[El Problema de la Semana] ¿Dónde está el oro?

Reanudamos una vez más el estudio de los Problemas de la Semana que se le proponen a los grumetes.

Tenemos tres cajas etiquetadas con frases que hacen referencia a su contenido. La primera caja tiene una etiqueta que dice “el oro está aquí”. La frase de la segunda caja es “el oro no está aquí”. En la tercera caja pone “el oro está en la primera caja”. Sólo una de las tres frases es verdadera, las otras dos son falsas. ¿Puedes averiguar dónde está el oro?

Si quiere conocer la solución, está debajo de la imagen.

 

[En la película Goldfinger (1964), James Bond, el agente secreto 007, tiene que detener los planes del malvado Auric Goldfinger, que pretende destruir el depósito de oro de Fort Knox explotando en su interior una bomba atómica. Fort Knox es una base militar estadounidense, situada en Kentucky, y allí se encuentra uno de los mayores depósitos de oro del mundo, controlado por el Departamento del Tesoro de los Estados Unidos. Actualmente se duda de la cantidad exacta de oro que se guarda en el depósito, porque el Departamento del Tesoro se niega a realizar una auditoría pública de su contenido real. De hecho, en la época en la que se rodó la película, ni siquiera se conocía cómo era el interior del edificio. Para rodar las escenas finales, se pidió permiso al Departamento del Tesoro para entrar en Fort Knox, pero fue denegado. Los productores de la película decidieron dejar el interior a la imaginación de los diseñadores, que optaron por construir lo que ellos mismos denominaron como "una catedral del oro", un hall enorme de varios niveles en el que el oro se puede contemplar enjaulado tras los barrotes de fuertes rejas, como se puede apreciar en la fotografía que hemos insertado. En años posteriores se permitió a la prensa entrar en el depósito de oro de Fort Knox, y se pudo comprobar que su interior no era tan imponente como el de la película, sino mucho más funcional: estrechos pasillos flanqueados por las enormes puertas de las cámaras acorazadas, nada de tener el oro a la vista ni disponer de espacios tan amplios como en la película. En la historia del cine hay muchísimos más ejemplos como este de discrepancias radicales entre la realidad y la ficción, aún en películas que están basadas en hechos y lugares reales, y esto siempre debemos tenerlo en cuenta.]

SOLUCIÓN:

Hacemos un gráfico de la situación:

Razonamos dónde puede estar el oro. Si el oro está en la caja A, la frase de A es verdadera, la de B es verdadera y la de C es verdadera. Tenemos tres frases verdaderas, y esto no puede ser, porque sólo una de las frases es verdadera.

Si el oro está en la caja B, la frase de A es falsa, la frase de B es falsa, y la frase de C es falsa. Tenemos tres frases falsas, y tampoco puede ser, pues una de las etiquetas es verdadera.

Si el oro está en C, la frase de A es falsa, la frase de B es verdadera y la frase de C es falsa. En esta situación tenemos dos frases falsas y una verdadera, luego esta es la situación compatible con el problema, y el oro se encuentra en C.

Ampliación: en ningún momento del problema se especifica que el oro se encuentre en una sola de las cajas o que incluso el oro exista. Realmente queda implícito en el lenguaje que se emplea, el cual nos da pie a suponer que hay una caja y sólo una con oro, porque al decir el oro, parece que nos estamos refiriendo a una cosa en singular, a un objeto que solo se puede encontrar en un sitio y no en varios sitios a la vez, y que realmente existe. Pero solo es una suposición.

Si diéramos opción a que varias cajas contuvieran oro, entonces la gama de posibilidades se amplía:

Si el oro estuviera en las tres cajas, entonces tendríamos dos frases verdaderas y una falsa, luego esta posibilidad no cuenta.

Si el oro estuviera en A y en B, entonces tendríamos de nuevo dos frases verdaderas y una falsa, luego esta posibilidad tampoco cuenta.

Si el oro estuviera en A y en C, tendríamos tres frases verdaderas, que tampoco vale.

Si el oro estuviera en B y en C, las tres frases serían falsas, y también la descartamos.

También podemos considerar que el oro no estuviera en ninguna de las tres y con esto quedan cubiertas todas las posibilidades. En este último caso dos frases serían falsas y una verdadera, luego esta posibilidad sí cumple las condiciones del problema.

Concluimos por tanto que las soluciones al problema es que el oro se encuentre en C o que no se encuentre en ninguna de las tres cajas.

[Este problema ha sido adaptado del libro El país de las mates, 100 problemas de ingenio 1, de Miquel Capó Dolz, editorial El rompecabezas]

Cuando pi fue tres

A principios de abril del año 1998 apareció en el grupo de noticias talk.origins un artículo que decía así:

HUNTSVILLE, Alabama. - Ingenieros y matemáticos de la NASA en esta ciudad de la alta tecnología están impactados y enfurecidos después de que el estado de Alabama aprobara ayer por un estrecho margen una ley que redefine pi, una constante matemática usada en la industria aeroespacial. El proyecto de ley que quiere cambiar el valor de pi a exactamente tres fue introducido sin algarabía por Leonard Lee Lawson, y rápidamente fue ganando apoyos tras una campaña por correo hecha por los miembros de la Sociedad Salomón, un grupo que lucha por los valores tradicionales. El gobernador Guy Hunt dice que firmará el proyecto para que se convierta en ley el próximo miércoles.

La ley ha tomado a la comunidad tecnológica del estado por sorpresa. "Habría sido correcto si hubieran consultado con alguien que realmente usa pi", dijo Marshall Bergman, un director de la Organización de Defensa de Misiles Balísticos. Según Bergman, pi es una letra griega que significa la proporción o razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro. Los ingenieros la usan a menudo para calcular trayectorias de misiles.

La profesora Kim Johanson, una matemática de la Universidad de Alabama, dijo que pi es una constante universal y no puede ser cambiada arbitrariamente por los legisladores. Johanson explicó que pi es un número irracional, lo que significa que tiene un número infinito de dígitos después del punto decimal y nunca puede ser conocido con exactitud. Sin embargo, dijo ella, pi está precisamente definida por los matemáticos para ser "3.14159, más todos los dígitos que se tenga tiempo de calcular."

"Yo creo que son los matemáticos los que están siendo irracionales, y ya es hora de que lo admitan", dijo Lawson. "La Biblia dice muy claramente en Reyes 1, 7:23 que la pila de purificación del Templo de Salomón tenía diez codos de ancho y treinta codos de diámetro, y que era perfectamente redonda."

Lawson puso en duda la utilidad de cualquier número que no puede ser calculado exactamente, y sugirió que no llegar a conocer nunca la respuesta exacta puede dañar la autoestima de los estudiantes. "Debemos recuperar algunos valores absolutos en nuestra sociedad", dijo, "la Biblia no dice que la pila fuera treinta y algo codos. Dice claramente treinta codos. Punto."

La ciencia apoya a Lawson, explica Russell Humbleys, un técnico de propulsión en el Centro Espacial Marshall, que ha testificado en apoyo de la ley ante la legislatura de Montgomery el lunes. "Pi es simplemente un artificio de la geometría euclidiana." Humbleys está trabajando en una teoría que dice que demostrará que pi está determinado por la geometría del espacio tridimensional, la cual asumen los físicos que es "isotrópica", es decir, la misma en todas las direcciones. "Existen otras geometrías, y pi es diferente en cada una de ellas," dice Humbleys. Los científicos han asumido arbitrariamente que el espacio es euclidiano, afirma Humbleys. También señala que un círculo dibujado en una superficie esférica tiene un valor diferente para la proporción de la circunferencia a su diámetro. "Cualquiera con un compás, una regla flexible y una esfera lo puede comprobar por si mismo," sugiere Humbleys, "no hay que ser precisamente una lumbrera."

Roger Learned, un miembro de la Sociedad Salomón que estaba en Montgomery para apoyar la ley, se muestra de acuerdo. Ha dicho que pi no es nada más que una suposición de los matemáticos y los ingenieros que estaban allí para argumentar en contra de la ley. "Estos peces gordos han llegado tan campantes a la capital con una impresionante arrogancia," dijo Learned. "Su déficit introductorio ha resultado en una postura polémica en absoluta contraposición con el poder de la legislatura."

Algunos expertos en educación creen que la legislación afectará a la forma en que se enseña matemáticas a los niños de Alabama. Una miembro del comité escolar del estado, Lily Ponja, está ansiosa por incluir el nuevo valor de pi en los libros de texto estatales, pero cree que el antiguo valor debería conservarse como alternativa. Ella ha dicho, "Por lo que a mi respecta, el valor de pi es solo una teoría, y deberíamos abrirnos a todas las interpretaciones." Ponja está muy deseosa de que los estudiantes tengan la libertad de decidir por si mismos qué valor de pi debería haber.

Robert S. Dietz, un profesor de la Universidad del Estado de Arizona que ha estado siguiendo la controversia, escribió que esta no es la primera vez que una legislatura estatal ha intentado redefinir el valor de pi. Un legislador del estado de Indiana trató sin éxito de que dicho estado fijara el valor de pi como tres. Según Dietz, el legislador estaba exasperado por los cálculos de un matemático que había calculado pi hasta cuatrocientas cifras decimales y todavía no había podido conseguir un número racional. Muchos expertos avisan de que esto es solo el comienzo de una batalla nacional sobre pi entre los partidarios de los valores tradicionales y la élite técnica. Lawson, miembro de la Sociedad Salomón está de acuerdo. "Solo queremos devolver a pi su valor tradicional," ha dicho, "que, según la Biblia, es tres."

El artículo, en su versión original en inglés, puede leerse aquí. Se trata tan solo de un artículo en broma, escrito por Mark Boslough y publicado en el 1 de abril de 1998, el April Fools' Day (literalmente, el día de los tontos de abril), el equivalente a nuestro 28 de Diciembre, Día de los Inocentes. Todos los personajes citados en el artículo, salvo Guy Hunt, son imaginarios. Guy Hunt fue un gobernador de Alabama, condenado por corrupción en 1993.

Sin embargo, el artículo empezó a circular por Internet y aunque al día siguiente de su publicación el autor confesara la broma, muchas personas empezaron a creer que era auténtico.

A pesar del engaño, el artículo está inspirado en un hecho real: en 1897 la Cámara de Representantes de Indiana aprobó unánimemente una enmienda redefiniendo el área de un círculo y el valor de pi. Esta enmienda estuvo impulsada no con el ánimo de hacer que pi coincidiera con el valor que la Biblia le otorga, sino con el propósito de probar la cuadratura del círculo, que el matemático aficionado Edward J. Goodwin había creído descubrir. Este convenció al Representante Taylor I. Record, el cual introdujo la enmienda a la Cámara de Indiana. La enmienda fue rechazada en el Senado estatal gracias a la oportuna intervención de C. A. Waldo, profesor de la Universidad de Purdue. Un artículo explicando todo este asunto puede leerse aquí.

También hay otro hecho curioso: el escritor de ciencia ficción Robert A. Heinlein, en su novela Forastero en Tierra Extraña, publicada en 1961, menciona que en Tennessee se aprobó una ley haciendo que pi fuera igual a tres, pero esto no es real, solo es una ficción más de la novela.

Tal y como dice el artículo de broma escrito por Mark Boslough que hemos transcrito arriba, existen algunos pasajes de la Biblia en los que se puede deducir que el valor asignado a pi en  tiempos bíblicos era tres. Concretamente, los pasajes son de Reyes 1, 7:23 y de Crónicas 2, 4:2, y los dos versículos dicen prácticamente lo mismo: Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos del un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco codos, y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos.

Cuando en el texto se habla de un mar de fundición, se refiere a un recipiente de bronce, como un gran caldero o bañera circular. El texto indica que tenía un diámetro de diez codos y una circunferencia de treinta codos y era perfectamente redondo. Como el valor de pi coincide con el cociente de la longitud de la circunferencia entre su diámetro, de aquí se infiere que el valor de pi asignado por en el Antiguo Testamento era exactamente 3.

En realidad si queremos hacer una circunferencia que tenga 10 codos de diámetro, la longitud de la circunferencia tiene que tener 31'4 codos de largo, aproximadamente. Y viceversa, si la circunferencia es exactamente de 30 codos, el diámetro no llega a 10 sino que debe ser de poco más de 9'5 codos. Entonces no se puede fabricar un recipiente según las instrucciones bíblicas. Es posible que las medidas sean aproximadas: un diámetro de casi 10 codos con una circunferencia de poco más de 30 codos de largo.

También es muy posible que entre en juego el grosor del recipiente, pues se dice que el mar de fundición debía tener un espesor de un palmo. El palmo es la longitud que abarca una mano extendida, desde la punta del dedo gordo hasta la punta del dedo meñique, y el codo es la longitud desde el extremo de la mano abierta hasta el codo. Estas longitudes varían en cada persona, y así hay diferentes medidas de codo y palmo según el país y la cultura en donde nos encontramos. Pero podemos hacernos una idea que un palmo está en torno a 20 ó 25 centímetros, y el codo alrededor de 50 centímetros. Si medimos la anchura del recipiente contando con el grosor en 10 codos, la anchura sin el grosor serían unos 9'5 codos, y la circunferencia por dentro del recipiente haría 30 codos con bastante exactitud.

Al parecer, a lo largo de la historia se ha tomado al pie de la letra que la Biblia sugiere que el valor de pi era exactamente 3, lo que ha causado graves problemas teológicos. La forma de medir el diámetro por fuera y la circunferencia por dentro que hemos mencionado en el párrafo de arriba ya fue propuesta por el Rabino Nehemiah, que vivió sobre el año 150 d. C. También se han propuesto otras explicaciones: que los Hebreos redondeaban sus cantidades a los números enteros más cercanos, que el recipiente no era perfectamente circular, o bien que no tenía forma cilíndrica.

El Gordo no toca

Cuaderno de bitácora: recientemente, con motivo de las fiestas navideñas, un compañero surcador de los mares me preguntó si las matemáticas daban alguna fórmula para ganar a la lotería. Mi respuesta fue que las matemáticas te mostraban que ganar a la lotería es casi imposible.

En España, entre otros juegos de lotería, tenemos el Sorteo de Navidad, que se juega el 22 de diciembre, todos los años. Participar de este sorteo es una tradición muy extendida entre los españoles. Se dice que más de un 80% de los españoles juega alguna participación (algún décimo o participaciones más pequeñas). Para este último año se ha calculado que la media de dinero jugado por cada español era de unos 61'56 euros, cantidad bastante respetable.

Durante la mañana del 22 de diciembre, los medios de comunicación retransmiten como los niños y niñas del Colegio de San Ildefonso van cantando los números premiados, pero el número que más interesa es el Gordo (el primer premio), que reparte 20.000 euros por cada euro jugado. Luego en las noticias aparecen los datos de los lugares donde ha caído el Gordo y otros premios secundarios, y reportajes de algunas personas celebrando que les ha tocado algún premio.

[En la foto se ven las manos de los niños colocando las bolas que han salido en los alambres: una bola tiene el número agraciado y su pareja en el alambre paralelo tiene el premio que ese número ha obtenido. Las bolas están hechas de madera de boj, y los números están grabados a láser. Hay dos bombos, uno con los 100.000 números y otro con los premios. En total hay 1807 bolas en el bombo de los premios: 1 primer premio llamado el Gordo, 1 segundo premio, 1 tercer premio, 2 cuartos premios, 8 quintos premios y 1794 pedreas. Los números premiados son los van saliendo del bombo y se emparejan con estas bolas de los premios; también son premiados aquellos números que reciben premios especiales, como los números anteriores y posteriores al Gordo, al segundo, al tercero, los que tienen las últimas cifras coincidentes con alguno de los premios principales, etc. Para más detalles, ver la página de la Wikipedia correspondiente]

Si usted quiere participar en el sorteo, tenga en cuenta esto: comprando un número no le va a tocar el Gordo. Si quiere, podemos hacer una apuesta. Yo apostaré a que no le toca.

Los números posibles de la lotería de Navidad son 100.000. El Gordo es solo uno. La probabilidad de que comprando una participación de un número le toque el Gordo es una entre cien mil. En tanto por ciento sería 0'001%. Si apuesto con usted a que no le va a tocar el Gordo, tengo una probabilidad de ganar de un 99'999%. Es una buena probabilidad. El Gordo no toca.

Entonces, me dirá usted, si el Gordo no toca, ¿por qué vemos en televisión o en las noticias a personas a las que les ha tocado? Reflexione sobre esto: si la información fuera equitativa, por cada persona a la que el Gordo ha tocado, tendrían que entrevistar a 99.999 personas a las que no les ha tocado. Solo con que se le concediera un segundo de televisión a cada una de esas cien mil personas, estaríamos más de 27 horas viendo rostros, uno por segundo. Si fueran entrevistando una por una a esas 100.000 personas nos daríamos cuenta de una verdad probabilística incontestable: el Gordo no toca, y esto es cierto con una probabilidad del 99'999%.

No sé si esto hará cambiar de opinión a todos aquellos que siguen ilusionados en que les toque el Gordo. Además del Gordo hay otros premios (el segundo, el tercero, el cuarto, el quinto, las pedreas, los premios especiales, los reintegros). Sólo el 15% de los números recibe algún premio o reintegro. Si se juega a un número hay una probabilidad del 85% de perder todo el dinero.

Yo he jugado varios años a la lotería de Navidad. He comprado unos cuantos décimos y participaciones. Tan sólo un año me tocó un premio muy menor, (la llamada pedrea) en una de las participaciones, entre las participaciones y décimos que jugué había una de 4 euros en la que gané 20. La cantidad de dinero perdido en estos años ha sido mucho mayor, varios cientos de euros. Este año no jugué. La lotería de Navidad ha sacado un anuncio publicitario en el que explotaba el temor a no jugar un número cuando todos tus conocidos juegan al mismo número. Yo también sentí cierto temor de que le tocara a los compañeros de trabajo que sí jugaron a un décimo que yo no compré, y sentí miedo de que luego me reencontrara con ellos, todos alegres, y yo estuviera lamentándome de no haber jugado. Pero no fue así. A mis compañeros tampoco les tocó. Pero yo tenía una probabilidad del 99'999% a mi favor. Gané y no tuve que lamentarme.

También podemos creer que si jugamos un año y otro y otro, al final nos debe tocar el Gordo. Pero hay que esperar mucho tiempo para tener ciertas opciones. Si jugamos un año, la probabilidad de que no toque es de 99'999%. Si jugamos dos años, la probabilidad de que no toque ninguno de los dos años se calcula tomando 99'999% = 0'99999 y elevándolo al cuadrado: 0,9999800001 =99'99800001%, que es casi la misma probabilidad. Si jugamos toda la vida, la probabilidad tampoco sube mucho.

Si jugamos 100 años seguidos, la probabilidad de que no nos toque ningún año es todavía del 99'9% aproximadamente (0'99999 elevado a 100). Si jugamos 1000 años seguidos, la probabilidad de que no nos toque ningún año es del 99% y si jugásemos durante 10.000 años, tendríamos todavía una probabilidad de que el Gordo no nos tocase de 90'48%. Tendríamos que jugar durante log(0'50)/log(0'99999) = 69.314 años para que la probabilidad de que el Gordo nos toque alguna vez llegue al 50%.

Ya ven ustedes, el Gordo no toca.

P.D.: no podemos negar que es bonito jugar a la lotería de Navidad, se trata de un acontecimiento social en el que todo el país se une lleno de ilusión para jugar juntos en una fecha que marca el comienzo de la fiestas navideñas. Es agradable compartir números con la familia y los amigos, y luego comentar dónde han caído los premios.

Sin embargo, a la hora de la verdad, supone un negocio en el que muchísima gente gasta mucho dinero y unos pocos (poquísimos) reciben unos grandes premios, que no compensan todo el dinero gastado por toda la sociedad. Según mi opinión se podría organizar un sorteo en el que se rebajara la cuantía de los premios, pero se aumentara mucho el número de premios otorgados, para que así hubiera mucha más cantidad de personas que recibieran premios (cien veces más, por lo menos). Además sería justo que todo el dinero invertido por la sociedad se volviera a repartir en premios, y no como ahora, donde el porcentaje que se pierde en impuestos es cada vez más grande. De ahí la frase "a Hacienda siempre le toca el Gordo en Navidad".

No obstante, las empresas de juegos de azar tratan de atraer cada vez más público promocionando premios mayores, cuando lo que en realidad hacen es disminuir drásticamente las probabilidades de que uno gane cualquiera de esos premios. Así sucede con la lotería primitiva, la bono loto, los euro millones, etc. Tocan millones de euros, pero a una sola persona, y a veces el premio queda desierto. Hagamos conciencia de que somos millones de jugadores, y entonces la probabilidad de que seamos la persona afortunada a la que toca uno de esos premios es minúscula. Si el Gordo no toca, los euro millones, las lotos y bono lotos, tocan muchísimo menos.

La Esperanza de Vida

Recientemente escuchamos a una persona explicar que en cierto país había una esperanza de vida de 35 años. "Observen ustedes", dijo, "nadie pasaba de los 35 años, todo el mundo se moría sobre esa edad".

Este comentario es algo muy común, y cualquier persona que lo oye está de acuerdo. Mecánicamente, nos imaginamos que en ese país nadie llega a anciano y que los habitantes, cuando se acercan a los treinta años de edad, ya están envejecidos o acosados por enfermedades que acabarán con ellos en muy poco tiempo.

Pero no es así. El término esperanza de vida es un término matemático, probabilístico. La esperanza es la media probabilística de las edades que se espera que alcancen los habitantes de una población. Es una media aritmética, y como media, es lógico pensar que hay personas que alcanzan menos edad y otras que alcanzan más edad.

Uno de los problemas fundamentales en los países con una sanidad subdesarrollada es la alta mortalidad infantil. Un gran porcentaje de niños mueren en sus primeros años de vida porque no son atendidos adecuadamente, o bien por las malas condiciones higiénicas o de alimentación. También las mujeres que dan a luz corren muchos riesgos de fallecer en el parto o a consecuencia de problemas derivados de él. Este factor de por sí disminuye mucho la esperanza de vida. También influyen, evidentemente, las guerras, en las que fallecen muchas personas jóvenes, sobre todo soldados combatientes; igualmente epidemias, hambrunas, etc.

Pero si descartamos estos factores mencionados y nos quedamos solamente con la mortalidad infantil, podemos comprobar que influye enormemente en la esperanza de vida. Supongamos que una pareja tiene cuatro hijos. Tres de ellos mueren a la edad de 1 año. El cuarto sobrevive a la infancia y su vida se alarga hasta los 97 años. Si hacemos la media entre las edades:

1 + 1 + 1 + 97 = 100;

100 : 4 = 25

Resulta que la esperanza de vida de los hijos de dicha pareja es de 25 años. Pero ninguno de ellos ha muerto a los 25 años, tan solo es una media entre las cuatro edades. El problema está en que tres no han podido superar el primer año de vida, pero el que sí superó la infancia ha llegado a anciano y ha fallecido con edad muy avanzada.

Con esto se demuestra que la mortalidad infantil es un factor tremendamente importante en el cálculo de la esperanza de vida. Si en el ejemplo anterior hubieran dos niños que sobrevivieran al primer año de vida y alcanzaran ambos la edad de 97 años, entonces:

1 + 1 + 97 + 97 = 196;

196 : 4 = 49

La esperanza salta de golpe a 49 años. Si fueran tres los que sobreviven:

1 + 97 + 97 + 97 = 292;

292 : 4 = 73

Ahora tenemos una esperanza de 73 años. Obsérvese que en ninguno de los casos puestos como ejemplo la esperanza tiene relación con las edades reales. Su dato, la media de las edades, no nos da una idea de lo que realmente está pasando. En el último ejemplo se puede observar también que basta que uno de los niños muera en el primer año de vida para que la esperanza de vida, 73 años, disminuya (en más de veinte años) respecto a la edad real, 97 años, que alcanzan los otros tres.

Podemos concluir, por tanto, que en cuanto disminuye la mortalidad infantil, la esperanza de vida de la población se dispara. Pero no porque de repente todo el mundo vaya a vivir más años, sino porque la media de edades alcanzadas se ve muy afectada. Lo que ocurre en realidad es que las personas tienen menos probabilidades de morir en la infancia, pero aquellas que sobreviven a la infancia llegarán a ancianos igual que antes, y puede que mueran de media a la misma edad.

La ley de Bode

Cuaderno de bitácora: todavía me viene a la memoria un artículo que encontré hace muchos años en un suplemento dominical del diario ABC. Trataba de astronomía, y voy a intentar recrear aquel artículo tal y como lo recuerdo.

Si nos situamos en la Europa de mediados del siglo dieciocho, podemos descubrir una sociedad que está viviendo muchas convulsiones, especialmente en el mundo del conocimiento. Nos encontramos en la Ilustración, en pleno Siglo de las Luces, en el que personajes de la talla de Diderot, D'Alambert, Montesquieu, Rousseau y Voltaire en Francia, Benjamin Franklin y Thomas Jefferson en lo que se iba a convertir en los Estados Unidos, Emmanuel Kant en Alemania, Adam Smith en Escocia, están dispuestos a "disipar las tinieblas de la humanidad mediante las luces de la razón".

[En la imagen vemos un retrato, realizado por Francisco de Goya, de Gaspar de Jovellanos, uno de los principales representantes de la Ilustración en España. Detrás de él, a la derecha, se aprecia la imagen de la Diosa de la Sabiduría, Minerva, que parece bendecirlo.]

En esa época se da un avance importante en muchos campos de la ciencia, y la astronomía no puede faltar a esa acelerada evolución.

Hace ya tiempo que las teorías geocéntricas de Ptolomeo han sido desplazadas por el modelo heliocéntrico de Copérnico, y los astrónomos se dedican a mejorar sus telescopios y tomar mediciones cada vez más exactas de las dimensiones del sistema solar y de los planetas conocidos.

A mediados del siglo dieciocho todavía no se conocen más planetas que los que se pueden ver a simple vista: Mercurio, Venus, nuestro planeta Tierra, Marte, Júpiter y Saturno, pero se ha calculado con bastante precisión la distancia al Sol de cada uno de ellos.

Una forma de expresar la distancia de los planetas al Sol es tomando como unidad la distancia de la Tierra al Sol. Esta distancia es de 150 millones de kilómetros aproximadamente, y es lo que se llama unidad astronómica (UA).

Podemos medir las distancias de los planetas al Sol usando esta unidad, y así obtenemos una idea más clara de cual es cada distancia en comparación con la de la Tierra:

Mercurio - 0.39 UA
Venus - 0.72 UA
Tierra - 1.00 UA
Marte - 1.52 UA
Júpiter - 5.20 UA
Saturno - 9.54 UA

Es fácil darse cuenta que estos seis números forman una sucesión ascendente que en los primeros cuatro planetas parece crecer de forma ordenada, pero que de Marte a Júpiter da un salto significativo. Fijémonos en los primeros cuatro números:

0.39 - 0.72 - 1.00 - 1.52

Si les damos unas cuantas vueltas para tratar de encontrar alguna relación entre ellos, podemos redondearlos, 0.4 - 0.7 - 1.0 - 1.6, y restar a cada uno 0.4, y obtenemos

0 - 0.3 - 0.6 - 1.2

Tenemos claramente una sucesión en la que el primer término es 0, el segundo es 0.3, y luego cada término va siendo el doble del anterior. Podemos extender esta sucesión multiplicando por dos en cada paso

0 - 0.3 - 0.6 - 1.2 - 2.4 - 4.8 - 9.6 - 19.2 ...

¿Tiene alguna relación esta sucesión con las distancias de los planetas al Sol? Basta sumar 0.4 a cada término y vemos que los números resultantes son muy parecidos a dichas distancias medidas en UA, salvo por un detalle: hay un salto entre Marte y Júpiter

0 + 0.4 = 0.4;       distancia de Mercurio al Sol:   0.39 UA  error 2.6%
0.3 + 0.4 = 0.7;    distancia de Venus al Sol:        0.72 UA  error 2.8%
0.6 + 0.4 = 1.0;    distancia de la Tierra al Sol:    1.00 UA  error 0%
1.2 + 0.4 = 1.6;    distancia de Marte al Sol:        1.52 UA  error 5.3%
2.4 + 0.4 = 2.8;          ¿?
4.8 + 0.4 = 5.2;    distancia de Júpiter al Sol:       5.20 UA  error 0%
9.6 + 0.4 = 10.0;  distancia de Saturno al Sol:     9.54 UA  error 4.8%

Mirando la tabla observamos que la sucesión encaja bastante bien con las distancias de los planetas al Sol, con errores pequeños, salvo por ese salto entre la distancia de Marte y la de Júpiter. Esta correlación es encontrada por Johann Daniel Titius en 1766 y por Johann Elert Bode en 1772. Tradicionalmente se ha conocido como Ley de Bode, aunque desde que se comprobó que Titius fue el primero en descubrirla se le llama Ley de Titius-Bode.

Cuando Bode formula la correlación entre la sucesión y las distancias de los planetas, no duda en sugerir que el quinto término de la sucesión debe corresponder a un planeta no descubierto cuya órbita se encuentra entre Marte y Júpiter y cuya distancia al Sol debe ser aproximadamente 2.8 UA.

En 1781, pocos años después de la formulación de la Ley de Titius-Bode, el astrónomo William Herschel descubre un planeta más alejado que Júpiter y Saturno, el planeta Urano, el primero descubierto con la ayuda del telescopio. Al calcular la distancia de Urano al Sol descubren que coincide muy bien con el siguiente término de la sucesión de Bode:

19.2 + 0.4 = 19.6;    distancia de Urano al Sol:      19.2 UA  error 2.1%

Esto no hace sino reforzar la Ley de Bode, y afianzar la esperanza de encontrar el quinto planeta perdido, cuya órbita debe estar entre Marte y Júpiter.

No es necesario esperar mucho tiempo para encontrarlo. En 1796 Joseph Lalande recomienda la búsqueda del planeta desconocido, y desde ese momento un nutrido grupo de astrónomos se "reparten" la franja del firmamento correspondiente al zodiaco y comienzan una exploración sistemática con sus telescopios.

Sin embargo será otro astrónomo, Giuseppe Piazzi, ajeno al grupo comprometido en la búsqueda, el que en 1801, desde su observatorio de Palermo, va a descubrir casi por casualidad un objeto que al principio cataloga de cometa, y que luego se comprueba que es el "planeta" buscado y es nombrado como Ceres, en honor a la Diosa de la agricultura de la mitología romana.

Sin embargo, Ceres es muy pequeño y difícil de observar, y los astrónomos le pierden la pista conforme el Sol se va colocando delante. De las observaciones de Ceres se tienen pocos datos, y se plantea el problema de calcular su órbita con suficiente precisión para poder recuperar su posición una vez que el Sol se haya alejado.

Los astrónomos europeos intentan localizarlo durante meses sin conseguirlo. En esos momentos interviene uno de los matemáticos más brillantes de la historia, Karl Friedrich Gauss, el cual, con la ayuda de su método de los mínimos cuadrados y su increíble capacidad para el cálculo determina con éxito la órbita, e indica a los astrónomos dónde deben apuntar sus telescopios. Una vez que lo hacen, los astrónomos comprueban que, efectivamente, allí está de nuevo Ceres.

Haciendo cálculos de la distancia de Ceres al Sol, se establece esta distancia en 2.77 UA, con lo cual se confirma que es el planeta que faltaba en la sucesión de Bode, ya que la distancia coincide muy bien con el término quinto y rellena perfectamente el hueco entre Marte y Júpiter:

2.4 + 0.4 = 2.8;    distancia de Ceres al Sol:        2.77 UA  error 1.1%

Búsquedas posteriores determinan que Ceres no es el único "planeta" que se encuentra a esa distancia del Sol. En realidad se empiezan a descubrir una infinidad de cuerpos pequeños, todos en la misma órbita; en 1802 Heinrich Wilhelm Olbers encuentra a Palas, y en 1807 a Vesta; en 1804 Karl Ludwig Harding descubre a Juno, y así sucesivamente, de modo que para la década de 1850 ya se han descubierto más de una docena de estos pequeños objetos.

La comunidad astronómica se da cuenta que en la órbita donde debía estar el quinto planeta no hay un solo cuerpo, sino una infinidad de pequeños objetos, a los que llama asteroides, y a esa región se le da el nombre de cinturón de asteroides. Las conclusiones sobre la presencia de este cinturón afirman que, efectivamente, en tiempos remotos ha existido un quinto planeta en la órbita predicha por la Ley de Bode, y que por causas desconocidas, ese planeta se ha desintegrado, y sus restos se han esparcido entre Marte y Júpiter a lo largo de las eras.

[esta imagen está obtenida del Miki's Blog sobre astronomía y astrofísica]

No se conoce actualmente ninguna explicación satisfactoria a por qué los planetas están distribuidos según la Ley de Titius-Bode. Esta ley, además, no es absoluta, pues el planeta Neptuno, que se descubre en 1846 por Urbain Le Verrier, no cumple la ley, o más bien diremos que se separa de la ley en un error bastante pronunciado:

38.4 + 0.4 = 38.8;    distancia de Neptuno al Sol:        30.06 UA  error 29.1%

Por otro lado, en 1930 Clyde William Tombaugh descubre Plutón, cuya distancia media al Sol es de 39.44 UA, ¡que sí coincide con muy poco error con lo que predice la Ley de Bode para Neptuno! Para que esta ley sea perfecta, Neptuno debe encontrarse donde está Plutón, y Plutón debe retroceder hasta el doble de distancia del Sol de la que tiene ahora.

Pero el universo no se rige tal y como a la lógica humana le puede gustar. Es posible que en un futuro se encuentren más respuestas sobre el origen de la Ley de Bode y por qué funciona en la mayoría de los casos.

Para completar esta historia podemos ver que los astrónomos han encontrado sucesiones similares a la Ley de Bode en algunos de los satélites de Júpiter, concretamente en Amaltea, Io, Europa, Ganímedes y Calisto, cuyas distancias a Júpiter siguen una sucesión de comportamiento similar a la de los planetas del sistema solar, aunque con coeficientes distintos; también se comportan así los cinco satélites principales de Urano: Miranda, Ariel, Umbriel, Titania y Oberón, y en Saturno los satélites se ajustan en distancia a una ley similar a la de Bode, pero con huecos entre algunas órbitas.

Para consultar las fórmulas exactas de cada una de las sucesiones y más información sobre el tema, se puede consultar la página de la Wikipedia sobre la Ley de Titius-Bode.

La época del Spectrum y el mensaje de Arecibo

Cuaderno de bitácora: cuando escribí la entrada en este blog sobre La Habitación de Fermat, uno de los enigmas o problemas propuestos en aquella película me trajo a la memoria los tiempos pasados del Spectrum, y esa época se ha hecho más vívida cuando hace varias semanas recibí un comentario en una de las últimas entradas invitándome a ponerme en contacto con mis antiguos compañeros de colegio.

Para muchos de nosotros, adultos que rondamos los treinta y muchos o los cuarenta y pocos, la época de los primeros ordenadores nos evoca bastantes recuerdos. Algunos tendrán en su mente otros nombres, como Atari, o Amstrad, pero para muchos de nosotros fue, sin alternativa posible, la época del Spectrum.

¿Qué es un Spectrum? Podemos decir brevemente que fue un ordenador, uno de los primeros ordenadores accesibles para tener en casa.

En mi caso particular, el que tuve fue el popular modelo Spectrum 48K, que costaba en aquellos momentos unas 42.000 pesetas más o menos (252 euros). Tuve suerte, porque sabía de otros que lo habían comprado por 48.000 pesetas (288 euros). Hoy puede parecer poco, pero en aquella época constituía una fortuna para nuestras posibilidades.

Hay que tener en cuenta lo que en realidad era aquel cacharro: una pequeña caja negra del tamaño aproximado de un iPad que, con sus botones de goma, más que a un ordenador se parecía a lo que hoy es el teclado del ordenador. No traía pantalla, sino que había que enchufarlo al televisor, que es el que hacía de pantalla. Su memoria, como está indicada en el nombre, era de tan solo 48K, inimaginablemente pequeña para nuestra época actual, donde cualquier aparatejo por simple que sea puede tener un millón de veces más.

El Spectrum no traía unidad de disco y los programas había que cargarlos con la ayuda de cassettes; el reproductor de cassettes había que ponerlo aparte, como la pantalla del televisor. Los programas, principalmente juegos, se transmitían de los cassettes al ordenador a través del sonido, un sonido característico, como el canto de un incansable pájaro eléctrico, y el tiempo de carga oscilaba entre los cuatro y los cinco minutos. Es decir, para transmitir tan solo 48K desde el cassette hasta la memoria del ordenador se necesitaba esperar más de cuatro minutos, y muchas veces, la transmisión terminaba con error debido a defectos en la grabación de la cinta de cassette. En ese caso la espera había sido en vano y había que comenzar otra vez e intentarlo de nuevo desde el principio. Cada vez que el ordenador se apagaba, la memoria se perdía, con lo que cada juego o programa que uno quería utilizar era necesario cargarlo después de encender el aparato.

Hay todo un mundo de distancia entre lo que se podía hacer en aquella época con el Spectrum y lo que hoy se puede hacer con nuestros ordenadores. Por hablar de limitaciones, podemos mencionar, por ejemplo, que el Spectrum presentaba en pantalla solamente ocho colores, cada uno en dos modalidades, normal y luminosa, y que no se podía colorear cada pixel independientemente, sino en cuadrados de ocho por ocho. La resolución gráfica era de 256 por 192 píxeles.

En aquella época no se pensaba en limitaciones, sino en avances. Poder usar aquel aparato significaba entrar en contacto por primera vez con todo un mundo soñado de tecnología de vanguardia, de computadoras, de programación,  aunque en la práctica lo que realmente tenías en casa era tu primera consola de videojuegos.

Hasta ese momento, conocíamos los videojuegos de verlos en los bares y salones recreativos, a los que acudía a menudo para contemplarlos; personalmente, el primero que me cautivó fue Galaxian, cuya máquina estaba en un bar de nuestra calle.

 
Nuestra economía era muy escasa, con lo que fueron muy pocas veces las que pude jugar de verdad en algún salón recreativo; en la mayoría de las ocasiones me limitaba a observar el juego de otros, como si de una película se tratase, y luego soñaba que algún día podría tener acceso a ese mundo, y mientras tanto alimentaba mi imaginación con todos los ambientes, principalmente de ciencia ficción, que aparecían retratados en aquellos videojuegos.

Cursaba 3º de BUP cuando tuve noticia de la existencia del Spectrum a través de los compañeros del colegio, y no pasó mucho tiempo hasta que pude comprarme uno. ¿Fue un viernes por la tarde cuando llegué a casa con él? ¿O un sábado? Aquella noche pasé bastante rato jugando a los primeros juegos, pues en la caja del Spectrum venían varios de regalo: uno de ajedrez, un simulador de vuelo, el Jetpac, el Reversi, y alguno más que no recuerdo el nombre. Al día siguiente comencé a leer el manual de instrucciones que traía, en el que se explicaba la programación en lenguaje BASIC, y pude practicar hasta aprenderlo bastante bien.

A lo largo de aquellos breves años compuse algunos sencillos programas que me ayudaron a aprender muchas cosas. Recuerdo ahora que estuve a punto de terminar un programa que jugaba a los dados, y para ayudarme en el colegio hice varios programas interesantes. Uno de ellos, por ejemplo, calculaba determinantes de tercer grado, también hice un programa que podía resolver sistemas de ecuaciones con la famosa regla de Cramer. Otro programa me ayudó a memorizar una ingente lista de nombres latinos de plantas para la asignatura de Biología: con paciencia fui escribiendo todos los nombres científicos de las plantas y sus correspondencias con el nombre usual, y luego el programa iba sacando nombres al azar y yo respondía en voz alta, luego le daba al botón y cuando en la pantalla aparecía su correspondiente pareja podía comprobar si me había equivocado o no.

También para Química diseñé un programa, al que llamé Arrhenius, en honor al famoso científico Svante Arrhenius, que representaba gráficamente las curvas del pH de diversas disoluciones.

Aunque todos estos programas fueron para uso propio, en el colegio mis compañeros y yo hablábamos mucho de programación, y cuando estábamos en COU se nos ocurrió la idea de intentar hacer un buen programa, un videojuego para el Spectrum. Ni siquiera lo habíamos empezado y ya nos imaginábamos que se lo venderíamos a Dinamic, la empresa de software puntera en España en aquellos momentos. Se nos ocurrió un juego al que llamamos provisionalmente Torneón, y que iba a tratar sobre torneos entre caballeros medievales; en la pantalla se vería un caballero cabalgando con la lanza en ristre, dispuesto a chocarse con otro que vendría en sentido opuesto. La dificultad consistiría en ir manteniendo el trote del caballo golpeando las teclas y luego en el último momento elegir el ángulo de golpe de la lanza y el ángulo de protección del escudo.

Una de las primeras cosas que quisimos empezar fueron los gráficos del juego, y aquí es donde viene la parte matemática relacionada con el problema mencionado en La Habitación de Fermat.

Para hacer un gráfico, imagen o dibujo sencillo en un ordenador como el Spectrum, tuvimos que aprender el sistema binario.

Sabemos que cualquier imagen que aparece en la pantalla de un ordenador está compuesta por puntos o píxeles, y si es en blanco y negro, los píxeles solo pueden ser blancos o negros. Podemos asociar a cada píxel blanco un 0 y a cada píxel negro un 1, y entonces toda imagen en blanco y negro se puede descomponer en filas de ceros y unos.

Cada unidad que puede valer cero o uno es lo que se llama un bit, (abreviatura de binary unit).

Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos dibujar un gráfico imitando la cabeza de un guerrero con un casco. Pixelamos un cuadrado de 8 por 8 píxeles sobre fondo blanco, obteniendo la siguiente imagen, ampliada a la izquierda y en tamaño real a la derecha.

Con 8x8 tenemos un dibujo muy pequeño para nuestras pantallas actuales, pero en el Spectrum era la resolución de uno de sus cuadrados básicos. La pantalla se dividía en 32x24 de estos cuadrados de 8x8 píxeles, teniendo una resolución total, como ya hemos indicado más arriba, de 256x192 píxeles.

Si separamos el cuadrado por filas, y en cada fila sustituimos los píxeles en blanco por 0 y los píxeles en negro (o en azul en el caso de nuestra imagen) por 1, entonces tenemos una secuencia de números:

1  0  1  1  1  0  0  1

1  1  1  1  1  1  0  1

1  1  1  1  1  1  1  1

1  0  0  0  1  0  0  1

1  1  0  0  1  0  1  1

0  1  0  0  0  0  1  0

0  1  1  0  0  1  1  0

0  0  1  1  1  1  0  0

En este caso, en cada fila tenemos un número binario de ocho dígitos, 8 bits, que se puede convertir en número decimal, y el resultado, al tener sólo 8 dígitos, nos da un número comprendido entre 0 y 255, que es lo que se llama un byte. Así, de la primera fila tendríamos:

10111001 = 1 · 2⁷ + 0 · 2⁶ + 1 · 2⁵ + 1 · 2⁴ + 1 · 2³ + 0 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ =
                  = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 185

Y si vamos convirtiendo cada una de las filas, pasándolas de binario a decimal, tenemos:

185

253

255

137

203

66

102

60

Es decir, la lista de ocho números 185, 253, 255, 137, 203, 66, 102, 60, ocho bytes en total, pasados a binario y colocados en un cuadrado de 8x8 equivalen al gráfico que hemos puesto de ejemplo. Esta secuencia de bytes era la que teníamos que introducir en el Spectrum.

En el Spectrum las imágenes se descomponían en cuadrados 8x8, y cada fila de la imagen era un número binario de ocho dígitos, u ocho bits, que es lo que llamamos un byte. Tradicionalmente se ha mantenido esta agrupación de ocho en ocho, permaneciendo el byte como unidad de información, y de él se derivan los Kilobytes, los Megabytes, los Gigabytes, etc.

Pero en general, cualquier imagen en blanco y negro se puede secuenciar de forma muy simple en un largo número binario, lo único que hay que tener claro son las dimensiones de la imagen, para poder distribuir el número en filas y que los bits se correspondan de forma correcta con la imagen.

Así, por ejemplo, la imagen anterior se puede secuenciar poniendo todos los números en una sola línea: 1  0  1  1  1  0  0  1  1  1  1  1  1  1  0  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  0  1  0  0  1  1  1  0  0  1  0  1  1  0  1  0  0  0  0  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  0  1  1  1  1  0  0. Basta saber que estos 64 dígitos se deben colocar en filas de 8x8 para recuperar la imagen.

En relación a esto podemos poner otro ejemplo, pero este ya con un contexto mucho más interesante e importante que los disparatados y utópicos proyectos de un adolescente de los 80. Se trata del mensaje de Arecibo, que como dice la Wikipedia, es

un mensaje de radio enviado al espacio desde el radiotelescopio de Arecibo el 16 de noviembre de 1974 para conmemorar la remodelación del radiotelescopio. El mensaje tenía una longitud de 1679 bits y fue enviado en la dirección del cúmulo de estrellas llamado M13, situado en la dirección de la constelación de Hércules, a una distancia de unos 25 000 años luz, y que está formado por unas 400 000 estrellas. El mensaje contiene información sobre la situación del Sistema Solar, de nuestro planeta y del ser humano, y fue diseñado por Frank Drake, Carl Sagan y otros.

El motivo de que la transmisión tenga exactamente 1679 bits es porque este número se descompone en producto de dos números primos: 23 por 73. Eso indicaría al que recibiese la transmisión que puede organizar los bits en un cuadrilátero de 23 columnas por 73 filas, obteniendo el siguiente gráfico:

En este mensaje se pretende condensar una pequeña información gráfica y numérica sobre la humanidad: el código binario, los átomos del ADN, los nucleótidos del ADN, la forma del ADN y el número de nucleótidos que tiene, el ser humano, su estatura y el tamaño de la población de la Tierra (en 1974), un esquema del Sistema Solar, y un gráfico del radiotelescopio de Arecibo con su tamaño.

Para finalizar, la historia de Torneón no fue muy larga. Sabíamos que para poder programar aquel juego y que trabajara de forma eficiente en el Spectrum, el lenguaje BASIC no nos iba a servir, y tendríamos que aprender código máquina, el lenguaje interno que usaba el propio Spectrum, y en el que estaban escritos todos los juegos y programas comerciales. El código máquina no es intuitivo como el BASIC, consiste en una serie de instrucciones que se deben reducir a bytes, y que hay que expresar a través de números. Era complicado conseguir manuales que te enseñaran el código de forma sencilla, los gráficos había que hacerlos también a mano, dibujarlos en papel cuadriculado y luego pasarlos a binario con ayuda de la calculadora, etc.

La tarea se antojaba tremendamente difícil, y después de varios días de ideas, el proyecto Torneón se estancó, se fue enfriando rápidamente y quedó pronto en el olvido.

La Tabla Redonda y otras curiosidades matemáticas de la Inglaterra antigua

Cuaderno de bitácora: como inicio de una nueva etapa en el blog, hemos sentido la necesidad de empezar con un tema sencillo en el campo matemático pero de gran interés personal.

Es sobradamente conocida por todos la historia-leyenda del Rey Arturo, la Reina Ginebra, el Mago Merlín y los Caballeros de la Tabla Redonda, ubicada temporalmente en la época posterior al dominio romano de las Islas Británicas y justo antes de la invasión de las mismas por los pueblos sajones.

Dicen los cronistas antiguos que después de disputar grandes batallas, una vez que Inglaterra fue pacificada y unida bajo un solo Rey, Arturo sintió la necesidad de crear una Hermandad con sus Caballeros, y siguiendo los consejos del sabio Mago Merlín, hizo construir una gran mesa redonda a la que se sentarían él y sus doce caballeros más fieles para reunirse y discutir los difíciles asuntos del reino y narrar las mejores hazañas de caballería. Por esta mesa o tabla la Hermandad tomó el nombre de los Caballeros de la Tabla Redonda, y gracias a sus increíbles proezas y noble comportamiento adquirió una fama imperecedera que ha llegado hasta nuestros días.

Según dice la leyenda "a la mesa o tabla se reunían los Caballeros y el Rey, y en ella todos iguales se sentaban y todos igualmente servidos estaban". Podemos comprender que el hecho de que la mesa fuera redonda suponía un símbolo de completa igualdad entre todos los que se sentaban a ella. Es evidente que el Mago Merlín aconsejó la forma matemática del círculo para que precisamente se diera esa relación de igualdad y equilibrio perfecto entre todos los participantes.

En el círculo todos los puntos están a la misma distancia del centro, y no hay ningún punto de la circunferencia que se destaque sobre los demás o que tenga características diferentes a los de los demás.

Si se hubiera elegido cualquier otra forma geométrica, no se habría conseguido esa propiedad de igualdad perfecta. En una elipse, por ejemplo, hay cuatro puntos destacados, los dos que se encuentran más cerca del centro de la elipse, y cuya distancia determina el eje menor de la elipse, y los dos que se encuentran más alejados del centro y cuya distancia es el eje mayor de la elipse.

Si hubiera sido un cuadrado, hay puntos especiales, los cuatro vértices, por ejemplo, y los cuatro puntos medios de los lados.

Lo mismo ocurre con cualquier polígono regular. De hecho, si se hubiera usado un polígono regular las posibilidades del número de personas que se pueden sentar a la mesa habrían quedado limitadas, mientras que en un círculo da igual cuántas se sienten a la mesa siempre que quepan, porque todos los reunidos estarán a la misma distancia y en idéntico privilegio.

Viéndolo desde otro punto de vista, también está la cuestión de la simetría de las figuras. La elipse tiene dos ejes de simetría, el cuadrado tiene cuatro. Los polígonos regulares tienen tantos ejes como vértices o lados. Si el polígono regular tiene un número impar de lados, por ejemplo un pentágono regular, entonces cada eje de simetría unirá un vértice con el punto medio del lado opuesto, pasando por el centro del polígono. Si el polígono regular tiene un número par de lados, como el hexágono, entonces la mitad de ejes irán de vértice a vértice opuesto, y la otra mitad unirá los puntos medios de dos lados opuestos.

Pero el círculo es una figura que tiene infinitos ejes de simetría, porque cualquier recta que pase por el centro es un eje de simetría. Esto significa que en cualquier lugar de la circunferencia que nos coloquemos, en cualquier punto de la mesa en que nos sentemos, vemos al círculo de forma simétrica y equilibrada.

Según algunas tradiciones, a la mesa redonda se sentaban el Rey y sus Doce Caballeros principales, en total 13 personas, aunque hay otras fuentes que afirman que eran el Rey y Veinticuatro Caballeros, haciendo un total de 25 personas. Esta última posibilidad es la que está recogida en la tabla redonda que se conserva en el gran salón del castillo de Winchester; la mesa en sí fue mandada hacer por el rey Eduardo I en el año 1275 aproximadamente, pero el trabajo de pintura en el que se separó el círculo en veinticinco sectores blancos y verdes, cada uno con un nombre de un Caballero, y se dibujó arriba al Rey Arturo sentado en su trono y apoyado sobre las Dos Rosas, se hizo en 1522 por orden de Enrique VIII.

Fue el Mago Merlín el que con sus artes sobrenaturales profetizó quiénes habrían de sentarse en la mesa redonda junto a Arturo Pendragón. Así, cuando la mesa fue construida junto con los sillones correspondientes, en cada sillón apareció por arte de magia el nombre del Caballero que tendría el honor de ocuparlo. Pero había nombres de Caballeros que todavía no formaban parte de la Hermandad, e incluso alguno de ellos ni siquiera había nacido todavía, como el caso de Perceval y Galahad.

Bien sabemos que la Mesa o Tabla Redonda se encontraba en el principal castillo del Rey Arturo, Camelot. Hoy no quedan restos de tal castillo, y se discute sobre su ubicación exacta. Las invasiones bárbaras-sajonas, fueron derrotadas y rechazadas continuamente mientras Arturo Pendragón empuñó su espada Excalibur, pero cuando Arturo murió y la Hermandad de los Caballeros de la Tabla Redonda se deshizo, los bárbaros pudieron por fin entrar en las Islas Británicas, y llenos de rencor por las antiguas derrotas y envidiosos del esplendor alcanzado por el reinado arturiano, se encargaron de borrar todo rastro y memoria del Rey Arturo y sus Caballeros. Camelot fue destruida hasta sus cimientos y del castillo no quedó piedra sobre piedra.

Sin embargo se conservan muchas tradiciones e indicios de que la ubicación exacta estuvo en la colina fortificada de Cadbury, una pequeña meseta que se eleva en estratos en los que no hace falta demasiada imaginación para ver las líneas por donde discurrieron las murallas defensivas de Camelot.

Si tenemos la oportunidad de contemplar la mejor película que se ha filmado sobre el Rey Arturo, Excalibur de 1981, dirigida por John Boorman, hay una escena en la que Arturo se reúne por la noche con sus caballeros sobre una colina, después de haber vencido en las batallas libradas contra los sajones, y al celebrar que la guerra ha terminado exclama: "construiremos aquí una tabla redonda para sentarnos a ella y contar hazañas, y en torno a la mesa una sala, y en torno a la sala un castillo..." Es lógico pensar, desde un punto de vista geométrico, que si la mesa fue redonda, la sala también pudo ser redonda, y que las murallas del castillo adoptaran también forma circular. Si observamos la colina de Cadbury, veremos que conserva una forma muy proporcionada, no exactamente circular, pero  cercana al círculo (más concretamente, tiene la forma de un corazón).

Estudiando en general el pasado de las islas británicas, nos vamos a dar cuenta que el círculo juega un papel muy importante entre la simbología antigua céltica. Podemos mencionar algunos ejemplos arqueológicos interesantes.

Tenemos el caso de Stonehenge, quizás el monumento megalítico más importante y conocido en todo el mundo. Estudiar y describir con profundidad todo el bagaje cultural que rodea este monumento no solo sería demasiado largo para este blog, sino que ocuparía libros enteros.

Pero hay un aspecto fundamental en la importancia de esta construcción, más allá del tamaño de sus piedras, más allá de su (relativo) buen estado de conservación, más allá de su participación como lugar central de muchas historias, tradiciones y leyendas británicas. Ese aspecto es el inmenso conocimiento matemático-astronómico que se necesitó para levantar el monumento, y que hace de este lugar una joya arqueológica de primer orden. En efecto, como ya han demostrado varios investigadores, las piedras de Stonehenge están colocadas de forma que se alinean con varias posiciones astronómicas claves, como el lugar por donde sale el sol en el solsticio de verano, por ejemplo. Aquellos que levantaron Stonehenge necesitaron hacer profundos cálculos matemáticos y astronómicos para diseñar lo círculos en los que se distribuyen los megalitos, y así construyeron un monumento que es a la vez un perfecto calculador de posiciones estelares y de fechas calendáricas.

También se necesitan de complejos cálculos para diseñar y construir un monumento como el que se conserva en Irlanda: Newgrange, un gigantesco túmulo circular al que se puede entrar por un estrecho túnel que desemboca en una pequeña estancia o cámara. El túnel tiene una orientación precisa y las piedras del monumento están dispuestas de tal modo que en el amanecer del solsticio de invierno los rayos del sol penetran por el túnel e iluminan la cámara durante unos breves minutos.

Entre los monumentos megalíticos, aparte de Stonehenge, hay muchos otros círculos de piedra, por citar uno de los más grandes y espectaculares, tenemos el de Avebury, tan amplio que con el paso de los siglos llegó a establecerse una pequeña aldea en su interior.

Cerca de Avebury se encuentra otro monumento relacionado con el círculo. Se trata de la "pirámide" de Silbury Hill, una pequeña colina artificial que geométricamente tiene la forma de un cono truncado. Si revisamos las civilizaciones antiguas vemos que muchas de ellas construyeron grandes monumentos piramidales, casi todas pirámides de base cuadrada, como las de Egipto, las pirámides mayas, las de Teotihuacán, los zigurats babilónicos, algunos templos de la India, etc. La pirámide no podía estar ausente de una cultura tan importante como la precéltica de las Islas Británicas, pero en este caso su base no es un cuadrado, sino el círculo, el símbolo tan venerado por estos pueblos antiguos.

También podemos encontrar el círculo en la conocida "cruz céltica", y un derivado del círculo, la espiral, en muchas piedras megalíticas, como las de Newgrange.

Por último, una proyección del círculo en la actualidad se ha dado en los misteriosos "crop circles" o círculos de Inglaterra, plasmados en los campos de cereales. Se llaman así porque los primeros de los que se tiene noticia, aparecidos en 1980, eran simples círculos, pero luego fueron apareciendo figuras cada vez más complejas, mezclas y asociaciones de círculos, barras, insectogramas, y posteriormente muchas más figuras geométricas incluyendo fractales y proyecciones en tres dimensiones, y por tanto una denominación más correcta sería la de pictogramas.

[El Problema de la semana] La gran estafa

Cuaderno de bitácora: desde nuestro extraño suceso en el que nos han desaparecido de la memoria diecisiete meses de navegación, hemos encontrado en la bodega de nuestro barco muchos objetos y documentos pertenecientes a ese periodo perdido. Entre ellos se encuentra el siguiente problema que presentamos a continuación, un problema clásico con una solución sorprendente.

Tenemos 5 montones de monedas, uno de los cuales está compuesto íntegramente por monedas falsas. Sabemos que cada moneda auténtica pesa 10 gramos y que cada moneda falsa pesa 9 gramos. Tenemos también una báscula electrónica que proporciona el peso con una precisión absoluta. ¿Cómo podemos saber qué montón es el que contiene las monedas falsas realizando el mínimo número de mediciones? ¿Cuál es este número de mediciones?

La solución bajo la ilustración.

[Buscando imágenes de monedas, he encontrado fotografías de monedas chinas, y me ha sorprendido ver que además de las típicas monedas redondas con el agujero cuadrado en el centro, también han existido monedas con formas no circulares. En la actualidad la inmensa mayoría de las monedas son redondas, y así han sido desde la antigüedad, debido al parecer, por la facilidad de acuñarlas en esa forma: dejamos caer una gota de metal fundido sobre una superficie, y mientras está todavía caliente la aplastamos con un martillo especial, con el relieve que queremos dejar impreso. Así se empezaron a acuñar monedas, y se ha mantenido la forma redonda por tradición, pero sería interesante que los gobiernos se decidieran a acuñar monedas con otras formas geométricas diferentes. Esta imagen ha sido tomada de flickr, y la explicación de por qué la mayoría de las monedas son redondas la hemos encontrado en noti encuentro]

Solución:

Sólo se necesita una medición. Tomamos una muestra de monedas formada por una moneda del primer montón, dos del segundo, tres del tercero, cuatro del cuarto y cinco del quinto montón, y pesamos todas estas monedas juntas (quince monedas en total). Si fueran todas auténticas, la báscula nos daría un resultado de 150 gramos, pero al incluir monedas de todos los montones hay monedas falsas y el peso será ligeramente menor, un gramo menos por cada moneda falsa que hay en la muestra que hemos tomado. La cantidad en gramos que falte nos da el número de monedas falsas que hay en la muestra, y este número coincide con el del montón que tiene las monedas falsas.

Por ejemplo, supongamos que el montón con las monedas falsas es el segundo. Al elaborar nuestra muestra, hemos tomado dos monedas del segundo montón, y al ser falsas, les falta a cada una un gramo. La báscula dará un peso exacto de 148 gramos.

Así, si la báscula da un peso de 149 gramos, el primer montón es el de monedas falsas, si el peso es de 148 gramos, el segundo montón es el falso, si el peso es de 147 gramos, es el tercer montón, si pesa 146 gramos es el cuarto montón, y si el peso marcado por la báscula es de 145 gramos, el quinto montón es el de las monedas falsas.

[Este problema ha sido extraído del libro El país de las mates, 100 problemas de ingenio 1, de Miquel Capó Dolz, editorial El rompecabezas]

Regreso desde los mares perdidos

Cuaderno de bitácora: realmente poco puedo explicar de lo que nos ha pasado. Era de noche, la mar estaba en calma, soplaba poco viento, y los instrumentos de navegación funcionaban perfectamente. La mayoría de la tripulación se había retirado a descansar a los camarotes. Había pocos marineros de guardia, y yo, no sé por qué, me levanté de la hamaca con una cierta inquietud y subí a cubierta.

La primera impresión que me llevé al salir al aire libre fue la del frío extremo. No podía ser, estábamos todavía en verano, casi para entrar al otoño, y sin embargo mi aliento se hacía visible como un vaho espeso, y mi cuerpo empezó a tiritar. Me asomé a la borda y bajo una suave luz que al principio no identifiqué, pude contemplar, asombrado, que estábamos rodeados de varios icebergs. Después hice conciencia de esa luz y miré el cielo, y entre las nubes vi con estupor las luces del norte, que caían en verdes cortinas suaves por delante del firmamento estrellado.

Le pregunté al timonel y no me supo aclarar qué estaba ocurriendo. Consulté de nuevo los instrumentos y ya no parecían estar funcionando adecuadamente. Dirigí mi astrolabio a las estrellas y calculé nuestra nueva posición. De estar navegando por aguas cálidas en pleno septiembre nos habíamos desplazado por arte de magia a latitudes septentrionales, como si hubiéramos atravesado un portal dimensional sin darnos cuenta.

Me pasé el resto de la noche estudiando el cielo, hasta que logré clarificar la fecha gracias a la posición de los planetas visibles. He revisado mis cálculos varias veces, pero no puede ser. Ya no es septiembre, sino febrero, y han pasado diecisiete meses, pero para nosotros sólo han pasado unas pocas horas. Ya ha amanecido, y se ha servido el desayuno a la tripulación. Después me he entrevistado con varios oficiales y para todos la percepción es la misma, nadie tiene ni idea de lo que está aconteciendo.

Las sorpresas no paran de sucedernos. Hemos bajado a la bodega a instancias de uno de los marineros y allí nos hemos encontrado con un cargamento desconocido, una colección de objetos de diversos lugares de los que no tenemos constancia que hayamos visitado. Apenas hemos empezado a estudiarlos y examinarlos, y todavía hemos extraído pocos datos, pero todo parece indicar que durante esos diecisiete meses olvidados nuestro barco ha ido navegando por mares perdidos y tierras incógnitas. Pero nadie conserva memoria de ese viaje.

No tengo más remedio que enfrentarme a esta nueva realidad. Mi tarea más urgente es ir poniendo en pie el poco conocimiento que podemos ir extrayendo de estos objetos, para intentar encontrar respuestas a tantas incógnitas. Todo es tan extraño...

[Nota: la ilustración es un óleo de Ivan Aivazovzky, titulado Icebergs en el Atlántico, y terminado en 1870. La hemos extraído de esta página de wikipaintings]