de Octubre al 31 de Diciembre.

Si quitamos un día y lo dejamos aparte, entonces 364 es divisible por 4:

364 = 4 · 91 = 2 · 2 · 7 · 13

El número 364 tiene mucho más juego para ser factorizado. La división por 4 fue aprovechada y representada en la pirámide de Chichén Itzá por el pueblo maya: cada lado de la pirámide tiene 91 escalones, y si le sumamos el templete de arriba del todo resulta 365. (Ver la entrada del blog Los Triángulos Isósceles del Sol para más información sobre Chichén Itzá)

Además, al dividir el año en 4 partes cada una de ellas puede representar una de las estaciones: primavera, verano, otoño, invierno. Cada una de las estaciones debe durar 91 días y un cuarto de día: 91 días y 6 horas. Esto no es exacto, porque las estaciones dependen de la posición de la Tierra respecto al Sol y la vuelta completa alrededor del Sol dura un poco más de 365 días.

También es interesante darse cuenta que 364 es divisible por 7, resultando 52. Todo el mundo sabe que el año tiene 52 semanas, más un día suelto, y éste día es la causa de que para los años normales las fechas avancen un día de la semana: si por ejemplo el 29 de Agosto es sábado, al año siguiente el 29 de Agosto será domingo. Cuando el año es bisiesto hay que avanzar dos días.

Si quitamos 4 días a 365, obtenemos 361, que es un cuadrado perfecto:

361 = 19 · 19

361 son los puntos o intersecciones del tablero normal de go, que resultan del cruce de 19 líneas horizontales con otras 19 verticales.

El go se juega con fichas llamadas piedras, blancas y negras, y el número de piedras con las que cuenta cada jugador al principio de la partida es indeterminado: cada uno puede disponer de cuantas quiera. Habitualmente, para un tablero de 19 por 19 se suelen vender cajas de 181 piedras negras y 180 piedras blancas, pero en las partidas entre jugadores que tengan un poco de conocimiento no se suelen gastar todas; si se rompen o se pierden unas cuantas piedras no importa, porque no se van a echar en falta en el transcurso del juego. Cuando se enfrentan dos jugadores principiantes, sin embargo, tienden a capturarse muchas piedras el uno al otro, y se les van acabando las piedras propias; esto se soluciona fácilmente, basta con intercambiar las piedras capturadas.

Me puedo imaginar con facilidad un calendario de 361 días: sería un cuadrado similar a un tablero de go, con 19 meses de 19 días cada uno. El juego que se popularizó en Occidente como go, se llamó originalmente wei chi, proviene de China y se inventó hace más de 4000 años. Se dice que el tablero de go fue en un principio una especie de calendario-ábaco en el que se medía el tiempo, se hacían predicciones astrológicas y se realizaban cálculos aritméticos.

Si quitamos 5 días al año nos encontramos con 360. Este número tiene la particularidad de que se factoriza muy bien:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

Al tener tantos factores, tiene muchos divisores posibles. Se puede dividir, por ejemplo, por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 8, por 9, por 10, por 12...

Los antiguos pueblos de Mesopotamia, sumerios, asirios, babilónicos, persas, basaron su sistema numérico en el 60, y al desarrollar la ciencia de la astronomía dividieron el cielo en 360 grados, y cada grado en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos. De ellos hemos heredado nuestro sistema de medir ángulos y nuestro modo de contar el tiempo en horas minutos y segundos.

Los mayas también usaban el 360 en sus cuentas: tenían un sistema vigesimal (contaban de 20 en 20), y por tanto tenían meses de 20 días. En su calendario llamado Haab cada año era dividido en 19 meses: 18 meses normales de 20 días cada uno, lo que hacen un total de 360 días, y luego un mes extra, de 5 días, para completar el año (en la imagen aparecen representados los 19 meses mayas). Sin embargo, los mayas manejaban varios tipos de calendarios y cuentas. En otra de esas cuentas, se olvidaban de los 5 días y contaban simplemente de 360 en 360, obteniendo así días-kines, meses-uinales, años-tunes, y luego agrupando los años en katunes y baktunes. (Ver la entrada de mi blog Primer Día en el Barco Escuela para más detalles).

En nuestro calendario occidental, hemos aprovechado que 360 es divisible por 12 para obtener meses de 30 días cada uno. Los cinco días restantes hasta completar 365 se pueden repartir para dar lugar a los meses de 31 días. Pero por razones históricas que se remontan a la época del Imperio Romano, había no cinco, sino siete meses con 31 días, con lo que Febrero, el último en llegar al reparto, se quedó con solo 28.

Se me ocurre una última división: si quitamos dos días al año, tenemos 363 días, que es divisible por 3, obteniendo 121, un cuadrado perfecto:

363 = 3 · 121 = 3 · 11 · 11

Aprovechando esta peculiaridad el año se podría dividir de forma ligeramente extravagante: 121 días, un día suelto, otros 121 días, otro día suelto, y los últimos 121 días.

Así tenemos, del 1 de Enero al 1 de Mayo, ambos inclusive, luego el 2 de Mayo suelto, del 3 de Mayo al 31 de Agosto, el 1 de Septiembre suelto, y del 2 de Septiembre al 31 de Diciembre.

Cada periodo de 121 días se puede distribuir en once paquetes de once días, podríamos llamarlo once oncenas. Cada once oncenas sería más o menos lo que llamamos un cuatrimestre.

No sé de ningún calendario que haya dividido el año en tres partes de once oncenas cada una. Pero me puedo imaginar los almanaques que se imprimirían para ese tipo de calendario: si descartamos los dos días intermedios, los almanaques sólo tendrían tres hojas, cada una de ellas cuadrada, con una cuadrícula perfecta de once filas por once columnas. Sobre la cuadrícula podríamos colorear los días festivos, y nos sentiríamos felices cuando llegaran a formar un bello mosaico simétrico.

Sobre la Ecuación de Drake

Cuaderno de bitácora: uno de mis grumetes me ha mencionado la ecuación de Drake, y esto me da oportunidad para recordar aquí en el blog unas cuantas cosas. Pero empecemos por el principio: ¿qué es la Ecuación de Drake?

Como matenavegante, lo primero que me viene a la mente es que en español la traducción del inglés Drake equation no debería ser "ecuación de Drake", sino más bien "igualdad de Drake" o "fórmula de Drake". Hay que tener en cuenta que en inglés la palabra equation se refiere a cualquier tipo de igualdad, mientras que en matemáticas españolas, ecuación suele implicar una igualdad en la que hay una o varias incógnitas que deben ser averiguadas.

Para los que hemos estudiado las matemáticas tradicionales, la Drake equation no es más que una fórmula, como puede ser la de la gravitación universal de Newton o la de la equivalencia entre masa y energía de Einstein. La ecuación de Drake es una fórmula compuesta básicamente por una multiplicación de siete factores que dan un resultado:

N = R* · f_p · n_e · f_l · f_i  · f_c · L

¿Qué se busca con esta fórmula? Obtener N, el número de civilizaciones que existirían actualmente en nuestra galaxia y con las que seríamos capaces de comunicarnos.

La ecuación de Drake se hizo popular con la emisión de la serie Cosmos, de Carl Sagan, y la posterior publicación del libro sobre la serie. En el capítulo doce, el penúltimo de la serie, titulado Enciclopedia Galáctica, Sagan discute sobre la posibilidad de contactar con otras civilizaciones de otros planetas. Para ello comienza estableciendo un paralelismo con el reencuentro con la civilización egipcia, que se dio en el siglo XIX gracias al descubrimiento de la piedra de Rosetta, y luego argumenta sobre los obstáculos para comunicarse con otras civilizaciones, los avances tecnológicos necesarios, y lo más importante de todo: cuántas civilizaciones extraterrestres pueden existir en nuestra Vía Láctea. Ese número es N.

Frank Drake tuvo el mérito, en 1960, de descomponer N en un producto de factores, cada uno de ellos siendo una cantidad que representa alguna característica necesaria para el desarrollo y la estabilidad de una civilización en cualquier planeta de nuestra galaxia:

R* representa el ritmo anual de estrellas adecuadas que se forman por año en nuestra galaxia. Una estimación de 1961 afirmaba unas 10 por año.

f_p es la fracción de estrellas dentro de la Vía Láctea que tienen planetas a su alrededor. Podría ser, por ejemplo el 50%, o lo que es lo mismo, 0.5.

n_e es el número de planetas que suelen tener las estrellas y que son aptos para el desarrollo de la vida. Puede ser, por ejemplo 2.

f_l es el porcentaje o fracción que de hecho desarrollan vida. Puede ser el 100%, es decir, 1.

f_i es la fracción de esos planetas donde se desarrolla vida inteligente. La estimación de 1961 fue de 1%, es decir, 0.01.

f_c es el porcentaje de esas culturas de vida inteligente que llegan realmente a poder comunicarse a través del espacio. Se dio una estimación de un 1%, 0.01.

L es el número de años que esa civilización puede estar comunicándose antes de perder esa capacidad, ya sea por autodestrucción o por decadencia tecnológica. Se estimó una cifra de unos 10.000 años.

Según estas estimaciones de 1961, N resultaba ser de 10: en cualquier momento podía haber hasta 10 civilizaciones en la Vía Láctea con capacidad de comunicarse con nosotros.

Posteriormente, estas estimaciones se han retocado muy a la baja. No es mi objetivo discutir aquí sobre los cálculos pasados y presentes de cada uno de los factores, pues eso pertenece ya a otros terrenos de las ciencias: astrofísica, química orgánica, biología evolutiva, historia, sociología y hasta política. Carl Sagan discute con detalle en su libro Cosmos los diversos factores y el por qué de su cálculo.

Sin embargo me gustaría señalar que resulta evidente que algunos factores sean más asequibles de conocer que otros; el primero de todos, R*, es medible con estimaciones astronómicas avanzadas, y el segundo, f_p, se está estudiando de forma cada vez más sólida con el descubrimiento de los planetas extrasolares. Pero para los demás factores sólo se cuenta, de momento, con teorías basadas en lo que sabemos de nuestro propio sistema solar, de nuestro planeta y de nuestra civilización, y generalizar al resto de la Vía Láctea es muy arriesgado, aunque siempre interesante.

Frank Drake, por su parte, es un astrónomo y astrofísico estadounidense, nacido en 1930 en Chicago, que ha dedicado su vida al conocido proyecto SETI [Search for extraterrestrial intelligence = "búsqueda de inteligencia extraterrestre], y que sigue esperando, como todos los que participan en dicho proyecto, que algún día sea detectada con la ayuda de los radiotelecopios una civilización de otro planeta, cercano o lejano en la Vía Láctea.

PD: En el libro de Cosmos la ecuación de Drake aparece ligeramente retocada:

N = N* · f_p · n_e · f_l · f_i  · f_c · f_L

El primer factor y el último son diferentes. N* representa el número total de estrellas que hay en la galaxia, y f_L representa la fracción de una vida planetaria durante la cual se desarrolla una civilización técnica: de todos los años que dura un planeta, (en el caso de la Tierra, unos 4.500 millones de años) tenemos que averiguar qué porcentaje representa el tiempo en el que hay una civilización técnica activa sobre el planeta y que se pueda comunicar interestelarmente (en el caso de nuestra civilización, unos 50 años apenas, con lo cual, dividiendo este número entre el anterior, nos sale una cifra muy pequeña, del orden de 0.00000001, y si lo expresamos en porcentaje, 0.000001%). Aunque estos dos factores son distintos de los de la ecuación de arriba el producto final N sale el mismo con las dos fórmulas.

Cuatro Dados para un Calendario

Cuaderno de bitácora: en uno de nuestros viajes por Extremo Oriente me encontré en un bazar una serie de figuras de porcelana que representaban los signos del Zodiaco Chino. Recordemos que este zodiaco tiene doce signos, como el occidental, cada uno de ellos representado por un animal, y a diferencia de lo que estamos acostumbrados, cada signo rige un año chino completo, no un mes.

Los animales del zodiaco chino son: rata, búfalo, tigre, conejo, dragón, serpiente, caballo, cabra, mono, gallo, perro y cerdo. Desde el 26 de Enero de 2009 hasta el 13 de Febrero de 2010 estamos en el signo de búfalo. A partir del 14 de Febrero de 2010 entraremos en el de tigre. A cada uno de nosotros le corresponde un animal de la astrología china según su fecha de nacimiento. Hay numerosas páginas para conocer nuestro animal correspondiente; se puede consultar, por ejemplo, la tabla que aparece en el artículo sobre Astrología China en la Wikipedia.

Las figuras de porcelana del bazar que visité, no sólo representaban los animales, sino que además servían de calendario. Sobre cada animal había cuatro dados o pequeños cubos para ir poniendo la fecha de cada día.

El primer dado está dedicado al mes del año. Los dos siguientes al número del día, y el último al día de la semana. Los dados, pequeños hexaedros o cubos, tienen obviamente seis caras, y cada una de ellas se emplea para mostrar la información correspondiente.

Los que han diseñado los dados, lo han hecho de forma que sirvan para cualquier fecha del año. En el dado de los meses se han escrito dos meses por cada cara; es lógico, ya que hay seis caras y los meses son doce. Como se aprecia en la fotografía de la cabrita, en la cara donde aparece AUG (august-agosto), aparece también JUL (july-julio) al revés, luego esa misma cara del dado sirve tanto para julio como para agosto.

El dado de los días de la semana es sencillo; como hay siete días, cada día podrá estar en una cara distinta, salvo una pareja que tendrá que compartir una de las caras, en este caso son el SAT (saturday-sábado) con SUN (sunday-domingo).

Pero el punto interesante, el que me intrigó desde un principio, es cómo organizar los dados de los números. No es la primera vez que veo un calendario de este tipo, y siempre me pregunté cómo es posible, con dos dados, conseguir todos los números del 1 al 31.

No podemos poner los diez dígitos, del 0 al 9, en cada dado, porque sólo tienen seis caras. Tenemos, por tanto, que distribuir los dígitos entre los dos hexaedros. Dado un dígito, lo pondremos en uno de los dados, sólo en uno de ellos, pero hay cifras que necesitan invariablemente estar en los dos.

Veamos, por ejemplo, el 5. Como en un mes no hay día 55, el 5 sólo necesita estar en uno de los dos dados, no en los dos. Pero diferente es el caso del 1 y el 2. El 1 sí tiene que estar en los dos, porque el 11 es uno de los días del mes, y lo mismo pasa con el 22.

Hay otro número que tiene que estar en los dos dados, el 0, ya que se tiene que combinar con todas las demás cifras para representar a los primeros días del mes: 01, 02, 03, 04, etc. Hay una posibilidad no muy elegante que es la de no poner el cero y quedarnos con un solo dado durante los primeros días de cada mes, pero se vería que falta un dado y quedaría un hueco en la cabrita. Así que por razones estéticas y de comodidad, para no estar quitando y poniendo el dado correspondiente, tenemos que poner el cero en ambos dados.

Tenemos entonces que en el primer dado están 0, 1, 2, y nos quedan tres caras sin asignar todavía. En el segundo dado estamos igual, también 0, 1, 2 y con otras tres caras sin asignar. en total hay seis caras sin asignar. Pero ahí llega el problema: en total tenemos seis caras, tres y tres, sin escribir, pero nos quedan siete cifras: 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. ¡Alguien se va a quedar fuera de los dados!

Tomo los dados y los examino. ¿Qué ha hecho el fabricante? En el primer dado ha colocado 0, 1, 2, 3, 4 y 5. En el segundo ha puesto 0, 1, 2, 6, 7 y 8. El 9 se ha quedado fuera. ¿Es que no podemos poner, por ejemplo, la fecha 19? Le empiezo a dar vueltas a los cubitos y entonces me doy cuenta del truco: el 9 se puede conseguir poniendo el 6 al revés.

La clave está entonces en esa sencilla propiedad de nuestras cifras arábigas: el 6 y el 9 son dos símbolos relacionados por un simple giro de 180º. Poniendo en una de las caras un 6 ya tenemos un 9 implícitamente. Si no fuera por esta propiedad, no sería posible representar con dos dados los treinta y un días de un mes. El que diseñó este tipo de calendarios tuvo un golpe de ingenio para conseguirlo.

Luego, pensando en esto de los dos dados y los números que se pueden obtener, me ha surgido la pregunta: ¿cuántos números más, aparte de los del mes del 01 al 31, se pueden conseguir con estos dos dados? Invito al lector a que responda a esta pregunta, y si no la sabe responder o quiere comprobar sus cálculos, puede consultar los comentarios a este artículo, donde próximamente pondré el resultado.

De esta pregunta resulta un problema de combinatoria que no es trivial, pues podríamos hacernos el mismo planteamiento tomando tres dados, cuatro, etc. Me pregunto, por ejemplo, si con tres dados es suficiente para representar del 001 al 365, para así numerar todos los días del año. Mi respuesta intuitiva es decir que no: no veo bastantes combinaciones para cubrir tantos días. Pero no me resulta un problema nada sencillo. Más bien parece un rompecabezas bastante duro.

PD: Con la propiedad del 6 y el 9 tenemos que los números, por ejemplo, 69 y 96 quedan invariables si los giramos 180º. No son los únicos, basta combinar los 6 y los 9 de forma apropiada y tenemos muchos más números con esa propiedad: 6699, 6969, 996966, etc.

Para los que les gusta la astrología, si tomamos 69 y lo giramos unos 90º obtenemos entonces el símbolo del signo Cáncer, ♋. Véase, por ejemplo, esta página para conocer todos los símbolos de los signos de nuestro zodiaco.

Sobre la Curva de Agnesi

Cuaderno de bitácora: un par de circunstancias han modificado el rumbo de la matenavegación, llevándonos a visitar nuevas tierras desconocidas para nosotros hasta ahora, y dándonos la oportunidad de aprender sobre la vida de algunas mujeres matemáticas.

En la historia, a través de las culturas, civilizaciones y países, han sido pocos en general los que han dedicado su vida al estudio de las ciencias, especialmente de las abstractas, como las matemáticas con todas sus ramas. Nadie duda de la enorme aplicación práctica de las matemáticas en la vida cotidiana, aunque es pequeño el porcentaje de la población en el que hay cierto interés y motivación por conocer a fondo el intrincado mundo de los axiomas, teoremas, principios, algoritmos y demás realidades de las Ciencias Exactas. Sin embargo, hoy podemos constatar que este pequeño porcentaje tiene una distribución similar entre hombres y mujeres. Aunque no lo he comprobado con rigurosidad, creo que si hacemos una estadística sobre el número de mujeres y hombres que estudian actualmente la carrera de Matemáticas, los porcentajes estarían bastante equilibrados. Como corroboración de esto último, el año pasado apareció un artículo periodístico en el que se afirmaba que entre los matemáticos españoles un 60% eran mujeres.

Por lo que sé, no sucede así con las demás carreras: el resto de carreras de ciencias, en especial las ingenierías, arquitectura, física, suele tener una mayor proporción de hombres matriculados que de mujeres; otras carreras de letras, como las filologías, tienen una proporción muy alta de mujeres frente a hombres. La licenciatura de Filología Inglesa en la Universidad de Granada, por ejemplo, tiene una proporción de entre un ochenta y un noventa por ciento de mujeres entre los matriculados.

Las matemáticas puras interesan a pocos; sin embargo, interesan en la misma proporción a hombres que a mujeres. No obstante, en la historia de las matemáticas apenas se conocen mujeres que destacaran en sus estudios. Habitualmente son los hombres los que se mencionan como autores y descubridores de teorías, herramientas, proposiciones, etc.

Hoy en día se está tratando de hacer justicia a todas las mujeres matemáticas olvidadas por la historia, y así podemos descubrir grandes científicas que en su época, a pesar de las dificultades, supieron destacar en el campo de la investigación.

Uno de mis sobrinos, alumno de Primaria, aprendió hace unos meses la existencia de la llamada Curva de Agnesi. Cuando esto llegó a mis oídos, me di cuenta que jamás había oído hablar de dicha curva. Los temarios que se estudian en Primaria y Secundaria van cambiando con el paso de los años, y las matemáticas, aunque parecen tener una resistencia especial al paso del tiempo, ya que tratan de una ciencia eterna, no se ven exentas de sufrir cambios en el currículo de la asignatura. La Curva de Agnesi no formó parte de lo que aprendí en el Barco Escuela, ni en la EGB, ni en el BUP, ni en el COU, ni siquiera en la Universidad. Entonces, ¿por qué se está enseñando ahora?

Sólo puede haber un motivo: recuperar la memoria de una insigne matemática italiana, María Gaetana Agnesi, que vivió en Milán desde 1718 a 1799. Además de a las matemáticas, se dedicó también a la lingüística, a la filosofía y a la teología. En 1748, con treinta años, publicó Instituzioni analítiche ad uso della gioventú italiana, al que se le atribuye ser el primer libro de texto que trata conjuntamente el cálculo diferencial y el integral, y que sería prontamente traducido al francés y al inglés.

Diversos méritos tiene este libro, entre ellos la exposición, clara y sencilla, de conceptos muy novedosos para la época, en la que todavía persistía la separación entre las teorías de Newton y las de Leibnitz sobre el cálculo infinitesimal. El texto, además, está ilustrado con numerosos ejemplos, muy bien escogidos. Uno de esos ejemplos es precisamente, la Curva de Agnesi. Como suele suceder con otros conceptos en matemáticas, a pesar de que esta curva lleva el apellido de nuestra matemática María Gaetana, no fue ella la primera que la descubrió, sino que ya había sido estudiada por Fermat y Grandi en años anteriores.

Existe una anécdota sobre la traducción al inglés de la curva. El término italiano que Agnesi utiliza para denominarla, versiera, que significa "cabo o cuerda que se utiliza para girar la vela en una embarcación", es confundido por el traductor John Colson con la palabra avversiera, "diablesa", y que este traductor convierte en witch, "bruja". Por eso es normal que los libros de texto se refieran a esta curva como la Bruja de Agnesi.

La definición de la Curva es sencilla: dado un parámetro, a, tómese una circunferencia de radio a/2 y centro (0, a/2). La circunferencia, por tanto, tiene centro en el eje OY y es tangente al eje OX en el (0, 0), y además corta al eje OY en el punto (0, a). En la figura se puede apreciar una circunferencia en la que el parámetro a=10.

Una vez dibujada la circunferencia, se toma la recta horizontal que pasa por el (0, a), llamémosle r, y se van trazando rectas que pasen por el origen de coordenadas. Estas rectas cortan a la circunferencia en el punto B, y a la recta r en el punto A. Se dibuja la horizontal que pasa por B y la vertical que pasa por A, y estas dos rectas se cortan en un punto P. Este punto P pertenece a la Curva de Agnesi. Variando las rectas que pasan por el (0, 0) se van obteniendo todos los puntos de la Curva, resultando un gráfico como el que tenemos: una curva que se eleva suavemente hasta alcanzar un máximo en el punto (0, a) y luego desciende a derecha e izquierda, acercándose de forma asintótica hacia el eje OX.

Es sencillo encontrar que la expresión algebraica de la curva en forma de ecuación implícita es

y a los matenavegantes avezados en travesías mateoceánicas les recordará inmediatamente a la función derivada del arcotangente.

La vida de Maria Gaetana Agnesi se sale de lo habitual y nos dice mucho de su carácter y su vocación. Hija de Pietro Agnesi, un rico hombre de negocios, fue la mayor de los 21 hijos que su padre tuvo con tres diferentes esposas. Siendo la mayor, le tocó ser la cuidadora de sus hermanos, y a la mayoría de ellos tendría la desgracia de verlos morir en la infancia. Su carácter era serio y retraído, y su padre le dio una esmerada educación a través de preceptores y profesores particulares. Su padre también se encargó de organizar tertulias en el salón familiar, a las que acudían los principales intelectuales de Milán, y en ellas presentaba a su hija, que destacaba precozmente en el dominio de varias lenguas, como el latín, el griego, el hebreo, el francés, el español y el alemán.

Conforme fue creciendo, logró irse apartando de estas tertulias que la incomodaban, y se dedicó al estudio de las matemáticas y la teología. Después de publicar el libro Instituciones Analíticas antes mencionado, el Papa Benedicto XIV la nombra en 1750 catedrática en la Universidad de Bolonia, cátedra que ocuparía hasta la muerte de su padre en 1752. Se dice que el título fue solo honorífico, pues María Gaetana no ejercería la enseñanza, manteniendo una vida de retiro. A la muerte de su padre se dedicó por completo a su vocación religiosa y a las obras de caridad, en las que gastó toda su fortuna, abandonando las matemáticas y las demás cuestiones mundanas. En 1771 fue nombrada directora del Hospicio Trivulzio de Milán, donde se concentró en el cuidado de los menesterosos y enfermos, especialmente de mujeres mayores. En este mismo hospicio moriría como una más de las acogidas el 9 de enero de 1799.

Resulta un contraste extraño que por un error de traducción la Curva de Agnesi haya sido recordada y mantenida como Bruja de Agnesi, siendo la propia Agnesi una mujer tan humilde, piadosa y caritativa. Como citan María Molero Aparicio y Adela Salvador Alcaide en su biografía sobre María Gaetana Agnesi publicada en Divulgamat, parece un chiste sin gracia o hecho con mala intención. No sería el primero ni el último en la historia de la humanidad, y muchos personajes famosos tienen que sufrir este tipo de equivocaciones y tergiversaciones que luego se perpetúan y son tan difíciles de borrar.