Numeros astronómicos (3): Viajes Espaciales

Un tema recurrente en los relatos y películas de ciencia ficción son los viajes espaciales. Cruzar las distancias siderales para ir de un planeta a otro planeta, de una estrella a otra estrella, de una galaxia a otra galaxia, con multitud de tipos de naves espaciales, es algo que forma parte del argumento de tantos relatos conocidos. En la saga de Star Wars, por ejemplo, las naves que aparecen no tienen problema en trasladarse de un lugar a otro de la galaxia, aunque algunas veces tienen dificultades con el salto hiperespacial, como le ocurre al Millenium Falcon en el Episodio V, o como le ocurre a la nave de la Reina Amidala en el Episodio I. En la serie Star Trek, la nave Enterprise cambia de velocidad, desde el salto hiperespacial, empleado para trasladarse de un sistema estelar a otro, a la velocidad de impulso, usada dentro de un sistema planetario, para acercarse a los planetas o para aproximarse a otra nave.

Por salto hiperespacial se entiende un estado en el que la nave en cuestión viaja a una velocidad superior a la de la luz. Según las necesidades del argumento, dicha nave viajando a esa velocidad mayor que la de la luz empleará más o menos tiempo (minutos, horas, días) en llegar a su destino. Nunca suele ser más de unos pocos días, porque el interés de la acción no está en el viaje en sí, sino en lo que pasa antes y después del viaje. Este tipo de argumentos da por hecho que las naves tienen una tecnología suficientemente avanzada como para viajar de forma rápida y efectiva, sin mayores complicaciones, entre los planetas o estrellas pertinentes.

Hay otro tipo de relatos en la ciencia ficción en los que los autores plantean viajes espaciales más realistas, o más al alcance de la ciencia actual. Así, por ejemplo, tenemos 2001 Una Odisea del Espacio. En este argumento, la nave que aparece viaja lentamente desde la Tierra hasta Júpiter, empleando meses, incluso años, en su trayecto. También tenemos por ejemplo la película Planeta Rojo, que narra un viaje a Marte en el que se emplean varios meses. Las naves de estos dos ejemplos no tienen una tecnología como para alcanzar la velocidad de la luz, ni siquiera llegar cerca de ella. Sus trayectos son lentos, pesados, laboriosos, peligrosos y llenos de inconvenientes. El viaje en sí se convierte en el centro del argumento de la película.

¿Cuánto puede tardar un viaje espacial? Depende del destino que elijamos y de la velocidad a la que nos desplacemos.

Empecemos por el trayecto espacial más sencillo, el más largo que los seres humanos han logrado hasta la fecha: viajar a la Luna. La distancia entre la Tierra y la Luna es de 384.000 kilómetros, aunque los cohetes que han llegado hasta ella han tenido que hacer una distancia ligeramente mayor, porque antes de dirigirse hacia la Luna han de tomar impulso trazando varias órbitas en torno a la Tierra, como los atletas lanzadores de disco, que giran sobre sí mismos varias veces hasta que sueltan el disco. Si pudiéramos ir en coche a la Luna (ver La Carretera hacia la Luna, en este mismo blog), viajando a una velocidad de 120 kilómetros por hora, tardaríamos 3.200 horas cruzar los 384.000 kilómetros. Eso significa un total de 133 días de conducción sin parar, más de cuatro meses.

Las naves espaciales tardan, teniendo en cuenta todas las maniobras de separarse de despegue, separación de la órbita terrestre, adaptación a la órbita lunar y regreso a la Tierra, menos de una semana en ir y volver a la Luna. La velocidad de escape del planeta Tierra es de 40.320 kilómetros por hora, es decir, ésta es la velocidad que tiene que alcanzar un cohete para poder salir al espacio y separarse de la Tierra. A esa velocidad se tarda menos de diez horas en llegar a las proximidades de la Luna.

Si fuéramos a la velocidad de la luz, unos 300.000 kilómetros por segundo, tardaríamos poco más de un segundo en llegar. Pero cuidado, en la práctica estas velocidades son engañosas: hay que tomarse un tiempo para acelerar y otro para frenar, pues de lo contrario, si no frenamos a tiempo, nos pasaríamos muy de largo en un abrir y cerrar de ojos.

Esto es algo que sucede en el espacio: las velocidades suelen ser tremendamente elevadas. Pongámonos en la orilla de una autopista aquí en la Tierra y observemos los coches que pasan. A pesar de desplazarse a una velocidad relativamente moderada, 120 kilómetros por hora, podemos comprobar cómo se acercan rápidamente hacia nosotros y cómo pasan a nuestro lado como una exhalación. Apenas nos da tiempo a fijarnos en su matrícula o en el modelo del coche.

Imaginemos que estamos ahora en el espacio. La velocidad mínima de una cápsula que haya escapado de la Tierra es de 40.320 kilómetros por hora, un poco más de 11 kilómetros por segundo. Si estuviéramos parados observando el paso de un cohete o de una nave espacial, o de una sonda, no tendríamos tiempo ni de darnos cuenta de que se acerca cuando ya habría pasado. ¡11 kilómetros por segundo! En un momento se puede encontrar acercándose desde una dirección a 5 kilómetros y medio de distancia de nosotros, y al segundo siguiente ya ha pasado y se aleja en dirección contraria a 5 kilómetros y medio de distancia.

La velocidad tan elevada a la que se mueven los objetos en el espacio es lo que hace peligrosa a la chatarra espacial. Cuando un cohete o satélite artificial estalla en la órbita de la Tierra, esparce gran cantidad de pequeños trozos que con el paso del tiempo irán cayendo a la superficie de la Tierra, pero que mientras permanecen en órbita se mueven a la velocidad que tenía el satélite: cerca de treinta mil kilómetros por hora. Una bala disparada por una pistola o por un rifle se puede mover a una velocidad diez o veinte veces menor. Eso significa que cualquier tornillo, tuerca o trozo de metal procedente de un satélite artificial se desplaza diez o veinte veces más rápido que una bala. Si se cruza con otro satélite o cohete, lo atraviesa limpiamente, rompiendo todo lo que se encuentre a su paso, por muy resistente que sea. La única salvaguarda que tienen los aparatos mandados al espacio es la ley de probabilidades: el espacio es enormemente grande y la probabilidad de encontrarse con un tornillo suelto es muy pequeña.

Peor es el caso de una nave que se acercara a la velocidad de la luz: ¡ni siquiera la puedes ver mientras se acerca! La luz que emite la nave viene a la misma velocidad que la misma nave, con lo que cuando llega, llega junto a la nave, y antes de eso somos incapaces de ver nada. Captaríamos un fogonazo cuando pasara junto a nosotros, y en un segundo se encontraría tan lejos casi como la Luna.

Se puede calcular también el tiempo que tardaría un avión comercial (velocidad de vuelo: unos 900 ó 1.000 kilómetros por hora) en llegar a la Luna: unas 380 a 400 horas, es decir, 16 días, más o menos.

Más allá de la Luna, las distancias se multiplican, y la duración de los viajes empieza a subir enormemente. Para ir al Sol, hay que recorrer 150 millones de kilómetros, 390 veces más que la distancia a la Luna. Una nave espacial a cuarenta mil ó cincuenta mil kilómetros por hora tarda no menos de 3000 horas, 133 días, en llegar al Sol, siempre que el trayecto lo haga en línea recta, lo cual no es así normalmente, sino que como hemos explicado antes, aprovecha la gravitación terrestre y puede aprovechar la de otros cuerpos del sistema solar, como la Luna, Venus o Mercurio, para impulsarse en su viaje.

La misma nave espacial o sonda, para llegar a Júpiter desde la Tierra necesita cruzar no menos de 630 millones de kilómetros (ésta es la mínima distancia entre Júpiter y la Tierra cuando están en su mayor acercamiento). La duración del viaje llega a ser de dos o tres años, por lo menos.

La duración se multiplica si queremos viajar a Saturno, Urano, Neptuno o Plutón. Carl Sagan, en su obra Cosmos, compara estos viajes con los que tenían que realizar los navegantes en los siglos XVI a XIX en sus periplos alrededor del mundo. Juan Sebastián Elcano, por ejemplo, tardó más de tres años en completar la primera vuelta al mundo. En la actualidad, unos astronautas que intenten llegar a algún otro planeta del sistema solar, especialmente a los exteriores, con las naves de las que disponemos, tienen que prepararse para un viaje de muchos meses, años incluso, con todas las dificultades que ello conlleva: alimento, agua y oxígeno para todo ese tiempo, y mantener ocupados y en buena forma física y mental a los astronautas durante el trayecto, en el que van a estar confinados en un espacio tan reducido como el de la nave.

Viajar a otros planetas del sistema solar es complicado, pero si queremos llegar a otras estrellas, a otros sistemas estelares fuera del nuestro, la cosa se vuelve imposible con los medios actuales. Las estrellas más cercanas, el trío de Alfa Centauri, la estrella de Barnard, la Wolf 359, la Lalande 21185, Sirio, etc., están a varios años luz de distancia. La más cercana, Próxima Centauri, está a más de 4 años luz. Cada año luz es casi 10 billones de kilómetros (billones españoles: diez elevado a doce). Si mandamos un cohete o una sonda de las actuales hacia una de las estrellas más cercanas, a la velocidad a la que se mueven con la tecnología de la que disponemos su viaje tardaría miles de años en completarse. No tiene mucho sentido mandar ninguna nave con nuestra tecnología actual.

Para intentar un viaje hacia otra estrella, se necesitan naves que alcancen velocidades cercanas a la de la luz. Aproximándose mucho a la velocidad de la luz, para llegar al grupo de Alfa Centauri necesitamos más de cuatro años, pues como se ha indicado, este grupo está a más de 4 años luz. Surge el mismo problema de antes: aún teniendo naves tan rápidas, necesitamos preparar astronautas con alimento, agua, oxígeno y buenas condiciones físicas y psíquicas para aguantar un viaje de más de cuatro años (sólo la ida, la vuelta serían otros tantos). Aunque si se consiguiera una velocidad muy próxima a la de la luz, la dilatación temporal que predice la teoría de la relatividad haría que para los astronautas el tiempo corriera mucho más lento, y un viaje de cuatro años visto desde la Tierra, duraría meses o días para los astronautas.

En velocidades comparables a la de la luz, viajar a las estrellas cercanas supone varios años, pero para otras estrellas no tan cercanas puede suponer cientos o miles de años. Las Pléyades, por ejemplo, están a 440 años luz, según las mediciones del Hubble. Si quisiéramos atravesar la Vía Láctea de punta a punta, nos enfrentaríamos a un viaje de cien mil años luz. Salir de nuestra galaxia para visitar otras ya es cuestión de millones de años luz; la galaxia más cercana, Andrómeda o M31, se encuentra a dos millones de años luz.

Ese tipo de viajes, según las teorías relativistas de Einstein, se pueden hacer en velocidades muy cercanas a la de la luz, del orden de 99'99999999995% de la velocidad de la luz, y a este porcentaje, un viaje de dos millones de años luz tardaría para los tripulantes unos 20 años. Evidentemente este tipo de trayectos sólo son de ida, no tiene sentido plantearse el volver, pues entre la ida y la vuelta pasan cientos, miles o millones de años en la Tierra, según el viaje haya sido a estrellas de la Vía Láctea o a otras galaxias fuera de la Vía Láctea. El único sentido de volver a la Tierra es para ver el futuro de nuestro planeta.

Para viajar a otros sistemas estelares existen tres opciones:

1. Diseñar naves que puedan conseguir velocidades muy muy cercanas a la de la luz. Es el caso que hemos estado explicando hasta ahora.

2. Si no se pueden conseguir velocidades tan elevadas, diseñar naves que sean como mundos en miniatura, donde se introducirían una pequeña población de astronautas que vivirían en la nave y tendrían descendencia. Al cabo de varias generaciones los descendientes llegarían al destino. También se puede buscar un sistema de criogenización para mantener a los astronautas en animación suspendida durante cientos o miles de años, y descongelarlos al llegar al final del viaje.

3. Encontrar otro tipo de desplazamiento, más allá de las limitaciones de la Relatividad de Einstein, una especie de salto hiperespacial o alguna forma de desplazarse a través de los llamados agujeros de gusano. Todo esto pertenece en gran parte al terreno de la ciencia ficción, y es lo que se especula en las películas del tipo mencionado al comienzo de esta entrada del blog.

Propongo a los matenavegantes que busquen la fórmula relativista que relaciona el tiempo transcurrido en la Tierra y el tiempo transcurrido para los viajeros de una supuesta nave a las estrellas, y calculen, por ejemplo, cuánto tiempo transcurre para unos astronautas que viajan a las Pléyades a una velocidad de 299.791 km/s (velocidad de la luz: c=299.792'458 km/s).

[Respuesta: casi un año y medio]

El Reto del Súper Cúbix

Cuaderno de bitácora: desde el año pasado estoy introduciendo el cubo de Rubik entre los grumetes, como actividad complementaria. Les propongo que aprendan a resolverlo y cuando lo saben hacer les doy un positivo que se añade a la nota global del trimestre.

Aprovechando esta actividad del cubo de Rubik, una de las grumetes me ha traído un pasatiempo parecido que tenía en su casa, el Súper Cúbix. Se trata también de un cubo en el que se distinguen tres pisos. El del centro está formado únicamente por dos piezas, y los pisos de arriba y abajo están formados por triángulos isósceles en la mitad del lado y trapezoides en las esquinas.

Al ver el puzle, uno piensa en principio que se trata de una figura extraña, sobre todo cuando la vemos desordenada, con los triángulos y trapezoides mezclados y las piezas centrales descolocadas. Hay dificultad al principio hasta para hacerlo girar, sobre todo usando la única división que hay en el piso central.

Una vez que nos hacemos con los movimientos, nos fijamos que la gama de movimientos posibles parece mucho menor que en la del cubo de Rubik, porque las piezas son diferentes entre sí, en el centro sólo hay una división, y todo consiste en ir pasando piezas de la cara de arriba a la de abajo y viceversa, girando las caras convenientemente en cada traslado. Pero los giros de las caras de arriba y abajo son muy diversos: en el cubo de Rubik sólo hay tres giros posibles: de 90º, de 180º ó de 270º. En el Súper Cúbix sin embargo hay giros de 30 en 30 grados, con lo cual hay once giros posibles en las caras de arriba y abajo.

Así pues, me hice la idea, que luego resultó equivocada, que con un poco de ingenio yo podría resolverlo sin ayuda de nadie, tan sólo buscando un método lógico y encontrando la manera de colocar las piezas en su sitio sin desfigurar el resto. Empleé varias horas intentando llegar a la solución. Logré formar una cara completa, pero no conseguí formar la cara opuesta. Cansado de darle vueltas al dichoso puzle lo dejé reposar durante un par de semanas.

Para no retener mucho el puzle en mis manos, pues era un préstamo, un sábado por la mañana decidí buscar la solución matenavegando en la web. Y la encontré rápidamente. En la página http://chelis.iespana.es/cubix.htm encontré una explicación muy detallada de todos los algoritmos necesarios para llegar a la solución. Ahí me di cuenta de que el Súper Cúbix era difícil en realidad. Incluso más que el cubo de Rubik, porque los algoritmos parecen más complicados. Luego he pasado por tres estados de pensamiento respecto a este puzle: al principio lo vi raro, luego opiné que era fácil, por último creo que es bastante difícil.

En cualquier caso, es un ejemplo más de todo ese conjunto de puzles en los que se necesitan aprender una lista de algoritmos para llegar a resolverlos, siendo casi imposibles de solucionar sin conocer previamente los algoritmos adecuados.

No le he dedicado mucho tiempo al Súper Cúbix, pues se lo devolví resuelto a la grumete, satisfecho de haber cumplido el objetivo. Quizás en el futuro, si decido conseguir uno para mí, le preste más atención y mi visión del mismo vuelva a cambiar.

En la actualidad han surgido en el mercado infinidad de variantes de estos puzles tridimensionales. Hay una página web, http://www.kastellorizo.org/puzzles/ de la que he sacado la imagen que acompaña esta entrada del blog, en la que se ven fotos de muchísimos puzles diferentes. Uno queda asombrado al descubrir tanta variedad, suficiente para satisfacer a los más fanáticos de los pasatiempos geométricos.

Trivial Matemático (3) y Algoritmos

Proponemos otras diez preguntas:

   

1. ¿Cómo se llaman los triángulos con los tres lados iguales?

2. ¿Cómo se llama el lado más largo de un triángulo rectángulo?

3. Calcula el 5% de 500

4. Si un cuadrado tiene un área de 36 metros cuadrados, ¿cuánto mide su lado?

5. ¿Cuánto es  (-1)²⁰ ?

6. ¿Cuánto es  10⁶ ?

7. ¿Qué potencia de diez es un trillón?

8. ¿Cuál es el número cuyo opuesto coincide con él mismo?

9. Calcula rápidamente 0’5 × 40

10. ¿De qué matemático árabe proviene la palabra algoritmo?

1. equiláteros 2. hipotenusa 3. 25 4. 6 metros 5. 1 6. un millón, 1.000.000 7. diez elevado a dieciocho en España, diez elevado a doce en otros países 8. el cero 9. 20 10. de Al Juarismi.

El nombre de Al Juarismi aparece de forma variada según el libro o la página web, así he visto escrito Al-Juarizmi, Al-Kwarizmi, Al-Khwarizmi, Al-Khowarizmi, etc., sin contar con los diferentes acentos o tildes que se le ponen a las vocales. En la Wikipedia aparece el artículo relacionado titulado como Al Juarismi, en el que se explica extensamente sobre su vida y obra, y así vamos a escribir aquí su nombre por comodidad.

Por otro lado, la ilustración que he incluido más arriba, proviene de un sello de la Unión Soviética (que luego se fragmentaría en Rusia y otros países), editado en 1983. Esta ilustración de Al Juarismi es la más extendida, casi la única; aparece en muchos libros y webs que hablan del matemático árabe y es muy raro encontrar otra ilustración diferente.

Al Juarismi es uno de los matemáticos más importantes de la Edad Media. Su influencia fue tan profunda que su propio nombre dio origen a la palabra algoritmo, y también a la palabra guarismo. La palabra álgebra, es una adaptación del comienzo de "Hisab al yabr ua al muqabala", que es el título del famoso libro de Al Juarismi, escrito en el siglo IX de nuestra era, en el que se habla de la resolución de ecuaciones.

Un algoritmo es "es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema" [definición de algoritmo en la Wikipedia]. Generalizando y para entendernos, es como una receta con la que se puede conseguir el resultado que buscamos. El aprendizaje de las matemáticas en la Educación Primaria y Secundaria está llena de algoritmos. Algoritmos son, por ejemplo, los métodos para sumar, restar, multiplicar o dividir números. También son algoritmos los métodos para hacer una raíz cuadrada, para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, para sumar y restar fracciones, para hacer una regla de tres, etc. Más tarde se aprenden algoritmos, por ejemplo, para resolver ecuaciones de primer grado, para distinguir los casos de las ecuaciones de segundo grado, y los métodos clásicos para solucionar sistemas de ecuaciones. Y éstos son solo algunos.

Un ejemplo muy visual de lo que es un algoritmo aparece en la solución del famoso cubo de Rubik. Resulta casi imposible que una persona normal tome por primera vez un cubo de Rubik desordenado y sepa resolverlo y llevarlo a la posición estándar sin que nadie le enseñe nada, sino sólo probando y usando la lógica. Casi todo el mundo (no me atrevo a decir que todo el mundo, porque puede que haya alguien extraordinario por ahí) ha necesitado aprender una serie de algoritmos, de conjuntos de movimientos, para ir colocando el cubo, paso a paso, parte a parte, en la posición estándar. Estos algoritmos han sido descubiertos y elaborados gracias a estudios matemáticos abstractos a los que sólo los especialistas en álgebra y teoría de grupos tienen acceso.

Lo mismo que ocurre con el cubo de Rubik me pasó hace poco con otro pasatiempo parecido, aunque menos conocido: el Súper Cúbix. Ya hablaré de él en una próxima entrada.

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: el Astrolabio

Cuaderno de bitácora: hace ya dos años por lo menos que matenavegando por el Parque de las Ciencias de Granada descubrí el Astrolabio en la sala dedicada a Al-Ándalus. En ella se explica su funcionamiento y se propone una práctica con un modelo de astrolabio y unas estrellas proyectadas sobre una pantalla. En la tienda del Parque se vendía además un astrolabio recortable, y decidí comprarlo, y luego lo monté sobre un panel de cartón grueso, con lo que me quedó un instrumento bastante decente. Gracias a las instrucciones que venían en el recortable y a la práctica que se enseñaba en la sala dedicada a Al-Ándalus, aprendí a manejarlo y tuve oportunidad de enseñárselo a los grumetes y a diversos oficiales de nuestro Barco Escuela.

Sobre la definición y la historia extraigo parte de la información que aparece en la Wikipedia sobre el astrolabio:

"El astrolabio es un instrumento que permite determinar las posiciones de las estrellas sobre la bóveda celeste. La palabra astrolabio significa etimológicamente "el que busca estrellas" y debe su procedencia al griego ("Astro", estrella y "Labio", el que busca). Sinesio de Ptolemais (siglo IV) atribuye su invención a Hiparco de Nicea, alrededor de 150 a. C. Para el siglo VIII ya era ampliamente conocido en el mundo islámico y en Europa en el siglo XII. Aún cuando existen vestigios de la cultura Sumeria, desde 5.000 a.c., que demuestra que los astrólogos sumerios lo utilizaban para saber las posiciones de las estrellas.
Durante los siglos XVI hasta el XVIII el astrolabio fue utilizado como el principal instrumento de navegación hasta la invención del sextante.
Los astrolabios eran usados para saber la hora y podían usarse también para determinar la latitud a partir de la posición de las estrellas. Los marineros musulmanes a menudo los usaban también para calcular el horario de oración y encontrar la dirección hacia la Meca."

En la definición de la Wikipedia, como se ve, define el astrolabio como un "buscador de estrellas". Se puede usar como los actuales planisferios celestes: a una latitud determinada, sabiendo el día del año y la hora, se puede determinar la posición de la estrella buscada. Pero se puede usar al contrario: conociendo las estrellas, localizándolas en el cielo, se puede determinar su posición, y gracias a ella la hora del día.

El astrolabio se puede usar de día o de noche. Durante el día se utilizará la inclinación de los rayos solares para alinearlo correctamente; esta alineación junto con la fecha en la que nos encontramos nos dará, por ejemplo, la hora del día en la que estamos haciendo la medición (la hora solar, no la oficial). Si, por el contrario, sabemos la hora solar gracias a un reloj adecuado, entonces con el astrolabio podemos calcular la longitud geográfica en la que estamos.

Por la noche, en lugar de usar la luz del sol, usaremos la posición de las estrellas. Si observamos la cara principal del astrolabio, la parte delantera de la llamada placa madre, vemos una serie de curvas y salientes en forma de uña; cada uno de estos salientes corresponde y señala a una estrella importante del firmamento. Toda la estructura con sus salientes se llama "araña" o "red". Midiendo la altura de las estrellas sobre el horizonte y su posición respecto a los puntos cardinales se puede calcular la hora, o bien la longitud a la que nos hayamos en medio del océano. Midiendo la altura de la estrella Polar sobre el horizonte podemos averiguar la latitud a la que nos encontramos.

En la Alejandría del siglo IV existió una persona experta en la construcción y el uso del astrolabio. Se trata de Hipatia, una de las pocas mujeres matemáticas que han pasado a la historia. Fue hija del director de la Biblioteca de Alejandría, Teón, quien era además matemático y astrónomo. Teón educó esmeradamente a su hija Hipatia, que gracias a sus capacidades y su inteligencia se convirtió en una de las principales científicas de la época. Sus conocimientos abarcaron las matemáticas, la astronomía, la filosofía y la mecánica. Escribió varios libros que se han perdido, comentando y ampliando la Aritmética de Diofanto, el Tratado sobre las Cónicas de Apolonio, los Elementos de Euclides, y el Almagesto de Tolomeo, entre otros. En una carta a uno de sus discípulos, Sinesio de Cirene, que más tarde sería arzobispo, le envió instrucciones precisas para la construcción de un astrolabio.

Muchas veces los grumetes hacen la pregunta terrible: ¿para qué sirven las matemáticas? Pues bien, las matemáticas sirven, por ejemplo, para poder construir instrumentos como el astrolabio, que ayudaron a la orientación y a la navegación en mitad del océano durante muchos siglos. Para elaborar los astrolabios se necesitó de personas como Hipatia, con profundos conocimientos matemáticos y astronómicos. Las matemáticas del astrolabio se basan fundamentalmente en el conocimiento de las cónicas (las curvas que aparecen al cortar el cono con diferentes planos: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas), y los diferentes métodos para trasladar las trayectorias de las estrellas y planetas en la bóveda celeste a un plano.

Manejar un astrolabio no es difícil, una vez que se aprenden sus mecanismos, la forma de orientarlo respecto al Sol y a las estrellas y leer sus mediciones. Para eso no se necesitan demasiadas matemáticas. Pero sin las matemáticas no existiría el astrolabio, lo mismo que no existiría la calculadora, ni el calendario, ni los ordenadores, ni los teléfonos, ni los discos compactos, ni tantos aparatos, medios de transporte, economía, etc...

El Calendario Loco

Cuaderno de bitácora: hace unos días estuve programando un examen, y al indicar la fecha y el día, uno de los grumetes me corrigió en el día de la semana. Si yo le dije que el examen iba a ser un martes, él me dijo que la fecha mencionada no era martes, sino sábado. Me acerqué a comprobar el calendario que estaba consultando, el que venía en su agenda, y al mirar el mes, el día y el año, comprobé que tenía razón, en su agenda la fecha indicada era sábado.

Observé con atención el calendario de su agenda y mi sorpresa fue en aumento. Octubre, por ejemplo, aparecía con 29 días, Noviembre con 31 días, y lo más genial de todo: Febrero aparecía con 30 días. Los meses estaban dislocados, las fechas no coincidían, eran absurdas. Aquel calendario estaba loco.

Después me he fijado con atención en la página de la agenda, y he comprobado que todo se debe a un error de imprenta. Propongo a los lectores a que descubran qué ha pasado en la página para que las fechas aparezcan tan mal.

Personalmente me sorprendió mucho que en un calendario pudiera haber este tipo de errores, y pensé en todos los acontecimientos de nuestra vida que dependen del calendario y en todas las consecuencias que se darían si nuestro calendario estuviera equivocado. Citas, días de trabajo y descanso, cumpleaños, aniversarios, plazos administrativos...

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Ábacos

En uno de los documentales de la serie Universo Matemático, de Antonio Pérez Sanz, concretamente el titulado Números y Cifras, un Viaje en el Tiempo, se describe la historia de las cifras y se explican antiguos algoritmos de cálculo para realizar operaciones aritméticas como la multiplicación o la división. También son comparados los diversos sistemas numéricos, y se destaca la ventaja del sistema decimal con los dígitos indo-arábigos que hoy utilizamos, 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9, frente a otros sistemas, como por ejemplo el de los números romanos. Asimismo, se recuerda que en la antigüedad se empleaban instrumentos como el ábaco para hacer los cómputos aritméticos. Al elogiar nuestro actual sistema decimal frente al sistema romano, Antonio Pérez Sanz, comenta: "imagínense al pobre abaquista romano penando para colocar las fichas de su ábaco. Incluso tendría dificultades para anotar un número tan grande", con lo que parece dar a entender que el uso del ábaco era lento y complicado, y los algoritmos del sistema indo-arábigo vinieron a liberar a la humanidad de su empleo.

Sin embargo, la impresión de que el ábaco es un instrumento complicado y abandonado hace muchos siglos, es errónea.

Alberto Coto, récord Guinness de cálculo, en su libro La Aventura del Cálculo editado por la Editorial Filarias, explica brevemente la historia del ábaco:

La palabra ábaco proviene del griego "abax", que significa "superficie plana". El ábaco es el primer dispositivo manual de cálculo y permite realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas (sumar, restar, multiplicar y dividir).
Se suele considerar a los chinos como los inventores del ábaco, aunque hay indicios de que en Babilonia (3500 a. C.) ya se contaba con algo parecido. También los egipcios habían ideado un sistema similar de bolillas atravesadas por alambres.
El ábaco funciona de una forma sencilla. Con una serie de elementos de señalización, que pueden ser piedrecitas, varillas de bambú, fichas coloreadas, etc., y, a través de una serie de manipulaciones mecánicas que dependerán de la estructura del aparato, se consiguen realizar operaciones sin necesidad de un desarrollo formal del algoritmo de cálculo.
El ábaco fue el instrumento de cálculo y el impulsor del desarrollo científico-técnico durante varios siglos. Fue utilizado en Occidente hasta que hicieron su aparición los sistemas posicionales de cálculo y el invento del cero, a través del sistema indoarábigo de numeración.
La introducción en Occidente de los algoritmos propició una batalla entre los partidarios de la utilización del ábaco y entre los que preconizaban el uso de los algoritmos. Dicha batalla se decantó a favor de estos últimos ya entrado en el siglo XVI, aunque el ábaco siguió siendo el instrumento comercial por excelencia.
Hoy en día se sigue utilizando el ábaco en diferentes regiones de Asia y de Rusia, sobre todo en los comercios, y también en algunos Chinatowns. En muchos lugares también se enseña a los niños ciegos el uso del ábaco.

Así pues, hay lugares en el mundo donde se sigue utilizando el ábaco. Uno de ellos es un país tan avanzado y civilizado como Japón. El ábaco japonés se llama soroban, y es una versión simplificada y mejorada del ábaco chino suan pan. Fernando Tejón tiene una página web muy completa dedicada al ábaco japonés y a otros ábacos tradicionales, en la que incluso publica un Manual del Uso del Ábaco Japonés Soroban, y en la que explica, por ejemplo que

El ábaco, tradicional instrumento eficaz para todo tipo de cálculos matemáticos, pesenta en pleno siglo XXI innumerables ventajas. Fomenta la habilidad numérica, pero además su uso habitual mejora la capacidad de concentración, de razonamiento lógico, la memoria, el procesamiento de información de forma ordenada y la atención visual. Por lo tanto se podría considerar que el uso del ábaco es una excelente forma de ejercitar el cerebro, manteniéndolo activo y ágil a cualquier edad. Por si fueran pocas ventajas, en muchos casos los cálculos matemáticos con el ábaco son más rápidos que con una moderna calculadora electrónica...

Más adelante, en el capítulo introductorio de su Manual, explica que

El ábaco japonés, o Soroban, tiene su origen en el siglo XVI. Inicialmente tenía una disposición de cuentas 2-5 como en el Suan-pan chino, del que deriva. Posteriormente se le eliminó una de las cuentas superiores, quedando en disposición 1-5. A principios del siglo XX perdió una de las cuentas inferiores quedando en la actual disposición 1-4 que es la más adecuada al sistema decimal usado actualmente. Las cuentas del Soroban son de pequeño grosor y tienen los cantos vivos. Con esta forma se mejora notablemente la rapidez en los movimientos, y como consecuencia de los cálculos. Es, sin duda, el ábaco más evolucionado y con el que se realizan los cálculos con mayor rapidez.

Como ejemplo de las potencia de cálculo del ábaco está la famosa competición patrocinada por el periódico del ejército americano, Stars and Stripes (barras y estrellas) ocurrida en Tokyo el día 12 de Noviembre de 1946, entre el japonés Kiyoshi Matsuzaki del Ministerio Japonés de comunicaciones utilizando un Soroban y el americano Thomas Nathan Wood de la armada de ocupación de los E.U.A. con una calculadora electromecánica. El vencedor fue Matsuzaki usando el Soroban, que resultó vencedor en cuatro de las cinco pruebas, sólo perdiendo en la prueba con operaciones de multiplicación con números grandes.

También se cita en otra página, Highlights from The Computer Museum Report que "el empleo del soroban no ha declinado desde la llegada de sus rivales, la calculadora y el ordenador. En algunos bancos, las cifras diarias computerizadas se comprueban dos veces con un soroban. Cuando empiezan con el soroban, los estudiantes aprenden a visualizar la posición de los números. La campeona de soroban, la Srta. Nishida, puede sumar ocho números de diez cifras en menos de diez segundos, visualizando simplemente la posición de las fichas en su cabeza. De hecho, los japoneses afirman que el aprendizaje del uso del soroban puede aumentar el coeficiente intelectual de los estudiantes".

Más abajo, en la misma página se explica sobre el ábaco chino: "El chino suapan o bandeja de contar, tiene fichas redondas y está dividido en dos secciones. La sección superior se llama cielo y contiene dos fichas, cada una de las cuales vale cinco unidades. La sección inferior se llama tierra, y contiene cinco fichas, cada una vale una unidad. El suapan se usó en China sobre el 1300, y se hizo muy popular en 1593 cuando el matemático Chen Ta-wei publicó un libro sobre el cálculo con el ábaco. El ábaco es todavía una parte tan importante de la cultura china que todavía se celebra el 10 de Mayo como el Día Nacional del Ábaco".

En resumen, el ábaco es uno de esos tesoros matemáticos que todavía están en uso a pesar de que su origen se remonta a tiempos muy antiguos. Diferentes culturas, algunas muy alejadas entre sí, como los japoneses y los mayas, han compartido su uso. El diseño del ábaco ha sido siempre muy similar en todas partes, adaptándose a diferentes sistemas de numeración con suma facilidad; por ejemplo, en la cultura maya, que usaba un sistema de contar de veinte en veinte, se usaba un ábaco con tres cuentas en una sección y cinco en la otra (véase la misma página de Fernando Tejón mencionada antes)

Por mi parte, hace años compré un ábaco chino en una tienda de decoración. Posteriormente descubrí una tienda (hoy ya cerrada) en la que había material de go (el juego japonés); en esa tienda también se vendía el soroban, y adquirí uno para poder incluirlo en mi cofre de tesoros.

La Carretera hacia la Luna

Al profesor Cristóforus, eminente explorador de los Mateocéanos imaginarios, se le ha ocurrido la peregrina idea de proyectar la construcción de una carretera hacia la Luna. Aunque diversos amigos ingenieros y físicos se han apresurado a desanimarlo, por los numerosos inconvenientes que presenta el proyecto, el profesor no ha dudado en continuar con su propósito, alegando que "todo es posible en el mundo abstracto del pensamiento".

Uno de los ingenieros amigos de Cristóforus, la profesora Sebastianis, ha declarado que si se lograse trazar una carretera recta hacia nuestro satélite, al enganchar dicha carretera con la superficie lunar el movimiento orbital del satélite empezaría a retorcerla y a enrollarla sobre la Tierra. En ese caso, a menos que la carretera se hiciera con un material flexible e infinitamente elástico, sólo podrían suceder dos cosas: que la carretera se rompiera inmediatamente, o bien, si es suficientemente sólida, que arrastrara a la propia Luna hacia la superficie terrestre hasta colisionar con ella. La profesora Sebastianis sólo encuentra ante este problema la solución de no enganchar la carretera a nuestro satélite, sino dejarla sin terminar, suelta en el espacio, pero esto obligaría a cualquier viajero que usara la carretera a esperar que la Luna, después de dar su vuelta orbital, se colocara en la posición exacta para "saltar" desde la carretera hasta la superficie lunar. La maniobra, debido a la velocidad de nuestro satélite en su movimiento de traslación, sería tremendamente arriesgada.

Uno de los físicos, el profesor Cortés, ha puesto reparos al uso de la carretera. Afirma que ante la falta de gravedad en el espacio exterior, el agarre de los vehículos sobre la misma sería nulo, con lo que se tendría que emplear algún tipo de atracción magnética entre la superficie de la carretera y los coches que circularan por ella. También, debido a la falta de aire una vez que se sale al espacio y en la propia superficie lunar, los vehículos han de ir presurizados, y a nadie se le debe ocurrir durante el trayecto bajar las ventanillas en ningún momento.

Frente a los obstáculos y constantes discusiones que sostiene con sus colegas, el profesor Cristóforus insiste, como niño caprichoso, en que tiene la ilusión de poder ir algún día a la Luna conduciendo su propio coche, como el que se va a la playa cuando llegan las vacaciones. Sus compañeros intentan desanimarlo por todos los medios, pero se ha encabezonado en sus propósitos y permanece impermeable a todas las críticas.

El Sr. Pizárrez, que trabaja en una empresa de automóviles, le ha manifestado también al profesor las dificultades técnicas añadidas por la inmensa distancia de la Tierra a la que se encuentra la Luna. Parecería que nuestro satélite está al alcance de la mano, especialmente cuando lo vemos cerca del horizonte, pero la distancia real es de 384.000 kilómetros. Si un coche circulase por la carretera a una velocidad media de 120 kilómetros a la hora, se necesitan más de 3.000 horas para cubrir esa distancia. Haciendo una media de diez horas diarias de conducción, los viajeros pueden tardar trescientos días en llegar a la Luna. Son necesarias gasolineras para repostar y hoteles para pernoctar, y si se reducen las paradas a una sola al día, tendrían que instalarse no menos de trescientas gasolineras con sus correspondientes hoteles a intervalos iguales a lo largo de toda la carretera.

Además, continúa el señor Pizárrez, tenemos el tema de las revisiones del coche. Si hacemos una revisión al coche, con su cambio de aceite, filtros, bujías, etc., cada 30.000 kilómetros por ejemplo, han de instalarse doce o trece talleres. Y el automóvil, si al salir de la Tierra está nuevo, cuando llegue a la Luna tendrá casi cuatrocientos mil kilómetros, con lo que estará al final de su vida útil. Para un viaje a la Luna hay que comprar un coche nuevo en la Tierra y desecharlo para desguace cuando se llega a la Luna. Ni que decir tiene que si se quiere regresar desde la Luna también en coche, hay que comprar otro en la superficie de nuestro satélite, y por tanto se ha de abrir allí un concesionario.

De cualquier manera, Cristóforus sigue contumaz, y ya tiene trazado unos planos de una autopista que partiendo desde la Antártida tangencialmente a la Tierra se va separando suavemente de la superficie de nuestro planeta, que se curva sobre sí misma siguiendo las geodésicas, mientras que la carretera se mantiene recta apuntando directamente hacia el espacio exterior. La idea del profesor recuerda vagamente a la historia narrada por Tolkien, la de los barcos élficos que partían de los Puertos Grises en la Tierra Media para alcanzar la sagrada Valinor. Al igual que esta leyenda, el proyecto del profesor Cristóforus no parece que pueda salir del terreno de la fantasía para convertirse algún día en una construcción real. Seguiremos informando a ver en qué queda todo esto.

Más allá de los números perfectos

Cuaderno de bitácora: hace ya tiempo que conozco la existencia en los Matemares de los números perfectos, aquellos que son iguales a la suma de sus divisores propios. Escasean como diamantes preciosos en el inmenso cofre de la Aritmética, pero puedo nombrar a los primeros: el 6, el 28, el 496, el 8128. También descubrí uno de esos días de Matenavegación incansable a los números amigos, como el par 220 y 284, que cumplen que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro y viceversa.

Una buena tarde, con viento favorable y mar en calma, decidí emprender en solitario una búsqueda nueva, al menos para mí. Pensé que si existían números perfectos y números amigos podrían existir números a los que en principio llamé simpatizantes. Me dije que debían haber grupos cerrados de números tales que al sumar los divisores propios del primero de ellos me diera el segundo, al sumar los divisores propios del segundo me diera el tercero, y así sucesivamente hasta que al sumar los divisores propios del último me diera el primero de los números y así se cerrara el círculo. Es decir, conjuntos cíclicos en los que la suma de los divisores se mantenga girando entre ellos eternamente.

Desgraciadamente para mí, en los Mateocéanos existen ya pocas tierras desconocidas, y la de mis números simpatizantes es una tierra visitada ya por muchos otros matenavegantes.

En efecto, los que llamé números simpatizantes se llaman en realidad números sociables. Al encontrarlos en Internet, me di cuenta de que mi búsqueda hubiera resultado inútil, pues armado tan solo con un bolígrafo, un cuaderno y una calculadora, llegué en mis indagaciones no más allá del 500 sin éxito, quedándome lejos del primer grupo de números sociables que existe, el formado por los cinco números: 12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264, descubrimiento que he obtenido gracias a toda la información que circula por la red.

Además me enteré que todo esto de sumar los divisores propios de un número para obtener otro, y luego sumar los divisores propios de éste para obtener un tercero, y así sucesivamente se llama una sucesión alícuota. Sí, a mí también me asustó esta última palabra cuando la leí por primera vez.

Habitualmente, la sucesión alícuota de los números que no son perfectos, amigos o sociables acaba en 1. Invito a todos los matenavegantes a que prueben con diversos ejemplos. Pongamos por caso el número 34. Tiene divisores propios 1, 2, 17, luego 1+2+17=20; el 20 tiene divisores 1, 2, 4, 5, 10, 1+2+4+5+10=22; divisores propios del 22 son 1, 2, 11, y 1+2+11=14; divisores del 14 son 1, 2, 7, y 1+2+7=10; divisores del 10 son 1, 2, 5; 1+2+5=8; divisores del 8 son 1, 2, 4; 1+2+4=7; el 7 es un número primo luego su único divisor propio es el 1, y la sucesión alícuota acaba en 1. La sucesión alícuota completa del 34 sería: 34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1.

Pero dentro de mi viaje particular descubrí rápidamente unos islotes inadvertidos, y en ellos cierto tipo de números a los que no se les ha puesto nombre todavía y yo me he atrevido a bautizar como números fans. Uno de ellos es el 25. La sucesión alícuota de 25 no acaba en 1, sino que acaba en un número perfecto. Si sumamos sus divisores propios, 1 y 5, obtenemos 6, un número perfecto, luego su sucesión alícuota no termina en 1 sino en 6. Podemos decir que el 25 admira al 6, y me parece ver a los dos números como si uno fuera una celebridad y otro fuera su fan incondicional, de ahí el nombre que le he puesto. Además del 25 existen otros números cuya sucesión alícuota acaba en un número perfecto. Animo a los matenavegantes a que encuentren otros ejemplos.

Los números fans... ¿Acaso nadie todavía se había fijado en este tipo de números? ¿Nadie había prestado atención a una tierra que estaba delante de todos y que no tenía nombre hasta ahora?

Paralelo 28

Cuaderno de bitácora: hace unas semanas volví a ver la película 1492, de Ridley Scott, y por ese motivo estuve recordando las hazañas de uno de los navegantes más famosos e intrépidos de todos los tiempos: Cristóbal Colón.

Realmente hay muchos temas interesantes ligados a las matemáticas que aparecen en esta película. Ejemplos: la esfericidad de la Tierra, la manipulación y falsificación de cálculos que tuvo que realizar Colón para que su proyecto fuera aprobado, la navegación por el Atlántico utilizando el cuadrante y el astrolabio, el cálculo de la velocidad de los barcos y de la posición de los mismos en el mar, la economía de Colón en sus primeras colonias en el nuevo mundo, etc.

Algunos afirman que en su primer viaje a través del Atlántico, aquél que realizó entre agosto y octubre de 1492, Colón sabía hacia dónde se dirigía, pues tenía en su poder cierta información de otros navegantes e incluso algunos mapas antiguos en los que figuraba el continente americano.

Sería muy largo aquí explicar toda la historia de la exploración de nuestro planeta antes de Colón, y las diferentes teorías precolombinas sobre la forma y el tamaño de la Tierra. Solamente quiero recordar que aunque la idea extendida en la antigüedad era de que la Tierra tenía una forma plana, hubo diversos sabios, filósofos, científicos, geógrafos, que afirmaron antes de Colón que la Tierra era esférica. Entre ellos, uno de los más conocidos fue Eratóstenes, que ya en el siglo III a. de C. llegó a calcular, mediante mediciones de la inclinación de los rayos solares en diferentes latitudes, el tamaño terrestre con un error muy pequeño frente al tamaño real (se dice incluso que con un error menor a un 1%).

Cuando Colón quiso presentar su proyecto de atravesar el océano, él no podía basarse en que iba a descubrir nuevas tierras desconocidas, porque todo el mundo lo tomaría por loco, y nadie le prestaría el apoyo y los recursos financieros para fletar las naves de su viaje. Apoyándose en la convicción de que la Tierra era esférica, Colón afirmó que viajando hacia el oeste a través del Atlántico se podía dar toda la vuelta al planeta y llegar a las Indias Orientales (el continente asiático: China, Japón, etc.) y así abrir una nueva ruta de comercio con aquellos remotos parajes que beneficiaría y enriquecería a la corona española.

Pero si se pretendía llegar hasta el Asia atravesando el mar y se hacían cálculos del tamaño de la Tierra y de cuánto podía durar esa travesía, la extensión del océano resultaba demasiado grande, y los barcos no podrían realizar un viaje tan largo en los que estarían meses y meses sin tocar tierra. Los marineros no tendrían comida ni agua suficiente para completar la travesía. Colón entonces trucó los datos: eligió aquellas teorías en las que el tamaño de la Tierra era más pequeño y la extensión de Asia era más grande, para que el viaje saliera lo más corto posible y fuera factible llevarlo a cabo.

De hecho, si no existiera América, Colón no habría sido capaz de atravesar el océano (el Atlántico y el Pacífico juntos) para llegar hasta Asia. Pero cuando expuso su proyecto en Salamanca, logró convencer a los estudiosos de aquella época de que el viaje era posible.

En la película, durante el primer viaje, se observan algunas escenas interesantes, como aquella en la que Colón, durante la noche calcula la latitud a la que se encuentran los barcos con la ayuda de un cuadrante apuntado hacia la estrella Polar. Uno de sus compañeros le pide que le enseñe esa forma de orientarse en medio del océano, y el genovés le muestra cómo apuntar el cuadrante y comprobar que se encuentran en el Paralelo 28. Ésa es la ruta correcta. Cómo lo sabe Colón, o por qué elige ese paralelo terrestre, la película no lo explica, tan sólo dice que si siguen ése paralelo llegarán a su destino.

1492 tiene una banda sonora espectacular, maravillosa, profundamente inspiradora. Fue compuesta por Vangelis, autor de tantas otras músicas increíbles y bandas sonoras como la de Carros de Fuego, Blade Runner, o la de la serie de divulgación científica Cosmos, de Carl Sagan, por citar sólo algunas. En la banda sonora de 1492 Vangelis dedica uno de los temas más bellos, precisamente al Paralelo 28.

Cuando vi la película esta última vez, me pregunté ¿por qué exactamente 28? Y encontré varias asociaciones interesantes que quisiera exponer aquí.

Por un lado, en el terreno del misterio, se ha hablado en algunos libros sobre el Paralelo 27, que es como se ha bautizado una zona o banda alrededor de la Tierra en la que se ubican lugares especialmente misteriosos por los fenómenos y la historia que arrastran, por ejemplo, el famoso Triángulo de las Bermudas, las pirámides de Egipto, el desierto del Sáhara, la cordillera del Himalaya, el mar del Diablo en Japón, la Zona del Silencio en México, etc. Teniendo en cuenta que un paralelo es una línea, y estos lugares mencionados son extensos en superficie, en realidad ocupan varios paralelos, y asignar el número 27 no se debe tomar como algo que busque una exactitud geográfica, sino que es tan sólo un número llamativo para agrupar todas estas zonas. De hecho, la trayectoria de Colón en su navegación atravesando el Atlántico hacia América se mantuvo en esta franja, pues la distancia entre dos paralelos contiguos es poco más de 100 kilómetros. También sabemos que las Pirámides de la planicie de Gizéh o Giza se encuentran exactamente en el Paralelo 30, no en el 27 ni en el 28, y por tanto su distancia al centro de la Tierra es la misma que hasta el Polo Norte, lo que induce a pensar que cuando se construyeron las pirámides, ese lugar fue elegido adrede.

Entonces, ¿por qué Colón eligió el 28, y no el 27 ó 30? Ahora mismo no sé responder a esta pregunta, lo mismo que no sé por qué el paralelo del misterio es el 27 exactamente. Pero el número 28 no es un número al azar, matemáticamente hablando. Es un número perfecto: coincide con la suma de sus divisores propios. En efecto, 28 es divisible entre 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Si lo excluimos a él mismo y sumamos el resto de los divisores (los llamados divisores propios), 1+2+4+7+14=28. Esta propiedad la presentan muy pocos números, el más pequeño de ellos es el 6, el siguiente es el 28, y luego hay que esperar hasta el 496, y después el 8128, etc.

Podemos decir, por tanto, que para un matenavegante el Paralelo 28, el que llevó a Cristóbal Colón al descubrimiento del nuevo mundo, es un paralelo perfecto.

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Calculadoras

Cuaderno de bitácora: la corriente de mis pensamientos e ideas es mucho más rápida y activa que la velocidad a la que puedo completar las diferentes entradas de este blog. Cuando me pongo a escribir, son muchas las cosas que se me pasan por la cabeza, y necesito, indefectiblemente, desarrollar todo un artículo para dar forma a mis ideas.

Es por eso que aunque hace ya varios meses publiqué la entrada titulada El Cofre de los Tesoros Matemáticos, y mi intención era dedicar una entrada a cada uno de mis tesoros, he necesitado tiempo para completar este primer artículo sobre las Calculadoras, a pesar de haber recibido algún comentario interesándose por el tema. Este artículo sobre calculadoras, además, es de esos que se van atascando, que necesitan investigación y maduración, a diferencia de otros artículos que salen de un tirón, en un rato de concentración dedicada.

Cuando era pequeño, allá por la década de los 70, apenas tendría más de 7 u 8 años, un tío mío apareció por mi casa con un aparato que yo no había visto jamás: una calculadora. Era una calculadora Casio Memory 8F, muy bonita, que todavía conservo en mi poder y funciona como el primer día. Su pantalla negra, con números luminosos en fósforo verde, era especialmente atractiva, en una época en la que cualquier cosa parecida a un videojuego era completamente desconocida, sobre todo aquí, en España. Funciona con dos pilas normales, pero también tiene una entrada para conectarla a la corriente eléctrica mediante un transformador apropiado.

Aquella calculadora era una curiosidad. Mi madre, preocupada por mis estudios, jamás me dejó utilizarla para hacer mis deberes de matemáticas: usarla hubiera sido como hacer trampas, utilizar un atajo prohibido que obstaculizaría mi proceso de aprendizaje del cálculo aritmético. Por mi parte, tampoco se me ocurrió nunca buscar a hurtadillas la ayuda de la Casio, a espaldas de lo que dijera mi madre, para ayudarme con los deberes del colegio. A diferencia de muchas personas, incluidos algunos matenavegantes famosos, siempre fui hábil para las cuentas, incluso me gustaban, y sólo empecé a usar la calculadora cuando se requería en los problemas de Física y Química del Bachillerato.

Ahora que la contemplo, todavía ejerce una atracción fascinadora, como la que suscitan los aparatos tecnológicos que se ven por primera vez. Sus dígitos de luz verde que brillan a través de una pequeña malla metálica son especialmente evocadores. Puede que los realizadores de la película "Matrix" se inspiraran en ellos para la escena inicial de la película, en la que la cámara hace un zoom y entra en las cifras de una pantalla de ordenador.

Sobre la historia de las calculadoras, se pueden consultar muchos sitios, por ejemplo la página de la Wikipedia. Se puede decir, para empezar, que desde la más remota antigüedad, se han usado artilugios para ayudar a los seres humanos a realizar las operaciones aritméticas, tanto las básicas como sumar, restar, multiplicar o dividir, como operaciones más avanzadas, con ayudas de logaritmos, tablas trigonométricas, etc. Así tenemos por ejemplo los diferentes tipos de ábaco, las varillas neperianas, las reglas de cálculo, y artilugios mecánicos, como la pascalina, la máquina de Babbage, el comptómetro, la Curta, etc.

Hay que esperar hasta la década de los 60 del siglo XX para que aparezcan las primeras calculadoras electrónicas, que son armatostes muy pesados y aparatosos. Después, a principio de los 70, salieron las calculadoras electrónicas de bolsillo, y sobre el año 75 (más o menos cuando mi tío apareció por casa con la Casio Memory 8F, si no recuerdo mal) las calculadoras ya tenían un precio muy asequible y estaban al alcance de cualquiera.

Me viene ahora al pensamiento una reflexión interesante. Se nos ha dicho, por ejemplo, que el inventor del teléfono fue Graham Bell, el de la radio fue Marconi, el de la bombilla fue Edison. Hay muchos inventos que tienen un inventor, el primero que los desarrolló, el primero al que se le ocurrió la idea. Sin embargo, no pasa lo mismo con la calculadora. Las calculadoras forman parte de una lenta evolución a lo largo de miles de años, que al llegar el siglo XX, con ayuda de los descubrimientos de la electrónica, los transistores, los circuitos integrados, ha despegado y nos ha brindado la enorme variedad de aparatos de infinidad de marcas entre los que podemos elegir hoy en día. No se puede decir que haya un solo inventor de la calculadora. Muchos matenavegantes, muchos cerebros, muchas empresas cada una con sus intereses comerciales han contribuido al desarrollo de las calculadoras, porque es un instrumento tremendamente útil, mal que les pese a algunos que no gustan de los números, imprescindible para tantos aspectos de la vida cotidiana. Si no, que se lo digan a los que vivían en el siglo XVII y siguientes, para los cuales el descubrimiento de las tablas de logaritmos (hoy obsoletas e innecesarias) fue en su época un inmenso alivio y facilitó enormemente la realización de cálculos complejos.

Llegar a las calculadoras ha sido uno de los más claros indicadores de la evolución científica humana: los pueblos antiguos ni siquiera tenían un sistema numérico tan sencillo como el actual, de base diez, nuestro sistema fue aceptado en Occidente en la Edad Media gracias a Fibonacci y tras muchos recelos supersticiosos, pero desde entonces, todas las personas que pasaron por la escuela tuvieron que aprender a hacer las cuentas a mano sin ninguna otra posibilidad, y sólo en las últimas décadas nos hemos liberado de esa necesidad del cálculo aritmético tradicional, y nos podemos apoyar, perezosamente, en el empleo de las calculadoras.

La Casio Memory 8F es quizás la calculadora más valiosa que tengo, no por su utilidad, sino por su historia. Pero no es la única calculadora. Tengo otra que compré en el año 1987, la Casio fx-3600P. Me costó en aquella época casi 6.000 pesetas (más de 35 euros), y es la primera calculadora científica que tuve. En el colegio, durante el Bachillerato, siempre me apañé con otra calculadora que ya no está en mi poder, que no era científica y sólo realizaba las operaciones de suma, resta multiplicación y división. Para los logaritmos y los cálculos trigonométricos me apoyaba en mi compañero de clase, que sí tenía una calculadora científica, del mismo modelo que la que luego me compré.

Posteriormente, allá por el año 1995, llegó a mis manos una calculadora que más bien era un ordenador, la Casio FX-850P. Se puede decir que este aparato fue una "herencia": alguien se la dejó a un amigo mío, luego perdió el contacto con él y no reclamó nunca la calculadora, y mi amigo, sabiendo que yo daba clases de matemáticas y que él no la iba a necesitar, me la regaló. Se pueden escribir en ella programas en lenguaje Basic, y tiene una librería muy amplia de fórmulas y funciones. Es una de esas calculadoras que "no te dejan llevar a los exámenes", pues se pueden guardar chuletas en ellas.

Actualmente, aprovechando mi condición de Oficial en la Matenavegación, he aprovechado para renovar mi provisión de aparatos. Así, en la taquilla de mi camarote, tengo cuatro calculadoras. No se puede decir que sean de mi propiedad, son más bien del Barco Escuela, pero yo las uso cuando las necesito. Son la Texas Instruments TI-30XS, la Casio FX-570ES, la HP 10s y la Scientific SS-529 (que la daban casi gratis con el periódico el País). Me gustan especialmente la TI-30XS, de Texas Instruments, que es la que estoy usando ahora, y la Casio FX-570ES. Ambas permiten la introducción de fracciones, potencias, raíces y otras operaciones tal y como se escribe a mano, dando el resultado de la misma forma como se ha escrito. Además, la TI guarda en pantalla una enorme cantidad de operaciones anteriores, y las mantiene en memoria aunque apaguemos la calculadora. Cuando la volvemos a encender, podemos recuperar las operaciones hechas, editarlas y modificarlas.

Si alguien quiere ver muchos modelos de calculadoras antiguas, puede visitar este museo de calculadoras , es uno de los varios que circulan por Internet. Contemplándolo se da uno cuenta de la inmensa cantidad de variedades distintas del aparatejo sobre el que hemos hablado en esta entrada del blog.

El Caso del Libro Perdido

Cuaderno de bitácora: el otro día me desapareció un libro. Fue un caso misterioso al que no he encontrado solución. Era un libro de texto de Matemáticas para 4º ESO opción A, de la editorial Oxford, proyecto Ánfora, serie Trama, y todavía no lo he recuperado. Es como el que aparece en la fotografía:

Hace ya de esto varias semanas. Fue así: un día, después de dar clases en una de las aulas del Barco Escuela, regresé a la Sala de Oficiales, y coloqué el libro encima de la larga mesa rectangular que hay al centro de la estancia. Tomé otro libro de texto, el de 3º ESO, de mi taquilla, y me fui a impartir mi siguiente clase. Cuando regresé más tarde, el libro de 4º no estaba en el lugar donde lo había dejado. Miré por un lado y por otro lado y no lo encontré.

Supuse en un primer momento que otro de los compañeros oficiales matenavegantes podría haberlo cogido. Le pregunté, pero no había sido él. De hecho, imparte clases a 4º ESO, pero a la opción B, con lo cual no tiene mucho sentido que le interese el libro. Indagué aquí y allá, pero nada. Esperé al día siguiente, y el libro no apareció. Puse un anuncio en el tablón, pero nadie supo darme noticias.

Los días pasaron. El rastro del libro se enfrió. Finalmente, tuve que conseguirme otro. En nuestra bodega conservamos libros de reserva, y de allí cogí uno nuevo, sin estrenar; todavía estaba envuelto en plástico protector. Tuve que dar por cerrado el caso, sin haberlo resuelto ni haber recuperado el ejemplar perdido.

Podría haber ordenado un registro general en el Barco Escuela, pero no lo hice; la pérdida no era tan importante. En algún puerto de los matemares, el culpable de la desaparición, si es que hay alguno, puede haberse escabullido sin problemas. ¿Dónde estará mi libro en estos momentos? Puede que se encuentre ya en las lejanas antípodas.

No hubo pistas, ni sospechosos, ni pruebas. No sé lo que realmente pasó, pero puedo formular varias hipótesis.

Lo más lógico es pensar que alguien tomó el libro. Lo tomó y no lo devolvió. ¿Pero quién?

Que sea un oficial no tiene mucho sentido, porque hay libros de sobra para todos. Si algún oficial necesita un libro como el mío, me lo puede pedir sin compromiso, y yo se lo proporciono, incluso gratis para que se lo quede.

También está difícil que sea un grumete. Los grumetes no tienen permiso para entrar en la Sala de Oficiales. Además, un libro de matemáticas de 4º ESO no tiene mucho atractivo; desde el curso pasado a los grumetes se les proporcionan gratuitamente los libros en préstamo durante el curso que están realizando.

Puede ser que a uno de los grumetes se le haya perdido el libro que ha recibido en préstamo, y ante la obligación de devolverlo a final de curso, vio el mío y decidió quedárselo para reponerlo cuando se le exija a final de curso que lo devuelva. En ese caso, mi libro puede aparecer cuando termine el curso, cuando todos los grumetes devuelvan cada uno el suyo, y entonces se descubrirá al culpable, porque los libros prestados tienen una etiqueta y el sello del Barco, y el mío no tiene etiqueta ni sello.

También es posible que el que lo haya cogido sea alguien con cleptomanía, pero esto es poco probable. En primer lugar, mi libro no es especialmente atractivo. Hay muchas cosas en la Sala de Oficiales más atractivas que un libro de texto: ordenadores portátiles, libros de lectura, una jarra para calentar agua, objetos personales de los Oficiales del Barco, y yo en mi taquilla tengo, entre otras cosas, varias calculadoras. En segundo lugar, no se ha perdido nada más, por lo menos que se tenga noticia. Sólo ha desaparecido mi libro. Luego no parece que haya un cleptómano entre nosotros, pues si lo hubiera no podría resistir la tentación de ir tomando aparte otras cosas.

Nadie parece que tenga la tendencia a robar compulsivamente, y a nadie beneficia la posesión ilegal de mi libro. Podría ser que me lo hubieran arrebatado por venganza personal, un ataque hacia mi persona de alguno de los tripulantes del Barco Escuela, pero tampoco lo veo probable, porque no tengo hasta la fecha noticia de nadie que me quiera hacer daño. Y por otra parte el daño que se me puede hacer al quitarme el libro es minúsculo, más daño sufriría si intentaran quitarme cosas más valiosas. Pero el libro no me costó nada, y he podido reponerlo sin coste alguno a los pocos días.

Las posibilidades se reducen. Otra hipótesis: el libro puede haber desaparecido por causas sobrenaturales. Puede haber entrado espontáneamente en la cuarta dimensión, pero volvemos a lo mismo, a nadie le ha pasado nada semejante, que se sepa, en la Sala de Oficiales, y además nos encontramos lejos del Triángulo de las Bermudas. No se han reportado en nuestras coordenadas de navegación ningún fenómeno extraño.

Pero hay una posibilidad que ha estado creciendo en mi mente y a la que no dejo de dar vueltas. Puede que haya sido un duende.

¿Un duende? ¡sí! ¿por qué no? Es cierto que hoy pocas personas creen en la existencia de los duendes, y que nuestra vida moderna no parece el marco idóneo para que se manifiesten, pero yo sí creo en ellos. Creo desde que una noche en mi camarote apareció misteriosamente encendida la luz del cuarto de baño. La apagué y volvió a encenderse.

También creo desde que empecé a darme cuenta de los fenómenos que acontecen en mis relojes. Los guardo en un cajón, en mi mesita de noche, y para que no gasten pilas, los paro, tirando de la ruedecilla. Pero cuando a los siguientes días los vuelvo a coger me encuentro que están en marcha, con la ruedecilla metida. Así se me gastan las pilas y tengo que estar reponiéndolas constantemente.

Alguien pone en marcha mis relojes. Alguien juguetea con las luces durante la noche. Alguien me ha quitado el libro de 4º de matemáticas. Ese alguien,… ¿será un duende? ¿un duende aficionado a las matemáticas?

Trivial Matemático (2) y Conjunto de Mandelbrot

Seguimos con el trivial matemático, y proponemos hoy otras diez preguntas:

1. ¿Cuántos son dos tercios de 60?
2. ¿Qué es un gúgol?
3. ¿Qué es un gúgolplex?
4. ¿Qué es el conjunto o continente de Mandelbrot?
5. ¿Cuántas cifras decimales tiene el número pi?
6. ¿Cómo se llama el conjunto de números {1, 2, 3, 4,…}, es decir, los números que sirven para contar?
7. Diga rápidamente el 1% de 100.
8. ¿Cuál es el máximo común divisor de 4 y 9?
9. Calcule cuánto es un quinto de 45.
10. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 2 metros y medio?




1. 40 2. diez elevado a cien 3. diez elevado a un gúgol 4. un fractal 5. infinitas 6. números naturales 7. 1 8. 1 9. 9 10. 10

El conjunto de Mandelbrot es uno de los más bellos ejemplos de fractales, y uno de los más famosos. Para entender de donde sale, es necesario conocer algo de los números complejos.

Cualquier matenavegante, por muy novato que sea, debe saber que cuando hacemos la raíz cuadrada a un número negativo, tenemos problemas. Una cosa es hacer una raíz cuadrada, por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4 ya que 4 al cuadrado es 16; otra cosa es que la raíz cuadrada no sea exacta: por ejemplo la raíz cuadrada de 2 no es exacta, pero se puede aproximar lo que se quiera: 1,4142135623730950488016887242097...

Diferente es la raíz cuadrada de un número negativo. Así, la raíz cuadrada de -4, por ejemplo. No es -2, ya que -2 al cuadrado da 4. Si la intentamos con la calculadora nos da error. Si lo hacemos con la calculadora científica de Windows sale "Entrada no válida para func."

Los matemáticos de siglos pasados no se conformaron con no poder hacer raíces cuadradas de números negativos, y decidieron usar la imaginación. A la raíz cuadrada de -1 la designaron por i, y la llamaron unidad imaginaria. Con ayuda de esta unidad construyeron un nuevo conjunto, el conjunto de los números complejos, C, cuyos elementos son de la forma a+bi, donde a y b son números reales. Con estos números no sólo es posible sumar, restar, multiplicar, dividir, sino también hacer todas las raíces que antes no se podían hacer en los números reales, además de ampliar otras muchas funciones, como la función logarítmica y la exponencial, las funciones trigonométricas, etc.

Si los números reales se representan gráficamente como una recta, la recta real, los números complejos, al estar compuestos por dos números reales, uno solo, a (la parte real) y el otro b (la parte imaginaria) acompañado de i, se pueden representar gráficamente como un plano, el plano complejo. Los números reales se pueden entender incluidos dentro de los complejos, con la parte imaginaria b=0.

Conjuntos como el conjunto de Mandelbrot aparecen cuando realizamos repetidamente operaciones con los números complejos. Tomemos un número complejo, c, y construyamos una sucesión a partir de él: el primer término será 0, el segundo término será c, y luego vamos elevando cada término al cuadrado y sumando c. Si por ejemplo c=1, la sucesión será 0, 1, 2, 5, 26, 677,... Si c=0, la sucesión será 0, 0, 0, 0, 0,... Si c=-1 la sucesión será, 0, -1, 0, -1, 0, -1,... Según el número complejo que elijamos, la sucesión tiene un comportamiento determinado: puede irse al infinito, como la primera, o estar acotada, como la segunda y la tercera.

Supongamos que esta sucesión la construimos para todos los números complejos. Cuando la sucesión está acotada, diremos que el número pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no está acotada, no pertenece. Los números complejos que pertenecen al conjunto de Mandelbrot son puntos del plano complejo y los dibujaremos con color negro. El conjunto de Mandelbrot es, por tanto, todo lo que aparece negro en la ilustración.

Sin embargo, cuando con ayuda de los ordenadores se empezó a dibujar el conjunto, se descubrió que la frontera del conjunto no era, ni mucho menos, una zona perfectamente definida, no era una línea suave, recta o curva, sino que se parecía más bien a la costa de un continente, llena de acantilados, entrantes, salientes, promontorios, islotes, etc., y por eso el conjunto también recibió el nombre de continente de Mandelbrot.

Profundizando en el comportamiento de las sucesiones que se construían a partir de cada número complejo, resulta que hay números, como el 1 en el que las sucesiones se disparan hacia el infinito rápidamente; otros números, como el 0 y el -1, en los que la sucesión está claramente acotada, pero en los números de la frontera del conjunto, la sucesión oscila y es necesario repetir la operación muchas veces (miles de veces) para ir teniendo una idea de su comportamiento.

Surgió la ocurrencia de dar colores distintos a los puntos del plano complejo según la velocidad con que la sucesión crecía hacia el infinito, y al hacerlo y programar a ordenadores cada vez más potentes con los algoritmos necesarios, empezaron a aparecer extraordinarios dibujos de sobrecogedora belleza, gradaciones suaves en donde se multiplican ramas, espirales, autocopias de estructuras cada vez más pequeñas, rosetones, líneas quebradas infinitamente como los rayos de una tormenta, burbujas, etc.

Lo más interesante es que se pueden ampliar las zonas de la frontera del conjunto de Mandelbrot todo lo que se quiera (todo lo que da la capacidad de los ordenadores) y explorar dicha frontera sin límite, obteniendo nuevas formas de complejidad creciente que no tienen fin.

Hoy en día existen multitud de programas que permiten "explorar el continente de Mandelbrot" así como otros fractales famosos, como el de Julia o el de Newton. Uno de los programas más recomendables es el Ultra Fractal, con el que se obtienen magníficos gráficos, especialmente cuando ampliamos el número de iteraciones a 50.000. En esta página, encontramos algunas ilustraciones y ampliaciones muy buenas conseguidas con el programa.

Breve historia del sudoku

La popularidad del Sudoku comenzó en abril de 2005, pero su historia se remonta a más de 220 años atrás. Ya desde la antigüedad era conocida la existencia de los cuadrados mágicos, aquellos en los que hay que rellenar las casillas con cifras de forma que la suma por filas, columnas y diagonales dé siempre lo mismo. Véase, por ejemplo los siguientes cuadrados de 3×3 y de 4×4:

Se puede comprobar que si sumamos los números de una fila cualquiera, lo mismo que si sumamos los números de una columna cualquiera, o los de una de las dos diagonales principales, el resultado siempre es el mismo, en el cuadrado de tres por tres da 15, y en el cuadrado de cuatro por cuatro da 34. Sobre los cuadrados mágicos, entre otras muchas páginas, se puede ver el pequeño artículo que escribí sobre el cuadro Melancolía, de Alberto Durero.

El matemático suizo Leonhard Euler, en 1783, el mismo año de su muerte, estudió un nuevo tipo de cuadrados mágicos, los cuadrados latinos, una cuadrícula en la que un conjunto finito de elementos rellena las filas y columnas en diferentes permutaciones, pero no pueden aparecer elementos repetidos por filas ni por columnas. Un ejemplo de 4×4 puede ser el siguiente:

En este cuadrado, en cada fila y en cada columna están los números del 1 al 4; los números no se repiten por fila ni por columna, como en el Sudoku.

El estudio de los cuadrados mágicos y latinos se engloba dentro de la teoría de grupos, una rama muy importante de las matemáticas.

No sería hasta finales del siglo XIX cuando en los periódicos franceses empezaron a aparecer pasatiempos relacionados con los cuadrados mágicos. En ellos se daba un cuadrado incompleto y se invitaba a los lectores a rellenar las casillas vacías, con la condición de que por filas y columnas debían sumar una cantidad específica, la constante mágica. En 1892 apareció un cuadrado mágico de 9×9 dividido en partes de 3×3, y en 1895 se imprimió un cuadrado mágico diabólico de 9×9 en el que se tenían que usar sólo las cifras del 1 al 9, dando la suma mágica de 45 en todas las filas, columnas y las dos diagonales, y sin repetir los números por filas o columnas. Este último cuadrado ya era similar al sudoku actual, aunque aún no tenía la división en regiones de 3×3.

Este tipo de pasatiempos desapareció con la llegada de la Segunda Guerra Mundial, y no sería hasta 1979, en los Estados Unidos, cuando Dell Magazines empezó a publicar un nuevo pasatiempo llamado Colocar Números, cuyo autor era Howard Garns, que tenía las mismas reglas que el Sudoku actual, aunque era más fácil de resolver que los que aparecen hoy en día.

En 1984, la misma idea fue adoptada y refinada por Nikoli, una revista japonesa de puzzles, y le dio el nombre de suuji wa dokushin ni kagiru, “los números deben estar solos”, posteriormente abreviado a su-doku, “único número”. Este pasatiempo se hizo muy popular, paralelamente a otro que recibió el nombre de kakuro, una especie de crucigrama con sumas de números.

En 1997 Wayne Gould, un abogado neozelandés retirado, descubrió el sudoku durante unas vacaciones en Tokio, y empezó a desarrollar un programa informático para diseñar sudokus y clasificarlos según el nivel de dificultad, programa que no tuvo listo hasta seis años después. Los sudokus creados por su programa los fue vendiendo a diversos periódicos en los Estados Unidos, y luego al periódico londinense The Times, en 2004, que publicó el primero el 12 de Noviembre de 2004. Los demás periódicos ingleses, viendo el éxito inmediato que tuvo el pasatiempo, no tardaron en imitar la iniciativa, publicando rápidamente sus propias versiones del sudoku. Fue, por fin, durante el año 2005 cuando se extendió a todo el mundo con gran éxito.

Los investigadores matemáticos Bertram Felgenhauer y Frazer Jarvis han determinado que el número total de posibles sudokus 9×9 que se pueden resolver, y que son genuinamente únicos, es decir, excluyendo las rotaciones, simetrías, permutaciones de filas o columnas, etc., es de 5.472.730.538. Se dice también que el mínimo de casillas con números dados que un sudoku debe de tener para que pueda ser resuelto de manera única es de diecisiete, aunque todavía no se ha probado matemáticamente. En cualquier caso, no se ha encontrado ningún sudoku resoluble donde se den de entrada dieciséis números o menos.

A partir del sudoku original han surgido una gran cantidad de variantes: mini sudokus de menos casillas, por ejemplo de 6×6; sudokus de letras, que una vez resueltos esconden en una fila o columna una palabra oculta; sudokus monstruos, de orden mayor de 9, por ejemplo 12×12 o bien 16×16; sudokus diagonales en los que las dos diagonales han de contener también los dígitos del 1 al 9; sudokus en los que se indican las casillas que en horizontal o en vertical contienen números consecutivos; sudokus irregulares, en los que las regiones no son 3×3, sino que son piezas de nueve cuadritos pero de diversas formas; sudokus par-impar, donde vienen indicadas las casillas que contienen números pares o impares; sudokus 1-4-7, en los que vienen distinguidas las casillas que contienen el 1, 2 ó 3, el 4, 5 ó 6, y el 7, 8 ó 9; sudokus 0 a 9, sudokus killer, sudokus con casillas en negro, sudokus solapados en donde se combinan dos o más sudokus con una región en común, etc...

Para conocer a fondo el mundo de los pasatiempos, recomiendo encarecidamente el libro de David J. Bodycombe, The Riddles of the Sphinx, editado por Penguin Books. Está en inglés pero es una compilación muy exhaustiva y entretenida de todo tipo de puzles y acertijos, reunidos cronológicamente, y con explicaciones y comentarios sobre la historia de cada uno. Tiene un capítulo extenso dedicado al sudoku y a todas sus variaciones, y el presente texto está basado en dicho capítulo.

Trivial Matemático (1)

El curso pasado se me ocurrió desarrollar diversas actividades con los grumetes para variar un poco las clases de los viernes. Teniendo en cuenta que los viernes teníamos clase de matemáticas las dos últimas horas, las peores de la semana, en lugar de dedicar la clase a la rutina típica de explicar en la pizarra, hacer y corregir ejercicios, resolver dudas, etc., buscamos otras alternativas: unos días veíamos algún documental o alguna proyección de diapositivas, otros días hacíamos algún taller de geometría construyendo poliedros, o trabajábamos en el ordenador con algún programa informático como el Derive, y algunas veces hacíamos una especie de concurso o competición, al que yo bauticé inicialmente como Trivial Matemático, y al que luego los mismos grumetes le dieron el nombre de La Ruleta.

La forma del concurso-competición es bastante corriente: los grumetes se ponen en fila, formando un corro o círculo alrededor de la clase. Se sortea la primera posición, y así cada grumete está en un lugar de la fila, el 1º, el 2º, el 3º, así hasta el último. Se les va haciendo preguntas. Se le hace una pregunta al 1º y se le deja unos momentos para pensar. Si la responde correctamente, conserva su lugar y se le hace otra pregunta al siguiente. Si no se sabe contestar la pregunta o se responde mal, la pregunta pasa al siguiente, y luego al siguiente, así hasta que alguno sepa la respuesta correcta. El que acierta la respuesta adelanta todos los puestos hasta ponerse delante del primero que no supo contestar. Luego se continúa y se le hace otra pregunta al que quedó detrás del último que acertó, etc. Cuando se llega al último se continúa con el primero, dando la vuelta al corro otra vez.

Como regla general, los que aciertan las preguntas conservan su puesto o adelantan a todos aquellos que no supieron contestar esa pregunta bien, y cuando una pregunta no se contesta bien, sale rebotada al siguiente y va pasando por toda la fila, si llega al último y no la sabe, vuelve al primero, y así hasta que dé toda la vuelta completa. Algunas veces hay preguntas que nadie acierta, que dan la vuelta y regresan al mismo grumete al que se le hizo.

Así se van dando vueltas a todo el corro de grumetes conforme se va preguntando, y en cada vuelta algunos consiguen adelantar unos cuantos puestos, mientras que los que fallan se van quedando atrás poco a poco. Algunas veces, por un golpe de suerte, uno de los más atrasados se pone en los primeros puestos entre el alboroto de los demás.

Yo he añadido una regla para dar una oportunidad al más desfavorecido, el último de la fila. Cuando el penúltimo contesta bien a su pregunta, al último se le hace otra pregunta diferente. Si la responde, conserva su puesto. Si la falla, no hay nadie que pueda adelantarlo, porque ya está en última posición. En este caso, al último le da igual fallar que acertar, no saca ninguna ventaja. Para corregir esto, cuando el penúltimo ha respondido bien a su pregunta y el último contesta bien la suya, se le da oportunidad, a cara o cruz, de pasar al primero de la fila. Esta regla ha sido llamada el salto mágico, o el último será el primero.

La Ruleta la extendemos a lo largo de tres o cuatro sesiones, conservando los puestos logrados de una a otra sesión. En la última sesión, una vez finalizada la Ruleta, les doy un positivo a los diez primeros, y premios al primero, al segundo y al tercero.

Las preguntas son de cálculo mental o de cultura matemática. No está permitido usar calculadora, ni ningún tipo de apuntes. Hay que tratar de responder rápido, en no más de cinco o diez segundos.

Me parece interesante publicar en este blog algunas preguntas que les hago a los grumetes. Las publicaremos en grupos de diez. El lector puede tratar de contestarlas rápidamente, sin ayuda de la calculadora, apuntando sus respuestas en una hoja de papel y luego verificándolas con las que vienen más abajo, en letra pequeña, detrás de la ilustración.

1. Calcula rápidamente el 10% de 500
2. Calcula rápidamente 0’1 × 70
3. ¿Qué figura geométrica era el emblema de la escuela pitagórica?
4. Di rápidamente un número primo comprendido entre 15 y 25.
5. ¿Cuál es el máximo común divisor entre 4 y 6?
6. ¿Cuántos kilobytes tiene un Megabyte?
7. ¿A qué es igual 1024 en potencia de 2?
8. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 10 y 15?
9. Dime rápidamente un divisor propio de 57.
10. Calcula el 90% de 200.

1. 50 2. 7 3. el pentagrama o estrella de cinco puntas 4. 17, 19 ó 23 5. 2 6. 1024 7. a 2 elevado a 10 8. 30 9. 3 ó 19 10. 180

¿Son fáciles o difíciles? ¿Cuántas acertó usted? Próximamente publicaremos más.