El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Calculadoras

Cuaderno de bitácora: la corriente de mis pensamientos e ideas es mucho más rápida y activa que la velocidad a la que puedo completar las diferentes entradas de este blog. Cuando me pongo a escribir, son muchas las cosas que se me pasan por la cabeza, y necesito, indefectiblemente, desarrollar todo un artículo para dar forma a mis ideas.

Es por eso que aunque hace ya varios meses publiqué la entrada titulada El Cofre de los Tesoros Matemáticos, y mi intención era dedicar una entrada a cada uno de mis tesoros, he necesitado tiempo para completar este primer artículo sobre las Calculadoras, a pesar de haber recibido algún comentario interesándose por el tema. Este artículo sobre calculadoras, además, es de esos que se van atascando, que necesitan investigación y maduración, a diferencia de otros artículos que salen de un tirón, en un rato de concentración dedicada.

Cuando era pequeño, allá por la década de los 70, apenas tendría más de 7 u 8 años, un tío mío apareció por mi casa con un aparato que yo no había visto jamás: una calculadora. Era una calculadora Casio Memory 8F, muy bonita, que todavía conservo en mi poder y funciona como el primer día. Su pantalla negra, con números luminosos en fósforo verde, era especialmente atractiva, en una época en la que cualquier cosa parecida a un videojuego era completamente desconocida, sobre todo aquí, en España. Funciona con dos pilas normales, pero también tiene una entrada para conectarla a la corriente eléctrica mediante un transformador apropiado.

Aquella calculadora era una curiosidad. Mi madre, preocupada por mis estudios, jamás me dejó utilizarla para hacer mis deberes de matemáticas: usarla hubiera sido como hacer trampas, utilizar un atajo prohibido que obstaculizaría mi proceso de aprendizaje del cálculo aritmético. Por mi parte, tampoco se me ocurrió nunca buscar a hurtadillas la ayuda de la Casio, a espaldas de lo que dijera mi madre, para ayudarme con los deberes del colegio. A diferencia de muchas personas, incluidos algunos matenavegantes famosos, siempre fui hábil para las cuentas, incluso me gustaban, y sólo empecé a usar la calculadora cuando se requería en los problemas de Física y Química del Bachillerato.

Ahora que la contemplo, todavía ejerce una atracción fascinadora, como la que suscitan los aparatos tecnológicos que se ven por primera vez. Sus dígitos de luz verde que brillan a través de una pequeña malla metálica son especialmente evocadores. Puede que los realizadores de la película "Matrix" se inspiraran en ellos para la escena inicial de la película, en la que la cámara hace un zoom y entra en las cifras de una pantalla de ordenador.

Sobre la historia de las calculadoras, se pueden consultar muchos sitios, por ejemplo la página de la Wikipedia. Se puede decir, para empezar, que desde la más remota antigüedad, se han usado artilugios para ayudar a los seres humanos a realizar las operaciones aritméticas, tanto las básicas como sumar, restar, multiplicar o dividir, como operaciones más avanzadas, con ayudas de logaritmos, tablas trigonométricas, etc. Así tenemos por ejemplo los diferentes tipos de ábaco, las varillas neperianas, las reglas de cálculo, y artilugios mecánicos, como la pascalina, la máquina de Babbage, el comptómetro, la Curta, etc.

Hay que esperar hasta la década de los 60 del siglo XX para que aparezcan las primeras calculadoras electrónicas, que son armatostes muy pesados y aparatosos. Después, a principio de los 70, salieron las calculadoras electrónicas de bolsillo, y sobre el año 75 (más o menos cuando mi tío apareció por casa con la Casio Memory 8F, si no recuerdo mal) las calculadoras ya tenían un precio muy asequible y estaban al alcance de cualquiera.

Me viene ahora al pensamiento una reflexión interesante. Se nos ha dicho, por ejemplo, que el inventor del teléfono fue Graham Bell, el de la radio fue Marconi, el de la bombilla fue Edison. Hay muchos inventos que tienen un inventor, el primero que los desarrolló, el primero al que se le ocurrió la idea. Sin embargo, no pasa lo mismo con la calculadora. Las calculadoras forman parte de una lenta evolución a lo largo de miles de años, que al llegar el siglo XX, con ayuda de los descubrimientos de la electrónica, los transistores, los circuitos integrados, ha despegado y nos ha brindado la enorme variedad de aparatos de infinidad de marcas entre los que podemos elegir hoy en día. No se puede decir que haya un solo inventor de la calculadora. Muchos matenavegantes, muchos cerebros, muchas empresas cada una con sus intereses comerciales han contribuido al desarrollo de las calculadoras, porque es un instrumento tremendamente útil, mal que les pese a algunos que no gustan de los números, imprescindible para tantos aspectos de la vida cotidiana. Si no, que se lo digan a los que vivían en el siglo XVII y siguientes, para los cuales el descubrimiento de las tablas de logaritmos (hoy obsoletas e innecesarias) fue en su época un inmenso alivio y facilitó enormemente la realización de cálculos complejos.

Llegar a las calculadoras ha sido uno de los más claros indicadores de la evolución científica humana: los pueblos antiguos ni siquiera tenían un sistema numérico tan sencillo como el actual, de base diez, nuestro sistema fue aceptado en Occidente en la Edad Media gracias a Fibonacci y tras muchos recelos supersticiosos, pero desde entonces, todas las personas que pasaron por la escuela tuvieron que aprender a hacer las cuentas a mano sin ninguna otra posibilidad, y sólo en las últimas décadas nos hemos liberado de esa necesidad del cálculo aritmético tradicional, y nos podemos apoyar, perezosamente, en el empleo de las calculadoras.

La Casio Memory 8F es quizás la calculadora más valiosa que tengo, no por su utilidad, sino por su historia. Pero no es la única calculadora. Tengo otra que compré en el año 1987, la Casio fx-3600P. Me costó en aquella época casi 6.000 pesetas (más de 35 euros), y es la primera calculadora científica que tuve. En el colegio, durante el Bachillerato, siempre me apañé con otra calculadora que ya no está en mi poder, que no era científica y sólo realizaba las operaciones de suma, resta multiplicación y división. Para los logaritmos y los cálculos trigonométricos me apoyaba en mi compañero de clase, que sí tenía una calculadora científica, del mismo modelo que la que luego me compré.

Posteriormente, allá por el año 1995, llegó a mis manos una calculadora que más bien era un ordenador, la Casio FX-850P. Se puede decir que este aparato fue una "herencia": alguien se la dejó a un amigo mío, luego perdió el contacto con él y no reclamó nunca la calculadora, y mi amigo, sabiendo que yo daba clases de matemáticas y que él no la iba a necesitar, me la regaló. Se pueden escribir en ella programas en lenguaje Basic, y tiene una librería muy amplia de fórmulas y funciones. Es una de esas calculadoras que "no te dejan llevar a los exámenes", pues se pueden guardar chuletas en ellas.

Actualmente, aprovechando mi condición de Oficial en la Matenavegación, he aprovechado para renovar mi provisión de aparatos. Así, en la taquilla de mi camarote, tengo cuatro calculadoras. No se puede decir que sean de mi propiedad, son más bien del Barco Escuela, pero yo las uso cuando las necesito. Son la Texas Instruments TI-30XS, la Casio FX-570ES, la HP 10s y la Scientific SS-529 (que la daban casi gratis con el periódico el País). Me gustan especialmente la TI-30XS, de Texas Instruments, que es la que estoy usando ahora, y la Casio FX-570ES. Ambas permiten la introducción de fracciones, potencias, raíces y otras operaciones tal y como se escribe a mano, dando el resultado de la misma forma como se ha escrito. Además, la TI guarda en pantalla una enorme cantidad de operaciones anteriores, y las mantiene en memoria aunque apaguemos la calculadora. Cuando la volvemos a encender, podemos recuperar las operaciones hechas, editarlas y modificarlas.

Si alguien quiere ver muchos modelos de calculadoras antiguas, puede visitar este museo de calculadoras , es uno de los varios que circulan por Internet. Contemplándolo se da uno cuenta de la inmensa cantidad de variedades distintas del aparatejo sobre el que hemos hablado en esta entrada del blog.

El Caso del Libro Perdido

Cuaderno de bitácora: el otro día me desapareció un libro. Fue un caso misterioso al que no he encontrado solución. Era un libro de texto de Matemáticas para 4º ESO opción A, de la editorial Oxford, proyecto Ánfora, serie Trama, y todavía no lo he recuperado. Es como el que aparece en la fotografía:

Hace ya de esto varias semanas. Fue así: un día, después de dar clases en una de las aulas del Barco Escuela, regresé a la Sala de Oficiales, y coloqué el libro encima de la larga mesa rectangular que hay al centro de la estancia. Tomé otro libro de texto, el de 3º ESO, de mi taquilla, y me fui a impartir mi siguiente clase. Cuando regresé más tarde, el libro de 4º no estaba en el lugar donde lo había dejado. Miré por un lado y por otro lado y no lo encontré.

Supuse en un primer momento que otro de los compañeros oficiales matenavegantes podría haberlo cogido. Le pregunté, pero no había sido él. De hecho, imparte clases a 4º ESO, pero a la opción B, con lo cual no tiene mucho sentido que le interese el libro. Indagué aquí y allá, pero nada. Esperé al día siguiente, y el libro no apareció. Puse un anuncio en el tablón, pero nadie supo darme noticias.

Los días pasaron. El rastro del libro se enfrió. Finalmente, tuve que conseguirme otro. En nuestra bodega conservamos libros de reserva, y de allí cogí uno nuevo, sin estrenar; todavía estaba envuelto en plástico protector. Tuve que dar por cerrado el caso, sin haberlo resuelto ni haber recuperado el ejemplar perdido.

Podría haber ordenado un registro general en el Barco Escuela, pero no lo hice; la pérdida no era tan importante. En algún puerto de los matemares, el culpable de la desaparición, si es que hay alguno, puede haberse escabullido sin problemas. ¿Dónde estará mi libro en estos momentos? Puede que se encuentre ya en las lejanas antípodas.

No hubo pistas, ni sospechosos, ni pruebas. No sé lo que realmente pasó, pero puedo formular varias hipótesis.

Lo más lógico es pensar que alguien tomó el libro. Lo tomó y no lo devolvió. ¿Pero quién?

Que sea un oficial no tiene mucho sentido, porque hay libros de sobra para todos. Si algún oficial necesita un libro como el mío, me lo puede pedir sin compromiso, y yo se lo proporciono, incluso gratis para que se lo quede.

También está difícil que sea un grumete. Los grumetes no tienen permiso para entrar en la Sala de Oficiales. Además, un libro de matemáticas de 4º ESO no tiene mucho atractivo; desde el curso pasado a los grumetes se les proporcionan gratuitamente los libros en préstamo durante el curso que están realizando.

Puede ser que a uno de los grumetes se le haya perdido el libro que ha recibido en préstamo, y ante la obligación de devolverlo a final de curso, vio el mío y decidió quedárselo para reponerlo cuando se le exija a final de curso que lo devuelva. En ese caso, mi libro puede aparecer cuando termine el curso, cuando todos los grumetes devuelvan cada uno el suyo, y entonces se descubrirá al culpable, porque los libros prestados tienen una etiqueta y el sello del Barco, y el mío no tiene etiqueta ni sello.

También es posible que el que lo haya cogido sea alguien con cleptomanía, pero esto es poco probable. En primer lugar, mi libro no es especialmente atractivo. Hay muchas cosas en la Sala de Oficiales más atractivas que un libro de texto: ordenadores portátiles, libros de lectura, una jarra para calentar agua, objetos personales de los Oficiales del Barco, y yo en mi taquilla tengo, entre otras cosas, varias calculadoras. En segundo lugar, no se ha perdido nada más, por lo menos que se tenga noticia. Sólo ha desaparecido mi libro. Luego no parece que haya un cleptómano entre nosotros, pues si lo hubiera no podría resistir la tentación de ir tomando aparte otras cosas.

Nadie parece que tenga la tendencia a robar compulsivamente, y a nadie beneficia la posesión ilegal de mi libro. Podría ser que me lo hubieran arrebatado por venganza personal, un ataque hacia mi persona de alguno de los tripulantes del Barco Escuela, pero tampoco lo veo probable, porque no tengo hasta la fecha noticia de nadie que me quiera hacer daño. Y por otra parte el daño que se me puede hacer al quitarme el libro es minúsculo, más daño sufriría si intentaran quitarme cosas más valiosas. Pero el libro no me costó nada, y he podido reponerlo sin coste alguno a los pocos días.

Las posibilidades se reducen. Otra hipótesis: el libro puede haber desaparecido por causas sobrenaturales. Puede haber entrado espontáneamente en la cuarta dimensión, pero volvemos a lo mismo, a nadie le ha pasado nada semejante, que se sepa, en la Sala de Oficiales, y además nos encontramos lejos del Triángulo de las Bermudas. No se han reportado en nuestras coordenadas de navegación ningún fenómeno extraño.

Pero hay una posibilidad que ha estado creciendo en mi mente y a la que no dejo de dar vueltas. Puede que haya sido un duende.

¿Un duende? ¡sí! ¿por qué no? Es cierto que hoy pocas personas creen en la existencia de los duendes, y que nuestra vida moderna no parece el marco idóneo para que se manifiesten, pero yo sí creo en ellos. Creo desde que una noche en mi camarote apareció misteriosamente encendida la luz del cuarto de baño. La apagué y volvió a encenderse.

También creo desde que empecé a darme cuenta de los fenómenos que acontecen en mis relojes. Los guardo en un cajón, en mi mesita de noche, y para que no gasten pilas, los paro, tirando de la ruedecilla. Pero cuando a los siguientes días los vuelvo a coger me encuentro que están en marcha, con la ruedecilla metida. Así se me gastan las pilas y tengo que estar reponiéndolas constantemente.

Alguien pone en marcha mis relojes. Alguien juguetea con las luces durante la noche. Alguien me ha quitado el libro de 4º de matemáticas. Ese alguien,… ¿será un duende? ¿un duende aficionado a las matemáticas?

Trivial Matemático (2) y Conjunto de Mandelbrot

Seguimos con el trivial matemático, y proponemos hoy otras diez preguntas:

1. ¿Cuántos son dos tercios de 60?
2. ¿Qué es un gúgol?
3. ¿Qué es un gúgolplex?
4. ¿Qué es el conjunto o continente de Mandelbrot?
5. ¿Cuántas cifras decimales tiene el número pi?
6. ¿Cómo se llama el conjunto de números {1, 2, 3, 4,…}, es decir, los números que sirven para contar?
7. Diga rápidamente el 1% de 100.
8. ¿Cuál es el máximo común divisor de 4 y 9?
9. Calcule cuánto es un quinto de 45.
10. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 2 metros y medio?




1. 40 2. diez elevado a cien 3. diez elevado a un gúgol 4. un fractal 5. infinitas 6. números naturales 7. 1 8. 1 9. 9 10. 10

El conjunto de Mandelbrot es uno de los más bellos ejemplos de fractales, y uno de los más famosos. Para entender de donde sale, es necesario conocer algo de los números complejos.

Cualquier matenavegante, por muy novato que sea, debe saber que cuando hacemos la raíz cuadrada a un número negativo, tenemos problemas. Una cosa es hacer una raíz cuadrada, por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4 ya que 4 al cuadrado es 16; otra cosa es que la raíz cuadrada no sea exacta: por ejemplo la raíz cuadrada de 2 no es exacta, pero se puede aproximar lo que se quiera: 1,4142135623730950488016887242097...

Diferente es la raíz cuadrada de un número negativo. Así, la raíz cuadrada de -4, por ejemplo. No es -2, ya que -2 al cuadrado da 4. Si la intentamos con la calculadora nos da error. Si lo hacemos con la calculadora científica de Windows sale "Entrada no válida para func."

Los matemáticos de siglos pasados no se conformaron con no poder hacer raíces cuadradas de números negativos, y decidieron usar la imaginación. A la raíz cuadrada de -1 la designaron por i, y la llamaron unidad imaginaria. Con ayuda de esta unidad construyeron un nuevo conjunto, el conjunto de los números complejos, C, cuyos elementos son de la forma a+bi, donde a y b son números reales. Con estos números no sólo es posible sumar, restar, multiplicar, dividir, sino también hacer todas las raíces que antes no se podían hacer en los números reales, además de ampliar otras muchas funciones, como la función logarítmica y la exponencial, las funciones trigonométricas, etc.

Si los números reales se representan gráficamente como una recta, la recta real, los números complejos, al estar compuestos por dos números reales, uno solo, a (la parte real) y el otro b (la parte imaginaria) acompañado de i, se pueden representar gráficamente como un plano, el plano complejo. Los números reales se pueden entender incluidos dentro de los complejos, con la parte imaginaria b=0.

Conjuntos como el conjunto de Mandelbrot aparecen cuando realizamos repetidamente operaciones con los números complejos. Tomemos un número complejo, c, y construyamos una sucesión a partir de él: el primer término será 0, el segundo término será c, y luego vamos elevando cada término al cuadrado y sumando c. Si por ejemplo c=1, la sucesión será 0, 1, 2, 5, 26, 677,... Si c=0, la sucesión será 0, 0, 0, 0, 0,... Si c=-1 la sucesión será, 0, -1, 0, -1, 0, -1,... Según el número complejo que elijamos, la sucesión tiene un comportamiento determinado: puede irse al infinito, como la primera, o estar acotada, como la segunda y la tercera.

Supongamos que esta sucesión la construimos para todos los números complejos. Cuando la sucesión está acotada, diremos que el número pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no está acotada, no pertenece. Los números complejos que pertenecen al conjunto de Mandelbrot son puntos del plano complejo y los dibujaremos con color negro. El conjunto de Mandelbrot es, por tanto, todo lo que aparece negro en la ilustración.

Sin embargo, cuando con ayuda de los ordenadores se empezó a dibujar el conjunto, se descubrió que la frontera del conjunto no era, ni mucho menos, una zona perfectamente definida, no era una línea suave, recta o curva, sino que se parecía más bien a la costa de un continente, llena de acantilados, entrantes, salientes, promontorios, islotes, etc., y por eso el conjunto también recibió el nombre de continente de Mandelbrot.

Profundizando en el comportamiento de las sucesiones que se construían a partir de cada número complejo, resulta que hay números, como el 1 en el que las sucesiones se disparan hacia el infinito rápidamente; otros números, como el 0 y el -1, en los que la sucesión está claramente acotada, pero en los números de la frontera del conjunto, la sucesión oscila y es necesario repetir la operación muchas veces (miles de veces) para ir teniendo una idea de su comportamiento.

Surgió la ocurrencia de dar colores distintos a los puntos del plano complejo según la velocidad con que la sucesión crecía hacia el infinito, y al hacerlo y programar a ordenadores cada vez más potentes con los algoritmos necesarios, empezaron a aparecer extraordinarios dibujos de sobrecogedora belleza, gradaciones suaves en donde se multiplican ramas, espirales, autocopias de estructuras cada vez más pequeñas, rosetones, líneas quebradas infinitamente como los rayos de una tormenta, burbujas, etc.

Lo más interesante es que se pueden ampliar las zonas de la frontera del conjunto de Mandelbrot todo lo que se quiera (todo lo que da la capacidad de los ordenadores) y explorar dicha frontera sin límite, obteniendo nuevas formas de complejidad creciente que no tienen fin.

Hoy en día existen multitud de programas que permiten "explorar el continente de Mandelbrot" así como otros fractales famosos, como el de Julia o el de Newton. Uno de los programas más recomendables es el Ultra Fractal, con el que se obtienen magníficos gráficos, especialmente cuando ampliamos el número de iteraciones a 50.000. En esta página, encontramos algunas ilustraciones y ampliaciones muy buenas conseguidas con el programa.

Breve historia del sudoku

La popularidad del Sudoku comenzó en abril de 2005, pero su historia se remonta a más de 220 años atrás. Ya desde la antigüedad era conocida la existencia de los cuadrados mágicos, aquellos en los que hay que rellenar las casillas con cifras de forma que la suma por filas, columnas y diagonales dé siempre lo mismo. Véase, por ejemplo los siguientes cuadrados de 3×3 y de 4×4:

Se puede comprobar que si sumamos los números de una fila cualquiera, lo mismo que si sumamos los números de una columna cualquiera, o los de una de las dos diagonales principales, el resultado siempre es el mismo, en el cuadrado de tres por tres da 15, y en el cuadrado de cuatro por cuatro da 34. Sobre los cuadrados mágicos, entre otras muchas páginas, se puede ver el pequeño artículo que escribí sobre el cuadro Melancolía, de Alberto Durero.

El matemático suizo Leonhard Euler, en 1783, el mismo año de su muerte, estudió un nuevo tipo de cuadrados mágicos, los cuadrados latinos, una cuadrícula en la que un conjunto finito de elementos rellena las filas y columnas en diferentes permutaciones, pero no pueden aparecer elementos repetidos por filas ni por columnas. Un ejemplo de 4×4 puede ser el siguiente:

En este cuadrado, en cada fila y en cada columna están los números del 1 al 4; los números no se repiten por fila ni por columna, como en el Sudoku.

El estudio de los cuadrados mágicos y latinos se engloba dentro de la teoría de grupos, una rama muy importante de las matemáticas.

No sería hasta finales del siglo XIX cuando en los periódicos franceses empezaron a aparecer pasatiempos relacionados con los cuadrados mágicos. En ellos se daba un cuadrado incompleto y se invitaba a los lectores a rellenar las casillas vacías, con la condición de que por filas y columnas debían sumar una cantidad específica, la constante mágica. En 1892 apareció un cuadrado mágico de 9×9 dividido en partes de 3×3, y en 1895 se imprimió un cuadrado mágico diabólico de 9×9 en el que se tenían que usar sólo las cifras del 1 al 9, dando la suma mágica de 45 en todas las filas, columnas y las dos diagonales, y sin repetir los números por filas o columnas. Este último cuadrado ya era similar al sudoku actual, aunque aún no tenía la división en regiones de 3×3.

Este tipo de pasatiempos desapareció con la llegada de la Segunda Guerra Mundial, y no sería hasta 1979, en los Estados Unidos, cuando Dell Magazines empezó a publicar un nuevo pasatiempo llamado Colocar Números, cuyo autor era Howard Garns, que tenía las mismas reglas que el Sudoku actual, aunque era más fácil de resolver que los que aparecen hoy en día.

En 1984, la misma idea fue adoptada y refinada por Nikoli, una revista japonesa de puzzles, y le dio el nombre de suuji wa dokushin ni kagiru, “los números deben estar solos”, posteriormente abreviado a su-doku, “único número”. Este pasatiempo se hizo muy popular, paralelamente a otro que recibió el nombre de kakuro, una especie de crucigrama con sumas de números.

En 1997 Wayne Gould, un abogado neozelandés retirado, descubrió el sudoku durante unas vacaciones en Tokio, y empezó a desarrollar un programa informático para diseñar sudokus y clasificarlos según el nivel de dificultad, programa que no tuvo listo hasta seis años después. Los sudokus creados por su programa los fue vendiendo a diversos periódicos en los Estados Unidos, y luego al periódico londinense The Times, en 2004, que publicó el primero el 12 de Noviembre de 2004. Los demás periódicos ingleses, viendo el éxito inmediato que tuvo el pasatiempo, no tardaron en imitar la iniciativa, publicando rápidamente sus propias versiones del sudoku. Fue, por fin, durante el año 2005 cuando se extendió a todo el mundo con gran éxito.

Los investigadores matemáticos Bertram Felgenhauer y Frazer Jarvis han determinado que el número total de posibles sudokus 9×9 que se pueden resolver, y que son genuinamente únicos, es decir, excluyendo las rotaciones, simetrías, permutaciones de filas o columnas, etc., es de 5.472.730.538. Se dice también que el mínimo de casillas con números dados que un sudoku debe de tener para que pueda ser resuelto de manera única es de diecisiete, aunque todavía no se ha probado matemáticamente. En cualquier caso, no se ha encontrado ningún sudoku resoluble donde se den de entrada dieciséis números o menos.

A partir del sudoku original han surgido una gran cantidad de variantes: mini sudokus de menos casillas, por ejemplo de 6×6; sudokus de letras, que una vez resueltos esconden en una fila o columna una palabra oculta; sudokus monstruos, de orden mayor de 9, por ejemplo 12×12 o bien 16×16; sudokus diagonales en los que las dos diagonales han de contener también los dígitos del 1 al 9; sudokus en los que se indican las casillas que en horizontal o en vertical contienen números consecutivos; sudokus irregulares, en los que las regiones no son 3×3, sino que son piezas de nueve cuadritos pero de diversas formas; sudokus par-impar, donde vienen indicadas las casillas que contienen números pares o impares; sudokus 1-4-7, en los que vienen distinguidas las casillas que contienen el 1, 2 ó 3, el 4, 5 ó 6, y el 7, 8 ó 9; sudokus 0 a 9, sudokus killer, sudokus con casillas en negro, sudokus solapados en donde se combinan dos o más sudokus con una región en común, etc...

Para conocer a fondo el mundo de los pasatiempos, recomiendo encarecidamente el libro de David J. Bodycombe, The Riddles of the Sphinx, editado por Penguin Books. Está en inglés pero es una compilación muy exhaustiva y entretenida de todo tipo de puzles y acertijos, reunidos cronológicamente, y con explicaciones y comentarios sobre la historia de cada uno. Tiene un capítulo extenso dedicado al sudoku y a todas sus variaciones, y el presente texto está basado en dicho capítulo.

Trivial Matemático (1)

El curso pasado se me ocurrió desarrollar diversas actividades con los grumetes para variar un poco las clases de los viernes. Teniendo en cuenta que los viernes teníamos clase de matemáticas las dos últimas horas, las peores de la semana, en lugar de dedicar la clase a la rutina típica de explicar en la pizarra, hacer y corregir ejercicios, resolver dudas, etc., buscamos otras alternativas: unos días veíamos algún documental o alguna proyección de diapositivas, otros días hacíamos algún taller de geometría construyendo poliedros, o trabajábamos en el ordenador con algún programa informático como el Derive, y algunas veces hacíamos una especie de concurso o competición, al que yo bauticé inicialmente como Trivial Matemático, y al que luego los mismos grumetes le dieron el nombre de La Ruleta.

La forma del concurso-competición es bastante corriente: los grumetes se ponen en fila, formando un corro o círculo alrededor de la clase. Se sortea la primera posición, y así cada grumete está en un lugar de la fila, el 1º, el 2º, el 3º, así hasta el último. Se les va haciendo preguntas. Se le hace una pregunta al 1º y se le deja unos momentos para pensar. Si la responde correctamente, conserva su lugar y se le hace otra pregunta al siguiente. Si no se sabe contestar la pregunta o se responde mal, la pregunta pasa al siguiente, y luego al siguiente, así hasta que alguno sepa la respuesta correcta. El que acierta la respuesta adelanta todos los puestos hasta ponerse delante del primero que no supo contestar. Luego se continúa y se le hace otra pregunta al que quedó detrás del último que acertó, etc. Cuando se llega al último se continúa con el primero, dando la vuelta al corro otra vez.

Como regla general, los que aciertan las preguntas conservan su puesto o adelantan a todos aquellos que no supieron contestar esa pregunta bien, y cuando una pregunta no se contesta bien, sale rebotada al siguiente y va pasando por toda la fila, si llega al último y no la sabe, vuelve al primero, y así hasta que dé toda la vuelta completa. Algunas veces hay preguntas que nadie acierta, que dan la vuelta y regresan al mismo grumete al que se le hizo.

Así se van dando vueltas a todo el corro de grumetes conforme se va preguntando, y en cada vuelta algunos consiguen adelantar unos cuantos puestos, mientras que los que fallan se van quedando atrás poco a poco. Algunas veces, por un golpe de suerte, uno de los más atrasados se pone en los primeros puestos entre el alboroto de los demás.

Yo he añadido una regla para dar una oportunidad al más desfavorecido, el último de la fila. Cuando el penúltimo contesta bien a su pregunta, al último se le hace otra pregunta diferente. Si la responde, conserva su puesto. Si la falla, no hay nadie que pueda adelantarlo, porque ya está en última posición. En este caso, al último le da igual fallar que acertar, no saca ninguna ventaja. Para corregir esto, cuando el penúltimo ha respondido bien a su pregunta y el último contesta bien la suya, se le da oportunidad, a cara o cruz, de pasar al primero de la fila. Esta regla ha sido llamada el salto mágico, o el último será el primero.

La Ruleta la extendemos a lo largo de tres o cuatro sesiones, conservando los puestos logrados de una a otra sesión. En la última sesión, una vez finalizada la Ruleta, les doy un positivo a los diez primeros, y premios al primero, al segundo y al tercero.

Las preguntas son de cálculo mental o de cultura matemática. No está permitido usar calculadora, ni ningún tipo de apuntes. Hay que tratar de responder rápido, en no más de cinco o diez segundos.

Me parece interesante publicar en este blog algunas preguntas que les hago a los grumetes. Las publicaremos en grupos de diez. El lector puede tratar de contestarlas rápidamente, sin ayuda de la calculadora, apuntando sus respuestas en una hoja de papel y luego verificándolas con las que vienen más abajo, en letra pequeña, detrás de la ilustración.

1. Calcula rápidamente el 10% de 500
2. Calcula rápidamente 0’1 × 70
3. ¿Qué figura geométrica era el emblema de la escuela pitagórica?
4. Di rápidamente un número primo comprendido entre 15 y 25.
5. ¿Cuál es el máximo común divisor entre 4 y 6?
6. ¿Cuántos kilobytes tiene un Megabyte?
7. ¿A qué es igual 1024 en potencia de 2?
8. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 10 y 15?
9. Dime rápidamente un divisor propio de 57.
10. Calcula el 90% de 200.

1. 50 2. 7 3. el pentagrama o estrella de cinco puntas 4. 17, 19 ó 23 5. 2 6. 1024 7. a 2 elevado a 10 8. 30 9. 3 ó 19 10. 180

¿Son fáciles o difíciles? ¿Cuántas acertó usted? Próximamente publicaremos más.

Sobre el go (1)

Cuaderno de bitácora: hace unos días recibí un amable comentario en la entrada anterior en el que entre otras cosas se me pedía que hablase del go en este blog. Ahora voy a aprovechar la oportunidad para escribir algo sobre dicho juego.

El año pasado, precisamente por estas fechas, presenté en el CEP de Priego-Montilla un proyecto para impartir un Curso de Go para Profesores de Secundaria. Este proyecto fue aceptado parcialmente, pues entró dentro de un Curso más amplio sobre los Métodos de Enseñanza en Ciencias y Nuevas Tecnologías. En el proyecto que presenté incluí una introducción que presento a continuación.

El Go, conocido también como Wei Chi, o Baduk, es un juego de estrategia estudiado y practicado en Oriente desde la antigüedad. Su popularidad en Japón, China y Corea es comparable al ajedrez en Occidente, e incluso superior. Desde el siglo XIX se empezó a conocer en Occidente, pero su práctica se extendió por los países occidentales principalmente tras la Segunda Guerra Mundial. En España todavía es muy poco conocido, aunque ya existe la Asociación Española de Go, y están floreciendo numerosas asociaciones y clubs de juego locales en las principales ciudades.

El Go es considerado el juego más antiguo que se practica hoy en día, y sus reglas no se han modificado en los últimos mil años. Fue inventado en China, con el nombre de wei chi o wei qi, sobre el año 2000 a. de C., y con el tiempo pasó al Japón. Actualmente se organizan torneos internacionales con premios muy importantes, y se enseña y fomenta en escuelas e institutos.

Se juega sobre un tablero cuadrado, en el que está dibujada una cuadrícula de 19×19 líneas, que al cortarse entre sí dan en total 361 puntos de territorio. Se enfrentan dos jugadores, uno con piedras blancas, y otro con negras. El objetivo del juego es rodear, cercar o controlar más territorio que el oponente; el tablero comienza vacío, y los jugadores van colocando alternativamente las piedras sobre los puntos de intersección, empezando por las negras. Una vez colocadas, las piedras no se mueven, pero pueden ser capturadas si son totalmente rodeadas por el jugador contrario. Cuando los jugadores consideran que ya no pueden mejorar sus posiciones colocando más piedras, pasan y se acaba la partida. Se hace un recuento de los puntos de territorio controlado y de las piedras capturadas, y el que tenga más puntos es el que gana.

El Go es similar al ajedrez en muchos aspectos, pero es diferente en otros. Se trata de un juego de estrategia pura, en el que las jugadas se basan en el conocimiento y la capacidad de cálculo de los jugadores. Requiere paciencia, concentración y lógica, pero también fomenta la creatividad, la intuición y el descubrimiento, y es susceptible de ser estudiado y profundizado de forma ilimitada.

A diferencia de la mayoría de los juegos, el Go dispone de un método natural para equilibrar los potenciales de dos jugadores de diferentes niveles, dándole piedras de ventaja al jugador más débil en el principio de la partida, por lo que posibilita que dos personas, sea cual sea su nivel de conocimiento del Go se enfrenten en una partida igualada e interesante, y así el juego se convierte en un camino conjunto de superación personal.

El Go es un juego muy sencillo de explicar y aprender en sus reglas básicas. Aunque se suele jugar oficialmente en un tablero de 19×19 líneas, admite tableros más pequeños para la iniciación o para jugar partidas rápidas, de 9×9 ó de 13×13 líneas. El Go en tableros pequeños engancha rápidamente a los niños en Primaria y en los primeros cursos de Secundaria. Para alumnos más mayores es también muy atrayente, especialmente para aquellos alumnos orientados al ámbito científico tecnológico. Al ser un juego que viene de Oriente y muy de moda en Japón, conecta fácilmente con todos aquellos que se ven interesados en la actualidad por la cultura japonesa, el cómic Manga, etc.

A pesar de que sus reglas básicas son muy sencillas, el desarrollo del juego es enormemente rico, y las sutilezas de su estrategia lo hacen un juego tan complicado o más que el ajedrez. Por eso, las personas que se introducen en el aprendizaje del Go van descubriendo con sorpresa un mundo amplio e interesante, empapado de la filosofía y el modo de pensar orientales, con multitud de enfoques, desde los puramente lógicos, matemáticos, hasta los psicológicos, artísticos, creativos, etc.

Esto posibilita que el Go sea un juego atractivo e indicado para todas las edades. En especial, los niños se aficionan a él con mucho entusiasmo, y los maestros y profesores, sin necesidad de empujar a los niños a que aprendan complejidades que todavía no están a su alcance, pueden dejar que ellos mismos se afanen en jugar partidas rápidas en las que lo pasan en grande tratando de ganar a sus rivales, buscando trucos, creando nuevas y originales formaciones de piedras en el tablero con las que pretenden sorprender al contrario, y capturando muchas piedras, aunque no sea éste el objetivo del juego. Cuando los niños juegan con este disfrute, poco a poco se van empapando de la filosofía del Go, llegando a ser más hábiles en él que muchos adultos, los cuales tenemos nuestras ideas anquilosadas y enraizadas en la cultura occidental y en nuestros juegos tradicionales.

La relación del Go con las matemáticas es muy considerable, aunque las personas que lo practican pueden ignorarla y dejar que se mantenga en cauces ocultos y subterráneos, o descubrirla y estudiarla con mayor o menor profundidad. Así, en el mismo proyecto, incluía unas sugerencias de cómo relacionar conscientemente el go con las matemáticas:

- El tablero y las piedras de Go pudieron ser en su forma antigua primitiva una especie de ábaco sobre el que se podían realizar cálculos complicados.

- En el desarrollo del juego, los contrincantes siempre deben estar calculando, a través de sumas y restas sencillas unas veces aproximadas y otras ajustadas, el equilibrio territorial, para saber cómo van sus respectivas posibilidades de ganar. En los alumnos esto les puede potenciar el cálculo mental con números positivos y negativos.

- En el recuento de territorios se adquiere un conocimiento de áreas y superficies muy intuitivo y elemental, útil en geometría básica.

- El tablero y las piedras constituyen de forma natural un sistema de coordenadas sobre el que aprender puntos, vectores, rectas, distancias, formas geométricas, etc.

Como oficial del Barco Escuela, considero interesante dar a conocer a los grumetes este juego, y que lo aprendan y lo practiquen si así lo desean, porque es uno de los juegos más ricos, inspiradores, profundos y entretenidos que se han inventado. Aprender a jugar es muy sencillo. Existe una infinidad de páginas dedicadas al Go. Particularmente quiero recomendar las siguientes:

http://perso.wanadoo.es/lejuan/go/cercado.htm ; en esta página se puede descargar una edición electrónica de El Cercado, de Ambrosio Wang An-Po, un libro que sirve de inicio para conocer el juego.

http://spain.european-go.org/andalucia/ ; página de la Asociación de Go de Andalucía.

http://aego.biz/ ; página de la Asociación Española de Go.

http://www.gokgs.com/ ; página del servidor de go KGS, en el que se puede jugar al go con otros jugadores a través de Internet.

http://www.pandanet.co.jp/English/ ; página del servidor de go IGS, en el que se puede jugar al go con otros jugadores a través de Internet.

Sobre la relación de las matemáticas y el go profundizaremos en otras entradas del blog.

El Cofre de los Tesoros Matemáticos

Cuaderno de bitácora: hace un par de semanas decidí crear el Cofre de los Tesoros Matemáticos. Como todo marino que se precie, me atraen los tesoros escondidos por los siete mares. En este caso, voy a ir recopilando en un cofre todos aquellos que ya tenía y los que vaya consiguiendo durante las próximas travesías.

Es mi objetivo, durante las próximas entradas del blog ir escribiendo con detalle de cada una de las joyas del tesoro. En esta entrada voy a mencionar algunas de las que tengo en mi poder.

Podemos comenzar por el ábaco. En el cofre hay dos tipos de ábaco, el suan-pan chino, y el ábaco japonés o soroban. El ábaco chino tiene quince varillas, y en cada varilla hay cuentas negras redondeadas, de forma toroidal, en grupos de cinco y de dos, separados los grupos por un travesaño. El soroban, mucho más pequeño en tamaño y por tanto más manejable, ha reducido el número de fichas al mínimo indispensable: trece varillas, en cada una cuentas en dos grupos, uno de cuatro fichas, en lugar de las cinco del ábaco chino, y otro de una sola, en lugar de las dos del ábaco chino. Las cuentas son de color blanco discoidales, con borde afilado. Además, el soroban tiene un pulsador en uno de los lados que hace palanca para que todas las piezas vuelvan a la posición de cero. El soroban se dice que es el ábaco más evolucionado; una página desde la que se puede descargar un manual completo del uso del soroban es ésta.

Recientemente conseguí en la sección de papelería de unos grandes almacenes ún sencillo espirógrafo, un artilugio parecido a una regla que junto a unas ruedas dentadas de varios tamaños permite dibujar curvas epicicloides muy bonitas. Para saber más sobre el espirógrafo hay dos páginas, la primera en inglés y la segunda en español, que además incorporan programas Java con los que se pueden dibujar epicicloides de todos los tipos y a varios colores.

Entre mis tesoros más antiguos tengo que destacar dos calculadoras de la marca Casio, una de ellas, de más de treinta años de antigüedad, con pantalla de fósforo verde luminoso, sencilla, funciona con dos pilas normales y sólo hace las operaciones básicas, raíces cuadradas y tantos por ciento. La otra tiene más de veinte años y es científica, y recuerdo que en la época que me la compré me costó mucho dinero, casi 6.000 pesetas, o 36 euros al cambio. Hoy en día se puede conseguir una calculadora científica de más o menos las mismas prestaciones por tan sólo diez o doce euros, así son las paradojas del mercado.

En el cofre también he introducido algunas variedades de cubos de Rubik que han salido al mercado. Está el cubo normal de orden tres, un par de cubos de orden dos, y otro de orden tres en el que las caras en lugar de ser de colores están cubiertas con los dígitos del 1 al 9, de forma que, similar a los Sudokus, en cada cara del cubo están todos los dígitos del 1 al 9 sin repetirse ninguno.

En algunas tiendas de decoración se han puesto de moda últimamente vender esferas metalizadas que reflejan el entorno como si fueran espejos. En cuanto las vi compré una, porque me recuerdan mucho el autorretrato de Escher en el que se ve su mano sosteniendo la esfera y su imagen reflejada en la superficie.

También se han puesto de moda los puzles formados por dos piezas metálicas semejando argollas abiertas de formas diversas que han de unirse y desunirse sin emplear la fuerza, sino con una combinación de movimientos y orientaciones de las piezas para que la unión o separación sea suave. En el cofre solo tengo uno ahora mismo, porque en una incursión pirata me robaron tres o cuatro que atesoraba de uno de mis viajes.

El año pasado tuvo mucho éxito un astrolabio que realicé a partir de un recortable comprado en el Parque de las Ciencias. Me permitió aprender el manejo de los antiguos astrolabios y enseñárselo a grumetes y compañeros oficiales. En la navegación actual, con los sistemas GPS, ya no es necesario el astrolabio, pero en la Edad Media y siglos posteriores fue imprescindible.

A partir del astrolabio decidí también confeccionar un cuadrante con el que es sencillo medir el ángulo de visión sobre el horizonte de un punto elevado, ya sea estrella, montaña, torre, y además se puede calcular rápidamente con su escala la altura de un punto elevado si tenemos acceso a su base, así se puede calcular o medir la altura de una torre, de un árbol, etc.

A mi infancia se remonta el uso del View-Master, un aparato que permite ver fotografías en tres dimensiones, las llamadas fotografías estereoscópicas, relacionadas con los estereogramas. Me lo trajeron de Holanda de regalo unos amigos de la familia que habían emigrado a ese país y que regresaban de visita cada verano. Con el aparato conservo unos cuantos discos con fotografías, de paisajes, de animales y plantas, y de películas de aventuras.

También tengo un par de caleidoscopios, uno tradicional o clásico, con un grupo de piececitas de colores al final del tubo, que se pueden mover para ir configurando infinidad de simetrías, y otro con una lente esférica, también llamado tomoscopio, con lo que las imágenes simétricas se forman con la misma imagen del entorno en donde estamos, con las caras de las personas, con los paisajes, etc.

Tengo más tesoros, pero de momento son suficientes para la entrada de hoy.

Caligrafías simétricas

Cuaderno de bitácora: estuvimos explicando un tema de geometría bastante agradable, el que estudia los movimientos en el plano: traslaciones, giros y simetrías. Las aplicaciones gráficas, artísticas y decorativas de este tema son muy abundantes, y con unas reglas muy sencillas se pueden crear motivos geométricos muy bonitos.

En uno de los libros de Martin Gardner, aparece un artículo dedicado a Scott Kim, un diseñador de pasatiempos y juegos de ordenador, y autor de inversiones, nombre que la ha dado a las palabras cuya caligrafía permite leerlas de más de un modo. Una de las posibilidades es lo que podríamos llamar caligrafías simétricas, en las que una palabra se puede leer en la dirección normal, y si le aplicamos una simetría, central o axial, la palabra queda invariante.

Algunas letras, si las escribimos en mayúsculas y en un tipo de letra sencillo como la Arial, son simétricas por sí mismas. Así, por ejemplo, la A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y, son todas simétricas respecto a un eje vertical que las divida por la mitad. La C, D, H, I, O, X, son simétricas respecto a un eje horizontal que pase por su centro, y la B, la E y la K, también se pueden dibujar de forma simétrica a ese eje horizontal, aunque en el tipo de fuente no aparezcan como simétricas exactamente. Las letras H, I, N, O, S, X, Z, presentan simetría central, si imaginamos que su centro es un eje de giro, y las giramos 180º sobre sí mismas, las letras no varían. El resto de las letras, F, G, J, L, Ñ, P, Q, R, no presentan ninguna simetría. Bueno, en realidad la L se puede dibujar alargando el palo horizontal, de forma que sea simétrica respecto a un eje inclinado 45º que pase por su vértice.

Usando este tipo de caligrafía, se pueden escribir palabras simétricas. Así, por ejemplo, AMA, OSO, ONO (el nombre de una empresa de telefonía y televisión por cable), AVIVA, CODO, etc., todas son simétricas, con simetrías axiales o centrales.

Diferente es cuando se quiere conseguir que cualquier palabra, escrita con una caligrafía especial, sea simétrica. Entonces se tiene que jugar con las posibilidades que dan las letras, deformarlas, añadirles extremidades, curvas, complementos, sin desvirtuarlas, para que en un sentido se lea una letra y en otro sentido se lea otra. Scott Kim es un maestro en este arte, véase, por ejemplo, cómo ha escrito el nombre de Martin Gardner con simetría central:

Compruébese que, de hecho, si giramos la imagen 180º permanece invariante.

Yo, por mi parte, me he entretenido en hacer algunos bocetos de nombres en español, unos más conseguidos que otros, cuyo fin ha sido mostrarlos a los grumetes para que vean lo que se puede empezar a hacer combinando un poco de matemáticas con la caligrafía y el arte. Se interesan y les gusta, sobre todo cuando ven su propio nombre escrito de esta forma. Abajo presento los bocetos de Adolfo, Ana, Antonio, Cayetano, Daniel, Irma, Jesús, Juan, Marian, Nerea, Renato, Sandra y Silvia, todos dibujados con simetría central. Están hechos a mano y escaneados, por eso no son muy perfectos.

Los siguientes, Loli y Pepe, son simétricos respecto a un eje horizontal que los divide por la mitad.

No quiero extenderme mucho en esta entrada, aunque el tema conecta con otros puntos interesantes. Por ejemplo los palíndromos, palabras y frases que presentan simetría ortográfica, y permanecen invariantes si se invierten las letras de orden. Palabras como seres, sacas, anilina, reconocer, etc., son palíndromos, lo mismo que frases enteras, como la famosa dábale arroz a la zorra el abad. Para conocer más palíndromos se puede visitar la página de Víctor Cascajo, en la que hay una colección enorme de ellos.

Sobre Pitágoras

Cuaderno de bitácora: hace unas semanas estuvimos viendo un documental en el Barco Escuela sobre Pitágoras. El título del documental es Pitágoras, Mucho más que un Teorema. Pertenece a la serie Universo Matemático, una serie documental muy bien hecha que ha sido emitida por Televisión Española. Su creador es Antonio Pérez Sánz, profesor del IES Salvador Dalí de Madrid.

Como se cuenta en el documental, Pitágoras es quizás el más conocido entre todos los matemáticos, por lo menos de nombre, y el teorema de Pitágoras es el que casi todo el mundo cita, si se le pregunta por algún teorema. Recuerdo que a veces, cuando un niño destacaba en matemáticas, se decía de él que era un pitagorín. Éste era el nombre de un personaje de cómic, de un niño muy listo que aparecía en los tebeos de Bruguera de los años sesenta y setenta, y de ahí la palabra ha pasado a algunos diccionarios y se define como estudiante muy aplicado que siempre sabe las respuestas.

Pitágoras vivió en el siglo sexto antes de nuestra era, y nació en la isla griega de Samos. Durante su juventud viajó por diversos lugares del mundo, principalmente Egipto y Oriente Medio. Algunos afirman que también estuvo por Europa y llegó a contactar con los druidas de la cultura céltica. Fue contemporáneo de los Grandes Maestros de las religiones orientales: Siddharta Gautama el Buddha, Lao Zi (Lao Tsé) y Confucio.

Cuando tenía cuarenta años, regresó a Grecia, y tras ver que en Samos no era aceptado, viajó hasta Crotona, al sur de Italia, donde se estableció y fundó la escuela de los Pitagóricos. Tras muchos años durante los que la escuela prosperó y creció, hubo una guerra entre Crotona y Sibaris, y como resultado la escuela fue incendiada. Se dice que Pitágoras logró huir a Metaponte, refugiándose allí hasta su muerte.

Pitágoras fue el creador de tres palabras fundamentales: cosmos, en el sentido de universo ordenado, todo lo que existe, existió o existirá; filosofía, y matemáticas. Como sabemos, la palabra filosofía significa amor a la sabiduría. Cuando se elogiaba a Pitágoras diciéndole que era un sabio, él lo negaba, respondiendo que tan sólo era un filósofo, un amante de la sabiduría.

La palabra matemáticas significa lo que se aprende, lo que se conoce. Para los antiguos pitagóricos, las matemáticas eran la base y la cima del conocimiento, un conocimiento que los conectaba con lo trascendente, con la Divinidad. Los números eran sagrados, y todo en el cosmos estaba basado en números. Filolao, uno de los miembros de la escuela de Pitágoras, decía: "Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número, pues no es posible que sin número nada pueda ser conocido ni concebido".

A Pitágoras y a su escuela se debe la búsqueda del rigor matemático, de basar todos los resultados, principios, teoremas, en demostraciones y razonamientos lógicos que cualquier estudioso puede entender y compartir. A partir de Pitágoras, la matemática se independiza de una base empírica o práctica, convirtiéndose en una ciencia abstracta que existe más allá de la realidad cotidiana del ser humano.

El Teorema de Pitágoras no fue descubierto por él, porque ya se conocía en culturas muy antiguas, como la egipcia, la babilónica o la china. Se dice que Pitágoras fue uno de los primeros en demostrarlo con rigor. Demostraciones de este teorema hay muchísimas, al parecer es el teorema matemático del que más demostraciones distintas se han elaborado. Al principio del siglo XX, Elias Loomis publicó un libro con 367 demostraciones diferentes del teorema. Si alguien quiere conocer algunas de ellas, puede ver esta presentación.

Pitágoras es también responsable de las proporciones matemáticas de la escala musical. Asimismo, en la escuela pitagórica se estudiaban muchas propiedades de los números, que luego han sido profundizadas en épocas posteriores. Se analizaron los números poligonales (triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc.), los números perfectos, los números amigos, y se descubrieron los números irracionales.

Algunos autores afirman que los pitagóricos rechazaron la existencia de los números irracionales, porque creían que todas las cantidades eran conmensurables: al comparar una cantidad con otra cualquiera, la relación entre ambas siempre se podía expresar como un cociente de números enteros, como un número racional. Pero esto no es cierto, y el propio teorema de Pitágoras conduce rápidamente a uno de los números inconmensurables o irracionales mas sencillos, la raíz cuadrada de dos. Basta tomar un triángulo rectángulo cuyos catetos midan exactamente 1 y 1, entonces la hipotenusa mide la raíz cuadrada de dos. La demostración de que la raíz cuadrada de dos es irracional la pongo a continuación; en ella se utiliza un método de demostración llamado reducción al absurdo, que consiste en suponer que es cierto algo que creemos que será falso, razonar sobre la suposición y llegar a una contradicción, en ese caso lo que habíamos supuesto no puede ser cierto, y por tanto es falso, que es lo que pretendíamos demostrar.

Otro número irracional conocido por los pitagóricos fue el famoso número áureo, o número fi, que aparece como la proporción entre los distintos segmentos definidos en el pentagrama o estrella de cinco puntas. Esta estrella era el símbolo de los pitagóricos.

Para ellos era también sagrado el número diez, simbolizado como un triángulo de puntos distribuidos en orden creciente, un punto en el vértice superior, dos puntos debajo, tres en la siguiente fila y cuatro en la base, formando la tetractys, que resumía en su entidad la estructura del universo. En efecto, un punto representa la dimensión cero, dos puntos definen una recta o dimensión uno, tres puntos no alineados determinan un plano, de dimensión dos, y finalmente, cuatro puntos que no estén en el mismo plano definen el espacio tridimensional. La suma de 1, 2, 3 y 4 da 10.

Pitágoras también estudió los sólidos perfectos, en particular el dodecaedro, y la llamada música de las esferas, y especuló sobre el sistema solar y las órbitas de los planetas.

Para complementar más sobre Pitágoras y su vida, se puede consultar mi artículo Pitágoras, publicado en doDK, y el artículo Los Puntazos de Pitágoras, de Miguel Olvera, publicado también en doDK.

Apotemas falsas

En geometría, cuando se estudian los polígonos nos encontramos con la fórmula del área de un polígono regular: perímetro por apotema partido por dos, (p · a) /2.

Así, se pueden plantear ejercicios para el cálculo del área de un pentágono regular, un hexágono regular, un heptágono, octógono, eneágono, decágono, etc. Por ejemplo, nos dicen: "Calcula el área de un pentágono regular de lado igual a 10 centímetros y apotema igual a 8 centímetros". El cálculo es inmediato: si el lado mide 10 cm, el perímetro, por ser un pentágono (cinco lados) es de 50 cm, multiplico por la apotema y divido entre dos, 50·8/2=200 centímetros cuadrados.

Figura1. Un pentágono regular "falso". Si el lado del pentágono regular es de 10 centímetros, la apotema no está libre para valer, por ejemplo, 8 centímetros.

Pongamos otro ejemplo: "Calcula el área de un heptágono regular de lado igual a 24 metros y apotema 30 metros". Tenemos que el perímetro es de 24·7=168 metros, y el área 168·30/2=2520 metros cuadrados.

Estos problemas, para un matenavegante experimentado, no tienen consistencia. En realidad, no existe ningún pentágono regular cuyo lado mida 10 centímetros exactamente y cuya apotema mida 8 centímetros exactamente. Tampoco existe ningún heptágono regular con lado 24 metros exactamente y apotema 30 metros exactos.

Si damos la longitud del lado de un polígono regular, entonces la apotema queda determinada automáticamente, no puede valer lo que nosotros queramos. Eso se ve con claridad en el caso del hexágono regular. Supongamos que un hexágono regular tiene un lado de 10 centímetros.

Figura 2. Si nos dan el lado de un hexágono regular, la apotema queda determinada y se puede calcular exactamente con el teorema de Pitágoras.

Al trazar los radios desde el centro hasta los vértices, obtenemos un triángulo equilátero. Esto sólo ocurre en el hexágono regular. Ese triángulo equilátero se puede partir por la mitad, y así tenemos un pequeño triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa, 10 cm, y uno de los catetos, 5 cm. El otro cateto lo podemos averiguar por el teorema de Pitágoras, tomando la hipotenusa de 10 cm al cuadrado, restándole el cuadrado del cateto de 5 cm, y haciendo la raíz cuadrada. El resultado, tras un simple cálculo mental es de raíz cuadrada de 75 cm, que es aproximadamente 8.66 cm. Pero este cateto que acabamos de averiguar es precisamente la apotema del hexágono regular.

En el caso del pentágono, por ejemplo, al trazar los radios, se obtiene un triángulo isósceles, no equilátero como en el hexágono, y si lo partimos por la mitad, obtenemos un triángulo rectángulo. Pero en este caso la hipotenusa es desconocida. Debemos recurrir a los ángulos y a la trigonometría, si queremos calcular las longitudes que nos faltan. Teniendo en cuenta que el ángulo agudo que parte del centro del pentágono vale 36º (en el caso del pentágono basta dividir 360º entre 10), y conociendo las fórmulas de trigonometría, concretamente la fórmula de la tangente de un ángulo, podemos averiguar el cateto que nos falta en el triángulo rectángulo, es decir, la apotema del pentágono regular.

Figura 3. Si el lado del pentágono regular vale 10 centímetros, entonces la apotema se puede calcular usando trigonometría, concretamente la tangente del ángulo de 36º.

La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es igual al cateto opuesto al ángulo partido por el cateto contiguo, y de esa fórmula, despejando, tenemos que el cateto contiguo (la apotema que buscamos) es igual al cateto opuesto, 5 cm, partido por la tangente de 36º. La tangente de 36º se obtiene con una calculadora científica. El resultado sale 6.88 cm aproximadamente.

Figura 4. La apotema de un pentágono regular de 10 centímetros vale aproximadamente 6,8819 centímetros, lo cual está bastante desviado de los 8 centímetros inventados que nos planteaba el problema del principio.

Luego si un pentágono tiene lado 10 centímetros, su apotema vale 6.88 aproximadamente, nada parecido a 8 centímetros como decía el enunciado del problema de arriba.

Lo mismo ocurre con el heptágono. Si el lado vale 24 metros, trazamos los radios desde el centro del heptágono a los vértices, y tenemos un triángulo isósceles, de base 24. Lo dividimos por la altura, que es la apotema buscada, y tenemos un pequeño triángulo rectángulo, en el que uno de los catetos, el que hace de base, mide 12 cm. Ahora, el ángulo agudo que parte del centro del heptágono mide 360º/14 = 25.71º aproximadamente. La apotema buscada será igual a 12 centímetros dividido por la tangente de este ángulo. El resultado da: 24.92 centímetros aproximadamente, que quedan muy lejos de los 30 centímetros que planteaba el problema.

Figura 5. Aquí vemos el ejemplo del heptágono, similar al del pentágono regular.

Podemos concluir, por tanto, que hay que tener cuidado al plantear los problemas sobre áreas de polígonos regulares, pues si queremos que los enunciados tengan consistencia, debemos evitar las apotemas falsas y calcular las apotemas auténticas a partir de la medida del lado, bien con el teorema de Pitágoras, o bien con ayuda de la trigonometría y la fórmula de la tangente de un ángulo.

Para ampliar este tema, se puede continuar con la lectura del artículo La fórmula sin apotemas.

La ignorancia de sumar fracciones

Cuaderno de bitácora: por mucho empeño que le pongo, hay grumetes que no aprenden a sumar fracciones. Eso de tomar común denominador les resulta extraño y difícil. Algunos se niegan abierta o encubiertamente a aprenderlo. Para otros tomar común denominador les enfrenta al cálculo del mínimo común múltiplo, una operación larga y complicada de la que ya casi no se acuerdan. Les explico que no es necesario tomar el mínimo común múltiplo de los denominadores, que el mínimo común múltiplo es la mejor opción, pero que basta tomar un múltiplo de los denominadores, y que en un último caso se cogen los denominadores de las fracciones y se multiplican entre sí. Algunas veces sale un resultado muy grande, pero si se tiene calculadora no hay problema, y al final, si simplificamos la fracción que sale, el resultado está bien, aunque no se haya tomado el mínimo común múltiplo de los denominadores. Lo realmente importante es encontrar un denominador común.

Pero siempre quedan los grumetes que se empeñan en sumar las fracciones sumando numerador con numerador y denominador con denominador. Así, segun ellos 1/2 más 1/3 es igual a 2/5. Aunque este método es sencillísimo, el resultado está mal. Con este método no se suman las fracciones. Es como si queremos hacer espaquetis con tomate, y tomamos el paquete de espaguetis sin abrir, la lata de tomate sin abrir, los echamos los dos en una olla con agua y los ponemos a calentar. No creo que así obtengamos el plato que queremos.

Sin embargo, de repente, eso de sumar numerador con numerador y denominador con denominador, aunque no sirve para sumar fracciones, puede ser útil para otra cosa. Veamos, veamos... 1/2 es 0.5, 1/3 es 0.333 aproximadamente, 2/5 es 0.4. El resultado de la operación me ha dado un número que está comprendido entre los dos números originales. ¿Será cierto siempre?

Probemos otro ejemplo: 1/4 y 3/5. 1/4 es 0.25, 3/5 es 0.6, si sumamos numerador con numerador y denominador con denominador, obtenemos 4/9, que es 0.444 aproximadamente. En efecto, el resultado de la falsa suma nos vuelve a dar un número comprendido entre los dos primeros.

Con ayuda de la notación matemática es fácil dar una demostración de que esto siempre ocurre así. La he realizado con el editor de ecuaciones del Word y la he guardado como imagen gif. Aquí os la presento:

Entonces, esta forma de operar con las fracciones no es del todo inútil. Nos puede servir muy bien para encontrar números intermedios entre otros dos.

Si tenemos dos números fraccionarios, uno menor que otro, siempre podemos encontrar un número comprendido entre ellos dos. En realidad podemos encontrar muchos, infinitos. La forma tradicional de encontrar un número comprendido entre dos números conocidos era hacer la media aritmética: se suman y se divide por dos. Así, entre 1/3 y 1/2, sumamos (hay que saber sumar fracciones bien) y obtenemos 5/6, y luego dividimos por 2 y obtenemos 5/12. Este número es la media aritmética entre 1/3 y 1/2 y, por tanto, está comprendido entre los dos. Pero 2/5, obtenido con el falso método de sumar las fracciones, es facilísimo de calcular, no es la media aritmética de 1/3 y 1/2, pero sí está comprendido entre los dos.

Otro ejemplo: encontrar un número comprendido entre 61/89 y 29/42. Hacer la media aritmética entre estos dos números es una tarea laboriosa, porque los denominadores no son sencillos. Pero con nuestro método encontrar ese número que sea mayor que 61/89 y menor que 29/42 es inmediato: sumamos numerador con numerador y denominador con denominador y obtenemos 90/131, que puede ser una solución.

Lo que hemos tratado en este artículo nos lleva a concluir que las equivocaciones o los métodos que no funcionan, no deben ser rechazados irreflexivamente. Muchas veces un error conduce a descubrimientos inesperados y a utilidades sorprendentes. Fleming descubrió la penicilina cuando se le contaminó por casualidad un cultivo bacteriano con un hongo microscópico, y las hojitas Post It nacieron gracias al uso diferente de un pegamento que no salió como se esperaba.

Los Triángulos Isósceles del Sol

Cuaderno de bitácora: tuvimos la oportunidad hace varios meses de visitar las tierras de los Mayas en nuestro periplo por los Matemares. Uno de los sitios por donde pasamos fue Chichén Itzá, la ciudad maya, cuyo monumento más importante es la pirámide de Kukulcán, llamada el Castillo por los descubridores españoles.

La pirámide de Chichén Itzá es un prodigio de la arquitectura y el arte de los antiguos Mayas. Es un monumento hecho con sabiduría y profundos conocimientos matemáticos y astronómicos. Necesitamos la inquietud de los investigadores para estudiar construcciones de este tipo, y así descubrir sus muchos secretos.

Uno de esos secretos que la pirámide guarda es lo que los antiguos Mayas llamaban el descenso de Kukulcán a la Tierra. Los días de los equinoccios de primavera y otoño, 21 de marzo y 21 de septiembre respectivamente, se produce un fenómeno que se está haciendo cada vez más popular. El Sol, en el atardecer de estos días, sobre las 3 de la tarde, hora local, "proyecta en la balaustrada del lado noroeste del Castillo siete triángulos de luz que se van integrando poco a poco de arriba hacia abajo, hasta formar la silueta perfecta de una enorme serpiente que termina al tocar la gran cabeza del Dios Kukulcán en la base de la pirámide" [extraído de la página Yucatán Mágico].

El fenómeno dura pocos instantes, pues casi de inmediato la posición del Sol varía y la balaustrada queda totalmente en sombras. Pero durante esos momentos se dibujan siete triángulos isósceles de luz sobre el lateral de la escalera, siete triángulos que se combinan perfectamente con la cabeza del Dios-serpiente Kukulcán, en la parte inferior de la pirámide. Es muy significativo que esos triángulos semejen el cuerpo de luz de Kukulcán, ondulado como el de las serpientes, o recordando las escamas romboidales de la piel de algunos ofidios.

También es muy significativo, para aquellos que aprecian el simbolismo de los números, que aunque las terrazas o plataformas de la pirámide o Castillo son nueve, los triángulos que aparecen son exactamente siete. Cada triángulo se forma de la sombra del ángulo entre dos plataformas contiguas sobre la pared de la balaustrada; al haber nueve plataformas deberían aparecer ocho triángulos, pero el octavo, el más inferior, se pierde en el suelo debido a la inclinación de los rayos solares, y quedan exactamente siete, confiriendo un significado profundamente metafísico al fenómeno, porque el siete es un número muy simbólico.

En relación a la forma geométrica del Castillo de Chichén Itzá, se trata de una pirámide escalonada, de base cuadrada de 55,5 metros de lado, y su altura, incluyendo el templo de su cúspide, es de 30 metros. Es por tanto una pirámide relativamente pequeña, si la comparamos con la gran pirámide de Keops, de 147 metros de altura originalmente, o la pirámide del Sol en Teotihuacán, de 65 metros de altura, pero que tiene una base casi tan ancha como la de Keops, con unos 225 metros de lado.

Otro hecho numérico interesante es que las escalinatas que suben a la cúspide tienen cada una 91 escalones exactamente, que coincide con el número de días que tiene una estación del año. Como hay cuatro escalinatas, una en cada cara de la pirámide, hace un total de 91 · 4 = 364 escalones. Si le sumamos el suelo o el templo que hay en la cúspide obtendríamos el total de 365, coincidiendo con los días que tiene un año.

En las culturas antiguas era muy importante el conocimiento y el uso del calendario, ya de forma práctica, como ayuda para la agricultura, ya de forma ceremonial, relacionada con sus religiones. No es de extrañar que los mayas introdujeran el número de días del año, aproximadamente, en sus monumentos principales, y en relación a esto me ha venido a la memoria el antiguo juego chino del wei ch'i, conocido en la actualidad por go, que se juega en un tablero con una cuadrícula de 19 por 19 intersecciones, haciendo un total de 361 intersecciones o puntos de territorio. En el tablero de go también se quiso representar desde la antigüedad el calendario anual, como una conexión de la vida cotidiana del ser humano con los movimientos de los astros en el universo.

Todos estos números y cantidades, expresadas a través de los monumentos arqueológicos antiguos, tiene, guste o no guste, hondas repercusiones en el lado sensible e intuitivo de la humanidad, toca resortes profundos del origen de los mitos, y atrae la atención de incontables almas inquietas. No es de extrañar que Chichén Itzá, por todo esto y por mucho más, haya sido elegida como una de las Siete Nuevas Maravillas del Mundo.