El tronco de la pirámide

Cuaderno de bitácora: recientemente ha caído en nuestras manos un excelente libro, La Secta de los Números (El Teorema de Pitágoras) de Claudi Alsina, publicado en formato de revista monográfica por RBA en edición especial de National Geographic.

[Esta imagen está sacada de El Kiosko de Jesús]

Hablando sobre los papiros egipcios matemáticos que se conservan, este libro-revista menciona el papiro de Moscú, y en él sobre un problema que presenta la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide:

Junto al papiro Rhind, el más importante documento matemático del antiguo Egipto es el famoso papiro de Moscú, datado en el año 1890 a.C., actualmente conservado en el Museo de Bellas Artes de Moscú, del que toma el nombre. Su forma es peculiar: tiene 5 metros de longitud, pero tan sólo 8 centímetros de anchura. En ese angosto espacio, aparecen 25 problemas matemáticos (...) En el papiro de Moscú aparecen cálculos sobre el volumen de una pirámide truncada, pero sobre todo destaca el problema 14, que presenta por primera vez la fórmula exacta del volumen de un tronco de pirámide de bases cuadradas.

En mis viajes por los mateocéanos, nunca he prestado atención a los troncos de pirámides, y me he limitado a estudiar con los grumetes las fórmulas de volúmenes de los sólidos más sencillos, como el del prisma o el de la pirámide. Picado por la curiosidad ante lo que he leído en el libro de Claudi Alsina, he reflexionado sobre la antigüedad que tiene la fórmula del volumen de un tronco de pirámide, y he dedicado un rato a deducirla.

Tenemos un tronco de pirámide de bases cuadradas, como el de la ilustración, y los datos de que disponemos son: el lado de la base inferior, a, el lado de la base superior, b y la altura h.

Para calcular su volumen vamos a apoyarnos en que ya sabemos la fórmula del volumen de una pirámide, así que ampliamos nuestro tronco hasta completar la pirámide con el vértice superior. Concretamos también dos triángulos en el interior de la pirámide que nos van a servir para hacer los cálculos.

Estos triángulos, ELN y EMJ, son semejantes por estar en posición de Tales (un ángulo común y los lados opuestos paralelos). Si llamamos H a la altura de la pirámide entonces NJ = h, EN = H − h, además JM = a/2, NL = b/2.

También tenemos en cuenta que si trazamos una recta paralela a EJ por L, obtenemos el punto Q y un pequeño triángulo, LQM, también semejante a los anteriores, en el que QM = (a − b)/2.

Aprovechando la semejanza de los tres triángulos, podemos escribir las siguientes proporciones:

De las dos últimas proporciones podemos despejar H y H − h:

Ahora debemos tener en cuenta que el volumen del tronco de pirámide es igual a la diferencia entre el volumen de la pirámide total y el volumen de la pirámide superior más pequeña. Debemos tener en cuenta que el volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de su base por la altura de la pirámide.

Simplificamos:

Dividimos numerador entre denominador en la fracción, y obtenemos finalmente la fórmula buscada:

Notas: Si consultamos, por ejemplo, en la página Universo Fórmulas, nos encontramos la siguiente fórmula para el volumen del tronco de una pirámide:

Obsérvese que en nuestro caso el área de la base mayor es a al cuadrado y el de la base menor es b al cuadrado, luego sustituyendo convenientemente en esta fórmula, cuando la pirámide es de base cuadrada obtenemos la misma expresión.

Los gráficos están realizados con el programa GeoGebra.